LEE- Matematik Mühendisliği-Doktora
Bu koleksiyon için kalıcı URI
Gözat
Son Başvurular
1 - 5 / 14
-
ÖgeBiharmonic and biconservative submanifolds of lorentizan space forms(Graduate School, 2022-12-16)In 1964, Eells and Sampson gave the definition of biharmonic maps as a generalization of harmonic maps during they were studying on the energy functional E between Riemannian manifolds which has geometrical and physical interest. Later, many geometers interested in biharmonic maps. By the definition, a biharmonic map φ : M → N between two Semi-Riemannian manifolds is a critical point of the bienergy functional E2(φ) = 1 2 Z M ∥τ(φ)∥ 2 vg, where τ(φ) = trace∇dφ is the tension field of φ that vanishes for harmonic maps. If φ is a biharmonic isometric immersion into N then M is said to be biharmonic submanifold of N. In the middle of 1980's, Chen studied biharmonic submanifolds in Euclidean spaces as a part of his program of understanding finite type submanifolds in Euclidean spaces. He gave an alternative definition of biharmonic submanifolds in Euclidean spaces. That definition is also same for pseudo-Euclidean spaces: If the position vector field x : M → E n satisfies ∆ 2 x = 0 then M is called biharmonic submanifold, where ∆ denote the Laplacian of M. By the well known Laplace-Beltrami identity this equation is equivalent to ∆H = 0, where H is the mean curvature vector of M. In the mean time, independently, Jiang showed that a smooth map φ is biharmonic if and only if its bitension field τ2(φ) (which corresponds the Euler-Lagrange equation of bienergy functional) vanishes identically, i.e., τ2(φ) = 0. Jiang also showed that τ2(φ) = 0 if and only if ∆H = 0 for an isometric immersion φ : M → E n . As a result, definitions given by Chen and Jiang coincide for the class of Euclidean and pseudo-Euclidean submanifolds. Biconservative submanifolds arose from the theory of biharmonic submanifolds. Stress-energy tensor for the energy function described by Hilbert was expanded for the bienergy function as follows S2(X,Y) = 1 2 ∥τ(φ)∥ 2 ⟨X,Y⟩+⟨dφ,∇τ(φ)⟩⟨X,Y⟩ −⟨dφ(X),∇Y τ(φ)⟩ − ⟨dφ(Y),∇Xτ(φ)⟩ xxi satisfying divS2 = −⟨τ2(φ),dφ⟩ . In general, a submanifold is called biconservative if divS2 = 0. It means (τ2(φ))T = 0. Indeed, this is equivalent to (∆H) T = 0 when the ambient space is pseudo-Euclidean. Because, for the isometric immersion into E n 1 , τ(φ) = −mH and τ2(φ) = m∆H. In this thesis we study on the biconservative submanifolds and biconservative hypersurfaces of the Lorentzian space forms and we also obtained some results related biharmonic ones. This work consists of seven sections and these sections were planned as follows: In the first section, we give a brief history and philosophy of biharmonic and biconservative submanifolds and studies has been done so far. In the second section, we give some basic notions of the submanifold theory on Lorentzian inner product space and biharmonic submanifolds. In the third section, biconservative surfaces with constant mean curvature (CMC) in Minkowski 4-space E 4 1 is studied. Firstly, we determine the canonical forms of the shape operator and then we give some examples of such submanifolds in E 4 1 . Later, we classify biconservative CMC submanifolds in E 4 1 . Then, we generalize all results to the CMC surfaces of S 4 1 and H4 1 . In the fourth section, we examine the biconservative hypersurfaces in Minkowski 4-space E 4 1 . In particular, we study hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator A satisfying A(∇H) = − nH 2 ∇H, where n and H are the dimension and the mean curvature of the hypersurface, respectively. We determine the canonical forms of the shape operator, the mean curvature, sectional curvature and Levi-Civita connection of this hypersurface. Afterwards we give the necessary and sufficient condition for this hypersurface to be biconservative. Later we classify the biconservative hypersurface in E 4 1 and show the uniquniess of them. In fifth section, we examine the biconservative hypersurfaces with certain shape operator in Minkowski 5 space E 5 1 . We give some non-existence theorems. In the sixth section, we examine the biconservative submanifolds with mean curvature whose gradient is light-like in E n 1 . We give some non-existence results. In the last section, the obtained conclusions are shared and recommendations are made about the future of the problems.
-
ÖgeClassical yang-baxter equationfrom duality covariant formulation of string theory(Graduate School, 2024-01-12)The aim of the thesis is to study the homogeneous Yang-Baxter (YB) deformation proposed in the physics literature for a generic Green-Schwarz sigma model from a geometric point of view. It has been shown that these kind of deformations are generated by a certain kind of non-constant O(d,d) transformation, called β transformation, which acts as solution generating transformations in string theory. We study the construction of such an O(d,d) transformation from a bi-vector field related to the Poisson structure on the manifold. It is a well-known fact that there is a Lie algebroid structure on the cotangent bundle of the manifold when there is a Poisson structure on the manifold. Moreover, this Lie algebroid structure is compatible with the standard Lie algebroid structure on the tangent bundle, so that there is a Courant algebroid structure on the direct sum of the tangent and cotangent bundle (called the generalized tangent bundle) of the manifold. We also study Courant algebroid structures in order to understand and to generalize the transformation and the YB deformation. Given a Lie algebra with a non-degenerate inner product, if there exists an endomorphism R, which satisfies the classical Yang-Baxter equation (CYBE), then the direct sum of the Lie algebra and its dual has a natural Drinfel'd structure. Such an endomorphism can be extended to the tangent bundle of the integral Lie group by the help of the adjoint action. In this way, an automorphism called the dressed R-matrix can be constructed, which satisfies the CYBE since the adjoint action is an automorphism of the Lie bracket. It is possible to build a Poisson bi-vector field on the manifold from the dressed R-matrix. It can be shown that the Schouten-Nijenhuis bracket of the bi-vector field with itself vanishes following directly from the fact that the dressed R-matrix satisfies CYBE. The Lie algebroid structure on the cotangent bundle induced from the Poisson structure is compatible with the standard Lie algebroid structure on the tangent bundle. Then the tangent and cotangent bundles with the stated Lie algebroid structures form a Lie bialgebroid, which is an example of a triangular Lie bialgebroid. The Drinfel'd double of the resulting triangular Lie bialgebroid is a Courant algebroid with transversal Dirac structures. This geometrical structure plays a prominent role in the solution generating mechanism stated above. The dynamical fields in the universal sector of the low energy effection action of string theory are the Riemannian metric, a 2-form field called the B-field and a scalar field called the dilaton field. The first two of these fields become the constituents of the generalized metric, which is a tensor on the generalized tangent bundle T M ⊕ T^{∗}M that transforms naturally under O(d,d). There is a O(d,d) covariant version of string theory, called Double Field Theory (DFT), which is written in terms of the generalized metric and the generalized dilaton field. DFT provides a suitable framework to demonstrate the fact that YB deformation preserves the solutions of string theory. From a geometric point of view, the existence of a generalized metric is equivalent to the existence of a subbundle of the generalized tangent bundle on which the inner product is positive definite. If one starts with a generalized metric of a specific form that solves the field equations of DFT in the limit in which it reduces to the field equations of supergravity and transforms it with the O(d,d) matrix generating the YB deformation, the resulting generalized metric also solves the field equations of DFT in the same limit. In the physics literature, the proof of this is based on comparing the "fluxes" before and after the transformation and showing that these fluxes do not change. From a geometrical point of view the fluxes are just the "structure functions" of the Courant algebroid structure on the generalized tangent bundle, when a specific basis is chosen for the sections of tangent and cotangent bundles. In order to understand this "flux preservation" principle from a geometrical point of view, we also study the axioms defining a Courant algebraid in local coordinates. We also work out in detail the case where the anchor of the Courant algebroid is determined by a bi-vector field associated by the YB deformation.
-
ÖgeDispersif şok dalgalarının Whitham teorisi(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2024-01-12)Bu tez çalışmasında, (2+1) boyutlu focusing modifiye Kadomtsev-Petviashvili (mKP(f)) ve defocusing modifiye Kadomtsev-Petviashvili (mKP(d)) denklemleri için parabolik tipte, (3+1) boyutlu mKP(f) ve mKP(d) denklemleri için ise paraboloid tipte bir dalga cephesi boyunca uzanan basamak tipi bir başlangıç koşulu için dispersif şokdalga çözümleri (DSW) incelenmiştir. Çalışma beş bölümden oluşmaktadır.
-
ÖgeYüksek boyutlu model gösterilimi ve çok değişkenliliği yükseltilmiş çarpımlar gösterilimi ile görüntü üzerindeki gürültüleri giderme(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2024-09-09)Bu tez çalışmasında Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi (YBMG) ve Çok Değişkenliliği Yükseltilmiş Çarpımlar Gösterilimi (ÇYÇG) yöntemleri kullanılarak görüntü üzerindeki gürültüleri giderme çalışması yapılmıştır. Tuz biber gürültüsünü gidermeye yönelik oldukça geniş bir çalışmaya yer verilmekle birlikte gauss ve alacalı gürültülerini giderme konusunda da çalışmalar yapılmıştır. YBMG ve ÇYÇG yüksek boyutlu fonksiyonların veya verilerin ayrıştırımında kullanılan yöntemlerdir. Karmaşık fonksiyonları veya verileri daha basit ve anlaşılır bileşenlere ayırarak modelleme yapabilme kapasitesine sahiptir ve bilimsel yazında oldukça etkin olarak kullanılmaktadır. Bu yöntemler, yüksek boyutlu veri setlerini daha rahat işlenebilir alt boyutlara indirgeyen birer böl ve yönet algoritması olarak hesaplama kolaylığı sağlamaktadır. Görüntü üzerinde gürültünün giderilmesi, yapılacak olan işlemin kalitesi ve güvenilirliği açısından büyük önem taşımaktadır. Bu çalışmada görüntü verisinde gürültü olarak isimlendirilen kayıp veya eksik verileri YBMG ve ÇYÇG bileşenlerinden faydalanarak en doğru şekilde tahmin etme işlemi amaçlanmıştır. Böylelikle hem literatürün güncel ve iyi çalışmaları kadar etkili yeni yöntemler geliştirilmiş hem de YBMG ve ÇYÇG algoritmaları yeni kullanım alanları bulmuştur. Çalışmada öncelikle literatürün temel ve güncel filtreleri anlatılmıştır. Gauss gürültüsünü gidermek için kullanılan ortalama filtre, bulanık filtre, gauss görüntü filtresi gibi filtrelerden bahsedilmiş devamında alaca gürültüsü için Lee filtre, Frost filtre, Kuan filtre, doğrusal olmayan uyumlu difüzyon fitre gibi çalışmalara yer verilmiştir. Bu tez çalışmasında üzerinde genişçe durulan tuz ve biber gürültüsü için ise medyan filtre, uyarlanabilir medyan filtre, sürekli kesirler interpolasyon filtresi, piksel yoğunluğu tabanlı filtre, farklı uygulanabilen medyan filtresi, pencere medyan filtre, modifiye edilmiş farklı uygulanabilir medyan filtre gibi literatürün en güncel istatistiksel yöntemlerinnin çalışma prensiplerine yer verilmiştir. Bu tez çalışmasında geliştirilen algoritmada kullanılan YBMG ve ÇYÇG yöntemlerinin, analitik fonksiyonlara, verilere ve görüntülere nasıl uygulandığı anlatılmıştır. YBMG ve ÇYÇG'nin görüntü verisine uygulanarak elde edilen bileşenlerinden faydalanarak gürültü giderme algoritmaları oluşturulmuştur. Çalışmada öncelikle alacalı ve gauss gürültülerine değinilmiş bu gürültüler hakkında bilgi verilerek giderilmesi için ÇYÇG tabanlı iki farklı algoritma oluşturulmuştur. Bunlardan ilki bu gürültüleri gidermek için ÇYÇG'nin sabit teriminden faydalanıyorken, ikinci algoritma ÇYÇG'nin tek değişkenli terimlerden faydalanmaktadır. Tez çalışmasında asıl olarak odaklanılan araştırılan konu tuz ve biber gürültüsünü gidermeye yönelik algoritmaların geliştirilmesidir. Bu amaçla, öncelikle YBMG yönteminden faydalanılmıştır. İlk olarak YBMG açılımının ilk terimleri olan sabit terimden ve birli terimlerden yararlanılması düşünülmüş ve bu terimlerden istatistiksel yöntemlerle elde edilen yeni değer kayan pencere yapısında oluşturulan gürültülü merkez piksel yerine konulmuştur.
-
ÖgeFqx(Fq+vFq) halkası üzerinde lineer kodlar(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2024-01-12)Kaynaktan alıcıya bilgi transferi sırasında gürültü ismi verilen etkenler sebebiyle iletişim kanalında hatalar meydana gelmektedir. Bu hataların tespiti ve mümkünse düzeltilmesi kodlama teorisi alanının çalışma konusudur. Kodlama teorisi alanında ilk çalışmalar cisimler üzerinde iken daha sonra halkalar üzerinde de çalışılmaya başlanmıştır. Halkalar üzerindeki kod ailelerinin Gray dönüşüm ismi verilen özel bir dönüşüm altındaki görüntülerinin literatürdeki kodlardan daha fazla hata düzeltme kapasitesine sahip olduğu tespit edilmiştir. Bu yüzden halkalar üzerindeki kodlar daha fazla çalışılmaya başlanmıştır. Bu çalışma bir halka üzerindeki kodları incelediğinden, ilk olarak Bölüm 1'de literatürde halkalar üzerinde yapılan kodlama teorisi çalışmaları hakkında bir literatür çalışması yapılmıştır. Daha sonra Bölüm 2'de kodlama teorisi, halkalar, sonlu cisimler ve lineer kodlar hakkında bazı temel bilgiler verilmiştir. Kendi içinde 6 alt bölüme ayrılan Bölüm 3'te ise asıl çalışma bulunmaktadır. Bölüm 3.1'de v^2=v olmak üzere R=F_qx(F_q+vF_q) halkasının yapısı tanıtılmış ve R halkasından \F_q^{3n} cismine iki tane Gray dönüşüm tanımlanmıştır. Ayrıca Öklit ve Hermityen iç çarpımların tanımları verilmiştir. Bölüm 3.2'de ise R halkası üzerindeki lineer kodlar çalışılmıştır. Gray denk kodların tanımı verilmiş ve R üzerinde n uzunluğundaki bir C kodunun üreteç matrisinin yapısı çalışılmıştır. Bölüm 3.3'te ise R halkası üzerindeki serbest kodlar çalışılmıştır. Bilinmektedir ki, cisimler üzerindeki kodların üreteç matrisinin tüm satırları lineer bağımsızdır. Ancak bu durum halkalar için geçerli değildir. Bu yüzden bir halka üzerindeki kodların üreteç matrislerinin farklı sayıda satırdan oluşabileceği söylenebilir. Bu bölümde R halkası üzerindeki lineer kodların üreteç matrislerinin satırlarının lineer bağımsız olması için gerekli şartlar belirlenmiştir. Bölüm 3.4'te R halkası üzerinde dual kodlar çalışılmıştır. Bölüm 3.1'de tanımlamış olduğumuz iki adet iç çarpıma göre dual ve kendine dual olan kodlar çalışılmıştır. R halkası üzerindeki bir C kodunun Öklit ve Hermityen iç çarpımlara göre duallerinin üreteç matrislerinin (yani kontrol matrisi) yapısı incelenmiştir. Bölüm 3.5'te ise R halkası üzerindeki devirli kodlar çalışılmıştır. R üzerindeki bir devirli kod R_n=R[x]/(x^n-1) polinom halkasının bir idealine karşılık geldiğinden, R_n polinom halkasının ideallerinin yapısı incelenmiş ve üreteç polinomu belirlenmiştir. Bölüm 3.6'da ise tam, simetrik, Hamming, Lee ve Gray ağırlık sayaçlarının tanımları verilmiştir. Daha sonra bu ağırlık sayaçlarına göre R üzerinde n uzunluklu bir C lineer kodu için MacWilliams özdeşlikleri belirlenmiştir. Tam ağırlık sayacında R halkasının elemanlarının bir sıralamasına ihtiyaç duyulduğundan, R halkasının elemanlarını sıralamak için kullanışlı bir yöntem belirlenmiştir.