LEE- Matematik Mühendisliği-Doktora
Bu koleksiyon için kalıcı URI
Gözat
Son Başvurular
1 - 5 / 16
-
ÖgeZaman ve uzay kesirli türevli toplam varyasyon yöntemi ile görüntülerde gürültü temizleme(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2025-03-20)Dijital görüntüler, günümüz teknolojisinde çeşitli alanlarda kullanılmaktadır. Ancak, görüntü elde etme sürecinde oluşan gürültüler, görüntü kalitesini olumsuz etkiler ve bilgi kaybına neden olabilir. Gürültü giderme, görüntü işleme alanında önemli bir konudur ve bu konuda çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Bu çalışmada, görüntülerdeki gürültüyü etkili bir şekilde azaltmak amacıyla Zaman ve Uzay Kesirli Türevli Toplam Varyasyon (TVFF) yöntemi geliştirilmiştir. TVFF yöntemi toplam varyasyon (TV) tabanlı bir yöntemdir ve Rudin, Osher ve Fatemi (ROF) ve Kesirli Türevli Toplam Varyasyon (TVF) modellerinden esinlenilmiştir. TVFF yönteminde, ROF modelinde kullanılan klasik türevler yerine zaman parametresi için Caputo kesirli türevi, uzamsal parametreler için ise Riesz-Caputo kesirli türevi kullanılmıştır. Kesirli türevler, görüntülerin daha hassas bir şekilde modellenmesini ve gürültünün daha etkili bir şekilde giderilmesini sağlar. Ayrıca, TVFF yönteminde yerel olmayan etkinlik parametresi kullanılarak, her pikselin çevresindeki piksellerin ağırlıklı etkisi de hesaba katılmıştır. Bu yaklaşım, yöntemin gürültü temizlemedeki etkisini arttırmıştır. Çalışmada, ilk olarak TVFF yönteminin yönetici denklemleri oluşturulmuştur. Sonlu fark şemaları ve modifiye trapez yöntemi gibi sayısal çözüm teknikleriyle yöntem ayrıklaştırılmış ve stabilite analizleri yapılmıştır. TVFF yöntemi, hem gri tonlamalı hem de renkli görüntülerdeki gürültüyü gidermek için kullanılabilir. Gri tonlamalı görüntülerde, TVFF yöntemi doğrudan uygulanabilir. Renkli görüntülerde ise, her bir renk kanalı, kırmızı-yeşil-mavi ayrı ayrı ele alınır ve TVFF yöntemi her kanala ayrı uygulanır. TVFF yöntemi, farklı gürültü türleri ve yoğunlukları ile kirletilmiş çeşitli görüntüler üzerinde test edilmiştir. Yöntemin performansı, SNR, SSIM, MS-SSIM, RMSE ve ERR gibi yaygın olarak kullanılan metrikler kullanılarak sayısal olarak değerlendirilmiştir. Bu sonuçlar, elde edilen temizlenmiş görünütülere ait histogram analizleri ve görsel karşılaştırmalarla desteklenmiştir. Deneysel sonuçlar, TVFF yönteminin mevcut yöntemlere kıyasla daha iyi sonuçlar verdiğini göstermektedir. TVFF yöntemi gürültüyü etkili bir şekilde giderirken, görüntü detaylarını ve kenarları korumaktadır. Bu çalışmada yüksek yoğunluklu Tuz ve Biber gürültüsünü gidermek için TVFF yöntemiyle Tuz ve Biber Gürültü Temizleme Filtresi (TVFFS&P) adı verilen hibrit bir filtre de geliştirilmiştir. Bu filtre, TVFF yöntemini doğrusal filtreler ile birleştirerek, Tuz ve Biber gürültüsüne karşı daha etkili bir çözüm sunar. TVFFS&P filtresi, test edilen görüntülerde oldukça başarılı sonuçlar elde etmiştir. Gelecekteki araştırmalar, TVFF yöntemini, görüntü özelliklerine göre kesirli türev derecelerini dinamik olarak ayarlayan, uyarlanabilir parametrelerin entegre edilmesiyle daha da geliştirmeye odaklanabilir. Bulanık mantık veya makine öğrenmesi gibi teknikler, bu parametre seçim sürecini otomatikleştirmek için etkili bir şekilde kullanılabilir. Ayrıca, TVFF yönteminin tıbbi görüntüleme veya video kareleri gibi farklı görüntü türlerine uygulanabilirliğini araştırmak, yöntemin kullanım alanlarını genişletebilir. Düzensiz gürültü dağılımları veya karmaşık görüntüleme ortamlarını içeren senaryolarda yöntemin etkinliğinin incelenmesi de değerli bilgiler sunabilir. Sonuç olarak, bu çalışma kesirli türevlerin ve yerel olmayan etkinlik parametresinin gürültü azaltmadaki avantajlarını vurgulayarak, TVFF ve TVFFS&P yöntemlerinin yenilikçi ve etkili gürültü azaltma teknikleri olduğunu göstermektedir. Yöntemlerin, gürültü giderimi ile ayrıntıların korunması arasında dengeli bir çözüm sunma yeteneği, onları çeşitli uygulamalar için değerli araçlar haline getirmektedir. Mevcut zorlukların ele alınması ve gelecekteki geliştirmelerin araştırılmasıyla birlikte, TVFF yönteminin görüntü işleme teknolojisinin ilerletilmesine önemli katkılar sağlayabileceği görülmektedir. Çalışma sonuçları, kesirli türevlerin görüntü kalitesini korurken gürültü azaltmada sağlam ve esnek bir çözüm sunduğunu ortaya koyarak daha gelişmiş gürültü giderme yöntemleri geliştirme potansiyeline işaret etmektedir.Dijital görüntüler, günümüz teknolojisinde çeşitli alanlarda kullanılmaktadır. Ancak, görüntü elde etme sürecinde oluşan gürültüler, görüntü kalitesini olumsuz etkiler ve bilgi kaybına neden olabilir. Gürültü giderme, görüntü işleme alanında önemli bir konudur ve bu konuda çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Bu çalışmada, görüntülerdeki gürültüyü etkili bir şekilde azaltmak amacıyla Zaman ve Uzay Kesirli Türevli Toplam Varyasyon (TVFF) yöntemi geliştirilmiştir. TVFF yöntemi toplam varyasyon (TV) tabanlı bir yöntemdir ve Rudin, Osher ve Fatemi (ROF) ve Kesirli Türevli Toplam Varyasyon (TVF) modellerinden esinlenilmiştir. TVFF yönteminde, ROF modelinde kullanılan klasik türevler yerine zaman parametresi için Caputo kesirli türevi, uzamsal parametreler için ise Riesz-Caputo kesirli türevi kullanılmıştır. Kesirli türevler, görüntülerin daha hassas bir şekilde modellenmesini ve gürültünün daha etkili bir şekilde giderilmesini sağlar. Ayrıca, TVFF yönteminde yerel olmayan etkinlik parametresi kullanılarak, her pikselin çevresindeki piksellerin ağırlıklı etkisi de hesaba katılmıştır. Bu yaklaşım, yöntemin gürültü temizlemedeki etkisini arttırmıştır. Çalışmada, ilk olarak TVFF yönteminin yönetici denklemleri oluşturulmuştur. Sonlu fark şemaları ve modifiye trapez yöntemi gibi sayısal çözüm teknikleriyle yöntem ayrıklaştırılmış ve stabilite analizleri yapılmıştır. TVFF yöntemi, hem gri tonlamalı hem de renkli görüntülerdeki gürültüyü gidermek için kullanılabilir. Gri tonlamalı görüntülerde, TVFF yöntemi doğrudan uygulanabilir. Renkli görüntülerde ise, her bir renk kanalı, kırmızı-yeşil-mavi ayrı ayrı ele alınır ve TVFF yöntemi her kanala ayrı uygulanır. TVFF yöntemi, farklı gürültü türleri ve yoğunlukları ile kirletilmiş çeşitli görüntüler üzerinde test edilmiştir. Yöntemin performansı, SNR, SSIM, MS-SSIM, RMSE ve ERR gibi yaygın olarak kullanılan metrikler kullanılarak sayısal olarak değerlendirilmiştir. Bu sonuçlar, elde edilen temizlenmiş görünütülere ait histogram analizleri ve görsel karşılaştırmalarla desteklenmiştir. Deneysel sonuçlar, TVFF yönteminin mevcut yöntemlere kıyasla daha iyi sonuçlar verdiğini göstermektedir. TVFF yöntemi gürültüyü etkili bir şekilde giderirken, görüntü detaylarını ve kenarları korumaktadır. Bu çalışmada yüksek yoğunluklu Tuz ve Biber gürültüsünü gidermek için TVFF yöntemiyle Tuz ve Biber Gürültü Temizleme Filtresi (TVFFS&P) adı verilen hibrit bir filtre de geliştirilmiştir. Bu filtre, TVFF yöntemini doğrusal filtreler ile birleştirerek, Tuz ve Biber gürültüsüne karşı daha etkili bir çözüm sunar. TVFFS&P filtresi, test edilen görüntülerde oldukça başarılı sonuçlar elde etmiştir. Gelecekteki araştırmalar, TVFF yöntemini, görüntü özelliklerine göre kesirli türev derecelerini dinamik olarak ayarlayan, uyarlanabilir parametrelerin entegre edilmesiyle daha da geliştirmeye odaklanabilir. Bulanık mantık veya makine öğrenmesi gibi teknikler, bu parametre seçim sürecini otomatikleştirmek için etkili bir şekilde kullanılabilir. Ayrıca, TVFF yönteminin tıbbi görüntüleme veya video kareleri gibi farklı görüntü türlerine uygulanabilirliğini araştırmak, yöntemin kullanım alanlarını genişletebilir. Düzensiz gürültü dağılımları veya karmaşık görüntüleme ortamlarını içeren senaryolarda yöntemin etkinliğinin incelenmesi de değerli bilgiler sunabilir. Sonuç olarak, bu çalışma kesirli türevlerin ve yerel olmayan etkinlik parametresinin gürültü azaltmadaki avantajlarını vurgulayarak, TVFF ve TVFFS&P yöntemlerinin yenilikçi ve etkili gürültü azaltma teknikleri olduğunu göstermektedir. Yöntemlerin, gürültü giderimi ile ayrıntıların korunması arasında dengeli bir çözüm sunma yeteneği, onları çeşitli uygulamalar için değerli araçlar haline getirmektedir. Mevcut zorlukların ele alınması ve gelecekteki geliştirmelerin araştırılmasıyla birlikte, TVFF yönteminin görüntü işleme teknolojisinin ilerletilmesine önemli katkılar sağlayabileceği görülmektedir. Çalışma sonuçları, kesirli türevlerin görüntü kalitesini korurken gürültü azaltmada sağlam ve esnek bir çözüm sunduğunu ortaya koyarak daha gelişmiş gürültü giderme yöntemleri geliştirme potansiyeline işaret etmektedir.Dijital görüntüler, günümüz teknolojisinde çeşitli alanlarda kullanılmaktadır. Ancak, görüntü elde etme sürecinde oluşan gürültüler, görüntü kalitesini olumsuz etkiler ve bilgi kaybına neden olabilir. Gürültü giderme, görüntü işleme alanında önemli bir konudur ve bu konuda çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Bu çalışmada, görüntülerdeki gürültüyü etkili bir şekilde azaltmak amacıyla Zaman ve Uzay Kesirli Türevli Toplam Varyasyon (TVFF) yöntemi geliştirilmiştir. TVFF yöntemi toplam varyasyon (TV) tabanlı bir yöntemdir ve Rudin, Osher ve Fatemi (ROF) ve Kesirli Türevli Toplam Varyasyon (TVF) modellerinden esinlenilmiştir. TVFF yönteminde, ROF modelinde kullanılan klasik türevler yerine zaman parametresi için Caputo kesirli türevi, uzamsal parametreler için ise Riesz-Caputo kesirli türevi kullanılmıştır. Kesirli türevler, görüntülerin daha hassas bir şekilde modellenmesini ve gürültünün daha etkili bir şekilde giderilmesini sağlar. Ayrıca, TVFF yönteminde yerel olmayan etkinlik parametresi kullanılarak, her pikselin çevresindeki piksellerin ağırlıklı etkisi de hesaba katılmıştır. Bu yaklaşım, yöntemin gürültü temizlemedeki etkisini arttırmıştır. Çalışmada, ilk olarak TVFF yönteminin yönetici denklemleri oluşturulmuştur. Sonlu fark şemaları ve modifiye trapez yöntemi gibi sayısal çözüm teknikleriyle yöntem ayrıklaştırılmış ve stabilite analizleri yapılmıştır. TVFF yöntemi, hem gri tonlamalı hem de renkli görüntülerdeki gürültüyü gidermek için kullanılabilir. Gri tonlamalı görüntülerde, TVFF yöntemi doğrudan uygulanabilir. Renkli görüntülerde ise, her bir renk kanalı, kırmızı-yeşil-mavi ayrı ayrı ele alınır ve TVFF yöntemi her kanala ayrı uygulanır. TVFF yöntemi, farklı gürültü türleri ve yoğunlukları ile kirletilmiş çeşitli görüntüler üzerinde test edilmiştir. Yöntemin performansı, SNR, SSIM, MS-SSIM, RMSE ve ERR gibi yaygın olarak kullanılan metrikler kullanılarak sayısal olarak değerlendirilmiştir. Bu sonuçlar, elde edilen temizlenmiş görünütülere ait histogram analizleri ve görsel karşılaştırmalarla desteklenmiştir. Deneysel sonuçlar, TVFF yönteminin mevcut yöntemlere kıyasla daha iyi sonuçlar verdiğini göstermektedir. TVFF yöntemi gürültüyü etkili bir şekilde giderirken, görüntü detaylarını ve kenarları korumaktadır. Bu çalışmada yüksek yoğunluklu Tuz ve Biber gürültüsünü gidermek için TVFF yöntemiyle Tuz ve Biber Gürültü Temizleme Filtresi (TVFFS&P) adı verilen hibrit bir filtre de geliştirilmiştir. Bu filtre, TVFF yöntemini doğrusal filtreler ile birleştirerek, Tuz ve Biber gürültüsüne karşı daha etkili bir çözüm sunar. TVFFS&P filtresi, test edilen görüntülerde oldukça başarılı sonuçlar elde etmiştir. Gelecekteki araştırmalar, TVFF yöntemini, görüntü özelliklerine göre kesirli türev derecelerini dinamik olarak ayarlayan, uyarlanabilir parametrelerin entegre edilmesiyle daha da geliştirmeye odaklanabilir. Bulanık mantık veya makine öğrenmesi gibi teknikler, bu parametre seçim sürecini otomatikleştirmek için etkili bir şekilde kullanılabilir. Ayrıca, TVFF yönteminin tıbbi görüntüleme veya video kareleri gibi farklı görüntü türlerine uygulanabilirliğini araştırmak, yöntemin kullanım alanlarını genişletebilir. Düzensiz gürültü dağılımları veya karmaşık görüntüleme ortamlarını içeren senaryolarda yöntemin etkinliğinin incelenmesi de değerli bilgiler sunabilir. Sonuç olarak, bu çalışma kesirli türevlerin ve yerel olmayan etkinlik parametresinin gürültü azaltmadaki avantajlarını vurgulayarak, TVFF ve TVFFS&P yöntemlerinin yenilikçi ve etkili gürültü azaltma teknikleri olduğunu göstermektedir. Yöntemlerin, gürültü giderimi ile ayrıntıların korunması arasında dengeli bir çözüm sunma yeteneği, onları çeşitli uygulamalar için değerli araçlar haline getirmektedir. Mevcut zorlukların ele alınması ve gelecekteki geliştirmelerin araştırılmasıyla birlikte, TVFF yönteminin görüntü işleme teknolojisinin ilerletilmesine önemli katkılar sağlayabileceği görülmektedir. Çalışma sonuçları, kesirli türevlerin görüntü kalitesini korurken gürültü azaltmada sağlam ve esnek bir çözüm sunduğunu ortaya koyarak daha gelişmiş gürültü giderme yöntemleri geliştirme potansiyeline işaret etmektedir.Dijital görüntüler, günümüz teknolojisinde çeşitli alanlarda kullanılmaktadır. Ancak, görüntü elde etme sürecinde oluşan gürültüler, görüntü kalitesini olumsuz etkiler ve bilgi kaybına neden olabilir. Gürültü giderme, görüntü işleme alanında önemli bir konudur ve bu konuda çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Bu çalışmada, görüntülerdeki gürültüyü etkili bir şekilde azaltmak amacıyla Zaman ve Uzay Kesirli Türevli Toplam Varyasyon (TVFF) yöntemi geliştirilmiştir. TVFF yöntemi toplam varyasyon (TV) tabanlı bir yöntemdir ve Rudin, Osher ve Fatemi (ROF) ve Kesirli Türevli Toplam Varyasyon (TVF) modellerinden esinlenilmiştir. TVFF yönteminde, ROF modelinde kullanılan klasik türevler yerine zaman parametresi için Caputo kesirli türevi, uzamsal parametreler için ise Riesz-Caputo kesirli türevi kullanılmıştır. Kesirli türevler, görüntülerin daha hassas bir şekilde modellenmesini ve gürültünün daha etkili bir şekilde giderilmesini sağlar. Ayrıca, TVFF yönteminde yerel olmayan etkinlik parametresi kullanılarak, her pikselin çevresindeki piksellerin ağırlıklı etkisi de hesaba katılmıştır. Bu yaklaşım, yöntemin gürültü temizlemedeki etkisini arttırmıştır. Çalışmada, ilk olarak TVFF yönteminin yönetici denklemleri oluşturulmuştur. Sonlu fark şemaları ve modifiye trapez yöntemi gibi sayısal çözüm teknikleriyle yöntem ayrıklaştırılmış ve stabilite analizleri yapılmıştır. TVFF yöntemi, hem gri tonlamalı hem de renkli görüntülerdeki gürültüyü gidermek için kullanılabilir. Gri tonlamalı görüntülerde, TVFF yöntemi doğrudan uygulanabilir. Renkli görüntülerde ise, her bir renk kanalı, kırmızı-yeşil-mavi ayrı ayrı ele alınır ve TVFF yöntemi her kanala ayrı uygulanır. TVFF yöntemi, farklı gürültü türleri ve yoğunlukları ile kirletilmiş çeşitli görüntüler üzerinde test edilmiştir. Yöntemin performansı, SNR, SSIM, MS-SSIM, RMSE ve ERR gibi yaygın olarak kullanılan metrikler kullanılarak sayısal olarak değerlendirilmiştir. Bu sonuçlar, elde edilen temizlenmiş görünütülere ait histogram analizleri ve görsel karşılaştırmalarla desteklenmiştir. Deneysel sonuçlar, TVFF yönteminin mevcut yöntemlere kıyasla daha iyi sonuçlar verdiğini göstermektedir. TVFF yöntemi gürültüyü etkili bir şekilde giderirken, görüntü detaylarını ve kenarları korumaktadır. Bu çalışmada yüksek yoğunluklu Tuz ve Biber gürültüsünü gidermek için TVFF yöntemiyle Tuz ve Biber Gürültü Temizleme Filtresi (TVFFS&P) adı verilen hibrit bir filtre de geliştirilmiştir. Bu filtre, TVFF yöntemini doğrusal filtreler ile birleştirerek, Tuz ve Biber gürültüsüne karşı daha etkili bir çözüm sunar. TVFFS&P filtresi, test edilen görüntülerde oldukça başarılı sonuçlar elde etmiştir. Gelecekteki araştırmalar, TVFF yöntemini, görüntü özelliklerine göre kesirli türev derecelerini dinamik olarak ayarlayan, uyarlanabilir parametrelerin entegre edilmesiyle daha da geliştirmeye odaklanabilir. Bulanık mantık veya makine öğrenmesi gibi teknikler, bu parametre seçim sürecini otomatikleştirmek için etkili bir şekilde kullanılabilir. Ayrıca, TVFF yönteminin tıbbi görüntüleme veya video kareleri gibi farklı görüntü türlerine uygulanabilirliğini araştırmak, yöntemin kullanım alanlarını genişletebilir. Düzensiz gürültü dağılımları veya karmaşık görüntüleme ortamlarını içeren senaryolarda yöntemin etkinliğinin incelenmesi de değerli bilgiler sunabilir. Sonuç olarak, bu çalışma kesirli türevlerin ve yerel olmayan etkinlik parametresinin gürültü azaltmadaki avantajlarını vurgulayarak, TVFF ve TVFFS&P yöntemlerinin yenilikçi ve etkili gürültü azaltma teknikleri olduğunu göstermektedir. Yöntemlerin, gürültü giderimi ile ayrıntıların korunması arasında dengeli bir çözüm sunma yeteneği, onları çeşitli uygulamalar için değerli araçlar haline getirmektedir. Mevcut zorlukların ele alınması ve gelecekteki geliştirmelerin araştırılmasıyla birlikte, TVFF yönteminin görüntü işleme teknolojisinin ilerletilmesine önemli katkılar sağlayabileceği görülmektedir. Çalışma sonuçları, kesirli türevlerin görüntü kalitesini korurken gürültü azaltmada sağlam ve esnek bir çözüm sunduğunu ortaya koyarak daha gelişmiş gürültü giderme yöntemleri geliştirme potansiyeline işaret etmektedir.
-
ÖgeSome results on the sums of unit fractions(Graduate School, 2025-03-26)A unit fraction is a rational number having $1$ in its numerator and any positive integer in its denominator. This thesis is devoted to the investigation of various aspects of sums of unit fractions, a topic that covers a wide range of problems and techniques. An elementary example of such sums is the harmonic numbers. Given a positive integer $n,$ the $n^{th}$ harmonic number is defined as $$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}.$$ We begin by presenting a generalization of the harmonic numbers called the Dedekind harmonic numbers. In order to define them, we take a number field $K$ and then consider the sum of reciprocals of norms of ideals of $\mathcal{O}_K$, the ring of integers of this number field $K$, whose norms are bounded by a given positive integer $n$. We first show that these numbers are not integers after a while. Then, we provide this specific upper bound for some quadratic number fields to guarantee that they are non-integer. Furthermore, under the Riemann hypothesis, we obtain the non-integerness of differences of these numbers together with uniform bounds for quadratic number fields and derive an asymptotic result. We then continue with another example of the sums of unit fractions called the hyperharmonic numbers. In his paper, Mez\H o proposed that these numbers are never integers, except for the trivial case $1$, and this conjecture remained unresolved for an extended period. Another question is also asked in the same paper: Can two hyperharmonic numbers of different indices and different orders be equal? A partial answer to a more generalized version of this question is given in this thesis, via a geometric approach with the help of related problems in arithmetic geometry. Afterwards, an analytic approach is followed and we deduce that the differences of distinct hyperharmonic numbers are almost never an integer. For any given prime number $p$, the set denoted by $J(p)$ was introduced by Eswarathasan and Levine. This set consists of the indices of the harmonic numbers whose numerators are divisible by this prime $p$ in their lowest terms. The size of this set for several prime numbers was calculated by several authors and some upper bounds for a counting function for this set were given. We generalize the set $J(p)$ to the generalized harmonic numbers. The generalized harmonic numbers are sums of unit fractions where they have some positive integer power $s$ of the positive integers in their denominators. We define the generalizations $J(p,s)$ and $J(p^s,s)$ of $J(p)$, deduce some finiteness results, provide congruence relations and eventually obtain an upper bound for the counting function for $J(p,s)$. Moreover, we provide an explicit criterion that implies the finiteness of our set, together with computational results, and then point out the subjects that may reveal more about the finiteness of $J(p,s)$, by introducing Bernoulli and Euler numbers together with the irregular primes.
-
ÖgeBiharmonic and biconservative submanifolds of lorentizan space forms(Graduate School, 2022-12-16)In 1964, Eells and Sampson gave the definition of biharmonic maps as a generalization of harmonic maps during they were studying on the energy functional E between Riemannian manifolds which has geometrical and physical interest. Later, many geometers interested in biharmonic maps. By the definition, a biharmonic map φ : M → N between two Semi-Riemannian manifolds is a critical point of the bienergy functional E2(φ) = 1 2 Z M ∥τ(φ)∥ 2 vg, where τ(φ) = trace∇dφ is the tension field of φ that vanishes for harmonic maps. If φ is a biharmonic isometric immersion into N then M is said to be biharmonic submanifold of N. In the middle of 1980's, Chen studied biharmonic submanifolds in Euclidean spaces as a part of his program of understanding finite type submanifolds in Euclidean spaces. He gave an alternative definition of biharmonic submanifolds in Euclidean spaces. That definition is also same for pseudo-Euclidean spaces: If the position vector field x : M → E n satisfies ∆ 2 x = 0 then M is called biharmonic submanifold, where ∆ denote the Laplacian of M. By the well known Laplace-Beltrami identity this equation is equivalent to ∆H = 0, where H is the mean curvature vector of M. In the mean time, independently, Jiang showed that a smooth map φ is biharmonic if and only if its bitension field τ2(φ) (which corresponds the Euler-Lagrange equation of bienergy functional) vanishes identically, i.e., τ2(φ) = 0. Jiang also showed that τ2(φ) = 0 if and only if ∆H = 0 for an isometric immersion φ : M → E n . As a result, definitions given by Chen and Jiang coincide for the class of Euclidean and pseudo-Euclidean submanifolds. Biconservative submanifolds arose from the theory of biharmonic submanifolds. Stress-energy tensor for the energy function described by Hilbert was expanded for the bienergy function as follows S2(X,Y) = 1 2 ∥τ(φ)∥ 2 ⟨X,Y⟩+⟨dφ,∇τ(φ)⟩⟨X,Y⟩ −⟨dφ(X),∇Y τ(φ)⟩ − ⟨dφ(Y),∇Xτ(φ)⟩ xxi satisfying divS2 = −⟨τ2(φ),dφ⟩ . In general, a submanifold is called biconservative if divS2 = 0. It means (τ2(φ))T = 0. Indeed, this is equivalent to (∆H) T = 0 when the ambient space is pseudo-Euclidean. Because, for the isometric immersion into E n 1 , τ(φ) = −mH and τ2(φ) = m∆H. In this thesis we study on the biconservative submanifolds and biconservative hypersurfaces of the Lorentzian space forms and we also obtained some results related biharmonic ones. This work consists of seven sections and these sections were planned as follows: In the first section, we give a brief history and philosophy of biharmonic and biconservative submanifolds and studies has been done so far. In the second section, we give some basic notions of the submanifold theory on Lorentzian inner product space and biharmonic submanifolds. In the third section, biconservative surfaces with constant mean curvature (CMC) in Minkowski 4-space E 4 1 is studied. Firstly, we determine the canonical forms of the shape operator and then we give some examples of such submanifolds in E 4 1 . Later, we classify biconservative CMC submanifolds in E 4 1 . Then, we generalize all results to the CMC surfaces of S 4 1 and H4 1 . In the fourth section, we examine the biconservative hypersurfaces in Minkowski 4-space E 4 1 . In particular, we study hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator A satisfying A(∇H) = − nH 2 ∇H, where n and H are the dimension and the mean curvature of the hypersurface, respectively. We determine the canonical forms of the shape operator, the mean curvature, sectional curvature and Levi-Civita connection of this hypersurface. Afterwards we give the necessary and sufficient condition for this hypersurface to be biconservative. Later we classify the biconservative hypersurface in E 4 1 and show the uniquniess of them. In fifth section, we examine the biconservative hypersurfaces with certain shape operator in Minkowski 5 space E 5 1 . We give some non-existence theorems. In the sixth section, we examine the biconservative submanifolds with mean curvature whose gradient is light-like in E n 1 . We give some non-existence results. In the last section, the obtained conclusions are shared and recommendations are made about the future of the problems.
-
ÖgeClassical yang-baxter equationfrom duality covariant formulation of string theory(Graduate School, 2024-01-12)The aim of the thesis is to study the homogeneous Yang-Baxter (YB) deformation proposed in the physics literature for a generic Green-Schwarz sigma model from a geometric point of view. It has been shown that these kind of deformations are generated by a certain kind of non-constant O(d,d) transformation, called β transformation, which acts as solution generating transformations in string theory. We study the construction of such an O(d,d) transformation from a bi-vector field related to the Poisson structure on the manifold. It is a well-known fact that there is a Lie algebroid structure on the cotangent bundle of the manifold when there is a Poisson structure on the manifold. Moreover, this Lie algebroid structure is compatible with the standard Lie algebroid structure on the tangent bundle, so that there is a Courant algebroid structure on the direct sum of the tangent and cotangent bundle (called the generalized tangent bundle) of the manifold. We also study Courant algebroid structures in order to understand and to generalize the transformation and the YB deformation. Given a Lie algebra with a non-degenerate inner product, if there exists an endomorphism R, which satisfies the classical Yang-Baxter equation (CYBE), then the direct sum of the Lie algebra and its dual has a natural Drinfel'd structure. Such an endomorphism can be extended to the tangent bundle of the integral Lie group by the help of the adjoint action. In this way, an automorphism called the dressed R-matrix can be constructed, which satisfies the CYBE since the adjoint action is an automorphism of the Lie bracket. It is possible to build a Poisson bi-vector field on the manifold from the dressed R-matrix. It can be shown that the Schouten-Nijenhuis bracket of the bi-vector field with itself vanishes following directly from the fact that the dressed R-matrix satisfies CYBE. The Lie algebroid structure on the cotangent bundle induced from the Poisson structure is compatible with the standard Lie algebroid structure on the tangent bundle. Then the tangent and cotangent bundles with the stated Lie algebroid structures form a Lie bialgebroid, which is an example of a triangular Lie bialgebroid. The Drinfel'd double of the resulting triangular Lie bialgebroid is a Courant algebroid with transversal Dirac structures. This geometrical structure plays a prominent role in the solution generating mechanism stated above. The dynamical fields in the universal sector of the low energy effection action of string theory are the Riemannian metric, a 2-form field called the B-field and a scalar field called the dilaton field. The first two of these fields become the constituents of the generalized metric, which is a tensor on the generalized tangent bundle T M ⊕ T^{∗}M that transforms naturally under O(d,d). There is a O(d,d) covariant version of string theory, called Double Field Theory (DFT), which is written in terms of the generalized metric and the generalized dilaton field. DFT provides a suitable framework to demonstrate the fact that YB deformation preserves the solutions of string theory. From a geometric point of view, the existence of a generalized metric is equivalent to the existence of a subbundle of the generalized tangent bundle on which the inner product is positive definite. If one starts with a generalized metric of a specific form that solves the field equations of DFT in the limit in which it reduces to the field equations of supergravity and transforms it with the O(d,d) matrix generating the YB deformation, the resulting generalized metric also solves the field equations of DFT in the same limit. In the physics literature, the proof of this is based on comparing the "fluxes" before and after the transformation and showing that these fluxes do not change. From a geometrical point of view the fluxes are just the "structure functions" of the Courant algebroid structure on the generalized tangent bundle, when a specific basis is chosen for the sections of tangent and cotangent bundles. In order to understand this "flux preservation" principle from a geometrical point of view, we also study the axioms defining a Courant algebraid in local coordinates. We also work out in detail the case where the anchor of the Courant algebroid is determined by a bi-vector field associated by the YB deformation.
-
ÖgeDispersif şok dalgalarının Whitham teorisi(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2024-01-12)Bu tez çalışmasında, (2+1) boyutlu focusing modifiye Kadomtsev-Petviashvili (mKP(f)) ve defocusing modifiye Kadomtsev-Petviashvili (mKP(d)) denklemleri için parabolik tipte, (3+1) boyutlu mKP(f) ve mKP(d) denklemleri için ise paraboloid tipte bir dalga cephesi boyunca uzanan basamak tipi bir başlangıç koşulu için dispersif şokdalga çözümleri (DSW) incelenmiştir. Çalışma beş bölümden oluşmaktadır.