Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Doktora

Bu koleksiyon için kalıcı URI

Gözat

Son Başvurular

Şimdi gösteriliyor 1 - 5 / 51
  • Öge
    Gardner tipi denklemler için Whitham modülasyon teorisi
    (Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2021) Aslanova, Günay ; Ahmetolan, Semra ; 692598 ; Matematik Mühendisliği
    Dispersif şok dalgaları, teorideki kısaltmayla DSW'lar, okyanuslardan atmosfere, optik fiberlere kadar birçok uygulamada görülür. Bu dalgaları incelemek için dalga teorisindeki en önemli araştırmalardan biri olarak görülen Whitham Modülasyon Teorisi (WMT) geliştirilmiştir. Bu teori ile dalga trenlerinin yavaş modülasyonunun analizi yapılabilmektedir. Modülasyon teorisi, genlik, frekans ve dalga sayısı kavramlarının zamandaki yavaş değişimini içermektedir. Bu teori ile yavaş değişkenler için kısmi diferansiyel denklemler elde edilir. "Whitham modülasyon denklemleri" veya "Whitham sistemi" olarak adlandırılan bu denklemler, oldukça zengin bir matematiksel yapıya sahiptir ve aynı zamanda dispersif şok dalgalarının tanımlanması için güçlü bir analitik araçtır. Bu tez çalışmasında ilk olarak, (2+1) boyutlu Gardner-KP denklemi için bir benzerlik dönüşümü uygulanmasıyla (1+1) boyutlu silindirik Gardner (cG) denklemi elde edilmiştir. Elde edilen bu denklem için dispersif şok dalgası çözümünü betimleyen Whitham sistemi, tanımlanan uygun Riemann değişkenleri cinsinden türetilmiştir. cG denkleminin Whitham sisteminin sayısal çözümleriyle elde edilen DSW çözümü (asimptotik çözüm) ve cG denkleminin doğrudan sayısal çözümü karşılaştırılarak aralarında uyumlu sonuçlar oluştuğu gözlemlenmiştir. Bu çalışmada incelenen ikinci problemde, (3+1) boyutlu Gardner-KP denklemi için benzer analiz yapılarak uygun başlangıç koşulu ile bu denklem (1+1) boyutlu küresel Gardner (sG) denklemine indirgenmiştir. İndirgenen denklem için WMT uygulanarak modülasyon denklemleri elde edilmiştir. Whitham sisteminin sayısal çözümlerinin bulunması sonucunda asimptotik çözümle sG denkleminin sayısal simülasyonları karşılaştırılarak aralarında tutarlılık olduğu gözlemlenmiştir. Böylece, uygun koşullar altında yüksek boyutlu denklemler için de DSW analizinin başarılı sonuçlar verdiği görülmüştür.
  • Öge
    Power series subspaces of nuclear frechet spaces with the properties DN and omega
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2020) Doğan, Nazlı ; Oruçoğlu, Kamil ; Aytuna, Aydın ; Kuvvet serisi uzayları, Fréchet uzayları teorisinin çokça çalışılan ve yapısı iyi bilinen önemli bir sınıfıdır. Fréchet uzaylarının en doğal örnekleri ise zayıf-DN ve Ω özelliklerine sahiptir. Özellikle, analitik fonksiyon uzayları ve homojen eliptik lineer kısmi diferansiyel operatörlerin çözüm uzayları zayıf-DN ve Ω özelliklerine sahiptir. Öte yandan, zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip bir E nükleer Fréchet uzayının çapsal boyutu ∆(E) ve yakla¸sık çapsal boyutu δ(E) özel bir ε ekponansiyel dizisi tarafından üretilen sonlu tip kuvvet serisi uzayı Λ_{1}(ε) ve sonsuz tip kuvvet serisi uzayı Λ_{∞}(ε) ile ilişkilidir. Zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip bir E nükleer Fréchet uzayının çapsal boyutunun ve/veya yaklaşık çapsal boyutunun bir kuvvet serisinin çapsal boyutuna ve/veya yaklaşık çapsal boyutuna eşit olması E uzayının yapı teorisi hakkında önemli bilgiler verir. Örneğin, A. Aytuna, J. Krone ve T. Terzioğlu, [1], zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip bir E nükleer Fréchet uzayının ∆(E) = ∆(Λ_{∞}(ε)) ve ε ekponansiyel dizisi kararlı koşulları altında, Λ_{∞}(ε) uzayına izomorf bir tümler alt uzayının var olduğunu gösterdiler. Öte yandan, A. Aytuna, [2], her zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip uysal E nükleer Fréchet uzayının, δ(E) = δ(Λ_{1}(ε)) ve ε eksponansiyel dizisi kararlı olması durumunda Λ_{1}(ε) uzayına izomorf olduğunu gösterdi. Bu sonuçlar bizi aşagıdaki soruları sormaya yönledirdi: E uzayı zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip bir nükleer Fréchet uzayı ve ε, E uzayının ilişkili ekponansiyel dizisi olsun. 1. Eğer ∆(E) = ∆(Λ_{1}(ε)) ise, E uzayının Λ_{1}(ε) uzayına izomorf bir tümler alt uzayı var mıdır? 2. Eğer E uzayının çapsal boyutu bir kuvvet serisinin çapsal boyutuna eşit ise E uzayının yaklaşık çapsal boyutu da aynı kuvvet serisinin yaklaşık çapsal boyutuna eşit midir ve tersi de doğru mudur? Bu tezin temeli bu iki soru üzerine kurulmuştur ve bu tezin amacı, zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip nükleer Fréchet uzaylarının topolojik değişmezleri arasındaki bağlantıları araştırmak ve bu bağlantıları kullanarak, bazı çapsal koşullar altında, bu uzayların kuvvet serisi alt uzaylarının var olup olmadığını araştırmaktır. Birinci bölümde nükleer Fréchet uzaylarının bazı önemli sonuçlarına değinilmiş ve bu tez çalışmasının motivasyonu verilmiştir. İkinci bölümde bazı giriş yapıları ve önemli teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde ikinci sorunun sonsuz tip kuvvet serisi uzayları için olumlu bir cevabının olduğu gösterilmiştir. Sonlu tip kuvvet serileri için ise ilk olarak δ (E) = δ (Λ_{1}(ε)) koşulu altında ∆(E) = ∆(Λ_{1}(ε)) saglandığı ispat edildi. Diğer yön için belirgin sınırlı kümelerin varlığının önemli bir rolü vardır. İkinci soru için, δ (E) = δ (Λ_{1}(ε)) koşulunun sağlanması için gerek ve yeter koşulun E uzayının belirgin sınırlı bir alt kümesinin olması ve ∆(E) = ∆(Λ_{1}(ε)) sağlanması olduğu gösterildi. Dördüncü bölümün ilk kısımında K(a_{k,n}), zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip regüler nükleer bir Köthe uzayı olmak üzere ∆(K(ak,n)) = ∆(Λ_{∞}(ε)) koşulunun sağlanması için gerek ve yeter koşul K(a_{k,n}) uzayının Λ_{∞}(ε) uzayına izomorf olması ve benzer şekilde δ(K(a_{k,n})) = δ(Λ_{1}(ε)) koşulunun sağlanması için gerek ve yeter koşul K(a_{k,n}) uzayının Λ_{1}(ε) uzayına izomorf olması ifadelerini ispat edildi. Dördüncü bölümün ikinci kısımında zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip K(a_{k,n}) nükleer Köthe uzayılarından oluşan bir aile kuruldu. Öncelikle bu ailenin kararlı ε ilişkili eksponansiyel dizisi olan bir elemanı K(a_{k,n}) için ∆(K(a_{k,n})) = ∆(Λ_{1}(α)) ve δ(K(a_{k,n})) = δ(Λ_{1}(α)) olduğunu gösterdik. Daha sonra, bu ailenin kararsız ε ilişkili eksponansiyel dizisi olan herhangi bir elemanı K(a_{k,n}) için ∆(K(a_{k,n})) = ∆(Λ_{1}(ε)) iken δ(K(a_{k,n})) ≠δ(Λ_{1}(ε)) olduğunu ispat ettik. Bu ise ikinci sorunun sonlu tip kuvvet serileri için olumsuz bir cevabının olduğunu gösterir. Bu bilgiyi kullanarak, Teorem 4.3.1'te bu Köthe uzaylarının Λ1(ε) uzayına izomorf bir alt uzayı olmadığını ispat ettik. Dolayısıyla, ilk sorunun da olumsuz bir cevabı vardır. Dördüncü bölümün üçüncü kısımında ikinci bölümde elde ettiğimiz sonuçlardan hareketle bazı ek bilgiler verdik. Mesela bu ailenin kararsız ε ili¸skili eksponansiyel dizisi olan herhangi bir elemanı E için • E uzayı herhangi bir belirgin sınırlı alt kümeye sahip değildir. • E uzayının çapsal boyutu ∆(E) doğal topolojisine göre varilleri dolu değildir ve ultrabornolojik değildir. • ∆(E) = Λ_{1}(ε) ve ∆(E) uzayından Λ_{1}(ε) uzayına giden kapsama tasvirinin grafiği kapalı olmasına rağmen, bu kapsama tasviri sürekli değildir. ; 637483 ; Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
    Power series spaces constitute an important and well-studied class in the theory of Fréchet spaces. Linear topological invariants weak-DN and Ω are enjoyed by many natural Fréchet spaces appearing in analysis. In particular, spaces of analytic functions, solutions of homogeneous elliptic linear partial differential operator with their natural topologies have the properties weak-DN and Ω. It is a well-known fact that the diametral dimension ∆(E) and the approximate diametral dimension δ(E) of a nuclear Fréchet space E with the properties weak-DN and Ω are between corresponding invariant of power series spaces Λ_{1}(ε) and Λ_{∞}(ε) for some specific exponent sequence ε. This sequence is called associated exponent sequence of E, see Definition 2.4.2. Concidence of the diametral dimension and/or approximate diametral dimension of E with that of a power series space yields some structural results. For example, in [1], A. Aytuna, J.Krone and T. Terzioglu proved that a nuclear Fréchet space E with the properties weak-DN and Ω contains a complemented copy of Λ_{∞}(ε) provided ∆(E) = ∆(Λ_{∞}(ε)) and ε is stable. On the other hand, A. Aytuna, [2], characterized tame nuclear Fréchet spaces E with the properties weak-DN and Ω and stable exponent sequence ε, as those that satisfies δ(E) = δ(Λ_{1}(ε)). These results lead us to ask the following two questions: Let E be a nuclear Fréchet space with the properties weak-DN and Ω and ε be the associated exponent sequence of E. 1. Is there a complemented subspace of E which is isomorphic to Λ_{1}(ε) if ∆(E) = ∆(Λ_{1}(ε))? 2. If the diametral dimension of E coincides with that of a power series space, then does this imply that the approximate diametral dimension also do the same and vice versa? The basis of this thesis was motivated by these two questions. The main purpose of this thesis is to determine the connections between the diametral dimension and the approximate diametral dimension and to investigate power series subspaces of the nuclear Fréchet spaces with the properties weak-DN and Ω using these invariants. In the first chapter, some significant studies in the theory of nuclear Fréchet spaces are mentioned and the aim of this thesis is given. In the second chapter, we introduced preliminary materials and essential theorems. In the third chapter, we showed that the second question has an affirmative answer when the power series space is of infinite type. Then we searched an answer for the second question in the finite type case and, in this regard, we first proved that the condition δ (E) = δ (Λ_{1}(ε)) always implies ∆(E) = ∆(Λ_{1}(ε)). For other direction, the existence of a prominent bounded subset in the nuclear Fréchet space E plays a decisive role. Among other things, we proved that δ (E) = δ (Λ_{1}(ε)) if and only if E has a prominent bounded subset and ∆(E) = ∆(Λ_{1} (ε)). In the first section of the fourth chapter, we showed that a regular nuclear Köthe space with the properties DN and Ω is a power series space if its diametral dimension coincides with that of a power series space of infinite type or its approximate diametral dimension coincides with that of a power series space of finite type. In the second section of the fourth chapter, we constructed a family of nuclear Köthe spaces K(a_{k,n}) with the properties weak-DN and Ω. First we showed that for an element of the family of which is parameterized by a stable sequence α, ∆(K(a_{k,n})) = ∆(Λ_{1}(α)) and δ(K(a_{k,n})) = δ(Λ1(α)). Second, we proved that for an element of the family of which is parameterized by an unstable sequence α, ∆(K(a_{k,n}) = ∆(Λ_{1}(ε)) and δ(K(a_{k,n}))≠δ(Λ1(ε)) for its associated exponent sequence ε. This showed that the second question has a negative answer for power series space of finite type. Furthermore, we proved in Theorem 4.3.1 that the first question has a negative answer, that is, Λ1(ε) is not isomorphic to any subspace of these Köthe spaces K(a_{k,n}), let alone is isomorphic to a complemented subspace, though the condition ∆(K(a_{k,n})) = ∆(Λ_{1}(ε)) is satisfied. In the third section of fourth chapter, motivated by our finding in the third section, we compiled some additional information, for instance, for an element E of the family parameterized by an unstable sequence, • E does not have a prominent bounded set. • ∆(E), with respect to the canonical topology, is not barrelled, hence, not ultrabornological. • Although the equality ∆(E) = Λ_{1}(ε) is satisfied and the canonical imbedding from ∆(E) into Λ_{1}(ε) has a closed graph, the canonical imbedding from ∆(E) into Λ1(ε) is not continuous.
  • Öge
    Generic Submersions
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2019) Sayar, Cem ; Özdemir, Fatma ; 10289784 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Diferansiyel geometride submersiyon teorisi, iki manifoldun geometrisini, aralarında tanımlanan düzgün bir dönüşüm yardımıyla, karşılaştırma şansı sunan bir alandır. Bu bağlamda literatürde, çok sayıda submersiyon çeşidi tanımlandı ve çalışıldı. Verilen bir submersiyon için lifler kaynak manifoldun alt manifoldu olduğundan, alt manifold teorisindeki yaklaşımların bir çoğundan faydalanarak submersiyon teorisinde ilerlemeler kaydedilmis¸tir. Biz ise, bu çalıs¸mada, alt manifold teorisinde var olan yaklaşımları da kullanarak, submersiyon teorisi için adım adım bir genelleme inşa ediyoruz. İlk bölümde, alt manifold teorisi ve submersiyon teorisi arasındaki ilişkiden bahsedilmiş olup, literatürde submersiyon teorisi ile alakalı kronolojik olarak elde edilen gelişmelere yer verilmiştir. Kaynak manifoldun seçimine bağlı olarak (kontakt manifold, hemen hemen kompleks manifold v.b.) tanımlanan submersiyon tiplerinden bahsedilmiş olup, çalışmalar refere edilmiştir. Ayrıca, bu tezin hipotezi ve amacı da anlatılmıştır. İkinci bölümde, Riemann geometrisindeki temel tanımlar, denklemler ve teoremler tanıtılmıştır. Riemann manifoldları hakkında kısaca bilgiler verilmiştir. Distribüsyon kavramı hakkında tezde kullanılacak bilgilere kısaca değinilmiştir. Distribüsyonlar hakkında bazı temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Bu bölümde son olarak, hemen hemen çarpım yapısı tanıtılmış olup, bu yapıya göre bazı(hemen hemen çarpım Riemann manifoldları, yerel çarpım Riemann manifoldları v.b.) manifold sınıflarının tanımları verilmiştir. Üçüncü bölümde, kompleks manifoldlar hakkında temel bilgilere yer verilmiştir. Hemem hemen kompleks yapının tanımı ve bu yapının Riemann metriği ile olan ilişkisi verildikten sonra, bu yapıya göre manifoldların sınıflandırılması üzerinde durulmuştur. Bazı kompleks manifold sınıflarının tanımlarından bahsedilmiş olup, bu sınıflar arasındaki kapsama bağıntılarından söz edilmiştir. Tezin ana parçasını oluşturan dördüncü bölümde, Riemann submersiyonu kavramı tanıtılmış olup, kaynak ve hedef manifoldları arasındaki vektör alanları ilişkilerinden bahsedilmiştir. Submersiyon teorisinde önemli yer tutan lif kavramı tanıtılmıştır. Liflerin boyutları, teğetleri ve normalleri hakkında bilgiler verilmiştir. Liflerin geometrisini incelememize yarayan ve temelini oluşturan, T ve A O'Neill tensörleri ve bu tensörlerin bazı temel özellikleri verilmiştir. Ayrıca, submersiyon teorisi ile alakalı bazı temel tanım, denklem ve teoremler verilmiştir. Riemann teorisi ile ilgili gereken temel bilgiler verildikten sonra, ilk olarak, kaynak manifoldunu yerel çarpım Riemann manifoldu alarak, ters-değişmez submersiyonları ve ters-değişmez submersiyonların özel bir hali olan Lagrangian submersiyonları çalıştık. Bu durumda, Lagrangian submersiyonlar için, lifleri incelediğimizde, daima tamamen jeodezik olduğunu elde ettik. Ayrıca, ters-değişmez submersiyonlar için birinci varyasyonel formülünü tanımladık. Bu formül yardımıyla, ters-değişmez submersiyonların liflerinin harmonik olup olmadığının araştırılması konusunda gerek yeter koşul verdik. Bu yaklaşım ile literatüre farklı bir bakış açısı sunmuş olduk. Daha sonra, yine kaynak manifoldunu yerel çarpım Riemann manifoldu alarak, yarı-değişmez submersiyonları çalıştık. Yarı-değişmez submersiyon için örnek verildi. Kanonik yapıları ve hemen hemen çarpım yapısını kullanarak bazı ayrışım yardımcı önermeleri kanıtladık. Bu tip submersiyonlardaki distribüsyonlar için integrallenebilme koşullarını aras¸tırdık ve bazı sonuçlar elde ettik. Yarı-değişmez submersiyonun liflerinin geometrisi hakkında bilgi sahibi olmak için, liflerin tamamen jeodezik olma durumunu inceledik. Lifleri tamamen umbilik kabul ederek, bazı sonuçlar elde ettik. Kanonik yapıların paralel olma tanımını verildi. Bu yapıların paralel olmaları durumunda, kanonik yapıların birbirleri arasındaki ilişkiler hakkında ve liflerin geometrisi hakkında bazı sonuçlar elde ettik. Ayrıca, yarı-değişmez submersiyonlar için de birinci varyasyonel formülünü tanımlayarak ve kullanarak liflerin hangi koşullar altında harmonik olduğuna dair yeni yaklaşım ve koşullar elde ettik. Dördüncü bölümün devamında, noktasal yarı-eğik adı ile yeni tip submersiyon tanımladık. Bu submersiyon tipini kaynak manifoldunu yerel çarpım Riemann manifoldu alarak çalıştık. Tanımlanan bu submersiyon tipi için örneğe yer verdik. Benzer şekilde hemen hemen çarpım yapısını ve tanımdaki distribüsyonları göz önüne alarak bazı ayrışım yardımcı teoremleri elde ettik. Alt manifold teorisinde kullanılan Gauss ve Weingarten denklemlerinin noktasal yarı-eğik submersiyonlar için karşılıklarını elde ettik. Noktasal yarı-eğik submersiyon tanımında bahsedilen distribüsyonların hangi koşullar altında integrallenebileceğini araştırdık. Liflerin geometrileri ile ilgilenerek, bazı sonuçlar elde ettik. Kanonik yapıların paralleliği tanımlanarak çalışıldı. Ayrıca, liflerin tamamen umbilik olması koşulunda da bazı sonuçlar elde edilmiştir. Bu sonuçlara ilave olarak, noktasal yarı-eğik submersiyonlar için birinci varyasyonel formülü tanımlandı. Bu tanım yardımıyla, liflerin hangi koşullar altında harmonik olduğunu araştırmak adına bir yaklaşım sunmuş olduk. Ve son olarak, ele alınan hemen hemen kompleks yapıya göre tüm submersiyon tiplerinin bir genelleştirmesi olan kapsamlı submersiyonu (Ronsse anlamında) tanımladık. Bu submersiyon tipi için kaynak manifoldu Kaehler manifold aldık. Öncelikle, bu tip submersiyonlar için örnekler verdik. Alt manifold teorisinde kullanılan Gauss ve Weingarten denklemlerinin kapsamlı submersiyonlar için karşılıklarını elde ettik. Bu denklemler kanıtlarda kullanıldı. Kapsamlı submersiyon tanımındaki distribüsyonlar için integrallenebilme koşullarını inceledik. Ayrıca, liflerin geometrisini anlayabilmek adına, liflerin tümel jeodezik olma koşulları da incelendi. Liflerin tümel umbilik olması durumunda minimal olması için bir koşul kanıtlandı. Bu tip submersiyonlar için, vektörlerin ayrışımında verilen kanonik yapılar paralel düşünüldü. Bu durumda, distribüsyonların karışık jeodezik olmaları ve kanonik yapıların paralelliği hakkında gerek ve yeter şartlar elde edildi. Bu tezin sonrasında, gelecek çalışmalarda, tanımladığımız kapsamlı submersiyon için kaynak manifold, hedef manifold ve liflerin eğrilikleri incelenebilir ve aralarındaki ilişkiler araştırılabilir. Ayrıca, bir kapsamlı submersiyonun kaynak manifoldu için şu problem çalışılabilir: "Hangi koşullar altında kaynak manifoldu Einstein uzayı olur?". Diğer taraftan, tüm tanımlanan submersiyonların Fizik'te karşılığının var olduğu bilinen bir gerçektir. Bilhassa, şu probleme cevap aranabilir: "Kapsamlı submersiyonun Fizik'teki karşılığı nedir?". Disiplinlerarası çalışma adına etkili bir problem olacağı öngörülmektedir. Son olarak, submersiyon teorisinin istatistiksel makine öğrenmesi süreçlerinde karşılığı olduğu bilinmektedir. Tanımladığımız kapsamlı submersiyon ve istatistiksel makine öğrenmesi arasındaki ilişkiler çalışılabilir. Dahası, submersiyon teorisinin kullanıldığı daha başka alanlardaki kapsamlı submersiyonların karşılıkları araştırılıp çalışılabilir.
  • Öge
    On estimation of probability density function
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2019) Erçelik, Elif ; Nadar, Mustafa ; 10276854 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Yoğunluk fonksiyonu kestirimi istatistiğin en temel problemlerinden biridir. Yoğunluk fonksiyonu kestirimi basitçe dağılımı bilinmeyen bir veri seti için yoğunluk fonksiyonu oluşturulması problemi olarak tanımlanabilir. Yoğunluk fonksiyonu kestirimi için parametrik ve parametrik olmayan yaklaşımlar mevcuttur. Parametrik yaklaşımda, yoğunluk fonksiyonunun birkaç parametreye kadar bilindiği varsayılmaktadır. Böylece, bilinmeyen parametreler için kestiriciler kurmak, parametrik kestirim yaklaşımı için yeterlidir. Parametrik olmayan yoğunluk fonksiyonu kestirimi yaklaşımında bu varsayım hafifletilmiştir. Parametrik olmayan yaklaşım sadece verilere dayanır ve "verinin kendi adına konuşmasına izin verir". Parametrik olmayan yoğunluk fonksiyonu kestirimi ekonomi, bankacılık, genetik, klimatoloji, hidroloji gibi çok çeşitli alanlarda karşımıza çıkar. Bu nedenle, parametrik olmayan yaklaşım ile ilgili literatürde birçok çalışma mevcuttur ve yoğunluk fonksiyonu kestirimi için çeşitli metodlar önerilmiştir. Bu metodlardan çekirdek kestirimi, ortogonal kestirim metodu ve delta dizileri metodu en çok kullanılan metodlardır. Tezin ilk bölümünde, yoğunluk fonksiyonu kestirim problemi hakkında kısa bir giriş yapılarak, kullanım alanları açıklanmıştır. Daha sonra, çekirdek kestirimi, ortogonal kestirim metodu ve delta dizileri metodu ile ilgili literatür özeti verilmiştir. Son olarak, tezin amacı açıklanarak ilk bölüm tamamlanmıştır. İkinci bölümde, bu tezde kullanılan temel tanımlar ve metodlar verilmiştir. Yoğunluk fonksiyonu kestirimi için en çok kullanılan metodlar açıklanmıştır. Ayrıca kestiricinin performansını ölçmek için gerekli ve kullanışlı metodlar tanıtılmıştır. Daha sonra, yoğunluk fonksiyonu kestirimi için çok önemli olan bant genişliği seçimi metodlarından bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, delta dizileri metodu çalışılmıştır. Yoğunluk fonksiyonu kestirimi ile ilgili literatürdeki çalışmalarda, yoğunluk fonksiyonu ve türevleri üzerine düzgünlük koşulu yazılmaktadır. Ancak, yoğunluk fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların var olduğu birçok uygulama mevcuttur. Dolayısıyla, düzgünlük koşulu yoğunluk fonksiyonu sınıflarını kısıtlar ve bu kısıtın kaldırılması ya da hafifletilmesi uygulamada oldukça önemlidir. Bu amaçla, yoğunluk fonksiyonu üzerindeki koşullar ikinci dereceden süreklilik modülü majorantları cinsinden yazılarak literatürdeki çalışmalarda çoğunlukla kullanılan ikinci dereceden diferansiyellenebilme koşulu hafifletilmiştir. Ayrıca, tek değişkenli ve çok değişkenli durumlar için d-değişkenli delta dizileri yardımıyla yazılmış kestiricilerin bir noktada ortalama karesel hata yakınsaklık hızı incelenmiş ve birinci dereceden sonlu farklar yardımıyla yazılmış yoğunluk fonksiyonu kestiricileri için daha önce elde edilen sonuçlar iyileştirilmiştir. Dördüncü bölümde, ortogonal seri kestirim metodu çalışılmıştır. Yoğunluk fonksiyonu kestiricileri Hermite serileri kullanılarak delta dizileri yardımıyla yazılmıştır. Böylece sonsuz destekli yoğunluk fonksiyonları için kestiricilerin bütünleşik hata kareleri ortalaması (MISE) yakınsama hızı elde edilmiştir. Daha sonra, kompakt destekli yoğunluk fonksiyonları için yazılmış kestiricilerin bütünleşik hata kareleri ortalaması ve ortalama karesel hata (MSE) yakınsaklık hızları incelenmiştir. Delta dizilerinin kullanılması, literatürde daha önce Hermite serileri yardımıyla yazılmış kestiriciler için elde edilen sonuçların iyileştirilmesini sağlamıştır. Beşinci bölümde ise çekirdek metodu çalışılmıştır. Çekirdek metodu parametrik olmayan kestirim metodlarından en yaygın olanıdır. Bu metodda, çekirdek genellikle simetrik olup, çekirdek seçiminin band genişliği seçiminden daha az önemli olduğu düşünülmektedir. Ancak, yoğunluk fonksiyonu kompakt ya da yarı sonlu desteğe sahip olduğunda klasik simetrik çekirdekler ile yazılmış kestiriciler sınır yanlılığı sorununa neden olmaktadır. Bu problemin çözümü için literatürde birçok yöntem mevcuttur. Son zamanlarda önerilen bir yöntem ise klasik simetrik çekirdek ile yazılmış kestirici yerine asimetrik çekirdek ile yazılmış kestirici kullanmaktır. Bu tezde klasik kestirici yerine, beta prime yoğunluk fonksiyonu uygun parametrelerle çekirdek yerine kullanılarak, yeni bir asimetrik çekirdek kestiricisi önerilmiştir. Önerilen yeni kestiricinin, sınır yanlılığı problemini çözdüğü ve optimal ortalama karesel hata ve bütünleşik hata kareleri ortalaması yakınsama hızına sahip olduğu gösterilmiştir. Diğer asimetrik kestiricilerde olduğu gibi, düzlemenin yapıldığı noktadan uzakla¸stıkça varyansın azaldığı gözlenmiştir. Bu da gözlemlerin seyrek olduğu yoğunluk fonksiyonu kestiriminde avantaj sağlayan bir özelliktir. Ayrıca, simülasyon çalışmaları yardımıyla, bu kestiricinin sonlu örnek özellikleri incelenmiş ve bu kestirici ile literatürde var olan asimetrik kestiricilerin ortalama bütünleşik karesel hataları (ISE) karşılaştırılmıştır. Kalın kuyruklu yoğunluk fonksiyonları için klasik bant genişliği seçim metodlarının yetersiz kaldığı bilinmektedir. Bu nedenle, kalın kuyruklu yoğunluk fonksiyonları kestirimi için klasik bant genişliği seçim metodları yerine uyarlamalı Bayesian bant geni¸sli˘gi seçim metodu, asimetrik kestiricilerin bant genişliği için daha önce kullanılmamış bir metot olan Lindley yaklaşımı yardımıyla kullanılmıştır. Bu yaklaşımdan elde edilen bant genişlikleri ile klasik en küçük kareler çapraz geçerleme (LSCV) metodundan elde edilen bant genişliklerinden alınan ortalama bütünleşik karesel hataları karşılaştırılarak önerilen metodun kullanışlılığı gösterilmiştir. Daha sonra, elde edilen sonuçlar gerçek veriler kullanılarak örneklenmiştir. Altıncı bölümde ise ölçeklendirilmiş ters ki kare yoğunluk fonksiyonu kullanılarak yeni bir asimetrik çekirdek kestirici önerilmiştir. Bu kestiricinin asimptotik özellikleri incelenerek ortalama karesel hata ve bütünleşik hata kareleri ortalaması optimal yakınsama hızına sahip olduğu gösterilmiştir. Ölçeklendirilmiş ters ki kare kestiricisi için, bir önceki bölümde önerilen Lindley yaklaşımı yardımıyla uyarlamalı Bayesian bant genişliği seçim metodu ile elde edilen bant genişliklerinden alınan ortalama bütünleşik karesel hataları değerinin en küçük kareler çapraz geçerleme ile elde edilen bant genişliklerinden elde edilenden çok daha küçük olduğu gözlenmiştir. Simulasyon çalışmalarında ayrıca, yeni önerilen kestirici ile beta prime kestiricileri ve Birnbaum Saunders power-exponential çekirdek kestiricileri ortalama bütünleşik karesel hataları karşılaştırmaları yapılmıştır. Ayrıca, gerçek veri uygulamalarıyla yeni kestiricinin performansı incelenmiştir. Beta prime çekirdek kestiriciler için yapılan çalışmalarda sınırda omuz şekline sahip verilerin ("shoulder data") uygun olmadığı buna karşı yeni önerilen kestiricinin uygun olduğu gösterilmiştir. Böylece yeni kestiricinin beta prime kestiricisine alternatif olarak kullanılabileceği düşüncesi ortaya çıkmıştır. Son bölümde ise bu tezde elde edilen sonuçlar açıklanarak, gelecekte yapılabilecek çalışmalardan bahsedilmiştir.
  • Öge
    Geometry of Weyl spaces with a special connection
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2019) Türkoğlu, Mustafa Deniz ; Özdemir, Fatma ; 10259814 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Bu tezde, özel koneksiyona sahip Weyl manifoldu üzerinde bazı belirgin geometrik yapıları ve büyüklükleri inceledik. Özel olarak, yarı-simetrik rekürant metrik koneksiyona sahip uzay tanımlanarak, geometrik yapısı üzerinde duruldu ve Riemann uzayı ile bu yeni yapıya sahip Weyl uzayı arasındaki farklılıklara ve benzerliklere değinildi. Genel bir çerçeve verilecek olursa; Weyl manifoldu üzerinde yarı-simetrik rekürant metrik koneksiyon tanımlanarak, bu manifold üzerinde eğriler, eğrilere bağlı özellikler ve büyüklükler incelendi; yarı-simetrik rekürant metrik koneksiyona sahip Einstein Weyl manifoldunun, Einstein Weyl manifoldu olması için gerek ve yeter koşul ispatlandı, kesitsel eğriliği incelendi; bu yapıya sahip Weyl manifoldu üzerindeki geometrik yapıların dönüşümlerini saptamak adına konformal ve projektif dönüşümler altındaki eğrilikleri hesaplandı; sabit ve sıfır skaler eğriliklere sahip Weyl manifoldu inşa edilerek, ilgili eğrisel hesaplamalar üzerinde çalışıldı. Tüm bunlara ek olarak, Riemann, Weyl ve yarı-simetrik rekürant metrik koneksiyona sahip Weyl uzayları arasında, ilgili jeodezik denklemlerin değişimlerini karşılaştırmak için, koşulları özel olarak seçilen bir örnek kurularak, çözümü yapıldı.