Finite-time control of switched linear systems with time-delay

thumbnail.default.placeholder
Tarih
2020
Yazarlar
Göksu, Gökhan
Süreli Yayın başlığı
Süreli Yayın ISSN
Cilt Başlığı
Yayınevi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Özet
Denetim kuramı dinamik sistemin girdisini, çıktısına göre ayarlamak suretiyle sistemin belirli bir davranışı sergilemesini inceleyen bir mühendislik ve matematik dalıdır. İncelenen sistemler zamana göre ayrık veya sürekli olabildiği gibi, bazı durumlarda dinamik sistemin davranışı sürekli ve ayrık olayların birleşiminden de oluşabilir. Bu tip sistemlere melez (hybrid) sistemler adı verilir. Melez sistemler konusunda sürekli sistemlerin ayrık ve anlık olaylarla değiştiği sistemler olan anahtarlamalı sistemler konusu yaygın olarak çalışılmaktadır. Anahtarlamalı sistemlerle ilgili çalışmalarda genellikle sistemin asimptotik kararlı olması durumu incelenmiştir. Halbuki bir çok pratik uygulamada sonlu zaman kararlı/sınırlı olması durumu, yani sistemin davranışının sonlu zamanda belli sınırlarda tutulması durumu önem arz etmektedir. Asimptotik olarak denge noktasına giden asimptotik kararlı sistemler, sonlu zaman kararlı/sınırlı olmayabilir; bazı sonlu zaman kararlı/sınırlı sistemler asimptotik kararlı olmayabilir. Anahtarlamalı sistemlerle ilgili ana çalışma alanı ise yaşam süresi veya ortalama yaşam süresidir. Yaşam süresi ardışık anahtarlama zamanlarının farkının belli bir yaşam süresinden fazla olması; ortalama yaşam süresi ise ardışık anahtarlama zamanlarının farkının ortalamasının belli bir ortalama yaşam süresinden fazla olmasıdır. Mühendislikte ve matematikte incelenen bazı dinamik sistemler; sistemin o andaki durumunun yanında, sistemin geçmişteki durumuna da bağlı olabilir. Bu tip sistemler zaman gecikmeli sistemler olarak adlandırılır ve zaman gecikmesi kötü performansa veya sistem kararsızlığına neden olabilir. Bu çalışmada, anahtarlamalı sistemlerin alt sistemlerinin kararsız ve karışık kararlı olması durumu ele alınmıştır. Anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin bozucu etkisinde sonlu zaman kararlı/sınırlı ve H$_\infty$ sınırlı olma durumları incelenmiştir. Öncelikle, sonlu zaman kararlılığı ile asimptotik kararlılık arasındaki farklar örnekler üzerinde gösterilmiş, sistem matrisleri Hurwitz kararlı olmayan ve zamana bağlı olmayan doğrusal sistemlerin sonlu zaman kararlılığı için yeter koşul elde edilmiştir. Sonlu zaman sınırlılığı ve H$_\infty$ denetimi sağlayacak gözlemci tabanlı denetimcinin varlığı için Lyapunov-Krasovskii fonksiyoneli kullanılarak yeni yeter koşullar elde edilmiştir. Herhangi bir matris ayrıştırımına ihtiyaç olmadan gözlemci tabanlı denetimci tasarlanarak, alt sistemlerin kararsız ve karışık kararlı olduğu durumlar için ortalama yaşam süresi sınırları bulunmuştur. Bu sınırlarda doğrusal olmayan terimlere bağlı olan bazı sabitler içerdiğinden ve bu terimler de yeter koşullardaki matrislerden oluştuğundan dolayı; ortalama yaşam süresindeki bu sabitlerin çözümü için koni tamamlayıcı bir algoritma sunulmuştur. Tüm bu çalışmalar durum geri beslemesi için de uygulanmıştır. %Bu çalışmada anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemler için durum geri beslemesi altında ve gözlemci tabanlı sonlu zaman kararlılık analizleri yapılmıştır. Anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemlerin kararlılığı ile ilgili yapılan çalışmalarda genellikle durum geri beslemesi ele alınmıştır. Bu sistemlerin gözlemci tabanlı kontrolü ile ilgili çalışmalar kısıtlıdır. Bu çalışmalarda da belirli bir aralıktaki zaman gecikmesi göz önüne alınmamıştır. Ayrıca gözlemci kazanç matrisinin hesaplanması, yeter koşulda verilen doğrusal matris eşitsizliklerinden elde edilen matrislerin özel bir yapıda ayrışmasına bağlıdır. Ortalama yaşam süresi kısıtındaki özdeğerlerin hesaplamaları hakkında hiçbir detaylı açıklama da verilmemiştir. Bunun yanı sıra, durum vektörünün sistem matrisleri Hurwitz kararlı olarak seçilmiştir ve kararsız ve karışık kararlı alt sistemler arasında anahtarlama olması durumu incelenmemiştir. Çalışmanın birinci bölümü olan giriş bölümünde kontrol süreci gösterilmiştir. Melez sistemler ve anahtarlamalı sistemler konusundaki çalışmalar özetlenmiş, sonlu zaman kararlılığı konusunda yapılan çalışmalar ile ortalama yaşam süresi konusunda yapılan çalışmalardan bahsedilmiştir. Tezde ele alınan problemlerden anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemlerde yapılan çalışmalarda eksik olan kısımlar özetlenerek literatür özeti tamamlanmıştır. İkinci bölümde, bu tezde kullanılan temel tanımlar ve bilgiler tanıtılmıştır. Öncelikle diferansiyel denklem sistemlerinin çözümlerinin varlığı ve tekliği için yeter koşullar verilmiştir. Melez sistemler, bir mühendislik örneği olan araçların vites dinamiği ile tanıtılarak, anahtarlamalı sistemlerin ne tarz durumlarda ortaya çıkabileceği gösterilmiş; duruma bağlı anahtarlama ve zamana bağlı anahtarlama durumları ayrıntılarıyla ele alınmıştır. Kısıtlamalı anahtarlama altında anahtarlama durumlarına bağlı yaşam süresi ve ortalama yaşam süresi kavramları tanıtılarak zaman gecikmeli sistemler ile ilgili temel bilgiler verilmiştir. Sonlu zaman kararlılığı ve sınırlılığı, Lyapunov kararlılık tanımları verilerek, bu iki kararlılık tanımları arasındaki kavram farkılıkları ortaya konmuş ve anahtarlamalı sistemler üzerinde örnek verilmiştir. Verilen örnekte kararlı iki alt sistemin periyodik anahtarlama altında periyoda bağlı kararlı veya kararsız olma durumlarının gözlemlendiği gösterilmiştir. Daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan; vektör normu ve matris normu kavramları, Schur yardımcı teoremi, Grönwall yardımcı teoremi ve Jensen eşitsizliği sunulmuş ve tezde kullanılan notasyonlar belirtilmiştir. Üçüncü bölümde; kararlı, kararsız ve karışık kararlı alt sistemlere sahip doğrusal anahtarlamalı sistemlerin vektör ve matris normları kullanılarak sonlu zaman kararlılık analizi yapılmıştır. Alt sistem matrislerinin özdeğerleri ve koşullandırma sayılarına bağlı sonlu zaman kararlılık koşulları ve bu alt sistemlerin olası aktivasyon sayıları elde edilmiştir. Anahtarlamalı sistemin sonlu zaman kararlılığının sağlanması için yeni ortalama yaşam süresi önerilmiştir. Son olarak da sayısal örneklerle teorik sonuçlar açıklanmıştır. Dördüncü bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin durum geri beslemesi altındaki sonlu zaman sınırlılığı ele alınmıştır. Yeter koşullarla birlikte ortalama yaşam süresi elde edilmiştir. Bu koşullarda dışbükey olmayan terimler olduğu için bu terimleri doğrusal matris eşitsizliği koşullarına çeviren bir koni tamamlayıcı doğrusallaştırma yöntemi ve algoritması kullanılmıştır. Son olarak da sayısal bir örnek verilmiştir. Beşinci bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin gözlemci tabanlı sonlu zaman sınırlılığı durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin tamamının kararsız ve karışık kararlı (yani bir kısmı kararlı bir kısmı kararsız) olması durumlarına göre incelenmiştir. Bu iki durumda da gözlemcinin varlığı için yeni yeter koşullar ve ortalama yaşam süresi tanıtılmıştır. Ortalama yaşam süresindeki parametrelerin hesabı için koni tamamlayıcı doğrusallaştırma yöntemi ve algoritması gösterilmiştir. Son olarak da literatürdeki durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin tamamının kararsız olma durumunu inceleyen karşılaştırmalı bir örnek ile bu matrislerin karışık kararlı olma durumunu inceleyen sayısal örnekler verilmiştir. Altıncı bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin H$_{\infty}$ sonlu zaman sınırlılığı için bir gözlemci tabanlı denetimci tasarlanmıştır. H$_{\infty}$ sonlu zaman sınırlılığı incelenen sisteme bozucu etki etmesinden dolayı incelenmiştir. Bu bölümde durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin karışık kararlı olması durumu için koşullar elde edilip, önerilen koşulların etkinliği ve geçerliliği sayısal bir örnek üzerinde gösterilmiştir. Gelecek çalışmalarda, moda bağımlı kararlılaştırma analizi ve gürbüz kararlılık ele alınarak şu ana kadar yapılan çalışmaların genişletilmesi düşünülmektedir.
Control theory is a branch of engineering and mathematics that examines the system's behavior by adjusting the input of the dynamic system according to its output. The systems examined can be discrete or continuous according to time, in some cases the behavior of the dynamical system may consist of a combination of continuous and discrete events. Such systems are called hybrid systems. A certain class of hybrid systems is called switched systems. The switched systems are continuous systems with discrete and instant switching events. At the analysis stage, switched systems and hybrid systems differ by neglecting the details of the discrete behavior and instead considering all possible switching patterns from a certain class. Many works related to the switched systems, asymptotic stability is examined. However, in most practical applications, finite-time (FT) stability/boundedness is the main concern, i.e., the behavior of the system is kept at certain boundaries in FT. Asymptotically stable systems may not be FT stable/bounded and FT stable/bounded systems may not be asymptotically stable. Another study area for switching systems is the dwell time (DT) or average-dwell time (ADT). DT is the minimum time difference between successive switching instants whereas the average time difference between successive switching instants is called ADT. Some dynamical systems in engineering may depend on the past status of the system. Such systems are called time-delayed systems, and a time delay can cause poor performance or system instability. %This dissertation investigates the FT stability/boundedness and H$_\infty$ FT boundedness of the switched systems with interval time-delay and disturbances. In the studies on the stability of such kind of systems, generally the state feedback is discussed. In these studies, a interval time-delay was not considered. In addition in some studies, the calculation of the observer gain matrix depends on the separation of matrices obtained from the linear matrix inequalities (LMIs) given in sufficient conditions. There is also no detailed description of the calculation of the eigenvalues in the ADT constraint. In addition, the system matrices of the state vector were selected as Hurwitz stable and switching between unstable and mixed stable subsystems was not investigated. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% In this thesis, switched systems with completely unstable and mixed stable subsystems are considered. FT stability/boundedness and H$_{\infty} $ FT boundedness of switched systems with interval time-delay and disturbances are examined. In the beginning, the difference between FT stability and asymptotic stability are shown on the examples and a sufficient condition for FT stability of the switched system, which is composed of linear time invariant subsystems having non-Hurwitz system matrices is derived. New sufficient conditions on the existence of observer-based controller for FT boundedness and H$_{\infty}$-control of switched linear systems with time-varying interval delay and exogenous disturbances are obtained by using Lyapunov-Krasovskii functional. The observer-based controller is designed without any matrix decomposition and new ADT bounds are introduced for switched systems with both completely unstable and mixed stable subsystems, seperately. These bounds contain some unknown constants which depend on nonlinear terms. These terms are composed of the matrices from the solution of the sufficient conditions. An algorithm is presented for the calculation of unknown constants in the ADT bounds in terms of well-known cone complementarity linearization method. Similar work is achieved for the state feedback design. % They put into LMI form in order to calculate these bounds together with the solutions of the sufficient conditions simultaneously. % and numerial examples are given for the effectiveness and validity of the proposed solutions. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% In the first chapter, a system with a control process is briefly introduced. The studies on hybrid systems and switching systems are summarized. On the other hand, studies on FT stability and studies on ADT are mentioned. Thereafter, the references on time-delay systems are given. Latter, literature overview is completed by marking the open parts of the switched systems with time delay. In the second chapter, the basic definitions and background used in this thesis are introduced. First of all, the sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solutions of the systems of differential equations are given. Hybrid systems are introduced by an example in engineering with vehicle gear dynamics. State dependent switching and time dependent switching are discussed in detail. Constrained switching concepts DT and ADT are introduced. FT stability and boundedness definitions are given by comparing with Lyapunov stability definitions, conceptual differences between these two stability types are presented and an example is given on switched systems. In the given example, it is shown that two stable subsystems are observed to be stable or unstable depending on different periods of switching. The notation used in the thesis, concepts of vector norm and matrix norm to be used in the third section, the Schur complement lemma, Grönwall's lemma and Jensen inequality to be used in the following sections are presented. In the third chapter, FT stability of switched linear systems with stable, unstable and mixed stable subsystems are examined by using vector and matrix norms. FT stability conditions related to the eigenvalues and the condition numbers composed by the (generalized) eigenvectors of the subsystem matrices are obtained. Possible activation numbers of the subsystems are also deduced from these conditions. New ADT bounds to ensure FT stability of the switching system having negative, positive and mixed spectral norm bounds are proposed. Finally, several numerical examples are provided to demonstrate the effectiveness of the theoretical results. In the fourth chapter, the FT boundedness analysis of switched systems with interval time-delay using state feedback is considered. ADT is obtained with sufficient conditions. Since there are non-convex terms in these conditions, a cone complementarity linearization method and algorithm that converts these terms into LMI conditions is presented. Finally, a numerical example is given. In the fifth chapter, observer-based FT boundedness of switched systems with time-delay is examined. Two theorems are stated in the case that all of the subsystem matrices of the state vectors are unstable and mixed stable. In both cases, new sufficient conditions and ADT bounds are found with the presence of the observer. A cone complementarity linearization method and algorithm for the calculation of unknown eigenvalues over ADT bound is shown. Finally, a comparative example examining the unstable and mixed stable cases are given. In the last chapter, an observer-based controller is designed for H$_{\infty}$ FT boundedness of switched systems with time-delay. The reason that H$_{\infty}$ FT boundedness is investigated is the presence of the disturbance. In this section, a numerical example is given to illustrate the effectiveness and validity of the proposed conditions for the mixed stable case described in the fifth chapter. As a future work, it is envisaged to expand the results to mode-dependent stabilization analysis and robust stability.
Açıklama
Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2020
Anahtar kelimeler
Time delay systems, Automatic control, Zaman gecikmeli sistemler, Otomatik denetim
Alıntı