FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Doktora

Bu koleksiyon için kalıcı URI

http://hdl.handle.net/11527/86

Gözat

Başlık ile FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Doktora'a göz atma
  • Öge
    About The Structures Of Non-Abelian Groups Of Order pq³
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 1997) Tolgay, Tayfur ; Ahre, Kadir R. ; 106436 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Çalışmamızın amacı pq3 mertebeli grupların nilpotent olmaları için yeterli koşullar bulmaktır. Abelyen gruplar nilpotenttir. Beri yandan, abelyen olmayan bir grubun sylow alt grupları abelyense, bu kez de grup nilpotent değildir. Çünkü, nilpotent gruplar sylow alt gruplarının direk çarpımıdırlar ve abelyen grupların direk çarpımları da abelyen olur. Dolayısıyla, biz çalışmamızda yalnızca pq3 mertebeli bir grubun q-sylow alt grubunun abelyen olmadığı durumu ele aldık ve sonuçlarımızı da bu durumu göz nünde bulundurarak ifade ettik.
  • Öge
    Asal İdealleri Radikal Olarak Mükemmel Olan Değişmeli Halkalar
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2012-06-05) Harman, Sevgi ; Erdoğdu, Vahap ; 430991 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Bir idealin yüksekliği ve üreteç sayısı arasındaki ilişki ilk defa 19. yüzyılda Kronecker tarafından ele alınmıştır. O günden bu yana, bu konuda birçok araştırma yapılmış olup, bu alanda halen çözülememiş olan sorulardan birisi de, K cismi üzerindeki K[X,Y,Z] polinom halkasında yüksekliği iki olan ideallerin kümesel tam arakesit olup olmadığı sorusudur. K cisminin karakteristiğinin pozitif olduğu durumda bu sorunun cevabı olumludur, ancak K’nın karakteristiğinin sıfır olduğu duruma dair henüz çok fazla sonuç elde edilememiştir. Erdoğdu, karakteristiğin sıfır olduğu duruma cevap ararken, Noether halkalara özgü olan kümesel tam arakesit nosyonunu, Noether olmayan halkalara da genişleterek, radikal olarak mükemmellik nosyonunu literatüre kazandırmış ve daha genel olan Karakteristiği sıfır olan bir cisim içeren R tamlık bölgesi üzerinde hangi şartlar altında, R[X] polinom halkasının tüm asal idealleri radikal olarak mükemmeldir? sorusunu sormuştur. R halkasının bir I ideali için, radikali I idealinin radikaline eşit olan tüm idealler arasından minimum üreteç sayısına sahip olanın üreteç sayısı, I’nın yüksekliğine eşit ise, I idealine radikal olarak mükemmel ideal denir. Bu çalışmanın ana amacı, Noether olma zorunluluğu olmayan halkalardaki ideallerin yükseklikleri ile üreteç sayıları arasındaki ilişkiyi ayrıntılı olarak incelemek, ayrıca R halkasının ve R üzerindeki R[X] polinom halkasının tüm asal ideallerinin radikal olarak mükemmel olması için R halkasının sahip olması gereken özellikleri belirlemeye çalışmaktır.
  • Öge
    Banach Uzayları Ve Banach Örgüleri Üzerinde Tanımlı Operatör Aileleri İçin Değişmez Altuzay Teoremleri
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, ) Mısırlıoğlu, R. Tunç ; Korkmaz, Recep ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Bu çalışmada, Banach uzayları üzerinde tanımlı doğrusal sınırlı operatörlerin oluşturduğu bazı aileler ile Banach örgüleri üzerinde tanımlı pozitif operatörlerin oluşturduğu bazı aileler için değişmez altuzay problemi incelenmiştir. İlk olarak, ortomorfizmaları ayırma özelliğine sahip bir Banach örgüsü üzerinde tanımlı yerel yarınilpotent ve kompakt-yakın olan her sıfırdan farklı operatörün, aşikar olmayan kapalı değişmez bir ideale sahip olduğu gösterilmiştir. Ayrıca bu sonuç, kompakt-yakınlık kavramından faydalanalarak, “ortomorfizmaları ayırma özelliğine sahip bir Banach örgüsü üzerinde tanımlı pozitif operatörlerden oluşan her yerel sonlu yarınilpotent aile, bu ailenin komutantı bir kompakt pozitif operatör tarafından bastırılan bir operatöre göre baskın olan bir pozitif operatör içeriyorsa, aşikar olmayan ortak kapalı değişmez bir ideale sahiptir”, şeklinde genelleştirilmiştir. İkinci olarak, Schauder tabanına sahip bir Banach uzayı üzerinde tanımlı sürekli pozitif operatörlerden oluşan yerel sonlu yarınilpotent çarpımsal her yarıgrubun, aşikar olmayan kapalı değişmez bir altuzaya sahip olduğu gösterilmiştir. Daha sonra bu sonuç, zayıf yarınilpotentlik kavramı kullanılarak, Markushevich tabanına sahip topolojik vektör uzaylarına genişletilmiştir. Son olarak, Banach uzayları üzerinde tanımlı doğrusal sınırlı operatörlerden oluşan birlikte kompakt kümeler, değişmez altuzay problemi ile bağlantılı olarak ele alınmıştır. Birlikte kompakt kümeler için, ortak spektral yarıçap ve bunun yerel versiyonuna göre, bazı değişmez altuzay teoremleri verilmiştir. Ayrıca, birlikte kompakt kümelerin, özel bir durumda, Berger-Wang formülünü gerçeklediği gösterilmiştir.
  • Öge
    Bazı Deforme Osilatörlerle İlgili Cebirsel Yapılar
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, ) Dobie, Ayşe Peker ; Hızel, Emanullah ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Bu tezde q-deforme osilatör cebirleriyle ilgili üç temel sonuç elde edilmiştir. Bu sonuçlardan birincisi, SU_q (2) kuantum matris grubunun operatörlerini, bu operatörlerle ilgili Hilbert uzayını ve bu operatörlerin Hopf cebiri eşçarpımını kullanarak dört-nokta fonksiyonundaki katsayıları bulan ve Regge davranışlı, meromorfik saçılma genliğini inşa eden bir metodla ilgilidir. SU_q (2) kuantum matris grubunun Hopf cebiri eşçarpımı ile birlikte kuantum grubu özellikleri kullanılarak elde edilen dört-nokta fonksiyonunun iyi tanımlanmış, meromorfik ve Regge davranışlı olduğu gösterilmiştir. İkinci sonuç, Hopf cebiri eşçarpımı ve Fourier transform uzayı kullanılarak SU_q (2) kuantum matris grubu elemanları tarafından üretilen cebrin iki indirgenemez temsilinin tensör çarpımının ayrışmasını içerir. Fark denklemleri hem faz uzayında hemde Fourier transform uzayında elde edilmiştir. Son olarak, parçacık-antiparçacık değişimine karşılık gelen bir simetri operatörü U(d) grubu altında değişmezlik gösteren d-boyutlu fermiyonik Newton osilatörünün kullanımı ile inşa edilmiştir. Aynı zamanda d-boyutlu Newton osilatörü ile standart d-boyutlu fermiyonik osilatörün benzerliğinin daha da güçlendiği gösterilmiştir.
  • Öge
    Bazı İki Boyutlu Saçılma Problemlerinde Yüksek Mertebe Yüzey Üstü Radyasyon Koşulu Yöntemi
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 1998) Yılmaz, Bülent ; Teymür, Mevlüt ; 75082 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Yüzey üstü radyasyon koşulu yöntemi ilk defa elektromanyetik dalgaların iki boyutlu konveks cisimlerden saçılmaları ile ilgili problemlerin yaklaşık çö zümlerini inşaa etmek amacı ile ortaya atılmıştır. Daha sonra akustik ve elek tromanyetik dalgaların üç boyutlu konveks cisimlerden saçılmaları ile ilgili prob lemlerin yaklaşık çözümleri için geliştirilmiş ve yöntemin sonuçları bazı kanonik problemlerin kesin çözümleri ile ve başka yaklaşık çözüm yöntemleri ile elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Bu çalışmalarda yöntemde birinci ve ikinci mertebe radyasyon sınır koşullan kullanılmıştır. Daha sonra üç boyutlu akustik saçılma problemlerinde yöntemde mertebesi ikiden yüksek radyasyon sınır koşullarının kullanılmasının yaklaşım üzerindeki etkileri araştırılmış ve bu fikir iki kanonik problem üzerinde tartışılmıştır. Bu problemlerden biri, bir empedans küreden saçılma problemi, diğeri de akustik olarak geçirgen bir küreden saçılma problemidir. Kesin sonuçlarla, yaklaşımın sonuçları karşılaştırılmış ve yüzey üstü radyasyon koşulu yönteminde yüksek mertebe koşulların kullanılmasının, ikinci mertebe koşullar kullanılarak bulunan sonuçlara göre önemli bir iyileştirme yaptığı gözlemlenmiştir. Bu tezde iki boyutlu problemler için paralel bir çalışma yapılmıştır. Ele alınan kanonik problemler sınıfı daha geniş tutulmuş ve empedans dairesel silin dir ve akustik olarak geçirgen dairesel silindirden saçılma problemleri yanında, akustik olarak geçirgen aynı eksenli ve sonra da farklı eksenli iç içe iki dairesel silindirden oluşan cisimlerden saçılma problemleri de incelenmiştir. Yüzey üstü radyasyon koşulu yönteminde ikinci, üçüncü ve dördüncü mertebe radyasyon sınır koşulları kullanılarak bulunan sonuçlar ile kesin çözümler değişik durum larda karşılaştırılmıştır. Aynı zamanda ikinci ve dördüncü mertebe koşullar üretilerek bulunan çözümler arasında da bir karşılaştırma yapılmış ve yöntemde yüksek mertebe radyasyon sınır koşullarının kullanılmasının sonuçları önemli ölçüde iyileştirdiği gözlemlenmiştir. Çalışma dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde dış saçılma problemleri ve yüzey üstü radyasyon koşulu ile ilgili çalışmalar verilmiştir, ikinci bölümde konveks silindirden saçılma problemleri tanımlanmış ve bu problemler için integ ral gösterilimlerden ve uygulanan çeşitli çözüm yöntemlerinden bahsedilmiştir. Daha sonra radyasyon sınır koşullarım türetmek için geliştirilen yöntemler ve rilmiş ve iki boyutlu problemlere uygulanmak üzere ikinci, üçüncü ve dördüncü mertebe koşullar türetilmişlerdir. Çalışmanın takip eden kısımlarında, daha önce tanımlanan konveks silindirden saçılma ile ilgili problemlere yüzey üstü radyasyon koşulu yönteminin nasıl uygulanacağı'' genel olarak açıklanmıştır. Üçüncü bölümde ise önce kanonik problemlerin kesin çözümleri verilmiş, bun ları takiben de aynı problemlerin bu yöntemle yaklaşık çözümleri türetilmiştir. Daha sonra da çeşitli durumlar için, karşılaştırma yapmak amacı ile, saçıcı cis min yüzeyi üzerindeki alanla ve saçılan alanla ilgili grafikler çizilmiştir.
  • Öge
    Bazı Özel 1+1- Ve 2+1-boyutlu Evrim Tipi Denklemlerde İntegre Edilebilme Ve Simetriler
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2012-10-09) Özemir, Cihangir ; Güngör, Faruk ; 444749 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Evrim tipi denklemler, ısı yayılımı ve dalga hareketi gibi temel fiziksel olayların modelleri olarak ortaya çıkmaktadır. Isı denklemleri, nonlineer Schrödinger (NLS) tipi dalga denklemleri, Davey-Stewartson (DS) ve genelleştirilmiş Davey-Stewartson (GDS) sistemi, Korteweg-de Vries (KdV), Burgers ve Kadomtsev-Petviashvili (KP) denklemleri bu sınıf için en sık karşılaşılan denklemler olarak anılabilir. Bahsedilen denklemler, uygulamalı matematik ve matematiksel fizik alanındaki literatürün oldukça büyük bir kısmına konu olmaktadır. Sabit katsayılı denklemlerin değişken katsayılı genelleştirmeleri, türetildikleri modellerde homojen olmayan, konum ve/veya zamana göre değişim gösteren koşullar gözönüne alındığında elde edilir. Çoğunlukla bu genelleştirme sonucunda orijinal denklemin simetri cebiri ve integre edilebilirliği gibi özellikleri aynı kalmaz. Ancak değişken katsayılar belli koşulları sağladığında genelleştirilmiş denklem de Lax çifti, Painlevé özelliği gibi integre edilebilirlik özelliklerine sahip olabilir, simetri cebirinin tümünü veya alt cebirlerini taşıyabilir. Bu koşulları elde etmedeki seçeneklerden biri, değişken katsayılı denklemi sabit katsayılı denkleme dönüştüren nokta dönüşümlerinin bulunmasıdır. Painlevé özelliği, bir denklemin tüm çözümlerinin hareketli tekil noktalar civarında tek değerli olması, yani tüm çözümlerde en fazla kutup türünden tekillik bulunmasıdır. Painlevé özelliği integre edilebilirlik için gerek veya yeter koşul değildir. Ancak literatürde karşılaşılan integre edilebilir denklemlerin büyük bir kısmı aynı zamanda bu özelliğe de sahiptir. Bu özelliği kimi yazarlar, P-integre edilebilirlik olarak da adlandırmaktadır. Painlevé özelliğinin araştırılması bazı durumlarda bilgisayar yazılımları ile dahi yapılabilmektedir. Bu kolaylık nedeniyle Painlevé analizi, denklemlerin integre edilebilirlik ve çözüm analizinde iyi bir başlangıç noktası olmaktadır. İntegre edilebilir olmayan denklemler için Painlevé seri temsillerinin sonlu terimde kesilmesinin de tam çözüm elde etmede faydalı yöntemlerden biri olduğunu not etmek gerekir. Diferansiyel denklemin çözüm uzayını değişmez bırakan dönüşüm gruplarının elde edilmesi, analitik çözüm yöntemleri oldukça kısıtlı olan doğrusal olmayan denklemlerin analizinde en etkin sistematik araçlardan biridir. Lie grupları adını alan bu dönüşüm grupları ve ilişkili simetri cebirlerinin kullanılmasıyla bir kısmi diferansiyel denklemin değişken sayısının azaltılması ve yeterince zengin bir simetri cebiri varsa adi diferansiyel denklemlere indirgenerek tam çözümlerin bulunması mümkündür. Uygulama alanı fark denklemlerine değin uzanmaktadır. Görünüşte farklı olan iki denklemin simetri cebirleri, bir dönüşümle birbirine denk ise bu denklemler de aslında birbirine dönüştürülebilir. Bu açıdan Lie teorisi, diferansiyel denklemlerin sınıflandırılmasında bir araç olarak ortaya çıkar. Diferansiyel denklemlerin simetri grupları dikkate alınarak sınıflandırılması günümüze değin aktif olarak çalışılan bir konu olmuştur. Matematiksel açıdan, genel bir denklem sınıfına ait, belirli simetri cebirlerine sahip denklem ailelerinin belirlenerek ayırt edilmesi ilginç bir problemdir. Elde edilen cebirler, bu ailelerin temsilci denklemlerinin grup-değişmez çözümleri için de yol göstermektedir. Sonsuz boyutlu simetri cebirleri söz konusu olduğunda, elde edilen denklem ailelerinin integre edilebilirliği için de ışık tutabilmektedir. Fizikçiler için, bu faydalara ek olarak, uygulamada karşılaşılan denklemlerin genel sınıflarının cebirsel özellikleri dikkate alınarak yapılan sınıflandırma çalışmalarında ulaşılan, çok sayıda durumda problemin fiziksel doğasını yansıtan sonuçlar ilginç olmaktadır. Elde edilen denklem aileleri, belirli simetri özelliklerine sahip fiziksel olayları modellemede aday olmaktadır. Bu tez çalışmasında yukarıda belirtilen çerçevedeki analiz yöntemleriyle dört adet problem ele alınmıştır. İncelenen ilk problem, değişken katsayılı kübik nonlineer Schrödinger denklemi nin (NLSD) integre edilebilirliği üzerinedir. Değişken katsayılı NLSD ve türevli terimleri içeren genelleştirmeleri için Painlevé testine ilişkin sonuçlar elde edilmiştir. Değişken katsayılı NLSD için sabit katsayılı denkleme dönüşüm formülleri elde edilmiş, elde edilen sonuçların simetri cebirleriyle ilişkisi bir örnek üzerinde ele alınmıştır. Sunulan sonuçlar arasında bazı tam çözümler de bulunmaktadır. Literatürdeki sonuçlara göre, değişken katsayılı NLS denkleminin Lie simetri cebirlerinin maksimal boyutu beştir ve maksimal cebir, denklem sabit katsayılı denkleme dönüştürülebildiğinde gerçeklenmektedir. Bunun yanında, dört boyutlu simetri cebirlerine sahip NLS denklemleri, birbirine denk olmayan beş farklı sınıfa ait olabilir. İlk problemde elde edilen sonuçlara göre, değişken katsayılı NLSD, Painlevé testini geçtiği koşulda standart NLS denklemine dönüştürülebilir ve beş boyutlu bir simetri cebirine sahiptir. Bu, denklemin integre edilebilir durumu olarak adlandırılır. Eğer bir değişken katsayılı NLS denkleminin simetri cebirinin boyutu dört ise, sabit katsayılı denkleme dönüştürülemez. Dört boyutlu simetri cebirlerinin kanonik denklemleri için, bir boyutlu cebirlerin optimal sistemi kullanılarak adi diferansiyel denklemlere indirgeme yapılabilir. Bu şekilde mümkün tüm indirgemelerin elde edilmesi ve çözümlerinin analizi, ele alınan ikinci problemdir. Bunun yanında, kanonik kısmi diferansiyel denklemlerin Painlevé serilerinin ilk terimde kesilmesi yoluyla oldukça ilginç tam çözümler elde edilmiştir. Değişken katsayılı kübik-kuintik Schrödinger denklemi (KKSD), özellikle fiber optik uygulamalarında model olarak kullanılan bir denklemdir. Simetri cebirinin maksimal boyutunun belirlenmesi ve denklem ailesinin sahip olabileceği sonlu boyutlu simetri cebirlerinin kanonik sınıflarının bulunması literatürde mevcut kübik durum ile paralellik göstermektedir. Analiz sonuçlarına göre kübik-kuintik denklem için maksimal simetri cebiri dört boyutlu, kübik durumda beş boyutlu, kuintik durumda ise altı boyutludur. Burada elde edilen sonuçlar, ikinci problemdeki analize benzer şekilde, dört boyutlu simetri cebirlerine sahip kübik-kuintik denklemler için grup-değişmez çözümlerin araştırılması imkanını verir. Son olarak ele alınan problem, değişken katsayılı KP-Burgers denkleminin sonsuz boyutlu Lie simetri cebirlerine sahip sınıflarının belirlenmesidir. Literatürde integre edilebilirliği bilinen $2+1$-boyutlu denklemler için Kac-Moody-Virasoro tipinde simetri cebirine sahip olmak tipik bir özelliktir. Ele alınan denklem ailesi için, Virasoro ve Kac-Moody tipinde simetri cebirlerinin denklemin değişmezlik cebiri olarak gerçeklenebildiği gösterilmiş, bulunan kanonik denklem aileleri için Painlevé özelliği, tam çözüm ve indirgenmiş denklemler üzerinde durulmuştur. İntegre edilebilirlik ve simetri araçlarını kullanarak, değişken katsayılı evrim tipi denklemlerden iki farklı sınıf dalga yayılımı denklemi üzerine literatürde mevcut sonuçlara katkıda bulunduğumuzu düşünmekteyiz.
  • Öge
    Bazı Özel Manifoldlar Üzerinde Vektör Alanları
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2016-06-20) Kırık, Bahar ; Zengin, Füsun Özen ; 10107698 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Bu çalışmanın amacı, geometrik ve fiziksel açıdan önem taşıyan bazı manifoldlar üzerinde tanımlanabilen vektör alanlarını incelemek ve özelliklerini araştırmaktır. Çalışmanın birinci bölümünde, çalışmada göz önüne alınacak olan bazı manifoldlar ve özel vektör alanlarından bahsedilmiştir. Bu amaçla, ilk olarak, özel manifoldlar ile ilgili literatür taraması verilmiştir. Ayrıca, bu manifoldların ve vektör alanlarının, başta geometri ve fizik olmak üzere, diğer birçok bilim ve mühendislik dalındaki uygulama alanları vurgulanmıştır. Çalışmanın ikinci bölümünde, çalışmada kullanılacak olan bazı temel kavramlardan bahsedilmiştir. Daha sonra, ele alınan manifoldlar üzerinde incelenecek olan özel vektör alanlarının tanımlarına yer verilmiştir. Çalışmanın üçüncü bölümünde, genelleştirilmiş Einstein manifoldlarının çeşitleri incelenmiştir. İlk olarak, fiziksel açıdan önem taşıyan yarı-Einstein manifoldları üzerindeki özel vektör alanlarını inceleme problemi ele alınmıştır. Bununla birlikte, 4-boyutlu yarı-Einstein manifoldu örneği verilmiştir. Ayrıca, yarı-Einstein manifoldlarının konformal dönüşümleri araştırılmıştır. Bu konformal dönüşüm altında, $\varphi(\rm Ric)$ ve konsörkılır vektör alanlarının birtakım özellikleri elde edilmiş ve konformal dönüşümün aynı zamanda konharmonik olması halinde yarı-Einstein manifoldunun ilişkili büyüklükleri arasındaki bağıntılar bulunmuştur. Daha sonra, bu bölümde, neredeyse yarı-Einstein manifoldları göz önüne alınmıştır. Neredeyse yarı-Einstein manifoldlarının çeşitli geometrik özellikleri incelenmiştir. Bu manifoldun üreteçlerinin özel vektör alanları olabilme şartları araştırılmış ve bu manifoldlarla ilgili çeşitli teoremler ispatlanmıştır. Bunlara ek olarak, özel vektör alanları içeren neredeyse yarı-Einstein manifoldlarının konformal dönüşümleri göz önüne alınmıştır. Konformal ve konharmonik dönüşüm altında, konsörkılır ve $\varphi(\rm Ric)$ vektör alanları üzerine çeşitli sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca, bu manifoldun 4-boyutlu uzaylardaki örnekleri verilmiş ve neredeyse yarı-Einstein uzay-zamanı incelenmiştir. Bu bölümde son olarak, genelleştirilmiş yarı-Einstein manifoldları üzerindeki özel vektör alanlarını inceleme problemi ele alınmıştır. Bu manifoldlar üzerinde tors oluşturan vektör alanları ve $\varphi(\rm Ric)$ vektör alanları incelenmiştir. Manifoldun üreteç vektör alanlarının, söz konusu özel vektör alanları olup olmaması durumu araştırılmıştır. Bununla birlikte, Ricci tensörü için göz önüne alınan bazı özel koşullar altında, manifold üzerinde tanımlanan özel vektör alanlarının özellikleri incelenmiştir. Çalışmanın dördüncü bölümünde, pseudo Ricci simetrik ve hemen hemen pseudo Ricci simetrik manifoldlar göz önüne alınmıştır. Pseudo Ricci simetrik ve hemen hemen pseudo Ricci simetrik genelleştirilmiş yarı-Einstein manifoldların özellikleri araştırılmıştır. Pseudo Ricci simetrik manifoldlara ait bazı sonuçlardan faydalanılarak, genelleştirilmiş yarı-Einstein manifoldunun ilişkili skalerlerinin sağlaması gereken bazı şartlar elde edilmiştir. Daha sonra, genelleştirilmiş yarı-Einstein manifoldunun aynı zamanda pseudo Ricci simetrik olması durumunda, üreteç vektör alanları incelenmiş ve bu vektör alanları ile ilgili olarak çeşitli teoremler ispatlanmıştır. Çalışmanın beşinci ve son bölümünde ise, $(+,+,-,-)$, $(+,+,+,-)$ ve $(+,+,+,+)$ metrik işaretlerine sahip 4-boyutlu manifoldlar göz önüne alınmıştır. Bu manifoldlar üzerinde ikinci mertebeden simetrik ve reküran olan tensör alanları incelenmiştir. Genel yaklaşım, ikinci mertebeden simetrik tensörlerin söz konusu metrik işarete göre sınıflandırılmasına dayanmaktadır. Bu problemde ilk olarak, ikinci mertebeden simetrik ve paralel olan tensör alanları araştırılmıştır. Bu tensör alanları, ilk olarak, 4-boyutlu, nötr işaretli manifoldlar olarak isimlendirilecek olan, $(+,+,-,-)$ metrik işaretli manifoldlar için Segre tiplerine göre belirlenmiştir. Daha sonra, aynı metrik işarete göre, ikinci mertebeden simetrik reküran özelliğine sahip tensör alanları araştırılmıştır. Bu incelemeler, metriğin dolanım grubu göz önüne alınarak yapılmıştır. Daha sonra, ikinci mertebeden simetrik tensör alanları için, ilk problemde elde edilen sonuçlar özel olarak Ricci tensörüne uygulanmıştır. Ricci tensörünün paralel olması ve reküran olması problemi ele alınmıştır. Metrik işareti $(+,+,-,-)$ olan 4-boyutlu manifoldlar için Ricci tensörünün mümkün olabileceği bütün Segre tipleri ve dolanım tipleri elde edilmiştir. Ayrıca, bu uygulama sayesinde, bu manifoldun Einstein manifoldu olması durumu da incelenmiştir. Son olarak, $(+,+,-,-)$ metriği için ele alınan problemler, sırasıyla, Lorentz ve pozitif tanımlı metrik işaret olarak nitelendirilen, $(+,+,+,-)$ ve $(+,+,+,+)$ işaretli metriğe sahip manifoldlarda da araştırılmıştır. Benzer şekilde, dolanım teorisi göz önüne alınarak elde edilen sonuçlar Ricci tensörüne uygulanmıştır.
  • Öge
    Behavioral Classification Of Stochastic Differential Equations In Mathematical Finance
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2015) İzgi, Burhaneddin ; Duran, Ahmet ; 419035 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Stokastik diferansiyel denklemlerden Heston stokastik volatilite, Merton-Black Scholes ve Merton sıçramalı difüzyon modellerinin çözümlerinin davranışları üzerine çalışılmıştır. Literatürde oldukça çok kullanılan Heston modeli 1993 yılında; Cox, Ingersoll ve Ross (CIR) tarafından faiz oranları için 1985 yılında yapılan CIR modelinden türetilmiştir. Her iki modelin uygulamalarında da sırasıyla varyans ve faiz oranlarının pozitifliligi için Feller'in 1951 yılında yayınlanan makalesinde ortaya koyduğu Feller koşulunun dikkate alınması gerekmektedir. Bir diğer model olan Merton-Black Scholes modeli ise Robert C. Merton tarafından 1960'ların sonu ve 1970'lerin başlarında geliştirilmiştir. İlk olarak ise Fisher Black ve Myron Scholes tarafından 1973 yılında yayınlanan makalelerinde kullanılmıştır. Bu model sayesinde 1997 yılında Ekonomi dalında Nobel ödülüne layık görülmüşlerdir. Ortaya konan difüzyon modeli her ne kadar yol gösterici olması açısından kullanışlı olsa da, literatürdeki uygulama sonuçlarından da görülebileceği gibi piyasalardaki ani fiyat değişimlerini yansıtmakta yeterli değildi. Bu yüzden Merton 1976 yılında Merton-Black Scholes modelini geliştirerek hisse senedi fiyatlarındaki sıçrama durumlarını da yansıtan Merton sıçramalı difüzyon modelini elde etmiştir. Bu modellerin bazı parametrelerinin çözümlere olan etkileri ele alınan yöntemler yardımıyla ayrıntılı olarak incelenmiştir. Simülasyon uygulamalarından değişik volatilite durumlarında, simülasyon yöntemlerinin birikimli hatalarından kaynaklanan etkilerinin olup olmadığını araştırmak için Heston stokastik volatilite modeli Euler-Maruyama, Milstein ve Stokastik Runge-Kutta metodalarıyla analiz edilmiştir. Hisse senedi piyasalarının değişik koşulları için Borsa Istanbul - 100 (BIST - 100) endeksinin dataları kullanılarak simülasyonlar yapılmıştır. Yapılan simülasyonlardan elde edilen sonuçlar gerçek datalarla karşılaştırılarak analiz edilmiştir. Heston stokastik volatilite modelinin uygulamasında başlangıç ve uzun vadeli volatiliteleri elde etmek için üst üste gelme durumlarındaki ekstremum değerler yöntemi kullanılmıştır. Ekstremum değerler yöntemiyle yaklaşık olarak elde edilen günlük volatiliteler de kullanılarak modelin avantajları ve limitleri araştırılmıştır. Ayrıca, matris normlarının genellemeleri olarak 3-boyutlu matrisler için norm tanımlamaları ve ilgili lemmaların da ispatları, Duran ve İzgi 2015, uygun nümerik lineer cebir ve analiz argümanları kullanılarak yapılmıştır. Daha sonra, 2-boyutlu ve 3-boyutlu hareketli matris tanımlamaları yapılmış olup, tanımlanan 3-boyutlu matris normlarının uygulaması olarak da piyasanın izlenim matris normu, hareketli matrisler üzerinde tanımlanmıştır, Duran ve İzgi, 2015. Bu normların gerek simülasyon gerekse gerçek datalarla yapılan uygulamaları ayrıntılı ve karşılaştırmalı olarak ele alınmıştır. Yapılan analizler ve incelemeler ışığı altında izlenim matris normunun kullanışlılığı da ortaya konulmuştur. Birçok disiplin dallarında ekstremum durumları anlamak ve olasılıklarının tahmininde bulunmak için ekstremum değer teorisi oldukça önemli rol üstlenmektedir. Finans, ekonomi, yer bilimi ve hidroloji gibi alanlar da bu teorinin uygulama alanlarından bazılarıdır. Finansal anlamda, ekstremum durumlar kayıp veya kazançların oldukça yüksek olabileceği durumlar olmasından dolayı, dikkate alınması ve incelenmesi gereken önemli noktalardan biridir. Bu yüzden Heston, Merton-Black Scholes ve Merton sıçramalı difüzyon modellerinin bazı parametrelerinin simülasyon sonuçlarındaki ekstremum durumlarına olan etkilerini incelemek için, uç nokta ve kalın kuyruk analizleri standartlaştırılmış ilk dört moment değerleri ve ekstremum değer teorisi araçlarından quantile quantile, ortalamayı aşan (mean excess) ve tepe (hill) grafikleri yardımıyla yapılmıştır. Bu metodlar kullanılarak BIST-100 endeksi için de uç nokta ve kalın kuyruk analizleri örneklendirilmiştir. Böylece gerçek dataların ekstremum durumlarındaki davranışları ile gerçek datalar kullanılarak elde edilen simülasyon sonuçlarındaki ekstremum durumlar karşılaştırılmıştır. Finans piyasaları dinamik olduğundan birden çok parametrenin birbirlerine göre etkilerini ve davranışlarını incelemek oldukça önemlidir. Bu yüzden modelleme ve simülasyonlar yapılırken ele alınan model parametrelerinin dinamiklerini kontrol altında tutmak zor ve gerekli işlemlerdendir. Bu sebepten ötürü Heston stokastik volatilite modeli ile yapılan simülasyonlarda; logaritmik hisse senedi getirisi, faiz oranı ve ortalamaya dönüş hızı dinamikleri 3-boyutlu olarak araştırılmıştır. Bu dinamiklerin birbirlerine olan etkileri 3-boyutlu grafikler yardımıyla da değişik market senaryoları için kapsamlı bir şekilde ayrı ayrı olarak ortaya konulmuştur. Ayrıca, dinamiklerdeki eş hareketlilik ve eş hareketlilikten zıt hareketliliğe geçişin ekstremum durumlarda önemli olduğuna inanılmaktadır. Bu yüzden, faiz oranı ve günlük BIST-100 endeks dinamiklerinin davranışlarını daha iyi anlamak için eş ve zıt hareketleri incelenmiştir. Heston modeli logaritmik hisse senedi getirisinin, faiz oranlarının artışına paralel olarak artacağını öngörmektedir. Aslında, Heston modelinin aksine yeterince geniş bir zaman aralığında faiz oranlarının düşerken gerek Amerikan hisse senedi piyasasının gerekse Borsa Istanbul endekslerinin arttığı gözlemlenmiştir. Bunun yanı sıra, gerçek piyasalarda karşımıza çıkan sıçrama durumlarını anlamak ve kontrol altında tutmak da yatırım stratejisi ve risk kontrolü için oldukça önemli ve gereklidir. Bu yüzden, Merton-Black Scholes modeli ile Merton sıçramalı difüzyon modelinin çözüm davranışları analiz edilerek, elde edilen sonuçlar karşılaştırılmıştır. Özellikle, simülasyonlardan elde edilen logaritmik hisse senedi fiyat dağılımları incelenmiş olup, ilgili dağılımlar izlenim matris normu ve ekstremum değer teorisi kullanılarak analiz edilmiştir. Model parametrelerinin, sıçramalı stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözüm yöntemlerinden olan sıçrama uyumlu (jump-adapted) metodla elde edilen logaritmik hisse senedi fiyat dağılımına ve modellerin çözüm davranışlarına olan etkisi gösterilmiştir. İlgili analizler dahilinde Merton sıçramalı difüzyon modelinin Merton-Black Scholes modeline göre fiyatlardaki ekstremum durumlarını daha iyi yansıttığı gözlemlenmiştir. Merton sıçramalı difüzyon modelinin bu önemli özelliği dikkate alındığı takdirde yatırım stratejisi belirlenme aşamasında önemli olacağı kanaatine varılmıştır. Son olarak, Merton-Black Scholes modeli ile Merton sıçramalı difüzyon modelinin fiyat salınımları, sıçrama parametrelerinin etkilerini de yansıtan izlenim matris norm kullanılarak açık bir şekilde gösterilmiştir. İzlenim matris normunun simülasyon veya gerçek datalarla yapılan analizlerde sıçramaların varlığının belirlenmesinde alternatif bir araç olarak kullanılabileceği sonucu elde edilmiştir. Ayrıca izlenim matris normunun, sıçrama potansiyelinin olduğu tam olmayan marketlerdeki gerçek hisse senedi piyasalarında da hisse senedi fiyat salınımlarını ve davranışlarını anlamak için kullanışlı olacağı sonucuna varılmıştır.
  • Öge
    Bulanık Tekil Sistemlerin Kararlığı Ve Ekonomik Uygulamaları
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2010-03-02) Şahin, Uğur ; Başer, Ulviye ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Bu tez çalışmasında gecikmesi zamanla değişen tekil bir sitemin ve yine gecikmesi zamanla değişen Takagi-Sugeno (T-S) tipi bulanık tekil bir modelle temsil edilebilen bir sistemin kararlılık ve kararlılaştırma koşulları tekil sistmeler için uygun olan bir Lyapunov Krasovskii fonksiyoneli tanımlanarak gecikmeye bağlı olarak yapılan çalışmalardan daha yüksek bir gecikme sınırı elde edecek şekilde geliştirilmiştir. Bulanık tekil sistemin kararlılaştırması için paralel dağıtılmış dengeleyici (PDD) yöntemi kullanılarak durum geribeslemeli denetim kuralı tanımlanmıştr. Yine sistem kontrol parametreli belirsizlik içermesi durumunda gürbüz kararlılık ve gürbüz kararlılaştırma koşulları hem tekil sistemler hemde bulanık tekil sistemler için ortaya konmuştur. Yapılan çalışmada bütün sonuçlar gecikmeye bağlı olarak elde edilmiş olup herhangi bir model dönüşümü ve sınırlandırma tekniği kullanılmamıştır. Bu tür teknikler kararlılık analizini kötü yönde etkileyen durumlar oluşturduğu için tercih edilmemiştir. Sistem performansı garantili maliyet hesabı yöntemiyle ölçülerek kararlılık analizleri Takagi-Sugeno tarzı bulanık tekil sistem için gecikmeye bağlı olarak ortaya konmuştur. Ortaya konulan bütün sonuçlar Lyapunov-Krasovskii Teoremi ile gecikmeye bağlı olarak Lineer Matris Eşitsizlikleri ile ifade edilmiştir. Sisteme ait kararlılık çözümleri LME araç kutusu bulunan Matlab gibi programlarda kolaylıkla bulunabilir. Her bölümde elde edilen teorik sonuçlar örneklendirilerek yapılan çalışmalarla karşılaştırmalı olarak sunulmuştur.
  • Öge
    Davey Stewartson Sisteminde Temel Kafes Solitonları
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2016-03-21) Bağcı, Mahmut ; Antar, Nalan ; 10105290 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Eğrisel (nonlinear) dalga denklemlerinin çözümleri, optik, akışkanlar dinamiği veya plazma fiziği gibi alanlarda geniş olarak yer tutan önemli bir konudur. Fizik ve matematikte çeşitli yönetici denklemler (modeller) kullanılarak dalga çözümleri elde edilebilir. Elde edilen çözümlerin yapısı ve kararlılığı kullanılan fiziksel modele ve bu model için kullanılan parametrelere göre değişir. Bu çözümler kararlı lokalize dalgalar (soliton) veya sönümlü dalgalar olabilir.  Sayısal yöntemlerden faydalanarak birçok dalga denkleminin soliton çözümlerinin varlığı gösterilmiştir. Bu dalga denklemlerine örnek olarak Korteweg-de Vries (KdV) denklemi, eğrisel Schrödinger (NLS) denklemi veya bu çalışmada da model olarak kullanılan NLS denklemine kuadratik katkıları içeren (NLS with mean term) NLSM sistemi gösterilebilir. NLSM sistemi, Davey-Stewartson ve Benney-Roskes tipi sistem olarak da bilinmektedir. Çözüm elde edilmek istenen ortam (malzeme) simetri merkezli (centro-symmetric) ise üçüncü dereceden (kübik) NLS denklemi yönetici denklem olarak kullanılabilir. Simetri merkezli olmayan ortamda çözüm elde edebilmek için NLS denklemine ikinci dereceden (kuadratik) katkılar eklenmelidir. Kübik NLS denklemine kuadratik katkılar eklendiğinde aşağıda verilen NLSM sistemi elde edilmektedir.  \begin{equation}  \label{} \begin{split}  iu_z  +\sigma\Delta u + \left| u \right|^2 u-\rho\phi u = 0, \\ \phi_{xx}+\nu\phi_{yy}=(\left| u \right|^2)_{xx}. \end{split}  \end{equation}  Burada $u$  birinci harmoniğin genliğe katkısını,  $\phi$ kuadratik etkileri göstermektedir.  $ \rho $ bağlantı katsayısını, $\nu$  kullanılan malzemenin (ortamın) yönlere bağımlılığını (anizotropisini) yansıtan sabiti göstermektedir. $ \rho0$ durumunda elektromanyetik dalgalar elde edilir. $\rho=0$ durumunda sistem NLS denklemine indirgenir. Yönetici denklemlere doyurulabilir doğrusal olmayan terim veya dış potansiyel (latis veya kafes) ekleyerek  kararlı çözümler elde etmek, literatürde bilinen bir yöntemdir. Son yıllarda, düzenli (kristal veya yarı kristal) potansiyeller kullanılarak elde edilen temel dipol ve çoklu (vorteks) solitonlarla ilgili çok sayıda çalışma yayınlanmıştır. Ayrıca karmaşık (kompleks) değerli (Parity Time Symmetric) potansiyellerin varlığında dalga çözümlerine önem verilmektedir. Kompleks değerli potansiyeller parite zaman ($\mathcal{PT}$) simetrik olarak tanımlanmaktadır. NLSM sistemi için bir dış potansiyelin (kafesin) varlığında çözümlerin incelendiği herhangi bir çalışma bulunmamaktadır. Bu çalışmada, NLS denklemi ve NLSM sisteminin sayısal çözümleri çeşitli dış potansiyeller kullanılarak hesaplanmaktadır.  Kullanılan fiziksel sistemin yönetici modeli, bir dış potansiyel içeren NLSM Sistemi, \begin{equation} \label{} \begin{split}  iu_z  + \frac{1}{2}\Delta u + \left| u \right|^2 u-\rho\phi u-V(x,y)u = 0, \\ \phi_{xx}+\nu\phi_{yy}=(\left| u \right|^2)_{xx}.     \end{split}  \end{equation}  ile verilir. Burada $V(x,y)$  potansiyeli göstermektedir. Potansiyelleri elde etmek için kullanılan genel form \begin{equation}  \label{}  V(x,y)=\frac{{V_0 }}{{N^2 }}\left| {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {e^{i(k^n_xx+k^n_yy)} } } \right|^2  \end{equation} şeklindedir. Potansiyel derinliği $V_0$ sabiti ile belirlenmektedir. Dalga vektörü $(k^n_x,\, k^n_y)=[K cos(2\pi n/N),\,K sin(2\pi n/N)]$ ile tanımlanır. $N=2,3,4,6$ durumları periyodik potansiyelleri, $N=5,7$ durumları yarı kristal potansiyelleri elde etmek için kullanılır.  Çalışmanın ilk bölümünde NLS denklemi ve NLSM sistemleri asimptotik yöntemler kullanılarak elde edilmiştir.  Bu kısım, tezin sonraki bölümlerinde sayısal olarak elde edilen çözümlerin fiziksel karşılıklarını anlamamıza yardımcı olmuştur. Denklemler elde edildikten sonra soliton çözüm elde etmek için Ablowitz ve Musslimani'nin ortaya koyduğu Spektral Renormalizasyon (SR) yöntemi NLSM sistemine uyarlanmıştır. SR yönteminde, NLSM sistemi Fourier uzayında ele alınıp, $u(x,y,z) = f(x,y)e^{ - i\mu z}$ çözüm önerisi ile doğrusal olmayan terime göre bir yakınsama faktörü belirlenir. Bu çalışmada yakınsama koşulu $10^{-8}$ olarak alınmıştır. SR yöntemiyle soliton çözüm elde etmek için kullanılan Gaussian başlangıç koşulu aşağıdaki şekildedir. \begin{equation} \label{} w_0(x,y) = \sum\limits_{n = 0}^{M-1} {e^{ - A[(x + x_n )^2  + (y + y_n )^2 ] + i\theta _n } } \end{equation} Burada $x_n$, $y_n$ solitonların yerini, $\theta_n$ faz farkını, $M$ soliton sayısını (temel, dipol, çoklu) belirlemek için kullanılır. $A$ değeri, solitonu belirlenen yere odaklamak ve yakınsaklığı sağlamak için kullanılır. SR algoritması çalışmanın her aşamasında soliton çözüm elde ederken kullanılmaktadır. Elde edilen soliton çözümlerin doğrusal ve eğrisel kararlılık analizleri için kullanılan sayısal yöntemler ayrıca açıklanmıştır. Kararlılık analizi yapılmadan önce soliton gücü ($P$) ile kararlılığı arasındaki ilişkiyi ortaya koyan Vakhitov-Kolokolov (VK) kararlılık kriterleri açıklanmıştır. Güç ($P$) – özdeğer ($\mu$) analizi yapıldıktan sonra NLSM sisteminin ana denklemindeki mekansal türevler ($u_{xx}$ ve $u_{yy}$) sonlu farklar yöntemiyle doğrudan çözülüp solitonlar $z$ ekseni boyunca dördüncü dereceden Runge-Kutta yöntemiyle ilerletilerek solitonların eğrisel kararlılığının sayısal analizi yapılmıştır. Eğrisel kararlılık analizi yapılırken SR yöntemi ile elde edilen temel solitonun genliğine ve fazına $\%1$ gürültü (noise) eklenmiştir. Doğrusal kararlılık analizi için SR yöntemiyle elde edilen temel soliton pertürbe edilip çözüm etrafında doğrusallaştırılmıştır. Kullanılacak sayısal yöntemler açıklandıktan sonra ilk olarak NLSM sistemi için periyodik potansiyelin olduğu veya olmadığı durumlarda soliton çözüm elde edilebileceği gösterilmiştir. NLSM sisteminde yer alan parametrelerin ($\rho$, $\nu$) çeşitli değerleri için bant yapısı ve güç analizleri karşılaştırmalı olarak ortaya konmuştur.  SR yöntemi kullanılarak elde edilen bu temel solitonların doğrusal ve eğrisel kararlılık analizleri yapılmıştır. Potansiyelin olduğu ve olmadığı durumlarda temel solitonların doğrusal olarak kararsız oldukları belirlenmiştir. Sonrasında, potansiyelin olmadığı durumda elde edilen kararsız solitonların periyodik potansiyelin varlığında eğrisel kararlılığa sahip olabilecekleri ortaya konmuştur.  Ayrıca NLSM sisteminde elde edilen solitonların şekli (mod profili) ile kararlılığı arasındaki bağlantı gözlenmiştir. Potansiyelin var olduğu durumda kararsız olan solitonların daha derin potansiyel içindeki davranışları incelenmiş ve derin potansiyelin kararsız solitonları kararlı hale getirebileceği (veya çökmeyi geciktirebileceği) saptanmıştır. Bu bölümün sonunda NLSM sisteminde ikili (dipol) solitonlar elde edilmiş ve kararlılıkları incelenmiştir.  Sonraki bölümde, periyodik ve periyodik olmayan (düzensizlik içeren) potansiyellerin varlığında NLS denkleminin ikili (dipol) ve çoklu (vorteks) soliton çözümleri incelenmiştir. Boşluk düzensizliği (vacancy defect) içeren potansiyel ile sınır düzensizliği (edge dislocation) içeren potansiyel ayrı ayrı ele alınmıştır. Bu potansiyellerin maksimumlarına ve minimumlarına odaklanan ikili ve çoklu solitonlar elde edilmiştir. Maksimuma odaklanan tüm solitonların kararsız oldukları görülürken, minimuma odaklanan solitonların  belirli koşullar altında eğrisel kararlılığa sahip olabilecekleri ortaya konmuştur.  Elde edilen solitonların güç analizlerinden yola çıkarak kararlılık analizi sonuçlarının VK kararlılık kriterleri ile uyum içinde olduğu tespit edilmiştir. Sınır düzensizliği içeren potansiyelin daha güçlü bir düzensizlik yarattığı ve bu potansiyel için kararlı soliton elde etmenin boşluk düzensizliğine göre daha zor olduğu gözlenmiştir.  NLS denklemi için düzensiz potansiyellerin varlığında eğrisel olarak kararlı çözümler elde edildikten sonra NLSM sistemi için boşluk düzensizliği içeren potansiyelin varlığında temel, ikili ve çoklu solitonların elde edilebileceği ve bu soliton yapılarının belirli koşullar altında eğrisel kararlılığa sahip olabilecekleri gösterilmiştir. Bu analizlerden yola çıkılarak, boşluk düzensizlği içeren potansiyelin varlığında, NLS denklemi ve NLSM sisteminin bant yapıları ve soliton güçleri karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma sonucunda, ele alınan modellerin bant yapıları benzer olsa da soliton güçleri arasında önemli farklar olduğu görülmüştür. Çalışmanın son bölümünde karmaşık (kompleks) değerli ($\mathcal{PT}$-simetrik) potansiyellerin varlığında NLS denkleminin soliton çözümleri incelenmiştir. Burada periyodik $\mathcal{PT}$-simetrik potansiyel ile boşluk düzensizliği içeren $\mathcal{PT}$-simetrik potansiyelin varlığında temel solitonlar elde edilmiştir. Bu solitonların doğrusal kararlılıklarını test etmek için doğrusal tayfları (spektrumları) incelenmiştir. Eğrisel kararlılık analizleri iki durum için karşılaştırmalı olarak yapılmış ve her bir durum için solitonların kararsız oldukları görülmüştür. Karşılaştırma sonucunda boşluk düzensizliğinin olduğu durumda elde edilen solitonların ilerleme mesafelerinin periyodik potansiyel solitonlarına göre daha uzun olduğu (daha geç çöktükleri) tespit edilmiştir. Ayrıca potansiyel içindeki sanal kısmın derinliği arttıkça elde edilen solitonların ilerleme mesafelerin kısaldığı (daha hızlı çöktükleri veya patladıkları) saptanmıştır.     Tezin sonuç bölümünde, NLS denklemi ve NLSM sistemi için elde edilen sonuçlar özetlenmiş ve sonraki çalışmalar için öneriler ortaya konmuştur.
  • Öge
    Diferansiyel Operatörlerin Düzenli İzleri Ve Spektral Özellikleri
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2015-09-11) Şen, Erdoğan ; Oruçoğlu, Kamil ; 10087537 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Matematiksel fiziğin bazı problemlerinde zaman değişkenine göre kısmi türev sadece diferansiyel denklemde değil aynı zamanda sınır koşularında da ortaya çıkmaktadır. Böyle problemlere uygun olan sınır-değer problemlerinde özdeğer parametresi sadece diferansiyel denklemde değil aynı zamanda sınır koşullarında da bulunmaktadır. Süreksiz sınır-değer problemleri ise farklı fiziksel ve mekanik özellikleri bulunan cisimler arasındaki ısı ve madde iletimi veya başka geçiş süreçlerinde ortaya çıkmaktadır. Literatürde süreksiz Sturm-Liouville problemleri hakkında çalışmalar mevcuttur, ama süreksizlik noktası sayısı birden fazla olduğunda özdeğer ve özfonksiyonların asimtotik davranışlarının ve bazı spektral özelliklerinin nasıl değiştiği bu tezde incelenen konular arasındadır. Yine literatürde diferansiyel ifadede süreksiz operatör içeren Sturm-Liouville operatörlerinin düzenli izleri birkaç çalışma dışında araştırılmamıştır. Bu tezde daha genel ve farklı sınır koşullarına sahip süreksiz operatör katsayılı bir diferansiyel operatör için düzenli iz formülü elde edilmiştir. Bu tezin esas kısmı 5 bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde tezde incelenen problemler tanıtılmış, bunların uygulama alanlarından bahsedilmiş, teorik önemi belirtilmiş ve bunlarla ilgili olarak yapılan çalışmalar hakkında literatür özeti verilmiştir. İkinci bölümde ise  aralığında tanımlı; iki noktada süreksizliğe sahip    ağırlık fonksiyonuna sahip   diferansiyel operatörü ve          şeklinde sınır koşullarının birinde özdeğer parametresinin yer aldığı         geçiş (iletim) koşullarına sahip sınır-değer probleminin özdeğerleri ve özfonksiyonları için asimtotik formül bulunmuştur.   ve   olarak alındığında problem sürekli bir sınır-değer problemine dönüşür ve elde edilen sonuçlar [C. T. Fulton, Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 77 (1977) 293-308] çalışmasında elde edilen sonuçlarla çakışır. Sürekisizlik noktalarının sayısını tek bir nokta olarak almamız durumunda ise sonuçlar [O. Sh. Mukhtarov and M. Kadakal, Some spectral properties of one Sturm-Liouville type problem with discontinuous weight, Siberian Mathematical Journal, 46 (2005) 681-694] çalışmasındaki sonuçlarla çakışır. Yani elde edilen sonuçlar literatürdeki sonuçların bir genelleştirilmesidir. Üçüncü bölümde ise sınır koşulunda özdeğer parametresi olan tanım aralığında sonlu sayıda süreksiz noktaya sahip olan sınır-değer problemi; yani   aralığında tanımlı    diferansiyel operatörü;                     sınır koşulları ve           geçiş koşulları ile oluşturulan sınır-değer problemi uygun bir Hilbert uzayı ve bu uzayda kendine eş bir lineer operatör tanımlanarak problem operatör denklem olarak ifade edilmiştir. Kökleri (sıfırları) sınır-değer probleminin özdeğerleri olacak şekilde bir polinom bulunmuş ve özdeğerlerin katlılığı incelenmiştir. Daha sonra özdeğer ve özfonksiyonlar için asimtotik formüller bulunmuş, spektrumunun sadece özdeğerlerden ibaret olduğu ispatlanmış, resolvent operatörü incelenmiş, özfonksiyonlar cinsinden seri açılımı elde edilmiş ve özfonksiyonların tamlığı incelenmiştir.   sonsuz boyutlu ayrılabilir bir Hilbert uzayı olmak üzere   uzayında                                                                                                             diferansiyel ifadeleri ve aynı    sınır koşulları ile oluşturulan operatörler sırasıyla   ve   olsun. Burada  ,    olmak üzere   dan   ye    koşullarını sağlayan bir operatördür ve  , operator fonksiyonu   aralığında tanımlıdır ve aşağıdaki koşulları sağlar: a.) Her   için   ikinci mertebeden zayıf türeve sahiptir.   zayıf ölçülebilirdir ve her   için   kendine eş nükleer operatörlerdir. b.) fonksiyonları    aralığında sınırlı ve ölçülebilirdir. Burada     dan   a nükleer operatörler uzayını göstermektedir. c.) Her   için   dır.   operatörünün özdeğerleri   ve   operatörlerinin özdeğerleri   olsun. Dördüncü bölümde   ve   operatörlerinin saf ayrık spektruma sahip olduğu gösterilmiş, resolvent operatörleri için bazı eşitlikler elde edilmiş ve   operatörünün düzenli izi için   şeklinde bir formül bulunmuştur. Eğer diferansiyel ifadedeki sınırsız katsayılı operatörü yani   operatörünü özdeş olarak sıfıra eşit alırsak elde edilen sonuçlar [K. Koklu, I. Albayrak, A. Bayramov, A regularized trace formula for second order differential operator equations, Mathematica Scandinavica, 107 (2010) 123-138] çalışmasındaki sonuçlar ile çakışır. Beşinci bölümde ise [-1,1] aralığının   ve   gibi iki iç noktasında süreksiz olan, katsayıları sonlu   diferansiyel denkleminden,  ,                                                    sınır koşullarından ve x= , x=  süreksizlik noktalarındaki          geçiş koşullarından oluşan bir Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarının tamlığı incelenmiştir. Sınır-değer-geçiş problemi önce uygun Hilbert uzayında kendine eş bir operatör yardımıyla özdeğer problemi olarak ifade edilmiştir. Daha sonra bu operatörün simetrik bir operatör olduğu ispatlanmış ve özfonksiyonlar sistemine açılım teoremi ispatlanmıştır.
  • Öge
    Elastik Bir Ortamda Dalga Yayılımı: Genelleştirilmiş Davey-stewartson Denklemleri
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, ) Babaoğlu, Ceni ; Erbay, Saadet ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Bu çalışmada, sonsuz, homojen, zayıf nonlineer ve zayıf dispersif elastik bir ortamda (2+1) (iki uzay ve bir zaman) boyutlu dalgaların modülasyonu incelenmiş, asimptotik davranışı tanımlayan (2+1) boyutlu nonlineer evolüsyon denklemleri türetilmiştir. Denklemler türetilirken indirgeyici pertürbasyon yöntemi olarak adlandırılan bir asimptotik yöntem kullanılmış ve dalgaların modülasyonu probleminin üçlü bir nonlineer kısmi diferansiyel denklem sistemi ile karakterize edildiği gösterilmiştir. Bu denklemler, bir kısa enine dalga, bir uzun enine dalga ve bir uzun boyuna dalga olmak üzere üç dalganın etkileşimlerini içermiş ve “genelleştirilmiş Davey-Stewartson denklemleri” (GDS) olarak adlandırılmıştır. Parametre değerlerinin bazı kısıtları altında, GDS denklemlerinin nonlineer Schrödinger denklemine veya Davey-Stewartson denklemlerine indirgendiği gösterilmiştir. Diğer yandan, uzun-dalga kısa-dalga rezonans durumu için GDS denklemlerinin geçerli olmadığı gözlenmiş, uzun boyuna dalganın faz hızının kısa enine dalganın grup hızına eşit olduğu halde problemi karakterize eden ve uzun-dalga kısa-dalga etkileşim denklemleri olarak adlandırılan yeni evolüsyon denklemleri türetilmiştir. Ayrıca, GDS denklemlerinde beliren katsayılardan birinin sıfır olması durumunda elde edilen dejenere GDS denklemleri ele alınmıştır. Son olarak, GDS denklemlerinin, uzun-dalga kısa-dalga etkileşim denklemlerinin ve dejenere GDS denklemlerinin bazı özel çözümleri farklı yöntemler (Jacobi eliptik fonksiyonlar, tanh yöntemi, değişkenlere ayırma yaklaşımı) kullanılarak elde edilmiştir.
  • Öge
    Euclid Ve Yarı-Euclid Uzaylarının Noktasal 1-tipinden Gauss Tasvirine Sahip Alt Manifoldları
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2013-04-30) Turgay, Nurettin Cenk ; Dursun, Uğur ; 465899 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Bu çalışmada, Euclid ve yarı-Euclid uzaylarının noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip alt manifoldları ele alınmıştır. İlk olarak, keyfi boyuta ve keyfi indekse sahip bir yarı-Euclid uzayının karşıt boyutu 2 olan yönlendirilmiş bir alt manifoldunun Gauss tasvirinin Laplasyeni elde edilmiştir. Ayrıca, Euclid ve yarı-Euclid uzaylarının noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip alt manifoldlarının sınıflandırılmasında kullanılabilecek bazı yardımcı teoremler ispatlanmıştır. Daha sonra, 4-boyutlu Euclid uzayının noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip dönel yüzeyleri çalışılmıştır. Son olarak, 4-boyutlu Minkowski uzayının noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip uzaysal yüzeyleri ile ilgili bazı sınıflandırma ve karakterizasyon teoremleri ispatlanmıştır.
  • Öge
    Gardner Tipi Denklemler İçin Whitham Modülasyon Teorisi
    (Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2021) Aslanova, Günay ; Ahmetolan, Semra ; 692598 ; Matematik Mühendisliği
    Dispersif şok dalgaları, teorideki kısaltmayla DSW'lar, okyanuslardan atmosfere, optik fiberlere kadar birçok uygulamada görülür. Bu dalgaları incelemek için dalga teorisindeki en önemli araştırmalardan biri olarak görülen Whitham Modülasyon Teorisi (WMT) geliştirilmiştir. Bu teori ile dalga trenlerinin yavaş modülasyonunun analizi yapılabilmektedir. Modülasyon teorisi, genlik, frekans ve dalga sayısı kavramlarının zamandaki yavaş değişimini içermektedir. Bu teori ile yavaş değişkenler için kısmi diferansiyel denklemler elde edilir. "Whitham modülasyon denklemleri" veya "Whitham sistemi" olarak adlandırılan bu denklemler, oldukça zengin bir matematiksel yapıya sahiptir ve aynı zamanda dispersif şok dalgalarının tanımlanması için güçlü bir analitik araçtır. Bu tez çalışmasında ilk olarak, (2+1) boyutlu Gardner-KP denklemi için bir benzerlik dönüşümü uygulanmasıyla (1+1) boyutlu silindirik Gardner (cG) denklemi elde edilmiştir. Elde edilen bu denklem için dispersif şok dalgası çözümünü betimleyen Whitham sistemi, tanımlanan uygun Riemann değişkenleri cinsinden türetilmiştir. cG denkleminin Whitham sisteminin sayısal çözümleriyle elde edilen DSW çözümü (asimptotik çözüm) ve cG denkleminin doğrudan sayısal çözümü karşılaştırılarak aralarında uyumlu sonuçlar oluştuğu gözlemlenmiştir. Bu çalışmada incelenen ikinci problemde, (3+1) boyutlu Gardner-KP denklemi için benzer analiz yapılarak uygun başlangıç koşulu ile bu denklem (1+1) boyutlu küresel Gardner (sG) denklemine indirgenmiştir. İndirgenen denklem için WMT uygulanarak modülasyon denklemleri elde edilmiştir. Whitham sisteminin sayısal çözümlerinin bulunması sonucunda asimptotik çözümle sG denkleminin sayısal simülasyonları karşılaştırılarak aralarında tutarlılık olduğu gözlemlenmiştir. Böylece, uygun koşullar altında yüksek boyutlu denklemler için de DSW analizinin başarılı sonuçlar verdiği görülmüştür.
  • Öge
    Genelleştirilmiş Davey-Stewartson Sistemi İçin Başlangıç Değer Problemi
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, ) Hacınlıyan, İrma ; Erbay, Saadet ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Bu çalışmada, sonsuz elastik bir ortamda yayılan uzun dalgalara ait iki lineer dalga denklemi ve bir kısa dalganın karmaşık genliğinin hareketini karakterize eden bir Nonlineer Schrödinger (NLS) tipi denklemden oluşan genelleştirilmiş Davey-Stewartson (GDS) sisteminin eliptik-hiperbolik-hiperbolik (EHH) hali için başlangıç değer problemi ele alınmıştı. Bu problem dört aşamada incelenmiştir. İlk ve en önemli aşamada, kuple dalga denklem çözümlerinin integral gösterimi kullanılarak GDS sistemi yerel olmayan bir NLS denklemine indirgenmiştir. İkinci aşamada, GDS sisteminin çözümlerinin normlarının bazı önkestirimleri hesaplamıştır. Üçüncü aşamada, yerel olmayan NLS denklemi için yazılan düzgünleştirilmiş denklemin global çözümlerinin varlığı incelenmiştir. Son aşamada; ε→0 için limite geçilmiş ve düzgün olmayan denklemin, diğer bir deyişle GDS sisteminin yerel olmayan formunun çözümlerini bulunmuştur. Böylece, EHH durumdaki GDS sisteminin çözümlerinin küçük başlangıç değerleri için global olarak var olduğu ispatlanmıştır.
  • Öge
    Genelleştirilmiş Davey-Stewartson Sisteminin Patlama Çözümleri: Analitik Ve Sayısal Sonuçlar
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, ) Muslu, Gülçin M. ; Erbay, Hüsnü Ata ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Bu tezde, Genelleştirilmiş Davey-Stewartson (GDS) sisteminin patlama çözümlerini araştırmak için yapılmış bir çalışmanın analitik ve sayısal sonuçları sunulmaktadır. GDS sistemi, genelleştirilmiş elastik bir malzemeden oluşan sonsuz bir ortamdaki zayıf nonlineer dalgaların yayılımını karakterize eden model olarak ortaya çıkmıştır. Bu tez çalışmasında, GDS sisteminin hiperbolik-eliptik-eliptik (HEE) ve eliptik-eliptik-eliptik (EEE) durumları gözönüne alınmıştır. Düzgün başlangıç datasına sahip bir çözümün herhangi bir normu sonlu zamanda sınırsız oluyorsa, bu çözüm GDS sisteminin patlama çözümü olarak adlandırılır. Bu tez altı temel sonuç içermektedir. Birinci olarak, HEE durumda, GDS sisteminin pseudo-konformal invaryantlığını kullanarak bir analitik patlama çözümü elde edilmiştir. İkinci olarak, EEE durumda, p>2 için çözümlerin L^p-normlarının t-->sonsuz iken sıfıra gittiği gösterilmiştir. Üçüncü olarak, EEE durumda, sonlu zamanda patlama ve global varlık hakkında yeni sonuçlar sunulmuştur. Dördüncü olarak, GDS sisteminin bir özel hali olan Yozlaşmış GDS sisteminin bir nonlineer dönüşüm yardımıyla Davey-Stewartson sistemine dönüştüğü gösterilmiştir. Beşinci olarak, GDS sistemini çözmek için rölaksasyon sayısal yöntemi kullanılmış ve sayısal şemanın patlama olayını yakalamakta başarılı olduğu gözlenmiştir. Altıncı olarak, GDS sistemini çözmek için bir diğer sayısal yöntem olan split-step Fourier yöntemi kullanılmış ve bu yöntemin rölaksasyon yöntemi ile karşılaştırılmasından split-step yönteminin hesaplama zamanı açısından rölaksasyon yönteminden daha etkin olduğu bulunmuştur.
  • Öge
    Genelleştirilmiş Douglas Metrikli Kropina Uzayları
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2009-04-15) Ceyhan, Salim ; Yıldırım, Gülçin Çivi ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Bu çalışmada, öncelikle, bir kropina uzayının genelleştirilmiş Douglas metrikli olması için koşul elde edildi ve bu koşul bir polinom denklem olarak ifade edildi . R-eğrilik tensörü incelendi ve Riemannian geometrideki Bianchi özdeşliklerinin bir genelleştirilmesi olarak, birinci ve ikinci Bianchi özdeşliklerinin eşdeğerleri ispat edildi. Skaler flag eğrilikli Kropina uzayları karakterize edildi ve skaler flag eğrilikli bir Kropina uzayının genelleştirilmiş Douglas uzayı olması için gerek ve yeter koşullar elde edildi. İki Finsler metriği arasında tanımlanan Z-projektiflik koşulu gözönüne alınarak, bu koşul altında invaryant kalan büyüklükler incelendi. Bir Kropina uzayı ile bir Finsler uzayı arasındaki projektif dönüşümün Z-projektif olması için gerek ve yeter koşullar bulundu. D-rekürant Kropina uzayları incelenerek, D-rekürant bir Kropina uzayının genelleştirilmiş Douglas metrikli olması için gerek ve yeter koşul belirlendi. D-rekürant ve zayıf Berwald metrikli bir Kropina uzayının sağladığı bazı eşdeğer durumlar verildi. İki Finsler metriği arasında bir Kropina dönüşümü gözönüne alındı ve böyle bir dönüşüm altında, projektif düz bir Randers metriğinin projektif düz bir Finsler metriğine dönüşmesi için gerek ve yeter koşul elde edilerek dönüşüm metriğinin skaler flag eğriliği bulundu. Son olarak, bir Finsler metriği ile bir zayıf Berwald metriği arasındaki bir Kropina dönüşümü göz önüne alınarak, böyle bir dönüşüm için dönüşüm uzayının skaler flag eğrilikli ve genelleştirilmiş Douglas metrikli bir Kropina uzayı olması için gerek ve yeter koşul verildi.
  • Öge
    Genelleştirilmiş Weyl Uzaylarında Eğri Şebekeleri Teorisi
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 1999) Çivi, Gülçin ; Özdeğer, Abdülkadir ; 100725 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Simetrik bir V konneksiyonuna ve V tarafından korunan simetrik, konform bir g metrik tensörüne sahip n-boyutlu bir manifolda Weyl uzayı denir. Buna göre, yerel koordinatlarda Vkgn ~2Tkgij = 0, (1) olacak şekilde bileşenleri Tk (k = 1,2,...,n) olan bir T kovaryant vektör alanı mevcuttur. Böyle bir Weyl uzayını Wn(V,g,T) ile gösterelim. T vektör alanına Weyl uzayının komplemanter vektör alanı denir. r*-fc, V konneksiyonunun katsayılarını gösterrnek üzere (1) ile verilen uygunluk koşulundan elde edilir. Asimetrik bir V* konneksiyonuna ve V konneksiyonu tarafından korunan asimetrik, konform g* metrik tensörüne sahip n-boyutlu bir manifolda genelleştirilmiş Weyl uzayı denir. Buna göre, yerel koordinatlarda, Vk*-2T^*. = 0, (2) olacak şekilde bileşenleri Tk* (k = 1,2,...,n) olan bir T kovaryant vektör alanı mevcuttur. T vektör alanına genelleştirilmiş Weyl uzayının komplemanter vektör alanı denir. Böyle bir genelleştirilmiş Weyl uzayını W*(V*,#*, T*) ile gösterelim. W"(V, g,T) uzayına W*(V*,g',T) genelleştirilmiş Weyl uzayının eş-uzayı denir. Burada g, g tensörünün simetrik kısmıdır. iv Dört bölüm içeren bu çalışmanın birinci bölümünde, genelleştirilmiş W*(W,g,T) Weyl uzayı ve bunun eş-uzayı ile ilgili temel tanım ve özellikler verilmiştir. g tensörünün g~ ' = A g konform dönüşümü altında A = Xp A şeklinde değişen A büyüklüğüne g tensörünün {p} ağırlıklı bir uydusu denir. A uydusunun V and V konneksiyonlarına göre, VA ve vA ile gösterilen kovaryant türevleri sırasıyla VkA = VkA-pTkA (3) ve VlA = VkA-PT*kA (4) ile tanımlanmıştır. n-boyutlu bir Weyl uzayında tanımlanmış lineer bağımsız ^, \, ??., vn vektör alanları tarafından oluşturulan sisteme bir şebeke denir ve 8 = ( vx, ^,..., vn ) ile gösterilir. Wn (W,g,T) uzayına ait 8 = (^, v2,..., vn) şebekesinin her bir vektör alanı geriye kalan vektör alanlarının integral eğrileri boyunca paralel kayıyorsa 8 şebekesine birinci cins Chebyshev şebekesi denir. Eğer 8 şebekesine ait n - 1 boyutlu alan elemanları geriye kalan vektör alanının integral eğrileri boyunca paralel kayıyorsa şebeke ikinci cins Chebyshev şebekesi adını alır. İ=T*? (r*s) > h = f»$ (r^5) > H&V* (*,c,r,' = l,2,...,n) şeklinde tanımlanan r, p, n fonksiyonlarına 8 şebekesinin, sırasıyla, birinci cins Chebyshev, ikinci cins Chebyshev ve geodezik eğrilikleri; ?: = t vfcr' = i;î. h = -&kvk% = pTvi, e^v^vi^vi vektör alanlarına da şebekenin, sırasıyla, birinci cins Chebyshev, ikinci cins Chebyshev ve geodezik vektör alanları denir. Burada (3) sembolü s indisi üzerine toplam alınmayacağını göstermektedir. n *. n. 8 şebekesi için Ş^ bi = 0 ise şebekeye b-şebekesi, ^ cl = 0 olması halinde s=l s=l * T ise şebekeye c-şebekesi adı verilir. Belirli bir r değeri için V [**>,-] = 0 ise, 8 şebekesine r-metriksel Chebyshev şebekesi, r nin her değeri için V[kvi\ = O ise, şebekeye kuvvetli metriksel Chebyshev şebekesi denir. ikinci Bölümde, (2) uygunluk koşulunu kullanarak, asimetrik V* konneksiyonunun U-k katsayıları L)k = ^k + \i n« 9 w + nj» 9(hk) + n}* gfa } g*{H) = v)k + Q)k şeklinde elde edilmiştir. Burada f2*-fc, V konneksiyonunun burulma tensörünün bileşenleri, T%jk ise V konneksiyonunun katsayılarını göstermektedir. Genelleştirilmiş W*(V,g*,T) Weyl uzayına ve Wn(V,g,T) eş-uzayma ait 8 şebekesini gözönüne alalım. Once, 6 şebekesinin W*(V,g*,T) ve Wn(W,g,T) uzaylarına göre birinci cins Chebyshev eğrilikleri, ikinci cins Chebyshev eğrilikleri ve geodezik eğrilikleri. arasındaki ilişkiler bulunarak Wn(V,g,T) uzayına göre birinci cins, ikinci cins Chebyshev veya geodezik şebeke olan 6 şebekesinin W*(S7,g*,T) uzayına ait aynı cinsten bir şebeke olması için gerek ve yeter koşullar, sırasıyla, Vt
  • Öge
    Generic Submersions
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2019) Sayar, Cem ; Özdemir, Fatma ; 10289784 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Diferansiyel geometride submersiyon teorisi, iki manifoldun geometrisini, aralarında tanımlanan düzgün bir dönüşüm yardımıyla, karşılaştırma şansı sunan bir alandır. Bu bağlamda literatürde, çok sayıda submersiyon çeşidi tanımlandı ve çalışıldı. Verilen bir submersiyon için lifler kaynak manifoldun alt manifoldu olduğundan, alt manifold teorisindeki yaklaşımların bir çoğundan faydalanarak submersiyon teorisinde ilerlemeler kaydedilmis¸tir. Biz ise, bu çalıs¸mada, alt manifold teorisinde var olan yaklaşımları da kullanarak, submersiyon teorisi için adım adım bir genelleme inşa ediyoruz. İlk bölümde, alt manifold teorisi ve submersiyon teorisi arasındaki ilişkiden bahsedilmiş olup, literatürde submersiyon teorisi ile alakalı kronolojik olarak elde edilen gelişmelere yer verilmiştir. Kaynak manifoldun seçimine bağlı olarak (kontakt manifold, hemen hemen kompleks manifold v.b.) tanımlanan submersiyon tiplerinden bahsedilmiş olup, çalışmalar refere edilmiştir. Ayrıca, bu tezin hipotezi ve amacı da anlatılmıştır. İkinci bölümde, Riemann geometrisindeki temel tanımlar, denklemler ve teoremler tanıtılmıştır. Riemann manifoldları hakkında kısaca bilgiler verilmiştir. Distribüsyon kavramı hakkında tezde kullanılacak bilgilere kısaca değinilmiştir. Distribüsyonlar hakkında bazı temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Bu bölümde son olarak, hemen hemen çarpım yapısı tanıtılmış olup, bu yapıya göre bazı(hemen hemen çarpım Riemann manifoldları, yerel çarpım Riemann manifoldları v.b.) manifold sınıflarının tanımları verilmiştir. Üçüncü bölümde, kompleks manifoldlar hakkında temel bilgilere yer verilmiştir. Hemem hemen kompleks yapının tanımı ve bu yapının Riemann metriği ile olan ilişkisi verildikten sonra, bu yapıya göre manifoldların sınıflandırılması üzerinde durulmuştur. Bazı kompleks manifold sınıflarının tanımlarından bahsedilmiş olup, bu sınıflar arasındaki kapsama bağıntılarından söz edilmiştir. Tezin ana parçasını oluşturan dördüncü bölümde, Riemann submersiyonu kavramı tanıtılmış olup, kaynak ve hedef manifoldları arasındaki vektör alanları ilişkilerinden bahsedilmiştir. Submersiyon teorisinde önemli yer tutan lif kavramı tanıtılmıştır. Liflerin boyutları, teğetleri ve normalleri hakkında bilgiler verilmiştir. Liflerin geometrisini incelememize yarayan ve temelini oluşturan, T ve A O'Neill tensörleri ve bu tensörlerin bazı temel özellikleri verilmiştir. Ayrıca, submersiyon teorisi ile alakalı bazı temel tanım, denklem ve teoremler verilmiştir. Riemann teorisi ile ilgili gereken temel bilgiler verildikten sonra, ilk olarak, kaynak manifoldunu yerel çarpım Riemann manifoldu alarak, ters-değişmez submersiyonları ve ters-değişmez submersiyonların özel bir hali olan Lagrangian submersiyonları çalıştık. Bu durumda, Lagrangian submersiyonlar için, lifleri incelediğimizde, daima tamamen jeodezik olduğunu elde ettik. Ayrıca, ters-değişmez submersiyonlar için birinci varyasyonel formülünü tanımladık. Bu formül yardımıyla, ters-değişmez submersiyonların liflerinin harmonik olup olmadığının araştırılması konusunda gerek yeter koşul verdik. Bu yaklaşım ile literatüre farklı bir bakış açısı sunmuş olduk. Daha sonra, yine kaynak manifoldunu yerel çarpım Riemann manifoldu alarak, yarı-değişmez submersiyonları çalıştık. Yarı-değişmez submersiyon için örnek verildi. Kanonik yapıları ve hemen hemen çarpım yapısını kullanarak bazı ayrışım yardımcı önermeleri kanıtladık. Bu tip submersiyonlardaki distribüsyonlar için integrallenebilme koşullarını aras¸tırdık ve bazı sonuçlar elde ettik. Yarı-değişmez submersiyonun liflerinin geometrisi hakkında bilgi sahibi olmak için, liflerin tamamen jeodezik olma durumunu inceledik. Lifleri tamamen umbilik kabul ederek, bazı sonuçlar elde ettik. Kanonik yapıların paralel olma tanımını verildi. Bu yapıların paralel olmaları durumunda, kanonik yapıların birbirleri arasındaki ilişkiler hakkında ve liflerin geometrisi hakkında bazı sonuçlar elde ettik. Ayrıca, yarı-değişmez submersiyonlar için de birinci varyasyonel formülünü tanımlayarak ve kullanarak liflerin hangi koşullar altında harmonik olduğuna dair yeni yaklaşım ve koşullar elde ettik. Dördüncü bölümün devamında, noktasal yarı-eğik adı ile yeni tip submersiyon tanımladık. Bu submersiyon tipini kaynak manifoldunu yerel çarpım Riemann manifoldu alarak çalıştık. Tanımlanan bu submersiyon tipi için örneğe yer verdik. Benzer şekilde hemen hemen çarpım yapısını ve tanımdaki distribüsyonları göz önüne alarak bazı ayrışım yardımcı teoremleri elde ettik. Alt manifold teorisinde kullanılan Gauss ve Weingarten denklemlerinin noktasal yarı-eğik submersiyonlar için karşılıklarını elde ettik. Noktasal yarı-eğik submersiyon tanımında bahsedilen distribüsyonların hangi koşullar altında integrallenebileceğini araştırdık. Liflerin geometrileri ile ilgilenerek, bazı sonuçlar elde ettik. Kanonik yapıların paralleliği tanımlanarak çalışıldı. Ayrıca, liflerin tamamen umbilik olması koşulunda da bazı sonuçlar elde edilmiştir. Bu sonuçlara ilave olarak, noktasal yarı-eğik submersiyonlar için birinci varyasyonel formülü tanımlandı. Bu tanım yardımıyla, liflerin hangi koşullar altında harmonik olduğunu araştırmak adına bir yaklaşım sunmuş olduk. Ve son olarak, ele alınan hemen hemen kompleks yapıya göre tüm submersiyon tiplerinin bir genelleştirmesi olan kapsamlı submersiyonu (Ronsse anlamında) tanımladık. Bu submersiyon tipi için kaynak manifoldu Kaehler manifold aldık. Öncelikle, bu tip submersiyonlar için örnekler verdik. Alt manifold teorisinde kullanılan Gauss ve Weingarten denklemlerinin kapsamlı submersiyonlar için karşılıklarını elde ettik. Bu denklemler kanıtlarda kullanıldı. Kapsamlı submersiyon tanımındaki distribüsyonlar için integrallenebilme koşullarını inceledik. Ayrıca, liflerin geometrisini anlayabilmek adına, liflerin tümel jeodezik olma koşulları da incelendi. Liflerin tümel umbilik olması durumunda minimal olması için bir koşul kanıtlandı. Bu tip submersiyonlar için, vektörlerin ayrışımında verilen kanonik yapılar paralel düşünüldü. Bu durumda, distribüsyonların karışık jeodezik olmaları ve kanonik yapıların paralelliği hakkında gerek ve yeter şartlar elde edildi. Bu tezin sonrasında, gelecek çalışmalarda, tanımladığımız kapsamlı submersiyon için kaynak manifold, hedef manifold ve liflerin eğrilikleri incelenebilir ve aralarındaki ilişkiler araştırılabilir. Ayrıca, bir kapsamlı submersiyonun kaynak manifoldu için şu problem çalışılabilir: "Hangi koşullar altında kaynak manifoldu Einstein uzayı olur?". Diğer taraftan, tüm tanımlanan submersiyonların Fizik'te karşılığının var olduğu bilinen bir gerçektir. Bilhassa, şu probleme cevap aranabilir: "Kapsamlı submersiyonun Fizik'teki karşılığı nedir?". Disiplinlerarası çalışma adına etkili bir problem olacağı öngörülmektedir. Son olarak, submersiyon teorisinin istatistiksel makine öğrenmesi süreçlerinde karşılığı olduğu bilinmektedir. Tanımladığımız kapsamlı submersiyon ve istatistiksel makine öğrenmesi arasındaki ilişkiler çalışılabilir. Dahası, submersiyon teorisinin kullanıldığı daha başka alanlardaki kapsamlı submersiyonların karşılıkları araştırılıp çalışılabilir.
  • Öge
    Geometry Of Weyl Spaces With A Special Connection
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2019) Türkoğlu, Mustafa Deniz ; Özdemir, Fatma ; 10259814 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Bu tezde, özel koneksiyona sahip Weyl manifoldu üzerinde bazı belirgin geometrik yapıları ve büyüklükleri inceledik. Özel olarak, yarı-simetrik rekürant metrik koneksiyona sahip uzay tanımlanarak, geometrik yapısı üzerinde duruldu ve Riemann uzayı ile bu yeni yapıya sahip Weyl uzayı arasındaki farklılıklara ve benzerliklere değinildi. Genel bir çerçeve verilecek olursa; Weyl manifoldu üzerinde yarı-simetrik rekürant metrik koneksiyon tanımlanarak, bu manifold üzerinde eğriler, eğrilere bağlı özellikler ve büyüklükler incelendi; yarı-simetrik rekürant metrik koneksiyona sahip Einstein Weyl manifoldunun, Einstein Weyl manifoldu olması için gerek ve yeter koşul ispatlandı, kesitsel eğriliği incelendi; bu yapıya sahip Weyl manifoldu üzerindeki geometrik yapıların dönüşümlerini saptamak adına konformal ve projektif dönüşümler altındaki eğrilikleri hesaplandı; sabit ve sıfır skaler eğriliklere sahip Weyl manifoldu inşa edilerek, ilgili eğrisel hesaplamalar üzerinde çalışıldı. Tüm bunlara ek olarak, Riemann, Weyl ve yarı-simetrik rekürant metrik koneksiyona sahip Weyl uzayları arasında, ilgili jeodezik denklemlerin değişimlerini karşılaştırmak için, koşulları özel olarak seçilen bir örnek kurularak, çözümü yapıldı.