Z-simetrik manifoldlar

Abstract

Bu tez çalışmasında, diferansiyel geometride önemli bir yere sahip simetrik manifoldların genelleştirilmesi olarak tanımlanan Z-simetrik tensöre sahip manifoldların çalışılması ve özelliklerinin incelenmesi amaçlanmıştır. Z-simetrik tensör kavramı, ilk olarak, 2012 yılında Mantica ve Molinari'nin birlikte yayınladıkları, zayıf Ricci simetrik, pseudo Ricci simetrik ve pseudo projektif Ricci simetrik manifoldlarının genelleştirilmesi olarak tanımladıkları Zayıf Z-simetrik Manifoldlar çalışması ile başlamıştır. Mantica ve Molinari'nin bu çalışmasından sonra, Z-simetrik tensör ile ilgili birçok bilimsel yayın yapılmıştır. Bu sebeple, bu tezde bazı özel manifoldlarda, $\phi$, keyfi bir skaler fonksiyon, S, Ricci tensörü ve g, metrik tensörü olmak üzere, Z(X;Y) = S(X;Y)+\phig(X;Y) şeklinde tanımlanan (0,2) tipindeki Z-simetrik tensörü göz önüne alınarak, bu tensörün özelliklerinin incelenmesi amaçlanmıştır. Bu tez çalışması sekiz bölümden oluşmaktadır: Birinci bölümde, Z-simetrik tensörü ile ilgili bu zamana kadar yapılmış bilimsel yayınlardan bahsedilmiştir. Tez çalışmasının ikinci bölümünde, Riemann manifoldlarının genel bir tanımı verilerek, Riemann manifoldu ile ilgili temel kavramlardan bahsedilmiştir. Bu bölümün devamında, tez çalışmasının diğer bölümlerinde kullanılacak olan Riemann manifoldu üzerinde tanımlı, bazı eğrilik tensörlerinin ve bazı özel Riemann manifoldlarının tanımı hatırlatılmıştır. Tezin üçüncü bölümünde, ilk olarak, pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar tanımlanmış ve bu manifoldlara ait bazı özellikler incelenmiştir. Pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar üzerinde Ricci tensörünün özdeğeri ile Z-simetrik tensörünün özdeğeri elde edilmiştir. Z-simetrik tensörünün sıfırdan farklı bir ize sahip olması ve manifoldun yarı-Einstein manifoldu olması için gerekli şartlar bulunmuştur. Bundan başka, manifoldun Ricci tensörü Codazzi tipinde seçilerek, pseudo devirli Z-simetrik manifold ile Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanları arasındaki bağıntı elde edilmiştir. Ayrıca, pseudo devirli Z-simetrik manifoldunun aynı zamanda, pseudo devirli bir Ricci simetrik tensöre sahip olamayacağı ispatlanmıştır. Daha sonra, 4-boyutlu Riemann metriği kullanılarak, pseudo devirli Z-simetrik manifoldların varlığını ispatlayan bir örnek verilmiştir. Bu bölümde, son olarak, konformal olarak düz pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar incelenmiş ve bu manifoldların özellikleri bulunmuştur. Dördüncü bölümde, ilk olarak, konsörkılır olarak düz, Z-simetrik manifoldlar göz önüne alınmıştır. Bu bölümde, konsörkılır olarak düz, Z-simetrik bir Riemann manifoldunun Einstein manifoldu olduğu ispatlanmıştır. Konsörkılır olarak düz, bir Riemann manifoldunun Z-simetrik tensörünün kovaryant sabit olması için gerekli şartlar elde edilmiştir. Konsörkılır olarak düz bir manifold üzerinde, Z-metrik tensörünün skaler fonksiyonu tarafından üretilen vektör alanının tors oluşturan, konsörkılır ve rekürant vektör alanları olması durumları incelenmiştir. Bununla birlikte, 4-boyutlu konsörkılır olarak düz, Z-simetrik manifold örneği verilmiştir. Daha sonra, konsörkılır Ricci simetrik tensörünün rekürant, Codazzi tipinde ve devirli tensör olması durumlarında, Z-simetrik tensörünün çeşitli özellikleri elde edilmiştir. Diğer taraftan, bu manifoldun ilişkili 1-formunun bazı koşullar altında sabit olduğu bulunmuştur. Ayrıca, konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip Z-simetrik manifoldların 4-boyutlu uzaylardaki örnekleri verilmiştir. Bu bölümde, son olarak, konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip Z-simetrik uzay-zamanı araştırılmış ve bu uzay-zamanı ile ilgili teoremler ispatlanmıştır. Beşinci bölümde, (PKRS)n olarak adlandırılmış olan pseudo konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip, Z-simetrik manifoldlar üzerinde çalışılmıştır. Hangi durumlarda (PKRS)n manifoldunun mevcut olamayacağı araştırılmıştır. Bununla birlikte, bu manifold üzerinde Z-simetrik tensörünün özdeğeri bulunmuştur. Ayrıca, manifoldun ilişkili vektör alanının tors oluşturan vektör alanı olması halinde, manifold ile ilgili çeşitli sonuçlar elde edilmiştir. Altıncı bölümde, konharmonik eğrilik tensöre sahip Z-simetrik manifoldlar araştırılmıştır. Bu bölümde, ilk olarak, Z-simetrik tensörü için bazı özel koşullar göz önüne alınarak, bu manifold üzerinde konharmonik eğrilik tensörünün özellikleri incelenmiştir. Bununla birlikte, konharmonik eğrilik tensörünün rekürant tensör ve kovaryant sabit olması durumları ele alınmıştır. Ayrıca, konharmonik eğrilik tensörünün kovaryant sabit ve Z-simetrik tensörünün rekürant olması halinde, Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanı ile rekürant vektör alanı arasında mevcut olan bağıntı elde edilmiştir. Daha sonra, bu bağıntı yardımıyla, Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanı ile rekürant vektör alanının bazı özel vektör alanları olması durumunda, bu manifoldun geometrik özellikleri bulunmuş ve ilgili teoremler ispatlanmıştır. Bu bölümde, son olarak, konharmonik eğrilik tensörüne sahip Z-simetrik manifoldlara ait bir örnek verilmiştir. Yedinci bölümde, projektif eğriliğe sahip, Z-simetrik manifoldlar ele alınmıştır. İlk olarak, Codazzi tipinde Z-simetrik tensörüne sahip bir manifold göz önüne alındığında, bu manifolda ait projektif Ricci tensörünün diverjanssız olmasını sağlayan gerek ve yeter kosul bulunmuştur. Daha sonra, projektif eğrilik tensörünün, Codazzi tipinde veya rekürant tensör şeklinde seçilmesi durumunda, bu manifoldun özellikleri incelenmiştir. Ayrıca, Z-simetrik tensörünün, Codazzi tipinde, rekürant veya diverjanssız tensör olması halinde, manifolda ait bazı özellikler bulunmuştur. Son olarak, projektif eğriliğe sahip Z-simetrik manifoldlar için 4-boyutlu uzaylara ait bir örnek verilmiştir. Sekizinci bölümde, Z-simetrik tensörüne sahip mükemmel akışkanlı uzay-zamanı göz önüne alınmıştır. İlk olarak, bu uzay-zamanın seçilen bir özvektörle ilişkili özdeğeri elde edilmiştir. Z-simetrik tensörünün ilişkili 1-formuna ait çeşitli koşullar belirlenerek, Z-tensörünün iz fonksiyonu ile ilgili bazı sonuçlar bulunmuştur. Ayrıca, bu uzay-zamanın Einstein uzayı olabilme koşulu elde edilmiştir. Daha sonra, basınçsız mükemmel akışkanlı Z-simetrik uzay-zamanı incelenmiştir.