The generalized fractional Benjamin Bona Mahony equation: Analytical and numerical results

Abstract

In this thesis study we consider the generalized fractional Benjamin-Bona-Mahony (gfBBM) equation u_t+ u_x + \frac{1}{2}(u^{p+1})_x+ \frac{3}{4}D^{\alpha} u_{x}+ \frac{5}{4}D^{\alpha} u_{t}=0, where $x$ and $t$ represents spatial coordinate and time, respectively. This equation is derived to model the propagation of small amplitude long unidirectional waves in a nonlocally and nonlinearly elastic medium. The gfBBM equation has a general power-type nonlinearity and two fractional-type terms. Thanks to these properties, the gfBBM equation is noticed as a satisfactory and interesting model in the literature. The aim of this thesis study is to perform various mathematical and numerical analyses for the gfBBM equation and to understand the influence of nonlinearity and fractional dispersion on the dynamics of solutions. The thesis study is organized in the following way: In the first chapter, we briefly introduce the general background on the fractional type nonlinear partial differential equations with lower dispersion such as fractional Korteweg de Vries (fKdV) and fractional Benjamin-Bona-Mahony (fBBM) and gfBBM equations. Then, we propose derivation and some properties of the gfBBM equation. We also state the analytical and numerical methods used to solve this equation. Furthermore, the literature overview on gfBBM and related equations is given in this chapter. The second chapter is devoted to the analytical results for the gfBBM equation. In the first section of this chapter we recall the preliminaries. This section contains useful definitions related to functional analysis, lemmas and theorems used in the thesis. In the second section, we derive conserved quantities of the gfBBM equation. We also find constraints on the order $\alpha$ of the fractional term. The aim of the third section is to prove the local well-posedness of the Cauchy problem for the gfBBM equation together with the initial condition u(x,0)=u_0 (x). For the case $1 \leq \alpha \leq 2$, we prove the local well-posedness of the solutions by using contraction mapping principle. On the other hand, for the case $0 < \alpha < 1$, we use the approaches given for the fBBM equation by He and Mammeri (2018). Therefore, we consider the regularization of the Cauchy problem for the gfBBM equation and then use the convergence of regularized solutions to the solutions of main problem. The section 4 presents the conditions for the non-existence of solitary wave solutions to the gfBBM equation. Existence and uniqueness of solitary wave solutions are obtained by using the result of Frank and Lenzmann (2013). We also consider the restrictions on the $\alpha$ and speed of wave $c$ so that the gfBBM equation admits positive or negative solitary waves. Finally, we derive exact solitary wave solutions to the gfBBM equation for the special cases $\alpha=1$ and $\alpha=2$ when $p=1$. In the last section of this chapter we discuss the stability properties of solitary wave solutions associated to the gfBBM equation. We first give the Hamiltonian formulation of the equation. Then, we prove the orbital stability of solitary wave solutions by using approach given by Grillakis Shatah Strauss (GSS) (1987) and for the stability we obtain following conditions when $1 \leq p \leq 4$: 1) $\frac{p}{p+2}<\alpha < \frac{p}{2}$ and $c>c_{1,p}>1$, 2) $\frac{p}{2}<\alpha < 2$ and $c>1$ or $\frac{3}{5}>c>c_{2,p}$, with $c_{1,p}=\frac{6\alpha + 2p + 3 \alpha p + \sqrt 2 p \sqrt{2 \alpha - p + \alpha p} }{5(2 \alpha + \alpha p)}$ and $c_{2,p}=\frac{6\alpha + 2p + 3 \alpha p - \sqrt 2 p \sqrt{2 \alpha - p + \alpha p} }{5(2 \alpha + \alpha p)}$. In the last chapter, we present the numerical results for the gfBBM equation. We first state efficient numerical algorithms for gfBBM equation and then carry out various numerical experiments. The Petviashvili method is proposed for the generation of the solitary wave solutions that cannot be obtained analytically. We numerically investigate the effects of the relation between the nonlinearity and the dispersion on the solutions. The evolution of generated wave profiles in time is investigated numerically by Fourier pseudo-spectral method. The efficiency of the methods will be demonstrated by various numerical simulations.

Genelleştirilmiş kesirli Benjamin-Bona-Mahony (gkBBM) denklemi u_t+ u_x + \frac{1}{2}(u^{p+1})_x+ \frac{3}{4}D^{\alpha} u_{x}+ \frac{5}{4}D^{\alpha} u_{t}=0 ile verilmektedir. Burada $x$ ve $t$ sırası ile uzay ve zaman koordinatlarını temsil etmektedir. Denklemde kuvvet tipinde doğrusal olmayan terimin mertebesi $p>1$ olup, kesirli mertebeden türev operatörü $D^{\alpha} =(- \Delta)^{\frac{\alpha}{2}}, \alpha \in \mathbb{R}$ ise Riesz potansiyeli olarak adlandırılmakta ve keyfi bir $q(x)$ fonksiyonu için Fourier dönüşümü yardımı ile \widehat{D^{\alpha}q}(k)=|k|^{\alpha}\hat{q}(k) şeklinde tanımlanmaktadır. Bu denklem ilk defa Erbay ve diğerleri (2016) tarafından türetilmiş olup literatürde iyi bilinen kesirli Korteweg deVries (kKdV) ve kesirli Benjamin-Bona-Mahony (kBBM) gibi benzer denklemlerin aksine fiziksel bir modelden doğmuştur. Genelleştirilmiş kesirli Benjamin-Bona-Mahony denklemi yerel ve doğrusal olmayan elastik bir ortamda yayılan küçük genlikli uzun dalgaları modellemektedir. Ayrıca iki farklı kesirli türev içeren terim ve kuvvet tipinde doğrusal olmayan terim içermektedir. Söz konusu denklem bu özelliklerinden dolayı literatürdeki benzer denklemler ile karşılaştırıldığında daha güçlü bir model olarak dikkat çekmektedir. Bu tez çalışmasının amacı gkBBM denklemi için çeşitli matematiksel ve sayısal analizler gerçekleştirmek, ayrıca zayıf dispersiyon ve kuvvet tipinde doğrusal olmayan terim etkisi altında çözümlerin davranışının nasıl değiştiğini incelemektir. Bu tez çalışması aşağıda sunulan şekilde düzenlenmiştir. Tez çalışmasının ilk bölümü olan giriş bölümünde kesirli dispersif terime sahip doğrusal olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler kısaca tanıtılmıştır. Bu tipteki denklemlere örnek olarak kesirli kKdV, kBBM ve gkBBM denklemleri verilmiştir. Ayrıca bu tezde gkBBM denklemin çözümlerini incelemek için ele alınan analitik ve sayısal yöntemlerden bahsedilmiştir. Son olarak, gkBBM denklemi ve benzer denklemler hakkında literatürde var olan çalışmalar tanıtılmıştır. Çalışmanın ikinci bölümünde gkBBM denklemi için elde edilen analitik sonuçlara yer verilmiştir. Analitik sonuçlar bölümünün içeriği aşağıda sunulan şekildedir. İkinci bölümün birinci kısmı bu tez çalışmasında kullanılacak olan ön bilgilere ayrılmıştır. Fonksiyonel analiz ile ilgili temel tanımlar, özel fonksiyon uzayları, Fourier dönüşümleri ve tezde kullanılan tanımlar hatırlatılmış; gelecek kısımlarda yararlanılacak olan lemma ve teoremler sunulmuştur. İkinci kısımda, ilk olarak gfBBM denkleminin korunan büyüklükleri türetilmiştir. Bu aşamada Hamiltonyen'in iyi tanımlı olabilmesi için kesirli türevin mertebesi olan $\alpha$ üzerinde bazı kısıtlar elde edilmiştir. Çalışmada ele alınan gkBBM denkleminin gerçek çözümlerinin bilinmediği durumlarda denklem için önerilen sayısal yöntemin doğruluğunu gösteren hata hesabı yapılamamaktadır. Bu sebep ile korunan büyüklüklerin zaman ile değişimi sayısal yöntemin doğruluğunu test etmek için önemli olmaktadır. Üçüncü kısımda, gkBBM denklemi için u(x,0)=u_0 (x) başlangıç koşulu seçimi altında karşı gelen Cauchy problemi tanımlanmış ve bu problemin çözümlerinin yerel iyi tanımlılığı incelenmiştir. İlk olarak $1 \leq \alpha \leq 2$ bölgesi ele alınmıştır ve standart büzülme dönüşümü prensibi ile Cauchy probleminin çözümlerinin iyi tanımlılığını gösterilmiştir. Daha sonra $0 <\alpha < 1$ seçimi altında çözümlerin iyi tanımlılığını göstermek üzere He ve Mammeri (2018) tarafından kBBM denklemi için önerilen yaklaşım kullanılmıştır. Bu yaklaşımdaki fikir, gkBBM denklemine düzgünleştirici bir terim eklenerek çözümlerin yerel iyi tanımlılığının incelenmesi ve düzgünleştirilmiş problemin çözümlerinin, gkBBM için tanımlanan Cauchy probleminin çözümlerine yakınsadığının gösterilmesi şeklinde özetlenebilir. Dördüncü kısımda, gkBBM denkleminin yalnız dalgalarının hangi şartlar altında var olmadığı ispatlanmıştır. Söz konusu dalgaların varlığı ve tekliği ise Frank ve Lenzmann (2013) tarafından elde edilen sonuçlar kullanılarak gösterilmiştir. Bu kısımda ayrıca $\alpha$, $p$ ve dalga hızı $c$ parametrelerinin seçimine bağlı olarak gkBBM denkleminin pozitif veya negatif yalnız dalgalar ürettiği gösterilmiştir. Son olarak $p=1$ iken $\alpha=1$ ve $\alpha=2$ özel durumları için gkBBM denkleminin gerçek yalnız dalga çözümleri türetilmiştir. Beşinci kısımda, gkBBM denklemi tarafından üretilen yalnız dalga çözümlerinin yörüngesel kararlılık özellikleri tartışılmıştır. Bunun için önce gkBBM denkleminin Hamilton formu verilmiştir. Denklemin bu formda yazılması ile Grillakis, Shatah ve Strauss (1987) tarafından yalnız dalgaların yörüngesel kararlılığını göstermek için önerilen yaklaşım uygulanabilir hale gelmiştir. Bu tez çalışmasında gkBBM denkleminin yalnız dalga çözümlerinin aşağıda verilen şartlar altında yörüngesel kararlı olduğu gösterilmiştir: 1)$\frac{p}{p+2}<\alpha < \frac{p}{2}$ and $c>c_{1,p}>1$, 2)$\frac{p}{2}<\alpha < 2$ and $c>1$ or $\frac{3}{5}>c>c_{2,p}$. Burada $1\leq p \leq 4$ için $c_{1,p}=\frac{6\alpha + 2p + 3 \alpha p + \sqrt 2 p \sqrt{2 \alpha - p + \alpha p} }{5(2 \alpha + \alpha p)}$ ve $c_{2,p}=\frac{6\alpha + 2p + 3 \alpha p - \sqrt 2 p \sqrt{2 \alpha - p + \alpha p} }{5(2 \alpha + \alpha p)}$ şeklinde hesaplanmıştır. Tezin son bölümünde, gkBBM denklemi için önerilen sayısal yöntemlere ve çeşitli sayısal deneylere yer verilmiştir. Bu bölümde ilk olarak gkBBM denkleminin açık formda elde edilemeyen yalnız dalga çözümleri üretilmiştir. Daha sonra tezin ikinci bölümünde yalnız dalga çözümleri için elde edilen analitik sonuçların doğruluğu test edilmiştir. Ayrıca doğrusal olmayan terimin mertebesi $p$ ile kesirli dispersif terimin mertebesi $\alpha$ arasındaki ilişkinin, üretilen çözümler üzerindeki etkisi ve yalnız dalgaların hızı ile genliği arasındaki ilişkiler sayısal olarak incelenmiştir. Deneylerde denklemin yalnız dalga profilleri Petviashvili yöntemi ile türetilmiş; bir Fourier sözde spektral yöntemi yardımı ile türetilen yalnız dalgaların zamanda ilerlemesi incelenmiştir. Petviashvili şemasının doğruluğu çeşitli sayısal kontrol parametreleri yardımı ile test edilmiştir. Fourier sözde spektral şemanın doğruluğunu test etmek için ise önceki bölümde türetilen korunan büyüklüklerden faydalanılmıştır. Bu çalışmada gkBBM denkleminin sayısal çözümlerini elde etmek için önerilen her iki şemanın da oldukça etkin yöntemler olduğu gösterilmiştir.