LEE- Matematik Mühendisliği-Doktora

Bu koleksiyon için kalıcı URI

http://hdl.handle.net/11527/19384

Gözat

Klasik ve mikrogermeli ortam teorisiyle modellenen plaklarin caputo kesirli türevi yardimiyla nonlokal titreşim analizi

(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2020) Aydınlık, Soner ; Kırış, Ahmet ; 638082 ; Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

Bu çalışmada dikdörtgen plakların yerel olmayan üç boyutlu titreşim analizi Caputo kesirli türevi yardımıyla incelenmiştir. Kesirli türev son yıllarda mühendislik, fizik, finans, biyoloji gibi birçok alanda yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Kesirli türevin sürekli ortamlar mekaniğine uygulamaları ise, nonlokal problemlerin ve bellekli malzemelerin modellenmesinde literatürde var olan yöntemlere göre yeni bir bakış açısı getirmektedir. Klasik sürekli ortamlar mekaniğinin gelişmesine büyük katkı sağlayan gerilme tansörü kavramı 19. yy başlarında Cauchy tarafından ortaya konulmuş ve böylece lineer elastisite teorisi için hareket denklemi üç boyutlu duruma genelleştirilmiştir. Ancak bu modelde malzemenin iç karakteristik uzunluğu hesaba katılmadığı için 1960'larda yerel olmayan elastisite teorisi geliştirilmiştir. Son yıllarda kesirli analizin yaygınlaşmasıyla birlikte yerel olmayan yeni modeller geliştirilmiştir. Bu yeni modellerin temel avantajı, klasik sürekli ortamlar mekaniğinin genel yerel olmayan yapısına benzer olmasının yanı sıra, kesirli türevin tanımından kaynaklanan bazı eklemeler sayesinde fiziksel gerçeklere daha uygun olmasıdır. Ayrıca, kesirli türev kullanımı nedeniyle fiziksel büyüklüklerde meydana gelen birim uyuşmazlığı da birim uyum katsayısı tanımlanarak ortadan kaldırılabildiği için genelleştirilmiş kesirli yer değiştirme gradyanları ve kesirli gerilme büyüklükleri gibi büyüklükler, klasik olanlarla aynı fiziksel birimlere sahip olurlar. Mekanikte gerek uzaysal değişkenler ve gerekse de zaman değişkeni üzerinde kesirli analiz yapmak çok daha gerçekçi olduğundan, bu alandaki çalışmalar giderek yaygınlaşmaktadır . Bu tez çalışmasında nonlokal etkileri yansıtmak için klasik yer değiştirme gradyanları yerine, Caputo kesirli türevi yardımıyla tanımlanan kesirli yer değiştirme gradyanları kullanılmıştır. Burada kabul edilebilir fonksiyonlar olarak sınır fonksiyonlarıyla çarpılmış Chebyshev polinomları alınmıştır. Sınır fonksiyonları plağın temel geometrik sınır koşullarını sağlayacak şekilde seçilmiş, ancak gerilme sınır koşulları dikkate alınmamıştır. Kesirli türevlerin nonlokalite üzerindeki etkisini göstermek için, farklı sınır koşullarına sahip bazı dikdörtgen plakların titreşim analizi incelenmiştir. Sonuçlar, beklentilere uygun olarak kesirli türevin mertebesi klasik türevin mertebesine yaklaştıkça, nonlokal etkinin azalarak elde edilen frekans değerlerinin klasik durum için elde edilen frekans değerlerine yaklaştığını göstermektedir. Tez çalışmasında klasik titreşim probleminin Caputo kesirli türeviyle incelenmesinin yanı sıra mikrogermeli ortam teorisiyle modellenen dikdörtgen plakların titreşim analizi de Caputo kesirli türevi yardımıyla elde edilmiştir. Mikrogermeli ortam parçacağın klasik şekil değiştirmesinin yanı sıra, bu klasik şekil değiştirmeden bağımsız mikro hacimsel genleşme ve mikro dönme yapabildiği kabulüne dayanmaktadır. Kesirli türev yardımıyla mikrogermeli ortam teorisiyle modellenmiş plakların titreşim problemini nonlokal teoriyle incelemek hesapları basitleştirmesiyle beraber klasik teoriye göre daha iyi sonuçlar vermektedir.
Finite-time control of switched linear systems with time-delay

(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2020) Göksu, Gökhan ; Ilgaz, Ulviye ; 509132052 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering

Denetim kuramı dinamik sistemin girdisini, çıktısına göre ayarlamak suretiyle sistemin belirli bir davranışı sergilemesini inceleyen bir mühendislik ve matematik dalıdır. İncelenen sistemler zamana göre ayrık veya sürekli olabildiği gibi, bazı durumlarda dinamik sistemin davranışı sürekli ve ayrık olayların birleşiminden de oluşabilir. Bu tip sistemlere melez (hybrid) sistemler adı verilir. Melez sistemler konusunda sürekli sistemlerin ayrık ve anlık olaylarla değiştiği sistemler olan anahtarlamalı sistemler konusu yaygın olarak çalışılmaktadır. Anahtarlamalı sistemlerle ilgili çalışmalarda genellikle sistemin asimptotik kararlı olması durumu incelenmiştir. Halbuki bir çok pratik uygulamada sonlu zaman kararlı/sınırlı olması durumu, yani sistemin davranışının sonlu zamanda belli sınırlarda tutulması durumu önem arz etmektedir. Asimptotik olarak denge noktasına giden asimptotik kararlı sistemler, sonlu zaman kararlı/sınırlı olmayabilir; bazı sonlu zaman kararlı/sınırlı sistemler asimptotik kararlı olmayabilir. Anahtarlamalı sistemlerle ilgili ana çalışma alanı ise yaşam süresi veya ortalama yaşam süresidir. Yaşam süresi ardışık anahtarlama zamanlarının farkının belli bir yaşam süresinden fazla olması; ortalama yaşam süresi ise ardışık anahtarlama zamanlarının farkının ortalamasının belli bir ortalama yaşam süresinden fazla olmasıdır. Mühendislikte ve matematikte incelenen bazı dinamik sistemler; sistemin o andaki durumunun yanında, sistemin geçmişteki durumuna da bağlı olabilir. Bu tip sistemler zaman gecikmeli sistemler olarak adlandırılır ve zaman gecikmesi kötü performansa veya sistem kararsızlığına neden olabilir. Bu çalışmada, anahtarlamalı sistemlerin alt sistemlerinin kararsız ve karışık kararlı olması durumu ele alınmıştır. Anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin bozucu etkisinde sonlu zaman kararlı/sınırlı ve H$_\infty$ sınırlı olma durumları incelenmiştir. Öncelikle, sonlu zaman kararlılığı ile asimptotik kararlılık arasındaki farklar örnekler üzerinde gösterilmiş, sistem matrisleri Hurwitz kararlı olmayan ve zamana bağlı olmayan doğrusal sistemlerin sonlu zaman kararlılığı için yeter koşul elde edilmiştir. Sonlu zaman sınırlılığı ve H$_\infty$ denetimi sağlayacak gözlemci tabanlı denetimcinin varlığı için Lyapunov-Krasovskii fonksiyoneli kullanılarak yeni yeter koşullar elde edilmiştir. Herhangi bir matris ayrıştırımına ihtiyaç olmadan gözlemci tabanlı denetimci tasarlanarak, alt sistemlerin kararsız ve karışık kararlı olduğu durumlar için ortalama yaşam süresi sınırları bulunmuştur. Bu sınırlarda doğrusal olmayan terimlere bağlı olan bazı sabitler içerdiğinden ve bu terimler de yeter koşullardaki matrislerden oluştuğundan dolayı; ortalama yaşam süresindeki bu sabitlerin çözümü için koni tamamlayıcı bir algoritma sunulmuştur. Tüm bu çalışmalar durum geri beslemesi için de uygulanmıştır. %Bu çalışmada anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemler için durum geri beslemesi altında ve gözlemci tabanlı sonlu zaman kararlılık analizleri yapılmıştır. Anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemlerin kararlılığı ile ilgili yapılan çalışmalarda genellikle durum geri beslemesi ele alınmıştır. Bu sistemlerin gözlemci tabanlı kontrolü ile ilgili çalışmalar kısıtlıdır. Bu çalışmalarda da belirli bir aralıktaki zaman gecikmesi göz önüne alınmamıştır. Ayrıca gözlemci kazanç matrisinin hesaplanması, yeter koşulda verilen doğrusal matris eşitsizliklerinden elde edilen matrislerin özel bir yapıda ayrışmasına bağlıdır. Ortalama yaşam süresi kısıtındaki özdeğerlerin hesaplamaları hakkında hiçbir detaylı açıklama da verilmemiştir. Bunun yanı sıra, durum vektörünün sistem matrisleri Hurwitz kararlı olarak seçilmiştir ve kararsız ve karışık kararlı alt sistemler arasında anahtarlama olması durumu incelenmemiştir. Çalışmanın birinci bölümü olan giriş bölümünde kontrol süreci gösterilmiştir. Melez sistemler ve anahtarlamalı sistemler konusundaki çalışmalar özetlenmiş, sonlu zaman kararlılığı konusunda yapılan çalışmalar ile ortalama yaşam süresi konusunda yapılan çalışmalardan bahsedilmiştir. Tezde ele alınan problemlerden anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemlerde yapılan çalışmalarda eksik olan kısımlar özetlenerek literatür özeti tamamlanmıştır. İkinci bölümde, bu tezde kullanılan temel tanımlar ve bilgiler tanıtılmıştır. Öncelikle diferansiyel denklem sistemlerinin çözümlerinin varlığı ve tekliği için yeter koşullar verilmiştir. Melez sistemler, bir mühendislik örneği olan araçların vites dinamiği ile tanıtılarak, anahtarlamalı sistemlerin ne tarz durumlarda ortaya çıkabileceği gösterilmiş; duruma bağlı anahtarlama ve zamana bağlı anahtarlama durumları ayrıntılarıyla ele alınmıştır. Kısıtlamalı anahtarlama altında anahtarlama durumlarına bağlı yaşam süresi ve ortalama yaşam süresi kavramları tanıtılarak zaman gecikmeli sistemler ile ilgili temel bilgiler verilmiştir. Sonlu zaman kararlılığı ve sınırlılığı, Lyapunov kararlılık tanımları verilerek, bu iki kararlılık tanımları arasındaki kavram farkılıkları ortaya konmuş ve anahtarlamalı sistemler üzerinde örnek verilmiştir. Verilen örnekte kararlı iki alt sistemin periyodik anahtarlama altında periyoda bağlı kararlı veya kararsız olma durumlarının gözlemlendiği gösterilmiştir. Daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan; vektör normu ve matris normu kavramları, Schur yardımcı teoremi, Grönwall yardımcı teoremi ve Jensen eşitsizliği sunulmuş ve tezde kullanılan notasyonlar belirtilmiştir. Üçüncü bölümde; kararlı, kararsız ve karışık kararlı alt sistemlere sahip doğrusal anahtarlamalı sistemlerin vektör ve matris normları kullanılarak sonlu zaman kararlılık analizi yapılmıştır. Alt sistem matrislerinin özdeğerleri ve koşullandırma sayılarına bağlı sonlu zaman kararlılık koşulları ve bu alt sistemlerin olası aktivasyon sayıları elde edilmiştir. Anahtarlamalı sistemin sonlu zaman kararlılığının sağlanması için yeni ortalama yaşam süresi önerilmiştir. Son olarak da sayısal örneklerle teorik sonuçlar açıklanmıştır. Dördüncü bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin durum geri beslemesi altındaki sonlu zaman sınırlılığı ele alınmıştır. Yeter koşullarla birlikte ortalama yaşam süresi elde edilmiştir. Bu koşullarda dışbükey olmayan terimler olduğu için bu terimleri doğrusal matris eşitsizliği koşullarına çeviren bir koni tamamlayıcı doğrusallaştırma yöntemi ve algoritması kullanılmıştır. Son olarak da sayısal bir örnek verilmiştir. Beşinci bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin gözlemci tabanlı sonlu zaman sınırlılığı durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin tamamının kararsız ve karışık kararlı (yani bir kısmı kararlı bir kısmı kararsız) olması durumlarına göre incelenmiştir. Bu iki durumda da gözlemcinin varlığı için yeni yeter koşullar ve ortalama yaşam süresi tanıtılmıştır. Ortalama yaşam süresindeki parametrelerin hesabı için koni tamamlayıcı doğrusallaştırma yöntemi ve algoritması gösterilmiştir. Son olarak da literatürdeki durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin tamamının kararsız olma durumunu inceleyen karşılaştırmalı bir örnek ile bu matrislerin karışık kararlı olma durumunu inceleyen sayısal örnekler verilmiştir. Altıncı bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin H$_{\infty}$ sonlu zaman sınırlılığı için bir gözlemci tabanlı denetimci tasarlanmıştır. H$_{\infty}$ sonlu zaman sınırlılığı incelenen sisteme bozucu etki etmesinden dolayı incelenmiştir. Bu bölümde durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin karışık kararlı olması durumu için koşullar elde edilip, önerilen koşulların etkinliği ve geçerliliği sayısal bir örnek üzerinde gösterilmiştir. Gelecek çalışmalarda, moda bağımlı kararlılaştırma analizi ve gürbüz kararlılık ele alınarak şu ana kadar yapılan çalışmaların genişletilmesi düşünülmektedir.
Z-simetrik manifoldlar

(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2020) Yavuz Taşçı, Ayşe ; 648933 ; Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

Bu tez çalışmasında, diferansiyel geometride önemli bir yere sahip simetrik manifoldların genelleştirilmesi olarak tanımlanan Z-simetrik tensöre sahip manifoldların çalışılması ve özelliklerinin incelenmesi amaçlanmıştır. Z-simetrik tensör kavramı, ilk olarak, 2012 yılında Mantica ve Molinari'nin birlikte yayınladıkları, zayıf Ricci simetrik, pseudo Ricci simetrik ve pseudo projektif Ricci simetrik manifoldlarının genelleştirilmesi olarak tanımladıkları Zayıf Z-simetrik Manifoldlar çalışması ile başlamıştır. Mantica ve Molinari'nin bu çalışmasından sonra, Z-simetrik tensör ile ilgili birçok bilimsel yayın yapılmıştır. Bu sebeple, bu tezde bazı özel manifoldlarda, $\phi$, keyfi bir skaler fonksiyon, S, Ricci tensörü ve g, metrik tensörü olmak üzere, Z(X;Y) = S(X;Y)+\phig(X;Y) şeklinde tanımlanan (0,2) tipindeki Z-simetrik tensörü göz önüne alınarak, bu tensörün özelliklerinin incelenmesi amaçlanmıştır. Bu tez çalışması sekiz bölümden oluşmaktadır: Birinci bölümde, Z-simetrik tensörü ile ilgili bu zamana kadar yapılmış bilimsel yayınlardan bahsedilmiştir. Tez çalışmasının ikinci bölümünde, Riemann manifoldlarının genel bir tanımı verilerek, Riemann manifoldu ile ilgili temel kavramlardan bahsedilmiştir. Bu bölümün devamında, tez çalışmasının diğer bölümlerinde kullanılacak olan Riemann manifoldu üzerinde tanımlı, bazı eğrilik tensörlerinin ve bazı özel Riemann manifoldlarının tanımı hatırlatılmıştır. Tezin üçüncü bölümünde, ilk olarak, pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar tanımlanmış ve bu manifoldlara ait bazı özellikler incelenmiştir. Pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar üzerinde Ricci tensörünün özdeğeri ile Z-simetrik tensörünün özdeğeri elde edilmiştir. Z-simetrik tensörünün sıfırdan farklı bir ize sahip olması ve manifoldun yarı-Einstein manifoldu olması için gerekli şartlar bulunmuştur. Bundan başka, manifoldun Ricci tensörü Codazzi tipinde seçilerek, pseudo devirli Z-simetrik manifold ile Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanları arasındaki bağıntı elde edilmiştir. Ayrıca, pseudo devirli Z-simetrik manifoldunun aynı zamanda, pseudo devirli bir Ricci simetrik tensöre sahip olamayacağı ispatlanmıştır. Daha sonra, 4-boyutlu Riemann metriği kullanılarak, pseudo devirli Z-simetrik manifoldların varlığını ispatlayan bir örnek verilmiştir. Bu bölümde, son olarak, konformal olarak düz pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar incelenmiş ve bu manifoldların özellikleri bulunmuştur. Dördüncü bölümde, ilk olarak, konsörkılır olarak düz, Z-simetrik manifoldlar göz önüne alınmıştır. Bu bölümde, konsörkılır olarak düz, Z-simetrik bir Riemann manifoldunun Einstein manifoldu olduğu ispatlanmıştır. Konsörkılır olarak düz, bir Riemann manifoldunun Z-simetrik tensörünün kovaryant sabit olması için gerekli şartlar elde edilmiştir. Konsörkılır olarak düz bir manifold üzerinde, Z-metrik tensörünün skaler fonksiyonu tarafından üretilen vektör alanının tors oluşturan, konsörkılır ve rekürant vektör alanları olması durumları incelenmiştir. Bununla birlikte, 4-boyutlu konsörkılır olarak düz, Z-simetrik manifold örneği verilmiştir. Daha sonra, konsörkılır Ricci simetrik tensörünün rekürant, Codazzi tipinde ve devirli tensör olması durumlarında, Z-simetrik tensörünün çeşitli özellikleri elde edilmiştir. Diğer taraftan, bu manifoldun ilişkili 1-formunun bazı koşullar altında sabit olduğu bulunmuştur. Ayrıca, konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip Z-simetrik manifoldların 4-boyutlu uzaylardaki örnekleri verilmiştir. Bu bölümde, son olarak, konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip Z-simetrik uzay-zamanı araştırılmış ve bu uzay-zamanı ile ilgili teoremler ispatlanmıştır. Beşinci bölümde, (PKRS)n olarak adlandırılmış olan pseudo konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip, Z-simetrik manifoldlar üzerinde çalışılmıştır. Hangi durumlarda (PKRS)n manifoldunun mevcut olamayacağı araştırılmıştır. Bununla birlikte, bu manifold üzerinde Z-simetrik tensörünün özdeğeri bulunmuştur. Ayrıca, manifoldun ilişkili vektör alanının tors oluşturan vektör alanı olması halinde, manifold ile ilgili çeşitli sonuçlar elde edilmiştir. Altıncı bölümde, konharmonik eğrilik tensöre sahip Z-simetrik manifoldlar araştırılmıştır. Bu bölümde, ilk olarak, Z-simetrik tensörü için bazı özel koşullar göz önüne alınarak, bu manifold üzerinde konharmonik eğrilik tensörünün özellikleri incelenmiştir. Bununla birlikte, konharmonik eğrilik tensörünün rekürant tensör ve kovaryant sabit olması durumları ele alınmıştır. Ayrıca, konharmonik eğrilik tensörünün kovaryant sabit ve Z-simetrik tensörünün rekürant olması halinde, Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanı ile rekürant vektör alanı arasında mevcut olan bağıntı elde edilmiştir. Daha sonra, bu bağıntı yardımıyla, Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanı ile rekürant vektör alanının bazı özel vektör alanları olması durumunda, bu manifoldun geometrik özellikleri bulunmuş ve ilgili teoremler ispatlanmıştır. Bu bölümde, son olarak, konharmonik eğrilik tensörüne sahip Z-simetrik manifoldlara ait bir örnek verilmiştir. Yedinci bölümde, projektif eğriliğe sahip, Z-simetrik manifoldlar ele alınmıştır. İlk olarak, Codazzi tipinde Z-simetrik tensörüne sahip bir manifold göz önüne alındığında, bu manifolda ait projektif Ricci tensörünün diverjanssız olmasını sağlayan gerek ve yeter kosul bulunmuştur. Daha sonra, projektif eğrilik tensörünün, Codazzi tipinde veya rekürant tensör şeklinde seçilmesi durumunda, bu manifoldun özellikleri incelenmiştir. Ayrıca, Z-simetrik tensörünün, Codazzi tipinde, rekürant veya diverjanssız tensör olması halinde, manifolda ait bazı özellikler bulunmuştur. Son olarak, projektif eğriliğe sahip Z-simetrik manifoldlar için 4-boyutlu uzaylara ait bir örnek verilmiştir. Sekizinci bölümde, Z-simetrik tensörüne sahip mükemmel akışkanlı uzay-zamanı göz önüne alınmıştır. İlk olarak, bu uzay-zamanın seçilen bir özvektörle ilişkili özdeğeri elde edilmiştir. Z-simetrik tensörünün ilişkili 1-formuna ait çeşitli koşullar belirlenerek, Z-tensörünün iz fonksiyonu ile ilgili bazı sonuçlar bulunmuştur. Ayrıca, bu uzay-zamanın Einstein uzayı olabilme koşulu elde edilmiştir. Daha sonra, basınçsız mükemmel akışkanlı Z-simetrik uzay-zamanı incelenmiştir.
The generalized fractional Benjamin Bona Mahony equation: Analytical and numerical results

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2021) Oruç, Göksu ; Mihriye Muslu, Gülçin ; Borluk, Handan ; 692763 ; Matematik Mühendisliği

In this thesis study we consider the generalized fractional Benjamin-Bona-Mahony (gfBBM) equation u_t+ u_x + \frac{1}{2}(u^{p+1})_x+ \frac{3}{4}D^{\alpha} u_{x}+ \frac{5}{4}D^{\alpha} u_{t}=0, where $x$ and $t$ represents spatial coordinate and time, respectively. This equation is derived to model the propagation of small amplitude long unidirectional waves in a nonlocally and nonlinearly elastic medium. The gfBBM equation has a general power-type nonlinearity and two fractional-type terms. Thanks to these properties, the gfBBM equation is noticed as a satisfactory and interesting model in the literature. The aim of this thesis study is to perform various mathematical and numerical analyses for the gfBBM equation and to understand the influence of nonlinearity and fractional dispersion on the dynamics of solutions. The thesis study is organized in the following way: In the first chapter, we briefly introduce the general background on the fractional type nonlinear partial differential equations with lower dispersion such as fractional Korteweg de Vries (fKdV) and fractional Benjamin-Bona-Mahony (fBBM) and gfBBM equations. Then, we propose derivation and some properties of the gfBBM equation. We also state the analytical and numerical methods used to solve this equation. Furthermore, the literature overview on gfBBM and related equations is given in this chapter. The second chapter is devoted to the analytical results for the gfBBM equation. In the first section of this chapter we recall the preliminaries. This section contains useful definitions related to functional analysis, lemmas and theorems used in the thesis. In the second section, we derive conserved quantities of the gfBBM equation. We also find constraints on the order $\alpha$ of the fractional term. The aim of the third section is to prove the local well-posedness of the Cauchy problem for the gfBBM equation together with the initial condition u(x,0)=u_0 (x). For the case $1 \leq \alpha \leq 2$, we prove the local well-posedness of the solutions by using contraction mapping principle. On the other hand, for the case $0 < \alpha < 1$, we use the approaches given for the fBBM equation by He and Mammeri (2018). Therefore, we consider the regularization of the Cauchy problem for the gfBBM equation and then use the convergence of regularized solutions to the solutions of main problem. The section 4 presents the conditions for the non-existence of solitary wave solutions to the gfBBM equation. Existence and uniqueness of solitary wave solutions are obtained by using the result of Frank and Lenzmann (2013). We also consider the restrictions on the $\alpha$ and speed of wave $c$ so that the gfBBM equation admits positive or negative solitary waves. Finally, we derive exact solitary wave solutions to the gfBBM equation for the special cases $\alpha=1$ and $\alpha=2$ when $p=1$. In the last section of this chapter we discuss the stability properties of solitary wave solutions associated to the gfBBM equation. We first give the Hamiltonian formulation of the equation. Then, we prove the orbital stability of solitary wave solutions by using approach given by Grillakis Shatah Strauss (GSS) (1987) and for the stability we obtain following conditions when $1 \leq p \leq 4$: 1) $\frac{p}{p+2}<\alpha < \frac{p}{2}$ and $c>c_{1,p}>1$, 2) $\frac{p}{2}<\alpha < 2$ and $c>1$ or $\frac{3}{5}>c>c_{2,p}$, with $c_{1,p}=\frac{6\alpha + 2p + 3 \alpha p + \sqrt 2 p \sqrt{2 \alpha - p + \alpha p} }{5(2 \alpha + \alpha p)}$ and $c_{2,p}=\frac{6\alpha + 2p + 3 \alpha p - \sqrt 2 p \sqrt{2 \alpha - p + \alpha p} }{5(2 \alpha + \alpha p)}$. In the last chapter, we present the numerical results for the gfBBM equation. We first state efficient numerical algorithms for gfBBM equation and then carry out various numerical experiments. The Petviashvili method is proposed for the generation of the solitary wave solutions that cannot be obtained analytically. We numerically investigate the effects of the relation between the nonlinearity and the dispersion on the solutions. The evolution of generated wave profiles in time is investigated numerically by Fourier pseudo-spectral method. The efficiency of the methods will be demonstrated by various numerical simulations.
Time series classification via topological data analysis

(Graduate School, 2022-06-22) Karan, Alperen ; Kaygun, Atabey ; 509152201 ; Mathematical Engineering

This dissertation aims to demonstrate the power of Topological Data Analysis (TDA) and the subwindowing method for feature engineering in time series classification tasks. As an application, we used two publicly available datasets, WESAD and DriveDB. These datasets consisted of physiological signals collected under stressful and non stressful events. Furthermore, in order to assess the reliability of our methodology, we tested our feature engineering methods on a synthetic dataset that consists of artificial physiological signals mimicking a stress detection study. The results indicated that automatically created topological features can yield higher classification accuracies than signal-specific and hand-crafted features (such as heart rate derived from an ECG signal). In the first chapter of this work, we briefly summarize TDA and persistent homology. Also, the methods for time series classification via persistent homology is discussed, and we make a literature review on the subject. The second chapter is devoted to time series methods, and how we can classify them. We first define the method of sliding windows, and discuss why it can be useful in machine learning tasks. Then, we talk about time delay embeddings which transforms a univariate time series into a high dimensional dataset. We illustrate how the topology of the resulting dataset is affected by the delay parameter (also known as the embedding dimension). At the end of this chapter, we introduced the subwindowing methodology which solved the main problem of this work. We showed that this method allows us to reduce noise, improve computation time by a large amount, and use longer windows without incurring extra computational cost. In the third chapter, the theoretical background for TDA and persistent homology is given. The chapter starts with discussing why we should see the data at different scales. Then we give preliminary definitions related with simplices and simplicial complexes. We state the Nerve theorem and talk about how a topological space and a simplicial complex can be homotopy equivalent under some assumptions. This theorem tells us that the Cech (and therefore Rips) complexes are topologically similar to the underlying object that the dataset was sampled from. Later in this chapter, we define simplicial homology and show how we can compute the homology of a simplicial complex. Note that we need a fixed distance (epsilon) parameter to build a simplicial complex on top of a dataset. On the other hand, persistent homology allows us to investigate the persistence of homology groups when epsilon varies. After presenting how persistent homology works, we define persistence diagrams and two widely used metrics between them. Also, we show that persistence diagrams are stable under small perturbations of the data. Lastly, we show some means of performing feature engineering of persistence diagrams. The fourth chapter consists of the description of the datasets used in this dissertation and our methodologies. First, we introduce the three datasets (synthetic, WESAD and DriveDB) used in this study. For the synthetic dataset, there were two classes of physiological signals: stress and non stress. The classes for WESAD were baseline, amusement and stress. For DriveDB, the classes were relax, driving in the highway (low stress) and driving in the city (high stress). We then talk about the physiological signals included in the datasets, their sampling frequencies, and some preprocessing we did beforehand. Our experiments had some parameters such as window size, subwindow size, the embedding dimension in time delay embeddings. Later in this chapter, we discuss how these parameters were chosen, and how we did feature engineering for our experiments. Then, we present the machine learning algorithms and their hyperparameters used in our experiments. Lastly in chapter four, we introduce the two cross-validation methodologies used in our experiments. For Leave-one-subject-out cross validation (LOSOCV), the model is trained on all subjects but one, and tested on the other. When each participant appears in the test set once and only once, the results are averaged. This cross validation technique tells us about the model's performance on a previously unseen subject. For intra-subject cross validation, we split each subjects data into two. We train on either half, and test on the other, then average the results. We get a final accuracy by averaging all accuracies obtained from each participant. This method shows whether the model can benefit from having the same subject's data on both the train and the test sets. The results of the experiments are covered in the fifth chapter. We presented the results for the synthetic, WESAD and DriveDB datasets, respectively. The results for the synthetic dataset indicated that as the magnitude of the physiological change that mimics stress increases, stress detection accuracy also improves. For example, when the heart rate variability -an important stress indicator- is raised, the topological features could detect it almost perfectly. The results imply that stress detection errors in real-world datasets can be attributed to the noisy nature of the dataset itself, rather than the topological features. For example, such lack of effect can appear when some participants do not react to the stress condition. When the results from the real datasets were investigated, we usually observed the highest affect recognition accuracies when features coming from all persistence diagrams (level sets and delay embeddings) are used. Nevertheless, using only one persistence diagram (resulting in much fewer features) we were able to achieve similar recognition performance. This tells us that high accuracies are attainable using a small number of automatically engineered topological features rather than hand-crafted signal-specific features. For the three-class tasks, we observed that stress conditions are well separated from other conditions. This result supports the hypothesis that topological features works pretty well in distinguishing chaotic time series from non chaotic ones. When we made a binary classification task (stress vs non stress), topological features again performed better than those used in the original studies for most of the physiological signals. We have already stated that an important advantage of the subwindowing method is to be able to change the window size effectively. When we tested different window sizes, we observed that higher windows implied better stress detection performance. Furthermore, model performance with intra-subjects cross validation was significantly higher than LOSOCV. This was an expected finding since the model can perform better on the test set when the data from the same subject appears in the training set. Finally, in the sixth chapter, we outline our methodologies and their limitations. We also discussed what future works can aim for. For example, future studies can assess the performance of a model trained on one dataset and tested on another. Also, later research can use semi-supervised (rather than supervised) tasks for even improved accuracies. Lastly, one can use other vector representations of persistence diagrams for feature engineering.
Biharmonic and biconservative submanifolds of lorentizan space forms

(Graduate School, 2022-12-16) Kayhan, Aykut ; Turgay, Nurettin Cenk ; 509172205 ; Mathematical Engineering

In 1964, Eells and Sampson gave the definition of biharmonic maps as a generalization of harmonic maps during they were studying on the energy functional E between Riemannian manifolds which has geometrical and physical interest. Later, many geometers interested in biharmonic maps. By the definition, a biharmonic map φ : M → N between two Semi-Riemannian manifolds is a critical point of the bienergy functional E2(φ) = 1 2 Z M ∥τ(φ)∥ 2 vg, where τ(φ) = trace∇dφ is the tension field of φ that vanishes for harmonic maps. If φ is a biharmonic isometric immersion into N then M is said to be biharmonic submanifold of N. In the middle of 1980's, Chen studied biharmonic submanifolds in Euclidean spaces as a part of his program of understanding finite type submanifolds in Euclidean spaces. He gave an alternative definition of biharmonic submanifolds in Euclidean spaces. That definition is also same for pseudo-Euclidean spaces: If the position vector field x : M → E n satisfies ∆ 2 x = 0 then M is called biharmonic submanifold, where ∆ denote the Laplacian of M. By the well known Laplace-Beltrami identity this equation is equivalent to ∆H = 0, where H is the mean curvature vector of M. In the mean time, independently, Jiang showed that a smooth map φ is biharmonic if and only if its bitension field τ2(φ) (which corresponds the Euler-Lagrange equation of bienergy functional) vanishes identically, i.e., τ2(φ) = 0. Jiang also showed that τ2(φ) = 0 if and only if ∆H = 0 for an isometric immersion φ : M → E n . As a result, definitions given by Chen and Jiang coincide for the class of Euclidean and pseudo-Euclidean submanifolds. Biconservative submanifolds arose from the theory of biharmonic submanifolds. Stress-energy tensor for the energy function described by Hilbert was expanded for the bienergy function as follows S2(X,Y) = 1 2 ∥τ(φ)∥ 2 ⟨X,Y⟩+⟨dφ,∇τ(φ)⟩⟨X,Y⟩ −⟨dφ(X),∇Y τ(φ)⟩ − ⟨dφ(Y),∇Xτ(φ)⟩ xxi satisfying divS2 = −⟨τ2(φ),dφ⟩ . In general, a submanifold is called biconservative if divS2 = 0. It means (τ2(φ))T = 0. Indeed, this is equivalent to (∆H) T = 0 when the ambient space is pseudo-Euclidean. Because, for the isometric immersion into E n 1 , τ(φ) = −mH and τ2(φ) = m∆H. In this thesis we study on the biconservative submanifolds and biconservative hypersurfaces of the Lorentzian space forms and we also obtained some results related biharmonic ones. This work consists of seven sections and these sections were planned as follows: In the first section, we give a brief history and philosophy of biharmonic and biconservative submanifolds and studies has been done so far. In the second section, we give some basic notions of the submanifold theory on Lorentzian inner product space and biharmonic submanifolds. In the third section, biconservative surfaces with constant mean curvature (CMC) in Minkowski 4-space E 4 1 is studied. Firstly, we determine the canonical forms of the shape operator and then we give some examples of such submanifolds in E 4 1 . Later, we classify biconservative CMC submanifolds in E 4 1 . Then, we generalize all results to the CMC surfaces of S 4 1 and H4 1 . In the fourth section, we examine the biconservative hypersurfaces in Minkowski 4-space E 4 1 . In particular, we study hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator A satisfying A(∇H) = − nH 2 ∇H, where n and H are the dimension and the mean curvature of the hypersurface, respectively. We determine the canonical forms of the shape operator, the mean curvature, sectional curvature and Levi-Civita connection of this hypersurface. Afterwards we give the necessary and sufficient condition for this hypersurface to be biconservative. Later we classify the biconservative hypersurface in E 4 1 and show the uniquniess of them. In fifth section, we examine the biconservative hypersurfaces with certain shape operator in Minkowski 5 space E 5 1 . We give some non-existence theorems. In the sixth section, we examine the biconservative submanifolds with mean curvature whose gradient is light-like in E n 1 . We give some non-existence results. In the last section, the obtained conclusions are shared and recommendations are made about the future of the problems.
Topological data analysis and clustering algorithms in machine learning

(Graduate School, 2023-03-13) Güzel, İsmail ; Kaygun, Atabey ; 509182203 ; Mathematical Engineering

In this dissertation, we define a new non-Archimedean metric (a.k.a. an ultra-metric) called cophenetic metric on persistent homology classes of all degrees using only homological information. Then, based on numerical experiments on different datasets, we statistically verify that the topological information coming from the zeroth persistent homology with our cophenetic metric is consistent with the information provided by different hierarchical clustering algorithms using different metrics. We also observe that the clusters we obtained via the cophenetic metric do yield competitive silhouette scores and the Rand indices in comparison with clusters obtained from other metrics. The homological information about a filtered simplicial complex over the poset of positive real numbers is often presented by a barcode which depicts the evolution of the associated Betti numbers. However, there is wonderfully complex combinatorics associated with the homology classes of a filtered complex, and one can do more than just count them over the index poset. In this thesis, we show that this combinatorial information can be encoded by a filtered matroid, or even better, by rooted forests. We also show that these rooted forests can be realized as cobordisms. The subject of this thesis is presented in Chapter 1, in which we also provide a survey of the literature and a brief introduction to topological data analysis (TDA). In Chapter 2, we summarize the fundamental concepts from topological and metric spaces that we will need in subsequent chapters. In Chapter 3, we will go more deeply into the mathematical foundations of clustering techniques. Clustering algorithms, especially hierarchical clustering algorithms, play a key role in this dissertation. Comparisons of various clustering strategies also play important roles in this thesis. For this reason, we also survey numerical metrics to assess such clustering strategies in the same chapter. We also work out a complete example on a collection of Turkish cities and the distances between them, and compare the resulting clusters. The TDA calculations we make in this thesis heavily use simplicial and chain complexes, and their homologies. In all examples, we first calculate the homology of a filtered simplicial complexes in order to calculate its persistent homology. The primary computation procedure begins by distilling a point cloud into a filtered simplicial complex, followed by calculating the homology of the resulting filtered differential graded complex. Chapters 4 and 5 provide all the necessary background information on simplicial complexes, differential graded complexes, and homologies. We also present complete worked-out examples of calculating homology classes for a collection of simple simplicial complexes. To capture the exact topological features of the point cloud, the main challenge is to find an optimal proximity parameter for the simplicial technology. Persistent homology is developed precisely to deal with this issue. It keeps track of how long each topological feature of the supplied data endures as the proximity parameter varies. It produces multisets of intervals represented as barcodes. We cover these concepts in Chapter 6. Chapter 7 is devoted to developing a rigorous theoretical foundation for filtered simplicial and chain complexes. Along with developing such a foundation for filtered complexes, we also discovered an exciting combinatorial representation for homologies of filtered complexes in the form of filtered matroids, especially by employing dendrograms labeled by circuits in a matroid. In Chapter 8, we defined a new non-archimedean metric called homological cophenetic distance on homology classes which is the main contribution of this thesis to literature. In Chapter 9 we are concerned with developing another presentation of the homological information coming from a filtered complex using cobordisms of punctured spheres, which are themselves punctured higher dimensional spheres. In Chapter 10, we give a detailed account of how we used the cophenetic distance in our numerical experiments. In the first experiment, we compared the standard zeroth persistent homology representations (barcodes), the dendrogram we derived from the cophenetic distance, and the dendrogram coming from the hierarchical clustering algorithm with the Euclidean metric on a small synthetic dataset embedded in $\mathbb{R}^2$. In the second experiment, we studied the geographic coordinates of a small sample of Turkish cities. By following the same statistical comparison methodology as in the first experiment, we compare the dendrograms produced by cophenetic metrics on the zeroth homology and the dendrograms produced by hierarchical clustering algorithms using a variety of distance measurements in order to assess the validity of our study. In the third and last experiment, we applied the hierarchical clustering algorithms to various datasets (the dataset of Turkish cities, the Iris dataset, the Cancer Coimbra dataset, and two synthetic datasets) with different metrics including our cophenetic metric, and we statistically analyzed the clustering results. Finally, in Chapter11, we summarize and analyze the results we obtain, and the constraints of our approach such as need for high computational power and high memory requirements. We also discuss potential future research directions one can follow to extend this thesis such as designing suitable applications with real-world datasets, visualizing cobordisms, or developing filtered combinatorial simplicial complexes on a categorical dataset.
Manifolds of generalised G-structures in string compactifications

(Graduate School, 2023-03-22) Diriöz, Emine ; Özer, Aybike ; 509162201 ; Mathematical Engineering

A G-structure on a differentiable manifold M of dimension n can be described as a reduction of the linear frame bundle L(M) of M to a Lie subgroup G of $GL(n,\mathbb{R})$. Such a reduction is equivalent to the existence of certain geometric structures on M, depending on what the subgroup G is. For example, an O(n)-structure corresponds to the existence of a Riemannian metric g. Similarly, by the existence of an almost complex structure J, the structure group reduces to $GL(n/2,\mathbb{C})$. If a Riemannian metric and an almost complex structure are compatible and the metric is hermitian then the structure group reduces to SU(n/2). In a similar fashion, a generalized G-structure can be described as a reduction of the structure group of the principal bundle associated with the generalized tangent bundle $TM\oplus T^*M$. The natural structure group of $TM\oplus T^*M$ is O(n,n). The generalized G-structures also correspond to the existence of certain geometrical objects. For example, the reduction of the structure group from O(n,n) to $O(n)\times O(n)$ corresponds to the existence of a generalized metric. Similarly, on an even-dimensional real manifold $M$ a generalized almost complex structure is given by a reduction of the structure group from O(n,n) to U(n/2,n/2). A generalized almost complex structure is defined by the existence of a pure spinor which is a section of the exterior bundle $\bigwedge^\bullet T^* M$. The SU(n/2,n/2)-structure is equivalent to the existence of a globally defined pure spinor of non-vanishing norm. Furthermore, $SU(n/2)\times SU(n/2)$-structure is given by the existence of two compatible pure spinors. The main theme of this thesis is the study of manifolds of generalized G-structure relevant to string compactifications. Superstring theory is a quantum theory of gravity consistent in 10 dimensions. There are five consistent superstring theories and the low energy dynamics of massless space-time fields are governed by ten-dimensional supergravity theories. The supergravity field equations are nonlinear partial differential equations that can be regarded as a generalization of field equations of Einstein's theory of general relativity (GR). In a supersymmetric compactification of Type II string theory down to 4 dimensions, it is required that the structure group of the generalized tangent bundle $TM \oplus T^*M$ of the six-dimensional internal manifold M is reduced from SO(6,6) to $SU(3) \times SU(3)$. This is equivalent to the existence of two globally defined compatible pure spinors $\Phi_1$ and $\Phi_2$. Furthermore, these pure spinors should satisfy certain first-order differential equations, namely supersymmetry equations. We show that these equations are covariant under certain Pin(d,d) transformations. We also show that Non-Abelian T-duality (NATD) which is generated by a coordinate-dependent Pin(d,d) transformation is a particular solution generating transformation for these pure spinor equations. Our method is demonstrated by studying the NATD of a specific class of geometries with SU(2) isometry and SU(3)-structure. Some of the manifolds belonging to this class are $AdS_5\times T^{1,1}$, $AdS_5\times Y^{p,q}$ and $AdS_5\times S^5$. It is interesting to note that in each case, the internal manifold is a Sasaki-Einstein manifold. We show that the transformed pure spinors are associated with an SU(2)-structure. The plan of the thesis is as follows: in section 2, we study principal fiber bundles, vector bundles, and linear frame bundles. Then, we study the concept of the reduction of the structure groups. We also give familiar examples of G-structures in detail. In section 3, we briefly review the relation between G-holonomy and torsion-free G-structures. In section 4, we study the basic concepts regarding the geometry of the generalized tangent bundle $TM\oplus T^*M$. This leads us to the definition of a generalized G-structure. Since our main interest is in $SU(3)\times SU(3)$-structures we give in a separate subsection the description of $SU(3)\times SU(3)$-structures and the associated pure spinors in detail. In section 5, we focus on the differential equations to be satisfied by the pure spinors for preservation of ${\cal{N}}=1$ supersymmetry. We study the covariance of these equations under constant and non-constant Pin(d,d) transformations. Then, we study Non-Abelian T-duality (NATD) transformations in detail, and we show the invariance of pure spinor equations under NATD. In section 6, we consider a specific class of geometries. We transform the pure spinors associated with the SU(3)-structure and show that the resulting pure spinors determine an SU(2) structure. We also study the NATD transformation of the metric, the B field, and the Ramond-Ramond fields.
Parameter optimization for mathematical modeling

(Graduate School, 2023-06-09) Tunçel, Mehmet ; Duran, Ahmet ; 509132057 ; Mathematical Engineering

Mathematical modeling is used to explain and forecast complex systems, and parameter optimization methods have a crucial role to find the optimal set of parameters obtained by minimizing an objective function. Also, the management of computational resources is essential for handling big models in real-time scenarios. A. Duran and G. Caginalp (2008) propose a hybrid parameter optimization forecast algorithm for asset prices via asset flow differential equations. In this thesis, we propose a new mathematical method for an inverse problem of parameter vector optimization in asset flow theory. For this purpose, we use quasi-Newton (QN) and Monte Carlo simulations to optimize the function F[K] for each selected event and initial parameter vector. We present grid and random methods and conclude that the grid approach is better than the random approach in the unconstrained optimization problem. This study also presents a parallel numerical parameter optimization algorithm for dynamical systems used in financial applications. It achieves speed-up for up to 512 cores and considers more extensive financial market situations. Moreover, it also evaluates the convergence of the model parameter vector via nonlinear least squares error, and maximum improvement factor. In this thesis, we also examine the performance, scalability, and robustness of OpenFOAM on the GPGPU cluster for bio-medical fluid flow simulations. It compared the CPU performance of iterative solver icoFoam with direct solver SuperLU_DIST 4.0 and hybrid parallel codes of MPI+OpenMP+CUDA versus MPI+OpenMP implementation of SuperLU_DIST 4.0. Results showed speed-up for large matrices up to 20 million x 20 million. Besides that, we investigate the usage of eigenvalues to examine the spectral effects of large matrices on the performance of scalable direct solvers. Gerschgorin's theorem can be used to bound the spectrum of square matrices, and behaviors such as disjoint, overlapped, or clustered Gerschgorin circles can give clues. We define the minimum number of cores and show that it depends on the sparsity level and size of the matrix, increasing slightly as the sparsity level decreases and the order increases. In sum, this thesis presents new methods for initial parameter selection and a new algorithm for parallel numerical parameter optimization. Also, we define new metrics and show that the importance of right matching for computational systems and the optimal minimum number of cores are important in mathematical modeling and simulation.
Fqx(Fq+vFq) halkası üzerinde lineer kodlar

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2024-01-12) Tekkoyun, Mevlüt ; Yaraneri, Ergün ; 509172204 ; Matematik Mühendisliği

Kaynaktan alıcıya bilgi transferi sırasında gürültü ismi verilen etkenler sebebiyle iletişim kanalında hatalar meydana gelmektedir. Bu hataların tespiti ve mümkünse düzeltilmesi kodlama teorisi alanının çalışma konusudur. Kodlama teorisi alanında ilk çalışmalar cisimler üzerinde iken daha sonra halkalar üzerinde de çalışılmaya başlanmıştır. Halkalar üzerindeki kod ailelerinin Gray dönüşüm ismi verilen özel bir dönüşüm altındaki görüntülerinin literatürdeki kodlardan daha fazla hata düzeltme kapasitesine sahip olduğu tespit edilmiştir. Bu yüzden halkalar üzerindeki kodlar daha fazla çalışılmaya başlanmıştır. Bu çalışma bir halka üzerindeki kodları incelediğinden, ilk olarak Bölüm 1'de literatürde halkalar üzerinde yapılan kodlama teorisi çalışmaları hakkında bir literatür çalışması yapılmıştır. Daha sonra Bölüm 2'de kodlama teorisi, halkalar, sonlu cisimler ve lineer kodlar hakkında bazı temel bilgiler verilmiştir. Kendi içinde 6 alt bölüme ayrılan Bölüm 3'te ise asıl çalışma bulunmaktadır. Bölüm 3.1'de v^2=v olmak üzere R=F_qx(F_q+vF_q) halkasının yapısı tanıtılmış ve R halkasından \F_q^{3n} cismine iki tane Gray dönüşüm tanımlanmıştır. Ayrıca Öklit ve Hermityen iç çarpımların tanımları verilmiştir. Bölüm 3.2'de ise R halkası üzerindeki lineer kodlar çalışılmıştır. Gray denk kodların tanımı verilmiş ve R üzerinde n uzunluğundaki bir C kodunun üreteç matrisinin yapısı çalışılmıştır. Bölüm 3.3'te ise R halkası üzerindeki serbest kodlar çalışılmıştır. Bilinmektedir ki, cisimler üzerindeki kodların üreteç matrisinin tüm satırları lineer bağımsızdır. Ancak bu durum halkalar için geçerli değildir. Bu yüzden bir halka üzerindeki kodların üreteç matrislerinin farklı sayıda satırdan oluşabileceği söylenebilir. Bu bölümde R halkası üzerindeki lineer kodların üreteç matrislerinin satırlarının lineer bağımsız olması için gerekli şartlar belirlenmiştir. Bölüm 3.4'te R halkası üzerinde dual kodlar çalışılmıştır. Bölüm 3.1'de tanımlamış olduğumuz iki adet iç çarpıma göre dual ve kendine dual olan kodlar çalışılmıştır. R halkası üzerindeki bir C kodunun Öklit ve Hermityen iç çarpımlara göre duallerinin üreteç matrislerinin (yani kontrol matrisi) yapısı incelenmiştir. Bölüm 3.5'te ise R halkası üzerindeki devirli kodlar çalışılmıştır. R üzerindeki bir devirli kod R_n=R[x]/(x^n-1) polinom halkasının bir idealine karşılık geldiğinden, R_n polinom halkasının ideallerinin yapısı incelenmiş ve üreteç polinomu belirlenmiştir. Bölüm 3.6'da ise tam, simetrik, Hamming, Lee ve Gray ağırlık sayaçlarının tanımları verilmiştir. Daha sonra bu ağırlık sayaçlarına göre R üzerinde n uzunluklu bir C lineer kodu için MacWilliams özdeşlikleri belirlenmiştir. Tam ağırlık sayacında R halkasının elemanlarının bir sıralamasına ihtiyaç duyulduğundan, R halkasının elemanlarını sıralamak için kullanışlı bir yöntem belirlenmiştir.
Classical yang-baxter equationfrom duality covariant formulation of string theory

(Graduate School, 2024-01-12) Çırak Tunalı, Seçil ; Özer, Aybike ; 509152210 ; Mathematical Engineering

The aim of the thesis is to study the homogeneous Yang-Baxter (YB) deformation proposed in the physics literature for a generic Green-Schwarz sigma model from a geometric point of view. It has been shown that these kind of deformations are generated by a certain kind of non-constant O(d,d) transformation, called β transformation, which acts as solution generating transformations in string theory. We study the construction of such an O(d,d) transformation from a bi-vector field related to the Poisson structure on the manifold. It is a well-known fact that there is a Lie algebroid structure on the cotangent bundle of the manifold when there is a Poisson structure on the manifold. Moreover, this Lie algebroid structure is compatible with the standard Lie algebroid structure on the tangent bundle, so that there is a Courant algebroid structure on the direct sum of the tangent and cotangent bundle (called the generalized tangent bundle) of the manifold. We also study Courant algebroid structures in order to understand and to generalize the transformation and the YB deformation. Given a Lie algebra with a non-degenerate inner product, if there exists an endomorphism R, which satisfies the classical Yang-Baxter equation (CYBE), then the direct sum of the Lie algebra and its dual has a natural Drinfel'd structure. Such an endomorphism can be extended to the tangent bundle of the integral Lie group by the help of the adjoint action. In this way, an automorphism called the dressed R-matrix can be constructed, which satisfies the CYBE since the adjoint action is an automorphism of the Lie bracket. It is possible to build a Poisson bi-vector field on the manifold from the dressed R-matrix. It can be shown that the Schouten-Nijenhuis bracket of the bi-vector field with itself vanishes following directly from the fact that the dressed R-matrix satisfies CYBE. The Lie algebroid structure on the cotangent bundle induced from the Poisson structure is compatible with the standard Lie algebroid structure on the tangent bundle. Then the tangent and cotangent bundles with the stated Lie algebroid structures form a Lie bialgebroid, which is an example of a triangular Lie bialgebroid. The Drinfel'd double of the resulting triangular Lie bialgebroid is a Courant algebroid with transversal Dirac structures. This geometrical structure plays a prominent role in the solution generating mechanism stated above. The dynamical fields in the universal sector of the low energy effection action of string theory are the Riemannian metric, a 2-form field called the B-field and a scalar field called the dilaton field. The first two of these fields become the constituents of the generalized metric, which is a tensor on the generalized tangent bundle T M ⊕ T^{∗}M that transforms naturally under O(d,d). There is a O(d,d) covariant version of string theory, called Double Field Theory (DFT), which is written in terms of the generalized metric and the generalized dilaton field. DFT provides a suitable framework to demonstrate the fact that YB deformation preserves the solutions of string theory. From a geometric point of view, the existence of a generalized metric is equivalent to the existence of a subbundle of the generalized tangent bundle on which the inner product is positive definite. If one starts with a generalized metric of a specific form that solves the field equations of DFT in the limit in which it reduces to the field equations of supergravity and transforms it with the O(d,d) matrix generating the YB deformation, the resulting generalized metric also solves the field equations of DFT in the same limit. In the physics literature, the proof of this is based on comparing the "fluxes" before and after the transformation and showing that these fluxes do not change. From a geometrical point of view the fluxes are just the "structure functions" of the Courant algebroid structure on the generalized tangent bundle, when a specific basis is chosen for the sections of tangent and cotangent bundles. In order to understand this "flux preservation" principle from a geometrical point of view, we also study the axioms defining a Courant algebraid in local coordinates. We also work out in detail the case where the anchor of the Courant algebroid is determined by a bi-vector field associated by the YB deformation.
Dispersif şok dalgalarının Whitham teorisi

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2024-01-12) Özdemir, Neşe ; Ahmetolan, SEmra ; Demirci, Ali ; 509152205 ; Matematik Mühendisligi

Bu tez çalışmasında, (2+1) boyutlu focusing modifiye Kadomtsev-Petviashvili (mKP(f)) ve defocusing modifiye Kadomtsev-Petviashvili (mKP(d)) denklemleri için parabolik tipte, (3+1) boyutlu mKP(f) ve mKP(d) denklemleri için ise paraboloid tipte bir dalga cephesi boyunca uzanan basamak tipi bir başlangıç koşulu için dispersif şokdalga çözümleri (DSW) incelenmiştir. Çalışma beş bölümden oluşmaktadır.
Analytical based modeling of damage induced by electromagnetic pressure impact of lightning on aerodynamic surfaces: Aircraft wing and wind turbine blade

(Graduate School, 2024-05-08) Soysal, Aysun ; Özkol, İbrahim ; Uzal, Erol ; 509162290 ; Mathematical Engineering

The survivability of systems (e.g., aircrafts and wind turbine blades) routinely operating in open terrain and weather-independent conditions is generally defined as the ability of the systems to avoid or resist harsh environments, including man-made and non-man-made. One of the non-man-made enemy environments is the lightning strike. Thus, the interaction of lightning strike and the materials of such systems must be considered in the procedures regarding design, production, certification requirements, and hence survivability of the systems. In the present thesis, the interaction of lightning strike with an aeronautical material is investigated. In this context, firstly, an analytical-based improved electromagnetic pressure impact model (IEPIM) of lightning is established. Subsequently, with the help of the pressure impact model established, two analytical-based damage models are established. The first one is the damage model for an aircraft wing and the latter one is the damage model for a wind turbine blade. For each damage model, two different beam theories are considered: Bernoulli- Euler beam theory and Timoshenko beam theory. Then, some applications of the pressure model and damage models established are performed, and then the results obtained are confirmed with appropriate studies in open the literature whenever the comparison is possible. According to the findings of the thesis, it was found that the pressure model (IEPIM) established in the thesis study was in good agreement with the experimental studies taken from the open literature for 100 kA and 200 kA lightning current. Moreover, it was observed that the pressure model provided quite correct results during the first 25 μs for 100 kA current and the first 50 μs for 200 kA current. In the damage model of an aircraft wing, which is one of the models developed in the thesis, the damage caused by the pressure impact of lightning on an aircraft wing was obtained with respect to the Timoshenko type damage model and the Bernoulli-Euler type damage model. Then, the amounts of the damage when lightning struck the root, middle and tip of the aircraft wing were calculated according to both the Timoshenko type damage model and the Bernoulli-Euler type damage model. Considering the results of the Bernoulli-Euler type damage model and the Timoshenko type damage model, it was seen that at the wing root, middle of the wing and wing tip, the largest deflections were respectively the bending deflection, torsional deflection, and bending-induced rotational deflection. In the aircraft wing damage model established, even though there was a flexural forcing function, not only bending deflection but also both torsional deflection and rotational deflection caused by cross-sectional area rotation emerged in the aircraft wing. The reason for this is that the damage model developed is established in a coupled (i.e., interactive) form. This chosen approximation is closer to the physical nature of the aircraft wing system. When the Timoshenko type damage model and the Bernoulli-Euler type damage model are compared in terms of efficiency, it has been determined that the Timoshenko type model provides less deviation than the Bernoulli-Euler type model in terms of the maximum positive damage amount, based on the lightning strike points considered. In the applications of structural analysis problems, when a Timoshenko type model is compared with a Bernoulli-Euler type model for the same material properties, it is claimed that the Bernoulli-Euler type model is used for more rigid structures and therefore gives less deflection. However, in the damage model we have established, there is a dynamic analysis and the forcing function considered in the damage model has a more complex structure than the known standard forcing functions. For these reasons, it is expected that the results of this study can be different from the known standard results. Moreover, in the free vibration analysis subsection performed before the forced vibration analysis subsection of the thesis study, it was seen that the Timoshenko type model gave lower vibration frequencies than the Bernoulli-Euler type model for the same material properties. Furthermore, it was found that the vibration mode shapes associated with these vibration frequencies had lower amplitudes compared to those obtained from the Bernoulli-Euler type model. Thus, it is an expected result that the amounts of the deflection obtained from the Timoshenko type model are lower than the amounts of the deflection obtained from the Bernoulli-Euler type model. Additionally, regarding the deflected shape of the aircraft wing, it was found that in both models, even if lightning strikes a single point on the wing, the deflections in the wing spread throughout the wing. This is because the physical behavior of the forcing function considered in the damage model corresponds to a distributed load form. In the case of the damage model of the wind turbine blade, when lightning strikes the middle of a wind turbine blade, the amount of damage to the blade caused by the pressure impact of the lightning is calculated according to both the Timoshenko type damage model and the Bernoulli-Euler type damage model for the clamped-free (C-F), clamped-clamped (C-C), and simply supported-simply supported (S-S) boundary conditions and then the results obtained were compared for both models. Accordingly, firstly, the damage model was solved by free vibration analysis and then by forced vibration analysis. Then, using the solution of the model, results were obtained for both the Timoshenko type damage model and the Bernoulli-Euler type damage model for the same material properties. Compared the both models with each other for different boundary conditions, when lightning strikes the middle of a wind turbine blade with C-C boundary condition, the Bernoulli-Euler type damage model provides better result in terms of the result of an experimental study with similar conditions taken from the literature than the Timoshenko type damage model in calculating the damage caused by the electromagnetic pressure impact of lightning. The reason for this is that wind turbine blades are relatively slender structures (i.e., structures with width ratios of at least 1/10 of the length ratios), which makes them more suitable for Bernoulli-Euler type models. On the other hand, the Timoshenko type model is more suitable for relatively shorter and thicker (stubby) structures. When the effect of the boundary conditions of the blade on the occurrence of lightning-induced damage on the wind turbine blade is investigated, in case of neglect of the axial load caused by the rotation of the blade, lightning-induced damage occurs most in the C-C, C-F and S-S boundary conditions, respectively. Among these boundary conditions, in the case of the absence of axial load, when a comparison is made on the basis of the damage model, the Bernoulli-Euler type damage model gives more damage in terms of bending deflection than the Timoshenko type damage model. In addition, while the Bernoulli-Euler type damage model gives larger results in terms of torsional deflection in the C-C and C-F boundary conditions, the Timoshenko type damage model gives more torsional deflection in the S-S boundary condition. Additionally, again in the absence of axial load, the largest damage types are bending, bending-induced rotational and torsional damage, respectively. As in the lightning damage model of the aircraft wing, even though there is only a flexural forcing function in the lightning damage model of the wind turbine blade, torsional and bending-induced rotational deflections as well as bending deflection occur due to the coupled form of the model. Furthermore, as in the aircraft wing damage model, the forcing function in the damage model has a distributed load effect. Therefore, even if the lightning strike hits a single point in the middle of the wind turbine blade, a pressure spread occurs on the blade surface due to the impact of the lightning, and this pressure spread acts in a radial direction along the blade. On the other hand, in the presence of axial load for the C-F boundary condition, the Timoshenko type damage model gives more deflection amount in terms of bending and torsional deflection than the Bernoulli-Euler type damage model.
Yüksek boyutlu model gösterilimi ve çok değişkenliliği yükseltilmiş çarpımlar gösterilimi ile görüntü üzerindeki gürültüleri giderme

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2024-09-09) Kaçar, Sena ; Tunga, Burcu ; 509172206 ; Matematik Mühendisligi

Bu tez çalışmasında Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi (YBMG) ve Çok Değişkenliliği Yükseltilmiş Çarpımlar Gösterilimi (ÇYÇG) yöntemleri kullanılarak görüntü üzerindeki gürültüleri giderme çalışması yapılmıştır. Tuz biber gürültüsünü gidermeye yönelik oldukça geniş bir çalışmaya yer verilmekle birlikte gauss ve alacalı gürültülerini giderme konusunda da çalışmalar yapılmıştır. YBMG ve ÇYÇG yüksek boyutlu fonksiyonların veya verilerin ayrıştırımında kullanılan yöntemlerdir. Karmaşık fonksiyonları veya verileri daha basit ve anlaşılır bileşenlere ayırarak modelleme yapabilme kapasitesine sahiptir ve bilimsel yazında oldukça etkin olarak kullanılmaktadır. Bu yöntemler, yüksek boyutlu veri setlerini daha rahat işlenebilir alt boyutlara indirgeyen birer böl ve yönet algoritması olarak hesaplama kolaylığı sağlamaktadır. Görüntü üzerinde gürültünün giderilmesi, yapılacak olan işlemin kalitesi ve güvenilirliği açısından büyük önem taşımaktadır. Bu çalışmada görüntü verisinde gürültü olarak isimlendirilen kayıp veya eksik verileri YBMG ve ÇYÇG bileşenlerinden faydalanarak en doğru şekilde tahmin etme işlemi amaçlanmıştır. Böylelikle hem literatürün güncel ve iyi çalışmaları kadar etkili yeni yöntemler geliştirilmiş hem de YBMG ve ÇYÇG algoritmaları yeni kullanım alanları bulmuştur. Çalışmada öncelikle literatürün temel ve güncel filtreleri anlatılmıştır. Gauss gürültüsünü gidermek için kullanılan ortalama filtre, bulanık filtre, gauss görüntü filtresi gibi filtrelerden bahsedilmiş devamında alaca gürültüsü için Lee filtre, Frost filtre, Kuan filtre, doğrusal olmayan uyumlu difüzyon fitre gibi çalışmalara yer verilmiştir. Bu tez çalışmasında üzerinde genişçe durulan tuz ve biber gürültüsü için ise medyan filtre, uyarlanabilir medyan filtre, sürekli kesirler interpolasyon filtresi, piksel yoğunluğu tabanlı filtre, farklı uygulanabilen medyan filtresi, pencere medyan filtre, modifiye edilmiş farklı uygulanabilir medyan filtre gibi literatürün en güncel istatistiksel yöntemlerinnin çalışma prensiplerine yer verilmiştir. Bu tez çalışmasında geliştirilen algoritmada kullanılan YBMG ve ÇYÇG yöntemlerinin, analitik fonksiyonlara, verilere ve görüntülere nasıl uygulandığı anlatılmıştır. YBMG ve ÇYÇG'nin görüntü verisine uygulanarak elde edilen bileşenlerinden faydalanarak gürültü giderme algoritmaları oluşturulmuştur. Çalışmada öncelikle alacalı ve gauss gürültülerine değinilmiş bu gürültüler hakkında bilgi verilerek giderilmesi için ÇYÇG tabanlı iki farklı algoritma oluşturulmuştur. Bunlardan ilki bu gürültüleri gidermek için ÇYÇG'nin sabit teriminden faydalanıyorken, ikinci algoritma ÇYÇG'nin tek değişkenli terimlerden faydalanmaktadır. Tez çalışmasında asıl olarak odaklanılan araştırılan konu tuz ve biber gürültüsünü gidermeye yönelik algoritmaların geliştirilmesidir. Bu amaçla, öncelikle YBMG yönteminden faydalanılmıştır. İlk olarak YBMG açılımının ilk terimleri olan sabit terimden ve birli terimlerden yararlanılması düşünülmüş ve bu terimlerden istatistiksel yöntemlerle elde edilen yeni değer kayan pencere yapısında oluşturulan gürültülü merkez piksel yerine konulmuştur.

Gözat

Çıkarma tarihi ile LEE- Matematik Mühendisliği-Doktora'a göz atma

Sayfa başına sonuç

Sıralama Seçenekleri