Diferansiyel Operatörlerin Düzenli İzleri Ve Spektral Özellikleri

Abstract

Matematiksel fiziğin bazı problemlerinde zaman değişkenine göre kısmi türev sadece diferansiyel denklemde değil aynı zamanda sınır koşularında da ortaya çıkmaktadır. Böyle problemlere uygun olan sınır-değer problemlerinde özdeğer parametresi sadece diferansiyel denklemde değil aynı zamanda sınır koşullarında da bulunmaktadır. Süreksiz sınır-değer problemleri ise farklı fiziksel ve mekanik özellikleri bulunan cisimler arasındaki ısı ve madde iletimi veya başka geçiş süreçlerinde ortaya çıkmaktadır. Literatürde süreksiz Sturm-Liouville problemleri hakkında çalışmalar mevcuttur, ama süreksizlik noktası sayısı birden fazla olduğunda özdeğer ve özfonksiyonların asimtotik davranışlarının ve bazı spektral özelliklerinin nasıl değiştiği bu tezde incelenen konular arasındadır. Yine literatürde diferansiyel ifadede süreksiz operatör içeren Sturm-Liouville operatörlerinin düzenli izleri birkaç çalışma dışında araştırılmamıştır. Bu tezde daha genel ve farklı sınır koşullarına sahip süreksiz operatör katsayılı bir diferansiyel operatör için düzenli iz formülü elde edilmiştir. Bu tezin esas kısmı 5 bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde tezde incelenen problemler tanıtılmış, bunların uygulama alanlarından bahsedilmiş, teorik önemi belirtilmiş ve bunlarla ilgili olarak yapılan çalışmalar hakkında literatür özeti verilmiştir. İkinci bölümde ise aralığında tanımlı; iki noktada süreksizliğe sahip ağırlık fonksiyonuna sahip diferansiyel operatörü ve şeklinde sınır koşullarının birinde özdeğer parametresinin yer aldığı geçiş (iletim) koşullarına sahip sınır-değer probleminin özdeğerleri ve özfonksiyonları için asimtotik formül bulunmuştur. ve olarak alındığında problem sürekli bir sınır-değer problemine dönüşür ve elde edilen sonuçlar [C. T. Fulton, Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 77 (1977) 293-308] çalışmasında elde edilen sonuçlarla çakışır. Sürekisizlik noktalarının sayısını tek bir nokta olarak almamız durumunda ise sonuçlar [O. Sh. Mukhtarov and M. Kadakal, Some spectral properties of one Sturm-Liouville type problem with discontinuous weight, Siberian Mathematical Journal, 46 (2005) 681-694] çalışmasındaki sonuçlarla çakışır. Yani elde edilen sonuçlar literatürdeki sonuçların bir genelleştirilmesidir. Üçüncü bölümde ise sınır koşulunda özdeğer parametresi olan tanım aralığında sonlu sayıda süreksiz noktaya sahip olan sınır-değer problemi; yani aralığında tanımlı diferansiyel operatörü; sınır koşulları ve geçiş koşulları ile oluşturulan sınır-değer problemi uygun bir Hilbert uzayı ve bu uzayda kendine eş bir lineer operatör tanımlanarak problem operatör denklem olarak ifade edilmiştir. Kökleri (sıfırları) sınır-değer probleminin özdeğerleri olacak şekilde bir polinom bulunmuş ve özdeğerlerin katlılığı incelenmiştir. Daha sonra özdeğer ve özfonksiyonlar için asimtotik formüller bulunmuş, spektrumunun sadece özdeğerlerden ibaret olduğu ispatlanmış, resolvent operatörü incelenmiş, özfonksiyonlar cinsinden seri açılımı elde edilmiş ve özfonksiyonların tamlığı incelenmiştir. sonsuz boyutlu ayrılabilir bir Hilbert uzayı olmak üzere uzayında diferansiyel ifadeleri ve aynı sınır koşulları ile oluşturulan operatörler sırasıyla ve olsun. Burada , olmak üzere dan ye koşullarını sağlayan bir operatördür ve , operator fonksiyonu aralığında tanımlıdır ve aşağıdaki koşulları sağlar: a.) Her için ikinci mertebeden zayıf türeve sahiptir. zayıf ölçülebilirdir ve her için kendine eş nükleer operatörlerdir. b.) fonksiyonları aralığında sınırlı ve ölçülebilirdir. Burada dan a nükleer operatörler uzayını göstermektedir. c.) Her için dır. operatörünün özdeğerleri ve operatörlerinin özdeğerleri olsun. Dördüncü bölümde ve operatörlerinin saf ayrık spektruma sahip olduğu gösterilmiş, resolvent operatörleri için bazı eşitlikler elde edilmiş ve operatörünün düzenli izi için şeklinde bir formül bulunmuştur. Eğer diferansiyel ifadedeki sınırsız katsayılı operatörü yani operatörünü özdeş olarak sıfıra eşit alırsak elde edilen sonuçlar [K. Koklu, I. Albayrak, A. Bayramov, A regularized trace formula for second order differential operator equations, Mathematica Scandinavica, 107 (2010) 123-138] çalışmasındaki sonuçlar ile çakışır. Beşinci bölümde ise [-1,1] aralığının ve gibi iki iç noktasında süreksiz olan, katsayıları sonlu diferansiyel denkleminden, , sınır koşullarından ve x= , x= süreksizlik noktalarındaki geçiş koşullarından oluşan bir Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarının tamlığı incelenmiştir. Sınır-değer-geçiş problemi önce uygun Hilbert uzayında kendine eş bir operatör yardımıyla özdeğer problemi olarak ifade edilmiştir. Daha sonra bu operatörün simetrik bir operatör olduğu ispatlanmış ve özfonksiyonlar sistemine açılım teoremi ispatlanmıştır.

This thesis consists of five main chapters. In introduction, we give a general information about the theory of Sturm-liouville operators and previous works in the literature which is realatively close to our studies. Also establishment of the problems is given in introduction. In the second chapter, we extend some spectral properties of regular Sturm-Liouville problems to those which consist of a Sturm-Liouville equation with discontinuous weight at two interior points together with spectral parameter-dependent boundary conditions. By modifying some techniques of [C. T. Fulton, Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 77 (1977) 293-308; O. Sh. Mukhtarov and M. Kadakal, Some spectral properties of one Sturm-Liouville type problem with discontinuous weight, Siberian Mathematical Journal, 46 (2005) 681-694], we give an operator-theoretic formulation for the considered problem and obtain asymptotic formulas for the eigenvalues and eigenfunctions. In the third chapter, we investigate discontinuous two-point boundary value problems with eigenparameter in the boundary conditions and with transmission conditions at the finitely many points of discontinuity. Namely we consider the discontinuous eigenvalue problem which consist of Sturm-Liouville equation on together with eigenparameter-dependent boundary conditions and transmission conditions at the points of discontinuity where is a given real-valued function continuous in and has finite limits ; is a complex eigenvalue parameter; are real numbers; and This section organised as follows: Firstly we give operator formulation of the problem in a suitable Hilbert space (i.e., A self-adjoint linear operator is defined in a suitable Hilbert space such that the eigenvalues of the considered problem coincide with those of ) and then asymptotic approximate formulas of characteristic function derived for four distinct cases. Asymptotic formulas for eigenvalues and eigenfunctions of the problem is given and finally we show that the eigenfunctions of are complete in . In the fourth chapter, assuming is a separable Hilbert space, we consider the operators and generated by the differential expressions and respectively, in the Hilbert space , with the same boundary conditions where is a positive definite self-adjoint operator in and satisfies some additional conditions. Let the eigenvalues of the operators and be and respectively. In this section, firstly we investigate the spectrum and resolvent of the operators and . Finally, under the conditions (1)-(3) the following formula has been found for the regularized trace of : In the fifth chapter, we investigate the resolvent operator and completeness of eigenfunctions of a Sturm-Liouville problem with discontinuities at two points. The problem contains an eigenparameter in the one of boundary conditions. For operator-theoretic formulation of the considered problem we define an equivalent inner product in the Hilbert space and suitable self-adjoint linear operator in it.