LEE- Matematik Mühendisliği-Doktora
Bu koleksiyon için kalıcı URI
Gözat
Çıkarma tarihi ile LEE- Matematik Mühendisliği-Doktora'a göz atma
Sayfa başına sonuç
Sıralama Seçenekleri
-
ÖgeFinite-time control of switched linear systems with time-delay(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2020) Göksu, Gökhan ; Ilgaz, Ulviye ; 509132052 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics EngineeringDenetim kuramı dinamik sistemin girdisini, çıktısına göre ayarlamak suretiyle sistemin belirli bir davranışı sergilemesini inceleyen bir mühendislik ve matematik dalıdır. İncelenen sistemler zamana göre ayrık veya sürekli olabildiği gibi, bazı durumlarda dinamik sistemin davranışı sürekli ve ayrık olayların birleşiminden de oluşabilir. Bu tip sistemlere melez (hybrid) sistemler adı verilir. Melez sistemler konusunda sürekli sistemlerin ayrık ve anlık olaylarla değiştiği sistemler olan anahtarlamalı sistemler konusu yaygın olarak çalışılmaktadır. Anahtarlamalı sistemlerle ilgili çalışmalarda genellikle sistemin asimptotik kararlı olması durumu incelenmiştir. Halbuki bir çok pratik uygulamada sonlu zaman kararlı/sınırlı olması durumu, yani sistemin davranışının sonlu zamanda belli sınırlarda tutulması durumu önem arz etmektedir. Asimptotik olarak denge noktasına giden asimptotik kararlı sistemler, sonlu zaman kararlı/sınırlı olmayabilir; bazı sonlu zaman kararlı/sınırlı sistemler asimptotik kararlı olmayabilir. Anahtarlamalı sistemlerle ilgili ana çalışma alanı ise yaşam süresi veya ortalama yaşam süresidir. Yaşam süresi ardışık anahtarlama zamanlarının farkının belli bir yaşam süresinden fazla olması; ortalama yaşam süresi ise ardışık anahtarlama zamanlarının farkının ortalamasının belli bir ortalama yaşam süresinden fazla olmasıdır. Mühendislikte ve matematikte incelenen bazı dinamik sistemler; sistemin o andaki durumunun yanında, sistemin geçmişteki durumuna da bağlı olabilir. Bu tip sistemler zaman gecikmeli sistemler olarak adlandırılır ve zaman gecikmesi kötü performansa veya sistem kararsızlığına neden olabilir. Bu çalışmada, anahtarlamalı sistemlerin alt sistemlerinin kararsız ve karışık kararlı olması durumu ele alınmıştır. Anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin bozucu etkisinde sonlu zaman kararlı/sınırlı ve H$_\infty$ sınırlı olma durumları incelenmiştir. Öncelikle, sonlu zaman kararlılığı ile asimptotik kararlılık arasındaki farklar örnekler üzerinde gösterilmiş, sistem matrisleri Hurwitz kararlı olmayan ve zamana bağlı olmayan doğrusal sistemlerin sonlu zaman kararlılığı için yeter koşul elde edilmiştir. Sonlu zaman sınırlılığı ve H$_\infty$ denetimi sağlayacak gözlemci tabanlı denetimcinin varlığı için Lyapunov-Krasovskii fonksiyoneli kullanılarak yeni yeter koşullar elde edilmiştir. Herhangi bir matris ayrıştırımına ihtiyaç olmadan gözlemci tabanlı denetimci tasarlanarak, alt sistemlerin kararsız ve karışık kararlı olduğu durumlar için ortalama yaşam süresi sınırları bulunmuştur. Bu sınırlarda doğrusal olmayan terimlere bağlı olan bazı sabitler içerdiğinden ve bu terimler de yeter koşullardaki matrislerden oluştuğundan dolayı; ortalama yaşam süresindeki bu sabitlerin çözümü için koni tamamlayıcı bir algoritma sunulmuştur. Tüm bu çalışmalar durum geri beslemesi için de uygulanmıştır. %Bu çalışmada anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemler için durum geri beslemesi altında ve gözlemci tabanlı sonlu zaman kararlılık analizleri yapılmıştır. Anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemlerin kararlılığı ile ilgili yapılan çalışmalarda genellikle durum geri beslemesi ele alınmıştır. Bu sistemlerin gözlemci tabanlı kontrolü ile ilgili çalışmalar kısıtlıdır. Bu çalışmalarda da belirli bir aralıktaki zaman gecikmesi göz önüne alınmamıştır. Ayrıca gözlemci kazanç matrisinin hesaplanması, yeter koşulda verilen doğrusal matris eşitsizliklerinden elde edilen matrislerin özel bir yapıda ayrışmasına bağlıdır. Ortalama yaşam süresi kısıtındaki özdeğerlerin hesaplamaları hakkında hiçbir detaylı açıklama da verilmemiştir. Bunun yanı sıra, durum vektörünün sistem matrisleri Hurwitz kararlı olarak seçilmiştir ve kararsız ve karışık kararlı alt sistemler arasında anahtarlama olması durumu incelenmemiştir. Çalışmanın birinci bölümü olan giriş bölümünde kontrol süreci gösterilmiştir. Melez sistemler ve anahtarlamalı sistemler konusundaki çalışmalar özetlenmiş, sonlu zaman kararlılığı konusunda yapılan çalışmalar ile ortalama yaşam süresi konusunda yapılan çalışmalardan bahsedilmiştir. Tezde ele alınan problemlerden anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemlerde yapılan çalışmalarda eksik olan kısımlar özetlenerek literatür özeti tamamlanmıştır. İkinci bölümde, bu tezde kullanılan temel tanımlar ve bilgiler tanıtılmıştır. Öncelikle diferansiyel denklem sistemlerinin çözümlerinin varlığı ve tekliği için yeter koşullar verilmiştir. Melez sistemler, bir mühendislik örneği olan araçların vites dinamiği ile tanıtılarak, anahtarlamalı sistemlerin ne tarz durumlarda ortaya çıkabileceği gösterilmiş; duruma bağlı anahtarlama ve zamana bağlı anahtarlama durumları ayrıntılarıyla ele alınmıştır. Kısıtlamalı anahtarlama altında anahtarlama durumlarına bağlı yaşam süresi ve ortalama yaşam süresi kavramları tanıtılarak zaman gecikmeli sistemler ile ilgili temel bilgiler verilmiştir. Sonlu zaman kararlılığı ve sınırlılığı, Lyapunov kararlılık tanımları verilerek, bu iki kararlılık tanımları arasındaki kavram farkılıkları ortaya konmuş ve anahtarlamalı sistemler üzerinde örnek verilmiştir. Verilen örnekte kararlı iki alt sistemin periyodik anahtarlama altında periyoda bağlı kararlı veya kararsız olma durumlarının gözlemlendiği gösterilmiştir. Daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan; vektör normu ve matris normu kavramları, Schur yardımcı teoremi, Grönwall yardımcı teoremi ve Jensen eşitsizliği sunulmuş ve tezde kullanılan notasyonlar belirtilmiştir. Üçüncü bölümde; kararlı, kararsız ve karışık kararlı alt sistemlere sahip doğrusal anahtarlamalı sistemlerin vektör ve matris normları kullanılarak sonlu zaman kararlılık analizi yapılmıştır. Alt sistem matrislerinin özdeğerleri ve koşullandırma sayılarına bağlı sonlu zaman kararlılık koşulları ve bu alt sistemlerin olası aktivasyon sayıları elde edilmiştir. Anahtarlamalı sistemin sonlu zaman kararlılığının sağlanması için yeni ortalama yaşam süresi önerilmiştir. Son olarak da sayısal örneklerle teorik sonuçlar açıklanmıştır. Dördüncü bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin durum geri beslemesi altındaki sonlu zaman sınırlılığı ele alınmıştır. Yeter koşullarla birlikte ortalama yaşam süresi elde edilmiştir. Bu koşullarda dışbükey olmayan terimler olduğu için bu terimleri doğrusal matris eşitsizliği koşullarına çeviren bir koni tamamlayıcı doğrusallaştırma yöntemi ve algoritması kullanılmıştır. Son olarak da sayısal bir örnek verilmiştir. Beşinci bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin gözlemci tabanlı sonlu zaman sınırlılığı durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin tamamının kararsız ve karışık kararlı (yani bir kısmı kararlı bir kısmı kararsız) olması durumlarına göre incelenmiştir. Bu iki durumda da gözlemcinin varlığı için yeni yeter koşullar ve ortalama yaşam süresi tanıtılmıştır. Ortalama yaşam süresindeki parametrelerin hesabı için koni tamamlayıcı doğrusallaştırma yöntemi ve algoritması gösterilmiştir. Son olarak da literatürdeki durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin tamamının kararsız olma durumunu inceleyen karşılaştırmalı bir örnek ile bu matrislerin karışık kararlı olma durumunu inceleyen sayısal örnekler verilmiştir. Altıncı bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin H$_{\infty}$ sonlu zaman sınırlılığı için bir gözlemci tabanlı denetimci tasarlanmıştır. H$_{\infty}$ sonlu zaman sınırlılığı incelenen sisteme bozucu etki etmesinden dolayı incelenmiştir. Bu bölümde durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin karışık kararlı olması durumu için koşullar elde edilip, önerilen koşulların etkinliği ve geçerliliği sayısal bir örnek üzerinde gösterilmiştir. Gelecek çalışmalarda, moda bağımlı kararlılaştırma analizi ve gürbüz kararlılık ele alınarak şu ana kadar yapılan çalışmaların genişletilmesi düşünülmektedir.
-
ÖgeZ-simetrik manifoldlar(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2020) Yavuz Taşçı, Ayşe ; 648933 ; Matematik Mühendisliği Ana Bilim DalıBu tez çalışmasında, diferansiyel geometride önemli bir yere sahip simetrik manifoldların genelleştirilmesi olarak tanımlanan Z-simetrik tensöre sahip manifoldların çalışılması ve özelliklerinin incelenmesi amaçlanmıştır. Z-simetrik tensör kavramı, ilk olarak, 2012 yılında Mantica ve Molinari'nin birlikte yayınladıkları, zayıf Ricci simetrik, pseudo Ricci simetrik ve pseudo projektif Ricci simetrik manifoldlarının genelleştirilmesi olarak tanımladıkları Zayıf Z-simetrik Manifoldlar çalışması ile başlamıştır. Mantica ve Molinari'nin bu çalışmasından sonra, Z-simetrik tensör ile ilgili birçok bilimsel yayın yapılmıştır. Bu sebeple, bu tezde bazı özel manifoldlarda, $\phi$, keyfi bir skaler fonksiyon, S, Ricci tensörü ve g, metrik tensörü olmak üzere, Z(X;Y) = S(X;Y)+\phig(X;Y) şeklinde tanımlanan (0,2) tipindeki Z-simetrik tensörü göz önüne alınarak, bu tensörün özelliklerinin incelenmesi amaçlanmıştır. Bu tez çalışması sekiz bölümden oluşmaktadır: Birinci bölümde, Z-simetrik tensörü ile ilgili bu zamana kadar yapılmış bilimsel yayınlardan bahsedilmiştir. Tez çalışmasının ikinci bölümünde, Riemann manifoldlarının genel bir tanımı verilerek, Riemann manifoldu ile ilgili temel kavramlardan bahsedilmiştir. Bu bölümün devamında, tez çalışmasının diğer bölümlerinde kullanılacak olan Riemann manifoldu üzerinde tanımlı, bazı eğrilik tensörlerinin ve bazı özel Riemann manifoldlarının tanımı hatırlatılmıştır. Tezin üçüncü bölümünde, ilk olarak, pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar tanımlanmış ve bu manifoldlara ait bazı özellikler incelenmiştir. Pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar üzerinde Ricci tensörünün özdeğeri ile Z-simetrik tensörünün özdeğeri elde edilmiştir. Z-simetrik tensörünün sıfırdan farklı bir ize sahip olması ve manifoldun yarı-Einstein manifoldu olması için gerekli şartlar bulunmuştur. Bundan başka, manifoldun Ricci tensörü Codazzi tipinde seçilerek, pseudo devirli Z-simetrik manifold ile Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanları arasındaki bağıntı elde edilmiştir. Ayrıca, pseudo devirli Z-simetrik manifoldunun aynı zamanda, pseudo devirli bir Ricci simetrik tensöre sahip olamayacağı ispatlanmıştır. Daha sonra, 4-boyutlu Riemann metriği kullanılarak, pseudo devirli Z-simetrik manifoldların varlığını ispatlayan bir örnek verilmiştir. Bu bölümde, son olarak, konformal olarak düz pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar incelenmiş ve bu manifoldların özellikleri bulunmuştur. Dördüncü bölümde, ilk olarak, konsörkılır olarak düz, Z-simetrik manifoldlar göz önüne alınmıştır. Bu bölümde, konsörkılır olarak düz, Z-simetrik bir Riemann manifoldunun Einstein manifoldu olduğu ispatlanmıştır. Konsörkılır olarak düz, bir Riemann manifoldunun Z-simetrik tensörünün kovaryant sabit olması için gerekli şartlar elde edilmiştir. Konsörkılır olarak düz bir manifold üzerinde, Z-metrik tensörünün skaler fonksiyonu tarafından üretilen vektör alanının tors oluşturan, konsörkılır ve rekürant vektör alanları olması durumları incelenmiştir. Bununla birlikte, 4-boyutlu konsörkılır olarak düz, Z-simetrik manifold örneği verilmiştir. Daha sonra, konsörkılır Ricci simetrik tensörünün rekürant, Codazzi tipinde ve devirli tensör olması durumlarında, Z-simetrik tensörünün çeşitli özellikleri elde edilmiştir. Diğer taraftan, bu manifoldun ilişkili 1-formunun bazı koşullar altında sabit olduğu bulunmuştur. Ayrıca, konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip Z-simetrik manifoldların 4-boyutlu uzaylardaki örnekleri verilmiştir. Bu bölümde, son olarak, konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip Z-simetrik uzay-zamanı araştırılmış ve bu uzay-zamanı ile ilgili teoremler ispatlanmıştır. Beşinci bölümde, (PKRS)n olarak adlandırılmış olan pseudo konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip, Z-simetrik manifoldlar üzerinde çalışılmıştır. Hangi durumlarda (PKRS)n manifoldunun mevcut olamayacağı araştırılmıştır. Bununla birlikte, bu manifold üzerinde Z-simetrik tensörünün özdeğeri bulunmuştur. Ayrıca, manifoldun ilişkili vektör alanının tors oluşturan vektör alanı olması halinde, manifold ile ilgili çeşitli sonuçlar elde edilmiştir. Altıncı bölümde, konharmonik eğrilik tensöre sahip Z-simetrik manifoldlar araştırılmıştır. Bu bölümde, ilk olarak, Z-simetrik tensörü için bazı özel koşullar göz önüne alınarak, bu manifold üzerinde konharmonik eğrilik tensörünün özellikleri incelenmiştir. Bununla birlikte, konharmonik eğrilik tensörünün rekürant tensör ve kovaryant sabit olması durumları ele alınmıştır. Ayrıca, konharmonik eğrilik tensörünün kovaryant sabit ve Z-simetrik tensörünün rekürant olması halinde, Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanı ile rekürant vektör alanı arasında mevcut olan bağıntı elde edilmiştir. Daha sonra, bu bağıntı yardımıyla, Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanı ile rekürant vektör alanının bazı özel vektör alanları olması durumunda, bu manifoldun geometrik özellikleri bulunmuş ve ilgili teoremler ispatlanmıştır. Bu bölümde, son olarak, konharmonik eğrilik tensörüne sahip Z-simetrik manifoldlara ait bir örnek verilmiştir. Yedinci bölümde, projektif eğriliğe sahip, Z-simetrik manifoldlar ele alınmıştır. İlk olarak, Codazzi tipinde Z-simetrik tensörüne sahip bir manifold göz önüne alındığında, bu manifolda ait projektif Ricci tensörünün diverjanssız olmasını sağlayan gerek ve yeter kosul bulunmuştur. Daha sonra, projektif eğrilik tensörünün, Codazzi tipinde veya rekürant tensör şeklinde seçilmesi durumunda, bu manifoldun özellikleri incelenmiştir. Ayrıca, Z-simetrik tensörünün, Codazzi tipinde, rekürant veya diverjanssız tensör olması halinde, manifolda ait bazı özellikler bulunmuştur. Son olarak, projektif eğriliğe sahip Z-simetrik manifoldlar için 4-boyutlu uzaylara ait bir örnek verilmiştir. Sekizinci bölümde, Z-simetrik tensörüne sahip mükemmel akışkanlı uzay-zamanı göz önüne alınmıştır. İlk olarak, bu uzay-zamanın seçilen bir özvektörle ilişkili özdeğeri elde edilmiştir. Z-simetrik tensörünün ilişkili 1-formuna ait çeşitli koşullar belirlenerek, Z-tensörünün iz fonksiyonu ile ilgili bazı sonuçlar bulunmuştur. Ayrıca, bu uzay-zamanın Einstein uzayı olabilme koşulu elde edilmiştir. Daha sonra, basınçsız mükemmel akışkanlı Z-simetrik uzay-zamanı incelenmiştir.
-
ÖgeKlasik ve mikrogermeli ortam teorisiyle modellenen plaklarin caputo kesirli türevi yardimiyla nonlokal titreşim analizi(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2020) Aydınlık, Soner ; Kırış, Ahmet ; 638082 ; Matematik Mühendisliği Ana Bilim DalıBu çalışmada dikdörtgen plakların yerel olmayan üç boyutlu titreşim analizi Caputo kesirli türevi yardımıyla incelenmiştir. Kesirli türev son yıllarda mühendislik, fizik, finans, biyoloji gibi birçok alanda yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Kesirli türevin sürekli ortamlar mekaniğine uygulamaları ise, nonlokal problemlerin ve bellekli malzemelerin modellenmesinde literatürde var olan yöntemlere göre yeni bir bakış açısı getirmektedir. Klasik sürekli ortamlar mekaniğinin gelişmesine büyük katkı sağlayan gerilme tansörü kavramı 19. yy başlarında Cauchy tarafından ortaya konulmuş ve böylece lineer elastisite teorisi için hareket denklemi üç boyutlu duruma genelleştirilmiştir. Ancak bu modelde malzemenin iç karakteristik uzunluğu hesaba katılmadığı için 1960'larda yerel olmayan elastisite teorisi geliştirilmiştir. Son yıllarda kesirli analizin yaygınlaşmasıyla birlikte yerel olmayan yeni modeller geliştirilmiştir. Bu yeni modellerin temel avantajı, klasik sürekli ortamlar mekaniğinin genel yerel olmayan yapısına benzer olmasının yanı sıra, kesirli türevin tanımından kaynaklanan bazı eklemeler sayesinde fiziksel gerçeklere daha uygun olmasıdır. Ayrıca, kesirli türev kullanımı nedeniyle fiziksel büyüklüklerde meydana gelen birim uyuşmazlığı da birim uyum katsayısı tanımlanarak ortadan kaldırılabildiği için genelleştirilmiş kesirli yer değiştirme gradyanları ve kesirli gerilme büyüklükleri gibi büyüklükler, klasik olanlarla aynı fiziksel birimlere sahip olurlar. Mekanikte gerek uzaysal değişkenler ve gerekse de zaman değişkeni üzerinde kesirli analiz yapmak çok daha gerçekçi olduğundan, bu alandaki çalışmalar giderek yaygınlaşmaktadır . Bu tez çalışmasında nonlokal etkileri yansıtmak için klasik yer değiştirme gradyanları yerine, Caputo kesirli türevi yardımıyla tanımlanan kesirli yer değiştirme gradyanları kullanılmıştır. Burada kabul edilebilir fonksiyonlar olarak sınır fonksiyonlarıyla çarpılmış Chebyshev polinomları alınmıştır. Sınır fonksiyonları plağın temel geometrik sınır koşullarını sağlayacak şekilde seçilmiş, ancak gerilme sınır koşulları dikkate alınmamıştır. Kesirli türevlerin nonlokalite üzerindeki etkisini göstermek için, farklı sınır koşullarına sahip bazı dikdörtgen plakların titreşim analizi incelenmiştir. Sonuçlar, beklentilere uygun olarak kesirli türevin mertebesi klasik türevin mertebesine yaklaştıkça, nonlokal etkinin azalarak elde edilen frekans değerlerinin klasik durum için elde edilen frekans değerlerine yaklaştığını göstermektedir. Tez çalışmasında klasik titreşim probleminin Caputo kesirli türeviyle incelenmesinin yanı sıra mikrogermeli ortam teorisiyle modellenen dikdörtgen plakların titreşim analizi de Caputo kesirli türevi yardımıyla elde edilmiştir. Mikrogermeli ortam parçacağın klasik şekil değiştirmesinin yanı sıra, bu klasik şekil değiştirmeden bağımsız mikro hacimsel genleşme ve mikro dönme yapabildiği kabulüne dayanmaktadır. Kesirli türev yardımıyla mikrogermeli ortam teorisiyle modellenmiş plakların titreşim problemini nonlokal teoriyle incelemek hesapları basitleştirmesiyle beraber klasik teoriye göre daha iyi sonuçlar vermektedir.
-
ÖgeThe generalized fractional Benjamin Bona Mahony equation: Analytical and numerical results(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2021) Oruç, Göksu ; Mihriye Muslu, Gülçin ; Borluk, Handan ; 692763 ; Matematik MühendisliğiIn this thesis study we consider the generalized fractional Benjamin-Bona-Mahony (gfBBM) equation u_t+ u_x + \frac{1}{2}(u^{p+1})_x+ \frac{3}{4}D^{\alpha} u_{x}+ \frac{5}{4}D^{\alpha} u_{t}=0, where $x$ and $t$ represents spatial coordinate and time, respectively. This equation is derived to model the propagation of small amplitude long unidirectional waves in a nonlocally and nonlinearly elastic medium. The gfBBM equation has a general power-type nonlinearity and two fractional-type terms. Thanks to these properties, the gfBBM equation is noticed as a satisfactory and interesting model in the literature. The aim of this thesis study is to perform various mathematical and numerical analyses for the gfBBM equation and to understand the influence of nonlinearity and fractional dispersion on the dynamics of solutions. The thesis study is organized in the following way: In the first chapter, we briefly introduce the general background on the fractional type nonlinear partial differential equations with lower dispersion such as fractional Korteweg de Vries (fKdV) and fractional Benjamin-Bona-Mahony (fBBM) and gfBBM equations. Then, we propose derivation and some properties of the gfBBM equation. We also state the analytical and numerical methods used to solve this equation. Furthermore, the literature overview on gfBBM and related equations is given in this chapter. The second chapter is devoted to the analytical results for the gfBBM equation. In the first section of this chapter we recall the preliminaries. This section contains useful definitions related to functional analysis, lemmas and theorems used in the thesis. In the second section, we derive conserved quantities of the gfBBM equation. We also find constraints on the order $\alpha$ of the fractional term. The aim of the third section is to prove the local well-posedness of the Cauchy problem for the gfBBM equation together with the initial condition u(x,0)=u_0 (x). For the case $1 \leq \alpha \leq 2$, we prove the local well-posedness of the solutions by using contraction mapping principle. On the other hand, for the case $0 < \alpha < 1$, we use the approaches given for the fBBM equation by He and Mammeri (2018). Therefore, we consider the regularization of the Cauchy problem for the gfBBM equation and then use the convergence of regularized solutions to the solutions of main problem. The section 4 presents the conditions for the non-existence of solitary wave solutions to the gfBBM equation. Existence and uniqueness of solitary wave solutions are obtained by using the result of Frank and Lenzmann (2013). We also consider the restrictions on the $\alpha$ and speed of wave $c$ so that the gfBBM equation admits positive or negative solitary waves. Finally, we derive exact solitary wave solutions to the gfBBM equation for the special cases $\alpha=1$ and $\alpha=2$ when $p=1$. In the last section of this chapter we discuss the stability properties of solitary wave solutions associated to the gfBBM equation. We first give the Hamiltonian formulation of the equation. Then, we prove the orbital stability of solitary wave solutions by using approach given by Grillakis Shatah Strauss (GSS) (1987) and for the stability we obtain following conditions when $1 \leq p \leq 4$: 1) $\frac{p}{p+2}<\alpha < \frac{p}{2}$ and $c>c_{1,p}>1$, 2) $\frac{p}{2}<\alpha < 2$ and $c>1$ or $\frac{3}{5}>c>c_{2,p}$, with $c_{1,p}=\frac{6\alpha + 2p + 3 \alpha p + \sqrt 2 p \sqrt{2 \alpha - p + \alpha p} }{5(2 \alpha + \alpha p)}$ and $c_{2,p}=\frac{6\alpha + 2p + 3 \alpha p - \sqrt 2 p \sqrt{2 \alpha - p + \alpha p} }{5(2 \alpha + \alpha p)}$. In the last chapter, we present the numerical results for the gfBBM equation. We first state efficient numerical algorithms for gfBBM equation and then carry out various numerical experiments. The Petviashvili method is proposed for the generation of the solitary wave solutions that cannot be obtained analytically. We numerically investigate the effects of the relation between the nonlinearity and the dispersion on the solutions. The evolution of generated wave profiles in time is investigated numerically by Fourier pseudo-spectral method. The efficiency of the methods will be demonstrated by various numerical simulations.