LEE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı

Bu topluluk için Kalıcı Uri

http://hdl.handle.net/11527/19382

Gözat

Klasik ve mikrogermeli ortam teorisiyle modellenen plaklarin caputo kesirli türevi yardimiyla nonlokal titreşim analizi

(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2020) Aydınlık, Soner ; Kırış, Ahmet ; 638082 ; Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

Bu çalışmada dikdörtgen plakların yerel olmayan üç boyutlu titreşim analizi Caputo kesirli türevi yardımıyla incelenmiştir. Kesirli türev son yıllarda mühendislik, fizik, finans, biyoloji gibi birçok alanda yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Kesirli türevin sürekli ortamlar mekaniğine uygulamaları ise, nonlokal problemlerin ve bellekli malzemelerin modellenmesinde literatürde var olan yöntemlere göre yeni bir bakış açısı getirmektedir. Klasik sürekli ortamlar mekaniğinin gelişmesine büyük katkı sağlayan gerilme tansörü kavramı 19. yy başlarında Cauchy tarafından ortaya konulmuş ve böylece lineer elastisite teorisi için hareket denklemi üç boyutlu duruma genelleştirilmiştir. Ancak bu modelde malzemenin iç karakteristik uzunluğu hesaba katılmadığı için 1960'larda yerel olmayan elastisite teorisi geliştirilmiştir. Son yıllarda kesirli analizin yaygınlaşmasıyla birlikte yerel olmayan yeni modeller geliştirilmiştir. Bu yeni modellerin temel avantajı, klasik sürekli ortamlar mekaniğinin genel yerel olmayan yapısına benzer olmasının yanı sıra, kesirli türevin tanımından kaynaklanan bazı eklemeler sayesinde fiziksel gerçeklere daha uygun olmasıdır. Ayrıca, kesirli türev kullanımı nedeniyle fiziksel büyüklüklerde meydana gelen birim uyuşmazlığı da birim uyum katsayısı tanımlanarak ortadan kaldırılabildiği için genelleştirilmiş kesirli yer değiştirme gradyanları ve kesirli gerilme büyüklükleri gibi büyüklükler, klasik olanlarla aynı fiziksel birimlere sahip olurlar. Mekanikte gerek uzaysal değişkenler ve gerekse de zaman değişkeni üzerinde kesirli analiz yapmak çok daha gerçekçi olduğundan, bu alandaki çalışmalar giderek yaygınlaşmaktadır . Bu tez çalışmasında nonlokal etkileri yansıtmak için klasik yer değiştirme gradyanları yerine, Caputo kesirli türevi yardımıyla tanımlanan kesirli yer değiştirme gradyanları kullanılmıştır. Burada kabul edilebilir fonksiyonlar olarak sınır fonksiyonlarıyla çarpılmış Chebyshev polinomları alınmıştır. Sınır fonksiyonları plağın temel geometrik sınır koşullarını sağlayacak şekilde seçilmiş, ancak gerilme sınır koşulları dikkate alınmamıştır. Kesirli türevlerin nonlokalite üzerindeki etkisini göstermek için, farklı sınır koşullarına sahip bazı dikdörtgen plakların titreşim analizi incelenmiştir. Sonuçlar, beklentilere uygun olarak kesirli türevin mertebesi klasik türevin mertebesine yaklaştıkça, nonlokal etkinin azalarak elde edilen frekans değerlerinin klasik durum için elde edilen frekans değerlerine yaklaştığını göstermektedir. Tez çalışmasında klasik titreşim probleminin Caputo kesirli türeviyle incelenmesinin yanı sıra mikrogermeli ortam teorisiyle modellenen dikdörtgen plakların titreşim analizi de Caputo kesirli türevi yardımıyla elde edilmiştir. Mikrogermeli ortam parçacağın klasik şekil değiştirmesinin yanı sıra, bu klasik şekil değiştirmeden bağımsız mikro hacimsel genleşme ve mikro dönme yapabildiği kabulüne dayanmaktadır. Kesirli türev yardımıyla mikrogermeli ortam teorisiyle modellenmiş plakların titreşim problemini nonlokal teoriyle incelemek hesapları basitleştirmesiyle beraber klasik teoriye göre daha iyi sonuçlar vermektedir.
Finite-time control of switched linear systems with time-delay

(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2020) Göksu, Gökhan ; Ilgaz, Ulviye ; 509132052 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering

Denetim kuramı dinamik sistemin girdisini, çıktısına göre ayarlamak suretiyle sistemin belirli bir davranışı sergilemesini inceleyen bir mühendislik ve matematik dalıdır. İncelenen sistemler zamana göre ayrık veya sürekli olabildiği gibi, bazı durumlarda dinamik sistemin davranışı sürekli ve ayrık olayların birleşiminden de oluşabilir. Bu tip sistemlere melez (hybrid) sistemler adı verilir. Melez sistemler konusunda sürekli sistemlerin ayrık ve anlık olaylarla değiştiği sistemler olan anahtarlamalı sistemler konusu yaygın olarak çalışılmaktadır. Anahtarlamalı sistemlerle ilgili çalışmalarda genellikle sistemin asimptotik kararlı olması durumu incelenmiştir. Halbuki bir çok pratik uygulamada sonlu zaman kararlı/sınırlı olması durumu, yani sistemin davranışının sonlu zamanda belli sınırlarda tutulması durumu önem arz etmektedir. Asimptotik olarak denge noktasına giden asimptotik kararlı sistemler, sonlu zaman kararlı/sınırlı olmayabilir; bazı sonlu zaman kararlı/sınırlı sistemler asimptotik kararlı olmayabilir. Anahtarlamalı sistemlerle ilgili ana çalışma alanı ise yaşam süresi veya ortalama yaşam süresidir. Yaşam süresi ardışık anahtarlama zamanlarının farkının belli bir yaşam süresinden fazla olması; ortalama yaşam süresi ise ardışık anahtarlama zamanlarının farkının ortalamasının belli bir ortalama yaşam süresinden fazla olmasıdır. Mühendislikte ve matematikte incelenen bazı dinamik sistemler; sistemin o andaki durumunun yanında, sistemin geçmişteki durumuna da bağlı olabilir. Bu tip sistemler zaman gecikmeli sistemler olarak adlandırılır ve zaman gecikmesi kötü performansa veya sistem kararsızlığına neden olabilir. Bu çalışmada, anahtarlamalı sistemlerin alt sistemlerinin kararsız ve karışık kararlı olması durumu ele alınmıştır. Anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin bozucu etkisinde sonlu zaman kararlı/sınırlı ve H$_\infty$ sınırlı olma durumları incelenmiştir. Öncelikle, sonlu zaman kararlılığı ile asimptotik kararlılık arasındaki farklar örnekler üzerinde gösterilmiş, sistem matrisleri Hurwitz kararlı olmayan ve zamana bağlı olmayan doğrusal sistemlerin sonlu zaman kararlılığı için yeter koşul elde edilmiştir. Sonlu zaman sınırlılığı ve H$_\infty$ denetimi sağlayacak gözlemci tabanlı denetimcinin varlığı için Lyapunov-Krasovskii fonksiyoneli kullanılarak yeni yeter koşullar elde edilmiştir. Herhangi bir matris ayrıştırımına ihtiyaç olmadan gözlemci tabanlı denetimci tasarlanarak, alt sistemlerin kararsız ve karışık kararlı olduğu durumlar için ortalama yaşam süresi sınırları bulunmuştur. Bu sınırlarda doğrusal olmayan terimlere bağlı olan bazı sabitler içerdiğinden ve bu terimler de yeter koşullardaki matrislerden oluştuğundan dolayı; ortalama yaşam süresindeki bu sabitlerin çözümü için koni tamamlayıcı bir algoritma sunulmuştur. Tüm bu çalışmalar durum geri beslemesi için de uygulanmıştır. %Bu çalışmada anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemler için durum geri beslemesi altında ve gözlemci tabanlı sonlu zaman kararlılık analizleri yapılmıştır. Anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemlerin kararlılığı ile ilgili yapılan çalışmalarda genellikle durum geri beslemesi ele alınmıştır. Bu sistemlerin gözlemci tabanlı kontrolü ile ilgili çalışmalar kısıtlıdır. Bu çalışmalarda da belirli bir aralıktaki zaman gecikmesi göz önüne alınmamıştır. Ayrıca gözlemci kazanç matrisinin hesaplanması, yeter koşulda verilen doğrusal matris eşitsizliklerinden elde edilen matrislerin özel bir yapıda ayrışmasına bağlıdır. Ortalama yaşam süresi kısıtındaki özdeğerlerin hesaplamaları hakkında hiçbir detaylı açıklama da verilmemiştir. Bunun yanı sıra, durum vektörünün sistem matrisleri Hurwitz kararlı olarak seçilmiştir ve kararsız ve karışık kararlı alt sistemler arasında anahtarlama olması durumu incelenmemiştir. Çalışmanın birinci bölümü olan giriş bölümünde kontrol süreci gösterilmiştir. Melez sistemler ve anahtarlamalı sistemler konusundaki çalışmalar özetlenmiş, sonlu zaman kararlılığı konusunda yapılan çalışmalar ile ortalama yaşam süresi konusunda yapılan çalışmalardan bahsedilmiştir. Tezde ele alınan problemlerden anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemlerde yapılan çalışmalarda eksik olan kısımlar özetlenerek literatür özeti tamamlanmıştır. İkinci bölümde, bu tezde kullanılan temel tanımlar ve bilgiler tanıtılmıştır. Öncelikle diferansiyel denklem sistemlerinin çözümlerinin varlığı ve tekliği için yeter koşullar verilmiştir. Melez sistemler, bir mühendislik örneği olan araçların vites dinamiği ile tanıtılarak, anahtarlamalı sistemlerin ne tarz durumlarda ortaya çıkabileceği gösterilmiş; duruma bağlı anahtarlama ve zamana bağlı anahtarlama durumları ayrıntılarıyla ele alınmıştır. Kısıtlamalı anahtarlama altında anahtarlama durumlarına bağlı yaşam süresi ve ortalama yaşam süresi kavramları tanıtılarak zaman gecikmeli sistemler ile ilgili temel bilgiler verilmiştir. Sonlu zaman kararlılığı ve sınırlılığı, Lyapunov kararlılık tanımları verilerek, bu iki kararlılık tanımları arasındaki kavram farkılıkları ortaya konmuş ve anahtarlamalı sistemler üzerinde örnek verilmiştir. Verilen örnekte kararlı iki alt sistemin periyodik anahtarlama altında periyoda bağlı kararlı veya kararsız olma durumlarının gözlemlendiği gösterilmiştir. Daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan; vektör normu ve matris normu kavramları, Schur yardımcı teoremi, Grönwall yardımcı teoremi ve Jensen eşitsizliği sunulmuş ve tezde kullanılan notasyonlar belirtilmiştir. Üçüncü bölümde; kararlı, kararsız ve karışık kararlı alt sistemlere sahip doğrusal anahtarlamalı sistemlerin vektör ve matris normları kullanılarak sonlu zaman kararlılık analizi yapılmıştır. Alt sistem matrislerinin özdeğerleri ve koşullandırma sayılarına bağlı sonlu zaman kararlılık koşulları ve bu alt sistemlerin olası aktivasyon sayıları elde edilmiştir. Anahtarlamalı sistemin sonlu zaman kararlılığının sağlanması için yeni ortalama yaşam süresi önerilmiştir. Son olarak da sayısal örneklerle teorik sonuçlar açıklanmıştır. Dördüncü bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin durum geri beslemesi altındaki sonlu zaman sınırlılığı ele alınmıştır. Yeter koşullarla birlikte ortalama yaşam süresi elde edilmiştir. Bu koşullarda dışbükey olmayan terimler olduğu için bu terimleri doğrusal matris eşitsizliği koşullarına çeviren bir koni tamamlayıcı doğrusallaştırma yöntemi ve algoritması kullanılmıştır. Son olarak da sayısal bir örnek verilmiştir. Beşinci bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin gözlemci tabanlı sonlu zaman sınırlılığı durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin tamamının kararsız ve karışık kararlı (yani bir kısmı kararlı bir kısmı kararsız) olması durumlarına göre incelenmiştir. Bu iki durumda da gözlemcinin varlığı için yeni yeter koşullar ve ortalama yaşam süresi tanıtılmıştır. Ortalama yaşam süresindeki parametrelerin hesabı için koni tamamlayıcı doğrusallaştırma yöntemi ve algoritması gösterilmiştir. Son olarak da literatürdeki durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin tamamının kararsız olma durumunu inceleyen karşılaştırmalı bir örnek ile bu matrislerin karışık kararlı olma durumunu inceleyen sayısal örnekler verilmiştir. Altıncı bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin H$_{\infty}$ sonlu zaman sınırlılığı için bir gözlemci tabanlı denetimci tasarlanmıştır. H$_{\infty}$ sonlu zaman sınırlılığı incelenen sisteme bozucu etki etmesinden dolayı incelenmiştir. Bu bölümde durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin karışık kararlı olması durumu için koşullar elde edilip, önerilen koşulların etkinliği ve geçerliliği sayısal bir örnek üzerinde gösterilmiştir. Gelecek çalışmalarda, moda bağımlı kararlılaştırma analizi ve gürbüz kararlılık ele alınarak şu ana kadar yapılan çalışmaların genişletilmesi düşünülmektedir.
Z-simetrik manifoldlar

(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2020) Yavuz Taşçı, Ayşe ; 648933 ; Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

Bu tez çalışmasında, diferansiyel geometride önemli bir yere sahip simetrik manifoldların genelleştirilmesi olarak tanımlanan Z-simetrik tensöre sahip manifoldların çalışılması ve özelliklerinin incelenmesi amaçlanmıştır. Z-simetrik tensör kavramı, ilk olarak, 2012 yılında Mantica ve Molinari'nin birlikte yayınladıkları, zayıf Ricci simetrik, pseudo Ricci simetrik ve pseudo projektif Ricci simetrik manifoldlarının genelleştirilmesi olarak tanımladıkları Zayıf Z-simetrik Manifoldlar çalışması ile başlamıştır. Mantica ve Molinari'nin bu çalışmasından sonra, Z-simetrik tensör ile ilgili birçok bilimsel yayın yapılmıştır. Bu sebeple, bu tezde bazı özel manifoldlarda, $\phi$, keyfi bir skaler fonksiyon, S, Ricci tensörü ve g, metrik tensörü olmak üzere, Z(X;Y) = S(X;Y)+\phig(X;Y) şeklinde tanımlanan (0,2) tipindeki Z-simetrik tensörü göz önüne alınarak, bu tensörün özelliklerinin incelenmesi amaçlanmıştır. Bu tez çalışması sekiz bölümden oluşmaktadır: Birinci bölümde, Z-simetrik tensörü ile ilgili bu zamana kadar yapılmış bilimsel yayınlardan bahsedilmiştir. Tez çalışmasının ikinci bölümünde, Riemann manifoldlarının genel bir tanımı verilerek, Riemann manifoldu ile ilgili temel kavramlardan bahsedilmiştir. Bu bölümün devamında, tez çalışmasının diğer bölümlerinde kullanılacak olan Riemann manifoldu üzerinde tanımlı, bazı eğrilik tensörlerinin ve bazı özel Riemann manifoldlarının tanımı hatırlatılmıştır. Tezin üçüncü bölümünde, ilk olarak, pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar tanımlanmış ve bu manifoldlara ait bazı özellikler incelenmiştir. Pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar üzerinde Ricci tensörünün özdeğeri ile Z-simetrik tensörünün özdeğeri elde edilmiştir. Z-simetrik tensörünün sıfırdan farklı bir ize sahip olması ve manifoldun yarı-Einstein manifoldu olması için gerekli şartlar bulunmuştur. Bundan başka, manifoldun Ricci tensörü Codazzi tipinde seçilerek, pseudo devirli Z-simetrik manifold ile Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanları arasındaki bağıntı elde edilmiştir. Ayrıca, pseudo devirli Z-simetrik manifoldunun aynı zamanda, pseudo devirli bir Ricci simetrik tensöre sahip olamayacağı ispatlanmıştır. Daha sonra, 4-boyutlu Riemann metriği kullanılarak, pseudo devirli Z-simetrik manifoldların varlığını ispatlayan bir örnek verilmiştir. Bu bölümde, son olarak, konformal olarak düz pseudo devirli Z-simetrik manifoldlar incelenmiş ve bu manifoldların özellikleri bulunmuştur. Dördüncü bölümde, ilk olarak, konsörkılır olarak düz, Z-simetrik manifoldlar göz önüne alınmıştır. Bu bölümde, konsörkılır olarak düz, Z-simetrik bir Riemann manifoldunun Einstein manifoldu olduğu ispatlanmıştır. Konsörkılır olarak düz, bir Riemann manifoldunun Z-simetrik tensörünün kovaryant sabit olması için gerekli şartlar elde edilmiştir. Konsörkılır olarak düz bir manifold üzerinde, Z-metrik tensörünün skaler fonksiyonu tarafından üretilen vektör alanının tors oluşturan, konsörkılır ve rekürant vektör alanları olması durumları incelenmiştir. Bununla birlikte, 4-boyutlu konsörkılır olarak düz, Z-simetrik manifold örneği verilmiştir. Daha sonra, konsörkılır Ricci simetrik tensörünün rekürant, Codazzi tipinde ve devirli tensör olması durumlarında, Z-simetrik tensörünün çeşitli özellikleri elde edilmiştir. Diğer taraftan, bu manifoldun ilişkili 1-formunun bazı koşullar altında sabit olduğu bulunmuştur. Ayrıca, konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip Z-simetrik manifoldların 4-boyutlu uzaylardaki örnekleri verilmiştir. Bu bölümde, son olarak, konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip Z-simetrik uzay-zamanı araştırılmış ve bu uzay-zamanı ile ilgili teoremler ispatlanmıştır. Beşinci bölümde, (PKRS)n olarak adlandırılmış olan pseudo konsörkılır Ricci simetrik tensöre sahip, Z-simetrik manifoldlar üzerinde çalışılmıştır. Hangi durumlarda (PKRS)n manifoldunun mevcut olamayacağı araştırılmıştır. Bununla birlikte, bu manifold üzerinde Z-simetrik tensörünün özdeğeri bulunmuştur. Ayrıca, manifoldun ilişkili vektör alanının tors oluşturan vektör alanı olması halinde, manifold ile ilgili çeşitli sonuçlar elde edilmiştir. Altıncı bölümde, konharmonik eğrilik tensöre sahip Z-simetrik manifoldlar araştırılmıştır. Bu bölümde, ilk olarak, Z-simetrik tensörü için bazı özel koşullar göz önüne alınarak, bu manifold üzerinde konharmonik eğrilik tensörünün özellikleri incelenmiştir. Bununla birlikte, konharmonik eğrilik tensörünün rekürant tensör ve kovaryant sabit olması durumları ele alınmıştır. Ayrıca, konharmonik eğrilik tensörünün kovaryant sabit ve Z-simetrik tensörünün rekürant olması halinde, Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanı ile rekürant vektör alanı arasında mevcut olan bağıntı elde edilmiştir. Daha sonra, bu bağıntı yardımıyla, Z-simetrik tensörünün ilişkili vektör alanı ile rekürant vektör alanının bazı özel vektör alanları olması durumunda, bu manifoldun geometrik özellikleri bulunmuş ve ilgili teoremler ispatlanmıştır. Bu bölümde, son olarak, konharmonik eğrilik tensörüne sahip Z-simetrik manifoldlara ait bir örnek verilmiştir. Yedinci bölümde, projektif eğriliğe sahip, Z-simetrik manifoldlar ele alınmıştır. İlk olarak, Codazzi tipinde Z-simetrik tensörüne sahip bir manifold göz önüne alındığında, bu manifolda ait projektif Ricci tensörünün diverjanssız olmasını sağlayan gerek ve yeter kosul bulunmuştur. Daha sonra, projektif eğrilik tensörünün, Codazzi tipinde veya rekürant tensör şeklinde seçilmesi durumunda, bu manifoldun özellikleri incelenmiştir. Ayrıca, Z-simetrik tensörünün, Codazzi tipinde, rekürant veya diverjanssız tensör olması halinde, manifolda ait bazı özellikler bulunmuştur. Son olarak, projektif eğriliğe sahip Z-simetrik manifoldlar için 4-boyutlu uzaylara ait bir örnek verilmiştir. Sekizinci bölümde, Z-simetrik tensörüne sahip mükemmel akışkanlı uzay-zamanı göz önüne alınmıştır. İlk olarak, bu uzay-zamanın seçilen bir özvektörle ilişkili özdeğeri elde edilmiştir. Z-simetrik tensörünün ilişkili 1-formuna ait çeşitli koşullar belirlenerek, Z-tensörünün iz fonksiyonu ile ilgili bazı sonuçlar bulunmuştur. Ayrıca, bu uzay-zamanın Einstein uzayı olabilme koşulu elde edilmiştir. Daha sonra, basınçsız mükemmel akışkanlı Z-simetrik uzay-zamanı incelenmiştir.
The generalized fractional Benjamin Bona Mahony equation: Analytical and numerical results

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2021) Oruç, Göksu ; Mihriye Muslu, Gülçin ; Borluk, Handan ; 692763 ; Matematik Mühendisliği

In this thesis study we consider the generalized fractional Benjamin-Bona-Mahony (gfBBM) equation u_t+ u_x + \frac{1}{2}(u^{p+1})_x+ \frac{3}{4}D^{\alpha} u_{x}+ \frac{5}{4}D^{\alpha} u_{t}=0, where $x$ and $t$ represents spatial coordinate and time, respectively. This equation is derived to model the propagation of small amplitude long unidirectional waves in a nonlocally and nonlinearly elastic medium. The gfBBM equation has a general power-type nonlinearity and two fractional-type terms. Thanks to these properties, the gfBBM equation is noticed as a satisfactory and interesting model in the literature. The aim of this thesis study is to perform various mathematical and numerical analyses for the gfBBM equation and to understand the influence of nonlinearity and fractional dispersion on the dynamics of solutions. The thesis study is organized in the following way: In the first chapter, we briefly introduce the general background on the fractional type nonlinear partial differential equations with lower dispersion such as fractional Korteweg de Vries (fKdV) and fractional Benjamin-Bona-Mahony (fBBM) and gfBBM equations. Then, we propose derivation and some properties of the gfBBM equation. We also state the analytical and numerical methods used to solve this equation. Furthermore, the literature overview on gfBBM and related equations is given in this chapter. The second chapter is devoted to the analytical results for the gfBBM equation. In the first section of this chapter we recall the preliminaries. This section contains useful definitions related to functional analysis, lemmas and theorems used in the thesis. In the second section, we derive conserved quantities of the gfBBM equation. We also find constraints on the order $\alpha$ of the fractional term. The aim of the third section is to prove the local well-posedness of the Cauchy problem for the gfBBM equation together with the initial condition u(x,0)=u_0 (x). For the case $1 \leq \alpha \leq 2$, we prove the local well-posedness of the solutions by using contraction mapping principle. On the other hand, for the case $0 < \alpha < 1$, we use the approaches given for the fBBM equation by He and Mammeri (2018). Therefore, we consider the regularization of the Cauchy problem for the gfBBM equation and then use the convergence of regularized solutions to the solutions of main problem. The section 4 presents the conditions for the non-existence of solitary wave solutions to the gfBBM equation. Existence and uniqueness of solitary wave solutions are obtained by using the result of Frank and Lenzmann (2013). We also consider the restrictions on the $\alpha$ and speed of wave $c$ so that the gfBBM equation admits positive or negative solitary waves. Finally, we derive exact solitary wave solutions to the gfBBM equation for the special cases $\alpha=1$ and $\alpha=2$ when $p=1$. In the last section of this chapter we discuss the stability properties of solitary wave solutions associated to the gfBBM equation. We first give the Hamiltonian formulation of the equation. Then, we prove the orbital stability of solitary wave solutions by using approach given by Grillakis Shatah Strauss (GSS) (1987) and for the stability we obtain following conditions when $1 \leq p \leq 4$: 1) $\frac{p}{p+2}<\alpha < \frac{p}{2}$ and $c>c_{1,p}>1$, 2) $\frac{p}{2}<\alpha < 2$ and $c>1$ or $\frac{3}{5}>c>c_{2,p}$, with $c_{1,p}=\frac{6\alpha + 2p + 3 \alpha p + \sqrt 2 p \sqrt{2 \alpha - p + \alpha p} }{5(2 \alpha + \alpha p)}$ and $c_{2,p}=\frac{6\alpha + 2p + 3 \alpha p - \sqrt 2 p \sqrt{2 \alpha - p + \alpha p} }{5(2 \alpha + \alpha p)}$. In the last chapter, we present the numerical results for the gfBBM equation. We first state efficient numerical algorithms for gfBBM equation and then carry out various numerical experiments. The Petviashvili method is proposed for the generation of the solitary wave solutions that cannot be obtained analytically. We numerically investigate the effects of the relation between the nonlinearity and the dispersion on the solutions. The evolution of generated wave profiles in time is investigated numerically by Fourier pseudo-spectral method. The efficiency of the methods will be demonstrated by various numerical simulations.
Yüksek boyutlu model gösterilimi kullanılarak histopatolojik görüntülerde leke ayırma işlemi

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2021-12-30) Ceylan, Ayça ; Tunga, Burcu ; 509181211 ; Matematik Mühendisliği

Sayısal patoloji, histopatolojik doku örneklerinin mikroskopta incelenmesiyle elde edilen görüntüleri kullanır. Bir biyopsi örneğinin görüntüleme cihazına girebilen cam slayt numunesi olarak hazırlanması, patoloji uzmanları tarafından geleneksel olarak elle yapılan bir dizi işlemden oluşur. Bu işlemler sırasında, görünür kontrast için numuneleri görüntülemeden önce boyamak gerekir. Boyama, hastalıklı veya tümörlü hücreleri ya da diğer patolojik hücreleri bulmak için doku numunelerinin ön ve arka yüzeylerine tıbbi bir boya renginin uygulanması işlemidir. Buna ek olarak, tümörlerin tanısında yaygın olarak kullanılan bir yöntemdir ve çeşitli boya kombinasyonlarını içerir. Sıklıkla kullanılan boyama yöntemlerinden biri olan Hematoksilen ve Eozin (H&E); sayısal patolojide doku yapılarını incelemek, kanser türlerini sınıflandırmak ya da kanser türünü derecelendirmek için kullanılır ve dokuyu mavi-pembe tonlarına boyar. İmmünohistokimyasal boyamada ise birden fazla slaytta tek bir biyobelirteç etiketlemenin aksine, bir doku bölümünde birden fazla biyolojik belirteç aynı anda tanımlanabilir. Bu nedenle, kanserli dokudaki çoklu biyobelirteçlerin aynı anda değerlendirilmesi için sıklıkla kullanılır. 3,3´-Diaminobenzidin ve Hematoksilen (DAB&H), en yaygın boya türü kombinasyonu olup; genellikle doku slaytını kahverengi ve mavi renklerine boyar. Histopatolojik boyamalarda doku bölgesi birden fazla boya ya da diğer bir ifadeyle leke rengi ile boyanmaktadır. Dokudaki her bir biyolojik yapıya özgü görüntü analizinin yapılabilmesi için leke bölgelerinin ayrılması gerekir. Bu prosedür, patolojide "leke dekonvolüsyonu" ya da "leke ayırma" işlemi olarak adlandırılır. Leke ayırma işleminin amacı; histopatolojik görüntüyü, kullanılan boya kombinasyonlarındaki gerçek leke renklerine göre görüntü kanallarına ayırmaktır. Bu tez çalışmasında, literatürdeki çalışmalardan farklı olarak Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi kullanılarak histopatolojik görüntülerde leke ayırma işlemi gerçekleştirilmiştir. Tez kapsamında önerilen leke ayırma algoritmaları, İstanbul Medipol Üniversitesi Patoloji Bölümü ve Warwick leke ayırma denek taşından alınan DAB&H ve H&E boyalı histopatolojik görüntüler üzerinde test edilmiştir. Önerilen algoritmalar, literatürde leke ayırma konusunda bilinen bir yöntem olan Renk Dekonvolüsyonu ile karşılaştırılarak; çeşitli ölçütlerle başarım değerlendirmesi yapılmıştır. Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi; analitik yapısı bilinen çok değişkenli ve sürekli yapıdaki bir işlevin sabit işlev, tek değişkenli, iki değişkenli ve böylece artan sayıda değişkene bağlı işlevlerin toplamı şeklinde yeniden yazılabilmesini sağlayan bir yöntemdir. Yöntemin amacı, çok değişkenli bir işlevi daha az sayıda bağımsız değişken içeren sonlu sayıdaki işlevler toplamı olarak ifade etmektir. Tez kapsamında, RGB formatlı histopatolojik görüntüler çok değişkenli bir veri kümesi olarak kabul edilmiştir. Bu amaçla; görüntüler, I, 4-boyutlu uzaya eşlenmiştir. Sonrasında, Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi yöntemi 4-boyutlu yapıya getirilen histopatolojik görüntülere uygulanarak; en fazla üç değişkenli YBMG bileşenlerini içeren denklem temel alınmıştır. Tez çalışmasında, öncelikle RGB formatlı DAB&H ve H&E boyalı histopatolojik görüntüler 3 x 3 kayan pencere yapısı kullanılarak; alt görüntülere ayrılmıştır. YBMG yönteminin her bir alt görüntüye uygulanmasıyla, alt görüntüler farklı boyutlardaki görüntü bileşenlerine ayrılmıştır. Görüntü bileşenlerinin incelenmesi sonucunda da alt görüntülerin her birine özgü renk özellikleri, birli bileşenlerden biri olan YBMG-I3 bileşeninde gözlemlenmiştir. Bu bilgiler ışığında, her bir alt görüntünün YBMG-I3 bileşeni ile ilgili leke bölgelerinin piksel temelli ortak özellikleri arasında bir benzerlik ilişkisi kurularak leke bölgeleri ayrıştırılmıştır. Bu tez çalışmasının kendi kapsamında birçok özgün tarafı bulunmaktadır. Bunlardan birincisi ve en önemli olanı, histopatolojik görüntülerde leke ayırma konusunda ilk defa Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi yönteminin bu çalışmada kullanılması ve konuyla ilgili yapılan testlerden de umut verici sonuçlara ulaşılmasıdır. Çalışmanın diğer bir özgün tarafı, Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi yönteminin RGB formatlı histopatolojik görüntülere uygulanmasında yapılan birtakım düzenlemeler sonucunda yeni bir görüntü ayrıştırma algoritmasının tasarlanmasıdır. Bunun yanı sıra, buradaki görüntü ayrıştırma algoritmasından elde edilen görüntü bileşenlerinden de görüntü renksizleştirme konusuyla ilgili özgün bir algoritma geliştirilmiştir.
Euclid uzaylarındaki hiperyüzeylerin Gauss tasvirinin tipleri ve Cheng Yau operatörü

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2022) Kaya, Furkan ; Turgay, Nurettin Cenk ; 708762 ; Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

Chen ve Piccini tarafından ortaya konan "$ \mathbb{E}^{m} $ Euclid uzayının bir alt manifoldunun Gauss tasviri alt manifoldu ne ölçüde belirler?" probleminden sonra sonlu tipten Gauss tasvirine sahip alt manifoldların analizi çok aktif bir araştırma konusu haline gelmiştir. Şimdiye kadar bu probleme bazı faydalı kısmi çözümler sunulmuştur. $ \mathbb{E}^{m} $ Euclid uzayının $ n $ boyutlu bir $ M $ alt manifolduna, eğer $ x $ konum vektörü $ \Delta $ Laplace operatörünün özvektörlerinin sonlu bir toplamı olarak ifade edilebilirse sonlu tiptendir denir. Dolayısıyla $ M $ alt manifoldunun sonlu tipten olması için, $ x=x_0+x_1+x_2 \cdots +x_n$ olmalıdır. Burada $ x_0 $ sabit tasvir ve $ x_1,x_2,\hdots,x_n $ ise $\lambda_i \in \mathbb{R} $ olmak üzere $i=1,2,\hdots,k $ için $ \Delta x_i=\lambda_ix_i$ şartını sağlayan sabit olmayan tasvirlerdir. Eğer $ \lambda_1,\lambda_2,\hdots,\lambda_k $ özdeğerleri birbirinden farklı ise $ M $ alt manifoldu $ k $-tipindendir denir. $ M $, Euclid uzayının bir hiperyüzeyi olsun. Benzer şekilde bir $ \psi: M^{n}\xrightarrow{}E^{n+1} $ düzgün fonksiyonuna, eğer $ M $ hiperyüzeyinin Laplace operatörünün $ k $ tane ayrık özdeğerine karşılık gelen özvektörlerin toplamı olarak yazılıyorsa, $ k $-tipindendir denir. Eğer böyle bir $ k $ değeri varsa, $ \psi $ fonksiyonuna sonlu tiptendir denir. Yukarıda verilen tanımdan dolayı $ M $ hiperyüzeyinin 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için gerek ve yeter şartın $$ \Delta G=\lambda(G+C) $$ diferansiyel denkleminin bir $ \lambda \in \mathbb{R} $ özdeğeri ve $ C $ sabit vektörü için sağlanması olduğu elde edilir. $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki düzlemler, dik silindirler ve küreler 1-tipi Gauss tasvirine sahip yüzeylerdir. Euclid uzayındaki sonlu tipten alt manifoldlar pek çok geometrici tarafından çalışılmış ve önemli sonuçlara ulaşılmıştır. Halen de bu konu ile ilgili pek çok açık problem bulunmakta ve bu açık problemler çözülmeye çalışılmaktadır. Bu problemlerin bazıları da hiperyüzeylerin Gauss tasvirleri ile ilgilidir. Günümüze kadar pek çok geometrici Euclid uzaylarındaki hiperyüzeylerin Gauss tasvirlerinin üzerine çalışmıştır. Diğer taraftan, Euclid uzayındaki bir $ M $ manifolduna, $ G $ Gauss tasviri $$ \Delta G=f(G+C) $$ denklemi düzgün bir $ f$ fonksiyonu ve bir $ C $ sabit vektörü için sağlanırsa, noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir denir. Eğer bu denklem $ C=0 $ için sağlanırsa Gauss tasviri birinci çeşit noktasal 1-tipinden; $ C\neq0 $ için sağlanırsa ikinci çeşit noktasal 1-tipindendir denir. Örneğin, $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki helikoit, katenoid ve dik koni noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip yüzeylerdir. Son senelerde bu kavramlar genişletilerek genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahip alt manifold tanımı verilmiştir. Euclid uzayındaki bir $ M $ manifoldunun $ G $ Gauss tasviri $$ \Delta G=f_1G+f_2C $$ denklemi $ f_1,f_2 $ düzgün fonksiyonları ve bir $ C $ sabit vektörü için sağlanırsa genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir denir. Örneğin, $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki tüm dönel yüzeyler genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir. Bu tez çalışmasında $ \mathbb{E}^{3} $ uzayındaki yüzeylerin Gauss tasvirlerinin tiplerine göre sınıflandırılmaları ile ilgili bazı teoremler çalışılmıştır. Üçüncü bölümde Cheng-Yau operatörüne göre noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip sabit ortalama eğrilikli ve sabit esas eğrilikli yüzeyler ile ilgili bilinen sonuçlar ayrıntılı bir şekilde açıklanmıştır. Sonra Weingarten yüzeyleri incelenmiştir. $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki doğrusal Weingarten yüzeyinin Cheng-Yau operatörüne göre ikinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için bu yüzeyi düzlemin açık bir parçası olması gerektiği gösterilmiştir. Dördüncü bölümde ise $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki minimal yüzeylerin Cheng-Yau operatörüne göre genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için bazı teoremler elde edilmiştir. Ayrıca, helikal yüzeyler incelenmiş ve $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki bir helisoidal yüzeyin $ \square $ noktasal 1-tipinden Gauss haritasına sahip olması için gerek ve yeter şartın o yüzeyin bir dönel yüzey olması veya sabit Gauss eğriliğine sahip olması gerektiği gösterilmiştir.
Suppression of symmetry-breaking bifurcations of optical solitons in parity-time symmetric potentials

(Graduate School, 2022) Turgut, Melis ; Akar Bakırtaş, İlkay ; 881411 ; Mathematics Engineering Programme

Optical soliton refers to any optical field that maintains its special structure during propagation because of the balance between diffraction and self-phase modulation of the medium. The dynamics of optical solitons are investigated comprehensively due to their fundamental structures and potential applications. In particular, optical solitons play an important role in fiber optic communication system that uses pulses of infrared light to transmit information from one place to another over a long distance. The propagation of the electromagnetic wave in optical fibers is modeled by the cubic-quintic nonlinear Schrödinger (CQNLS) equation iΨ_z+Ψ_{xx}+α|Ψ|^2Ψ+β|Ψ|^4Ψ=0, where Ψ(x,z) is normalized complex-valued slowly varying pulse envelope of the electric field, z is the scaled propagation distance, x is the transverse coordinate, Ψ_{xx} corresponds to diffraction, α and β are the coefficients of cubic and quintic nonlinearities, respectively. A higher-order dispersion needs to be considered for performance enhancement along trans-oceanic and trans-continental distances. Fourth order dispersion needs to be taken into account for short pulse widths where the group velocity dispersion changes within the spectral bandwidth of the signal. In addition, it is known from many studies in the literature that an external potential added to the system can be also beneficial for performance improvement. In this thesis, we consider the nonlinear paraxial beam propagation in cubic-quintic nonlinearity with a complex parity-time (PT) symmetric potential and fourth order dispersion. This propagation is modeled by the following CQNLS equation iΨ_z+Ψ_{xx}−γΨ_{xxxx}+V(x)Ψ+α|Ψ|^2Ψ+β|Ψ|^4Ψ=0, where γ>0 is the coupling constant of the fourth order dispersion, V(x) represents a complex PT-symmetric potential. In this thesis, we consider PT-symmetric potentials that are of the form V(x)=g^2(x)+c0*g(x)+ig′(x) where g(x) is an arbitrary real and even function, c0 is an arbitrary real constant and PT-symmetric solitons undergo symmetry breaking. We take a localized double-hump function g(x) in the form of g(x)=A*[exp(−(x+x0)^2)+exp(−(x−x0)^2)] where A and x0 are related to the modulation strength and separation of PT-symmetric potential, respectively. The soliton solutions of CQNLS equation with fourth order dispersion and a complex PT-symmetric potential are numerically obtained by means of the squared-operator method since the equation is nonintegrable. The linear stability analysis of the numerically obtained solitons is examined by linear spectrum analysis and the nonlinear stability analysis is examined by nonlinear evolution with split-step Fourier method. The existence of symmetry breaking of solitons and suppression of symmetry-breaking bifurcations have been investigated. To examine the effect of fourth order dispersion on this symmetry breaking, the coefficient of fourth order dispersion γ is incremented gradually. Consequently, we have demonstrated that the symmetry-breaking bifurcation of the solitons in this problem is completely suppressed as the strength of the fourth order dispersion increases. Moreover, increasing the strength of fourth order dispersion positively influences the linear and nonlinear stability behaviors of solitons.
On the hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator in Minkowski spaces

(Graduate School, 2022) Ünsal, Nilgün ; Turgay, Nurettin Cenk ; 509181215 ; Mathematical Engineering Programme

Let $M$ be an oriented hypersurface of the Minkowski space $\mathbb E^{n+1}_1$. One of the most important extrinsic object of $M$ is its shape operator $S$ defined by the Wiengarten formula $$SX=-\tilde \nabla_X N,$$ where $N$ is the unit normal vector field to $M$ whenever $X \in TM$. The shape operator can be used to determine how the tangent plane and its normal move in all directions. Note that $S$ is a self adjoint endomorphism in $TM$. Therefore, it is diagonalizable when $M$ is Riemannian. However, if $M$ is Lorentzian, then its shape operator can be non-diagonalizable. In this case, the shape operator $S$ has four canonical forms. These canonical forms are written with respect to either an orthonormal basis or a pseudo-orthonormal basis. If the basis is orthonormal, then it is called a orthonormal frame field. An orthonormal frame of vector fields in a neighborhood of any point in $M$ is a basis $\{ E_1, \hdots, E_n \}$ such that $$(E_1,E_1)=-1, \quad (E_1,E_i)=0, \quad (E_i,E_j)=\delta_{ij}$$ for $2 \leq i, \ j \leq n$. On the other hand if the basis is pseudo-orthonormal, then it is called a pseudo-orthonormal frame field. A pseudo-orthonormal frame of vector fields in a neighborhood of any point in $M$ is a basis { X, Y, E_1, \hdots, E_{n-2} } such that $$(X,X)= (Y,Y)=0, \quad (X,E_i)=(Y,E_i)=0, \quad (X,Y)=-1$$ and $$(E_i, E_j)=\delta_{ij}$$ for $1 \leq i, \ j \leq n-2$. The eigenvalues and eigenvectors of $S$ are called the principal curvatures and principal directions of $M$, respectively. If the shape operator $S$ is diagonalizable and $M$ has constant principal curvatures, then the hypersurface $M$ is said to be isoparametric. If $S$ is non-diagonalizable and its minimal polynomial is constant, then $M$ is said to be isoparametric. In this thesis, we study isoparametric hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator in Minkowski space $\mathbb E^{4}_1$. This thesis consists of five sections. First section is introduction. In the second section, we give some basic concepts on Lorentzian inner product and also some basic facts on hypersurfaces of $\mathbb E^{n+1}_1$. In the third section, a theorem about isoparametric hypersurfaces is given. We note that these theorems are proved by Magid in 1985. We prove these theorems by using another method. In fact, this theorem implies that there is only four classes of isoparametric hypersurface using the Codazzi and Gauss equations in $\mathbb E^{4}_1$. Then, we give another theorem which proves that there is no isoparametric hypersurface in $\mathbb E^{4}_1$ with complex principal curvatures. In the fourth section, we construct a family of hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator in $\mathbb E^{5}_1$. We obtain the shape operator, the mean curvature, Gauss-Kronecker curvature and Levi-Civita connection of this hypersurface. Then, we give the necessary and sufficient condition for this hypersurface to be minimal with a theorem.
On geodesic mappings of Riemannian manifolds

(Graduate School, 2022-01-07) Çoraplı, Ahmet Umut ; Canfes, Elif ; 509181210 ; Mathematical Engineering
Effect of self-steepening on optical solitons in nonlinear media

(Graduate School, 2022-02-17) Çelik, Eril Güray ; Antar, Nalan ; 509181212 ; Mathematical Engineering

Optical solitons are solitary waves that propagate without deteriorating their special structures as a result of the balance between the group velocity dispersion effect and the nonlinear effect caused by the change in refractive index due to the Kerr effect. Soliton generation and analysis in optics is a pretty popular and modern research topic, as they have a wide range of applications, such as optical communication technology, optical sensing, pulse compression in ultrafast optics and all-optical switching. Particularly, the propagation of optical solitons in fiber optic communication systems is an area of great interest to researchers. Optical solitons can propagate through long distances in fiber transmission systems without being affected by chromatic and polarization mode dispersion. Since their natural structure is preserved, they can be used as natural optical bits of information in fiber optic systems. In nonlinear optics, the propagation of the light pulse in optical fibers can be modeled by the cubic-quintic nonlinear Schrödinger (CQNLS) equation. In fiber optic systems, the width of the optical pulses is reduced to increase the bandwidth and communication speed. Whereas, if the width of the light pulses is very small, that is, the frequency is high, the CQNLS equation may be insufficient to model the physical system. Because, if the light pulse is short, often some higher-order effects need to be taken into account. It can be said that the third-order dispersion, self-steepening (or nonlinear dispersion) and the Raman effect are the most significant higher order effects. In an optical waveguide, the real part of the PT symmetric potential corresponds to the spatial distribution of the refractive index, and the imaginary part corresponds to the balanced gain-loss relationship. NLS equations with higher-order effects can not be solved analytically. Therefore, this equations should be handled with numerical methods. In this thesis, the existence and stability of soliton solutions of some kind of NLS equations that have higher-order effects and the PT symmetric potential were investigated numerically. The pseudospectral renormalization method was used to obtain fundamental soliton solutions. In order to test the nonlinear stability of solitons, spatial evolution simulation of solitons was examined. For this, the split-step Fourier method, which has a very high performance in NLS-type equations, was used. In addition, while examining the dynamic properties of solitons, linear stability conditions were also taken into account. Linear stability analysis of solitons was performed by examining the whole linear stability spectrum of solitons with the help of the Fourier collocation method. The first 4 chapters of this thesis give information about NLS equations, optical solitons, higher-order effects, numerical methods, and stability analysis. In Chapter 5, the existence and dynamic properties of solitons obtained from the NLS equation with the self steepening term are analyzed. In addition, the relationship between PT symmetric periodic potential and the influences of the self-steepening effect is examined. It has been observed that the PT- symmetric periodic potential helps to obtain stable solitons by eliminating adverse effects. In Chapter 6, the soliton solutions of the CQNLS equation with the self steepening term were investigated in the self-focusing cubic, self-defocusing quintic medium. It has been determined that the destabilization effect of self-steepening can be arrested when the coefficient of the cubic nonlinear term is 1 and the coefficient of the quintic nonlinear term is -1. Finally, the conclusions of this thesis are summarized in Chapter 7.
Spektral ertelenmiş düzeltme zaman integrasyonu yöntemleri

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2022-06-01) Bahçekapılı, Duygum Asya ; Kadıoğlu, Samet Yücel ; Kadıoğlu, Hülya ; 509171247 ; Matematik Mühendisliği

Bu çalışmada, adi diferansiyel denklemler ile oluşturulmuş başlangıç değer problemlerinin sayısal çözümlerini yapabilmek için geliştirilmiş "spektral ertelenmiş düzeltme" yöntemleri incelenmiştir. Spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin özü, Euler yöntemlerine dayanmaktadır. Amaç, birer ilkel zaman integrasyonu yöntemi olan açık ve kapalı Euler yöntemlerinin doğruluk mertebesini keyfi mertebede arttırabilmektir. Problemler çözülürken, öncelikle, tez içinde "ara çözüm" olarak adlandırılacak olan başlangıç çözümü, denklemin yapısına uygun olarak, açık veya kapalı Euler yöntemleri ile elde edilmiştir. Ardında, ara çözüme düzeltme prosedürü uygulanarak "düzeltme çözümü" olarak adlandırılacak olan çözümler elde edilmiştir. Elde edilen sonuçların literatürle uyumlu olduğu ve keyfi mertebede doğruluk sağlanabildiği gözlemlenmiştir. Yine çalışmada, başlangıç değer problemlerinin çözümünde sıklıkla başvurulan sayısal yöntemlerden olan Runge - Kutta yöntemlerinin ve spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin kararlılık bölgesi analizleri yapılmıştır. Bu kararlılık bölgeleri şekiller aracılığıyla karşılaştırılmıştır. Ardından, spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin kararlılık davranışı hem açık hem kapalı şemalar için incelenmiş olup sonuçlar şekiller ile verilmiştir. Yine çalışmada, spektral ertelenmiş düzeltme yöntemleri, tek bir denklemden sisteme kadar dört adet başlangıç değer problemine uygulanarak elde edilen sonuçlar çizelgeler ile çalışmaya eklenmiştir. Ayrıca yine her bir problem için bir diferansiyel denklem çözücüsü olan ODE45 ile 5. mertebe açık spektral ertelenmiş düzeltme yönteminin çözümleri karşılaştırılmıştır. Gerçek çözümü bilinen problemler için her iki yöntemin de gerçek çözümle karşılaştırılması yapılıp, sonuçlar şekiller ile gösterilmiştir. Sonuç olarak, bu çalışmada hem kararlılık bölgesi analizleri yapılarak hem de problemlerin çözümünde kullanılarak, spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin başlangıç değer problemlerini çözmedeki doğruluk ve etki performansı incelenmiş ve yöntemin sıklıkla kullanılan diğer sayısal yöntemlerden bazıları ile karşılaştırılması yapılarak avantaj ve dezavantajlarından bahsedilmiştir.
Time series classification via topological data analysis

(Graduate School, 2022-06-22) Karan, Alperen ; Kaygun, Atabey ; 509152201 ; Mathematical Engineering

This dissertation aims to demonstrate the power of Topological Data Analysis (TDA) and the subwindowing method for feature engineering in time series classification tasks. As an application, we used two publicly available datasets, WESAD and DriveDB. These datasets consisted of physiological signals collected under stressful and non stressful events. Furthermore, in order to assess the reliability of our methodology, we tested our feature engineering methods on a synthetic dataset that consists of artificial physiological signals mimicking a stress detection study. The results indicated that automatically created topological features can yield higher classification accuracies than signal-specific and hand-crafted features (such as heart rate derived from an ECG signal). In the first chapter of this work, we briefly summarize TDA and persistent homology. Also, the methods for time series classification via persistent homology is discussed, and we make a literature review on the subject. The second chapter is devoted to time series methods, and how we can classify them. We first define the method of sliding windows, and discuss why it can be useful in machine learning tasks. Then, we talk about time delay embeddings which transforms a univariate time series into a high dimensional dataset. We illustrate how the topology of the resulting dataset is affected by the delay parameter (also known as the embedding dimension). At the end of this chapter, we introduced the subwindowing methodology which solved the main problem of this work. We showed that this method allows us to reduce noise, improve computation time by a large amount, and use longer windows without incurring extra computational cost. In the third chapter, the theoretical background for TDA and persistent homology is given. The chapter starts with discussing why we should see the data at different scales. Then we give preliminary definitions related with simplices and simplicial complexes. We state the Nerve theorem and talk about how a topological space and a simplicial complex can be homotopy equivalent under some assumptions. This theorem tells us that the Cech (and therefore Rips) complexes are topologically similar to the underlying object that the dataset was sampled from. Later in this chapter, we define simplicial homology and show how we can compute the homology of a simplicial complex. Note that we need a fixed distance (epsilon) parameter to build a simplicial complex on top of a dataset. On the other hand, persistent homology allows us to investigate the persistence of homology groups when epsilon varies. After presenting how persistent homology works, we define persistence diagrams and two widely used metrics between them. Also, we show that persistence diagrams are stable under small perturbations of the data. Lastly, we show some means of performing feature engineering of persistence diagrams. The fourth chapter consists of the description of the datasets used in this dissertation and our methodologies. First, we introduce the three datasets (synthetic, WESAD and DriveDB) used in this study. For the synthetic dataset, there were two classes of physiological signals: stress and non stress. The classes for WESAD were baseline, amusement and stress. For DriveDB, the classes were relax, driving in the highway (low stress) and driving in the city (high stress). We then talk about the physiological signals included in the datasets, their sampling frequencies, and some preprocessing we did beforehand. Our experiments had some parameters such as window size, subwindow size, the embedding dimension in time delay embeddings. Later in this chapter, we discuss how these parameters were chosen, and how we did feature engineering for our experiments. Then, we present the machine learning algorithms and their hyperparameters used in our experiments. Lastly in chapter four, we introduce the two cross-validation methodologies used in our experiments. For Leave-one-subject-out cross validation (LOSOCV), the model is trained on all subjects but one, and tested on the other. When each participant appears in the test set once and only once, the results are averaged. This cross validation technique tells us about the model's performance on a previously unseen subject. For intra-subject cross validation, we split each subjects data into two. We train on either half, and test on the other, then average the results. We get a final accuracy by averaging all accuracies obtained from each participant. This method shows whether the model can benefit from having the same subject's data on both the train and the test sets. The results of the experiments are covered in the fifth chapter. We presented the results for the synthetic, WESAD and DriveDB datasets, respectively. The results for the synthetic dataset indicated that as the magnitude of the physiological change that mimics stress increases, stress detection accuracy also improves. For example, when the heart rate variability -an important stress indicator- is raised, the topological features could detect it almost perfectly. The results imply that stress detection errors in real-world datasets can be attributed to the noisy nature of the dataset itself, rather than the topological features. For example, such lack of effect can appear when some participants do not react to the stress condition. When the results from the real datasets were investigated, we usually observed the highest affect recognition accuracies when features coming from all persistence diagrams (level sets and delay embeddings) are used. Nevertheless, using only one persistence diagram (resulting in much fewer features) we were able to achieve similar recognition performance. This tells us that high accuracies are attainable using a small number of automatically engineered topological features rather than hand-crafted signal-specific features. For the three-class tasks, we observed that stress conditions are well separated from other conditions. This result supports the hypothesis that topological features works pretty well in distinguishing chaotic time series from non chaotic ones. When we made a binary classification task (stress vs non stress), topological features again performed better than those used in the original studies for most of the physiological signals. We have already stated that an important advantage of the subwindowing method is to be able to change the window size effectively. When we tested different window sizes, we observed that higher windows implied better stress detection performance. Furthermore, model performance with intra-subjects cross validation was significantly higher than LOSOCV. This was an expected finding since the model can perform better on the test set when the data from the same subject appears in the training set. Finally, in the sixth chapter, we outline our methodologies and their limitations. We also discussed what future works can aim for. For example, future studies can assess the performance of a model trained on one dataset and tested on another. Also, later research can use semi-supervised (rather than supervised) tasks for even improved accuracies. Lastly, one can use other vector representations of persistence diagrams for feature engineering.
Biharmonic and biconservative submanifolds of lorentizan space forms

(Graduate School, 2022-12-16) Kayhan, Aykut ; Turgay, Nurettin Cenk ; 509172205 ; Mathematical Engineering

In 1964, Eells and Sampson gave the definition of biharmonic maps as a generalization of harmonic maps during they were studying on the energy functional E between Riemannian manifolds which has geometrical and physical interest. Later, many geometers interested in biharmonic maps. By the definition, a biharmonic map φ : M → N between two Semi-Riemannian manifolds is a critical point of the bienergy functional E2(φ) = 1 2 Z M ∥τ(φ)∥ 2 vg, where τ(φ) = trace∇dφ is the tension field of φ that vanishes for harmonic maps. If φ is a biharmonic isometric immersion into N then M is said to be biharmonic submanifold of N. In the middle of 1980's, Chen studied biharmonic submanifolds in Euclidean spaces as a part of his program of understanding finite type submanifolds in Euclidean spaces. He gave an alternative definition of biharmonic submanifolds in Euclidean spaces. That definition is also same for pseudo-Euclidean spaces: If the position vector field x : M → E n satisfies ∆ 2 x = 0 then M is called biharmonic submanifold, where ∆ denote the Laplacian of M. By the well known Laplace-Beltrami identity this equation is equivalent to ∆H = 0, where H is the mean curvature vector of M. In the mean time, independently, Jiang showed that a smooth map φ is biharmonic if and only if its bitension field τ2(φ) (which corresponds the Euler-Lagrange equation of bienergy functional) vanishes identically, i.e., τ2(φ) = 0. Jiang also showed that τ2(φ) = 0 if and only if ∆H = 0 for an isometric immersion φ : M → E n . As a result, definitions given by Chen and Jiang coincide for the class of Euclidean and pseudo-Euclidean submanifolds. Biconservative submanifolds arose from the theory of biharmonic submanifolds. Stress-energy tensor for the energy function described by Hilbert was expanded for the bienergy function as follows S2(X,Y) = 1 2 ∥τ(φ)∥ 2 ⟨X,Y⟩+⟨dφ,∇τ(φ)⟩⟨X,Y⟩ −⟨dφ(X),∇Y τ(φ)⟩ − ⟨dφ(Y),∇Xτ(φ)⟩ xxi satisfying divS2 = −⟨τ2(φ),dφ⟩ . In general, a submanifold is called biconservative if divS2 = 0. It means (τ2(φ))T = 0. Indeed, this is equivalent to (∆H) T = 0 when the ambient space is pseudo-Euclidean. Because, for the isometric immersion into E n 1 , τ(φ) = −mH and τ2(φ) = m∆H. In this thesis we study on the biconservative submanifolds and biconservative hypersurfaces of the Lorentzian space forms and we also obtained some results related biharmonic ones. This work consists of seven sections and these sections were planned as follows: In the first section, we give a brief history and philosophy of biharmonic and biconservative submanifolds and studies has been done so far. In the second section, we give some basic notions of the submanifold theory on Lorentzian inner product space and biharmonic submanifolds. In the third section, biconservative surfaces with constant mean curvature (CMC) in Minkowski 4-space E 4 1 is studied. Firstly, we determine the canonical forms of the shape operator and then we give some examples of such submanifolds in E 4 1 . Later, we classify biconservative CMC submanifolds in E 4 1 . Then, we generalize all results to the CMC surfaces of S 4 1 and H4 1 . In the fourth section, we examine the biconservative hypersurfaces in Minkowski 4-space E 4 1 . In particular, we study hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator A satisfying A(∇H) = − nH 2 ∇H, where n and H are the dimension and the mean curvature of the hypersurface, respectively. We determine the canonical forms of the shape operator, the mean curvature, sectional curvature and Levi-Civita connection of this hypersurface. Afterwards we give the necessary and sufficient condition for this hypersurface to be biconservative. Later we classify the biconservative hypersurface in E 4 1 and show the uniquniess of them. In fifth section, we examine the biconservative hypersurfaces with certain shape operator in Minkowski 5 space E 5 1 . We give some non-existence theorems. In the sixth section, we examine the biconservative submanifolds with mean curvature whose gradient is light-like in E n 1 . We give some non-existence results. In the last section, the obtained conclusions are shared and recommendations are made about the future of the problems.
Fındığın optimum satış süresinin belirlenmesi: oyun teorisi ve karar kriterleri yaklaşımları

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2023) Muntaş, Melike ; İzgi, Burhaneddin ; 889078 ; Matematik Mühendisliği Bilim Dalı

Tarım alanında üretim ve pazarlama sürecinde risk koşullarında faaliyet gösterilmekte, karar vericiler kararlarını belirsizlik ortamında vermektedir. Üreticilerin geleceğe yönelik planlama yaparken doğanın yapısından kaynaklanan riskleri analiz etmesi ile tarımda bir ürünün üretimi ve satışa sunulması için doğru zamana ve satış fiyatına karar vermesi gerekmektedir. En uygun satış fiyatı ve en uygun satış yapılacak dönemin seçiminde yaşanan belirsizliklere karşı oyun teorisi ve karar teorisinden yararlanmak mümkündür. Bir ürünün piyasa satışı için uygun zamanın ve dolayısıyla satış fiyatının belirlenmesini temel aldığımız problemin çözümüne yönelik dinamik programlama, oyun teorisi ve karar kriterleri kapsamında uygulamayı hedeflediğimiz problem olan fındık satışı için uygun satış zamanı ve fiyatını bularak satıcının karını arttırması planlanmış ve bu çalışmada hem ülkemiz hem de dünya için fındık üreticisinin satış planlanmasına yardımcı olacak bir yaklaşım sunulması hedeflenmiştir. 2020 yılı FAO verilerine göre dünyada toplam fındık üretiminin % 59,61'ini karşılayan Türkiye, dünya fındık üretiminde birinci sıradadır. Fındık ve fındıktan üretilen ürünlerin ihracatının dünya üzerinde son 5 yıldaki kabuklu fındık olarak karşılığı ortalama 711 bin ton olup bunun %71'i Türkiye tarafından karşılanmaktadır. FAO verilerinin sonucuna göre dünyada fındık ihtiyacının büyük bir kısmını karşılayan Türkiye'de üretim ve ihracatın yanı sıra iç piyasalarda da fındık önem arz etmektedir. Birinci bölümde fındığın en uygun satış fiyatı ve en uygun satış yapılacak döneminin seçiminde kullanılacak oyun teorisi ve doğrusal programlamanın kavram ve uygulama yöntemlerine ihtiyaç olduğu ölçüde yer verilmesi amaçlanmıştır. Bu bölümde ilk olarak oyun teorisinin tarihsel gelişimi ve literatürde oyun teorisi ile uygulama yapılan bazı çalışmalar incelenmiştir. Ardından oyun teorisinin temel kavramları ve iki kişilik sıfır toplamlı oyunlar sunulmuştur. Sonra oyun teorisi ile bağlantısı olan doğrusal programlamanın tanımı, tarihsel gelişimi ve çalışmaya konu olan uygulama problemine benzer geçmişte yapılan bazı çalışmalardaki kullanımı gösterilmiştir. Ardından strateji sayısı arttıkça çözümü zorlaşan oyunların çözümünde sıklıkla kullanılan doğrusal programlamanın oyun teorisi ile arasındaki ilişki incelenmiştir. Sonra matris oyunlarında hiçbir denklem çözülmeden yaklaşık çözümün bulunduğu MN yöntemi incelenmiştir. MN yönteminin teorik alt yapısı sunulmuş ve birkaç örnekle uygulaması yapılmıştır. İkinci bölümde, belirsizlik altında karar alma kriterleri tanımlarına yer verilmiş ve örneklerle incelenmiştir. İlk olarak tüm olası alternatiflerin gerçekleşme olasılıklarının eşit kabul edildiği Laplace kriteri tanımlanmıştır. Sonra iyimser karar vericinin alternatif seçenekler arasından en büyük getiriyi sağlayan stratejiyi seçtiği Maximax kriteri incelenmiştir. Ardından kötümser karar vericinin en küçük getiri değerinin en yüksek olduğu seçeneği seçtiği Wald kriteri tanımlanmıştır. Sonra şüpheci olan karar vericinin en büyük getiriler içinden en küçükleri hedeflediği Savage kriteri gösterilmiştir. Son olarak Hurwicz karar kriteri ile karar vericinin iyimser ve kötümser yaklaşımının bir olasılık değeri ile belirlendiği gösterilmiştir. Üçüncü bölümde ise, TÜİK'ten alınan fındık fiyatları ile oyun matrisi oluşturulmuştur. Ardından doğrusal programlama yöntemi ile fındık fiyatları matrisinde analizler yapılmıştır.
Lie symmetries and exact solutions of Benney-Roskes/Zakharov-Rubenchik system

(Graduate School, 2023-01-06) Gönül, Şeyma ; Özemir, Cihangir ; 509191240 ; Mathematics Engineering

Many physical phenomena in our lives are modeled using ordinary differential equations (ODE) and partial differential equations (PDE). Unlike PDEs, ODEs can be solved using more familiar and straightforward techniques. Partial differential equations are widely utilized in scientific fields that place on mathematics, such as physics and engineering. A wide range of partial differential equation types has been derived as a result of the diversity of the sources. Many methods have been developed to deal with the resulting individual equations. One of these methods used to solve PDEs is Lie symmetry analysis. Lie groups and Lie algebras are useful tools for reducing the number of independent variables in a PDE by using the reduction method. Lie's method leads to group-invariant solutions and conservation laws for partial differential equations. PDEs can be classified into equivalence classes and new solutions can be derived from existing ones by taking advantage of their symmetry. The first step in the method is finding the determining equations for the system's symmetries. By solving the determining equations, the vector field that generates the transformation group of the equation is obtained, which is called the infinitesimal generator of the symmetry group. In other words, we find the infinitesimal generators of the transformation groups, which will leave the solution of the system invariant. From this generator, the Lie algebra structure of the system emerges. However, applying Lie group methods to systems of equations takes a lot of time and effort. Even solving elementary differential equations is prone to mistakes if we do it with a pen and paper. All of that has changed thanks to the accessibility of computer algebra systems like Mathematica and Maple. Some of the calculations in this thesis were done using these programs. This thesis investigates the Lie symmetry algebra of the Benney--Roskes/ Zakharov--Rubenchik (BR/ZR) system and presents exact solutions to this system of equations. BR/ZR system includes the well-known Davey-Stewartson (DS) system and Zakharov system in the limiting case. Although the first appearance of the BR system dates back a few decades, it is seen that the research on qualitative and numerical analysis of the system finds a place in the recent literature. As this literature lacks the results on Lie symmetries and solitary-type analytic solutions of the system, it has been this work's main purpose to fulfill this gap. In Chapter 1, the problem statement of the thesis and the literature review of the problem are given. In Chapter 2, the fundamental definitions and notations for the Lie symmetry analysis of differential equations are provided. In Chapter 3, (2+1)-dimensional BR/ZR system and in Chapter 4, (3+1) BR/ZR system are investigated by the tools of Lie group analysis. The symmetry algebra of the (2+1)-dimensional BR/ZR system is obtained as an infinite dimensional Lie algebra. We found that the symmetry algebra is as not rich as the symmetry algebra of the DS system, which is one of the integrable equations in (2+1) dimensions. We succeeded in finding solutions in the forms of a line soliton and hyperbolic type. We also discovered the Lie symmetry algebra of the (3+1) BR/ZR system. The invariance algebra of the system turns out to be infinite-dimensional. Concentrating on traveling solutions, we found wave components of sech-tanh type, which proceed as line solitons and kinks in two-dimensional cross-sections in space. With this thesis, we have added original results to the literature on group-theoretical properties and exact solutions of the BR/ZR system. We believe that these results will serve as a source for future numerical and qualitative studies on this system.
Topological data analysis and clustering algorithms in machine learning

(Graduate School, 2023-03-13) Güzel, İsmail ; Kaygun, Atabey ; 509182203 ; Mathematical Engineering

In this dissertation, we define a new non-Archimedean metric (a.k.a. an ultra-metric) called cophenetic metric on persistent homology classes of all degrees using only homological information. Then, based on numerical experiments on different datasets, we statistically verify that the topological information coming from the zeroth persistent homology with our cophenetic metric is consistent with the information provided by different hierarchical clustering algorithms using different metrics. We also observe that the clusters we obtained via the cophenetic metric do yield competitive silhouette scores and the Rand indices in comparison with clusters obtained from other metrics. The homological information about a filtered simplicial complex over the poset of positive real numbers is often presented by a barcode which depicts the evolution of the associated Betti numbers. However, there is wonderfully complex combinatorics associated with the homology classes of a filtered complex, and one can do more than just count them over the index poset. In this thesis, we show that this combinatorial information can be encoded by a filtered matroid, or even better, by rooted forests. We also show that these rooted forests can be realized as cobordisms. The subject of this thesis is presented in Chapter 1, in which we also provide a survey of the literature and a brief introduction to topological data analysis (TDA). In Chapter 2, we summarize the fundamental concepts from topological and metric spaces that we will need in subsequent chapters. In Chapter 3, we will go more deeply into the mathematical foundations of clustering techniques. Clustering algorithms, especially hierarchical clustering algorithms, play a key role in this dissertation. Comparisons of various clustering strategies also play important roles in this thesis. For this reason, we also survey numerical metrics to assess such clustering strategies in the same chapter. We also work out a complete example on a collection of Turkish cities and the distances between them, and compare the resulting clusters. The TDA calculations we make in this thesis heavily use simplicial and chain complexes, and their homologies. In all examples, we first calculate the homology of a filtered simplicial complexes in order to calculate its persistent homology. The primary computation procedure begins by distilling a point cloud into a filtered simplicial complex, followed by calculating the homology of the resulting filtered differential graded complex. Chapters 4 and 5 provide all the necessary background information on simplicial complexes, differential graded complexes, and homologies. We also present complete worked-out examples of calculating homology classes for a collection of simple simplicial complexes. To capture the exact topological features of the point cloud, the main challenge is to find an optimal proximity parameter for the simplicial technology. Persistent homology is developed precisely to deal with this issue. It keeps track of how long each topological feature of the supplied data endures as the proximity parameter varies. It produces multisets of intervals represented as barcodes. We cover these concepts in Chapter 6. Chapter 7 is devoted to developing a rigorous theoretical foundation for filtered simplicial and chain complexes. Along with developing such a foundation for filtered complexes, we also discovered an exciting combinatorial representation for homologies of filtered complexes in the form of filtered matroids, especially by employing dendrograms labeled by circuits in a matroid. In Chapter 8, we defined a new non-archimedean metric called homological cophenetic distance on homology classes which is the main contribution of this thesis to literature. In Chapter 9 we are concerned with developing another presentation of the homological information coming from a filtered complex using cobordisms of punctured spheres, which are themselves punctured higher dimensional spheres. In Chapter 10, we give a detailed account of how we used the cophenetic distance in our numerical experiments. In the first experiment, we compared the standard zeroth persistent homology representations (barcodes), the dendrogram we derived from the cophenetic distance, and the dendrogram coming from the hierarchical clustering algorithm with the Euclidean metric on a small synthetic dataset embedded in $\mathbb{R}^2$. In the second experiment, we studied the geographic coordinates of a small sample of Turkish cities. By following the same statistical comparison methodology as in the first experiment, we compare the dendrograms produced by cophenetic metrics on the zeroth homology and the dendrograms produced by hierarchical clustering algorithms using a variety of distance measurements in order to assess the validity of our study. In the third and last experiment, we applied the hierarchical clustering algorithms to various datasets (the dataset of Turkish cities, the Iris dataset, the Cancer Coimbra dataset, and two synthetic datasets) with different metrics including our cophenetic metric, and we statistically analyzed the clustering results. Finally, in Chapter11, we summarize and analyze the results we obtain, and the constraints of our approach such as need for high computational power and high memory requirements. We also discuss potential future research directions one can follow to extend this thesis such as designing suitable applications with real-world datasets, visualizing cobordisms, or developing filtered combinatorial simplicial complexes on a categorical dataset.
Manifolds of generalised G-structures in string compactifications

(Graduate School, 2023-03-22) Diriöz, Emine ; Özer, Aybike ; 509162201 ; Mathematical Engineering

A G-structure on a differentiable manifold M of dimension n can be described as a reduction of the linear frame bundle L(M) of M to a Lie subgroup G of $GL(n,\mathbb{R})$. Such a reduction is equivalent to the existence of certain geometric structures on M, depending on what the subgroup G is. For example, an O(n)-structure corresponds to the existence of a Riemannian metric g. Similarly, by the existence of an almost complex structure J, the structure group reduces to $GL(n/2,\mathbb{C})$. If a Riemannian metric and an almost complex structure are compatible and the metric is hermitian then the structure group reduces to SU(n/2). In a similar fashion, a generalized G-structure can be described as a reduction of the structure group of the principal bundle associated with the generalized tangent bundle $TM\oplus T^*M$. The natural structure group of $TM\oplus T^*M$ is O(n,n). The generalized G-structures also correspond to the existence of certain geometrical objects. For example, the reduction of the structure group from O(n,n) to $O(n)\times O(n)$ corresponds to the existence of a generalized metric. Similarly, on an even-dimensional real manifold $M$ a generalized almost complex structure is given by a reduction of the structure group from O(n,n) to U(n/2,n/2). A generalized almost complex structure is defined by the existence of a pure spinor which is a section of the exterior bundle $\bigwedge^\bullet T^* M$. The SU(n/2,n/2)-structure is equivalent to the existence of a globally defined pure spinor of non-vanishing norm. Furthermore, $SU(n/2)\times SU(n/2)$-structure is given by the existence of two compatible pure spinors. The main theme of this thesis is the study of manifolds of generalized G-structure relevant to string compactifications. Superstring theory is a quantum theory of gravity consistent in 10 dimensions. There are five consistent superstring theories and the low energy dynamics of massless space-time fields are governed by ten-dimensional supergravity theories. The supergravity field equations are nonlinear partial differential equations that can be regarded as a generalization of field equations of Einstein's theory of general relativity (GR). In a supersymmetric compactification of Type II string theory down to 4 dimensions, it is required that the structure group of the generalized tangent bundle $TM \oplus T^*M$ of the six-dimensional internal manifold M is reduced from SO(6,6) to $SU(3) \times SU(3)$. This is equivalent to the existence of two globally defined compatible pure spinors $\Phi_1$ and $\Phi_2$. Furthermore, these pure spinors should satisfy certain first-order differential equations, namely supersymmetry equations. We show that these equations are covariant under certain Pin(d,d) transformations. We also show that Non-Abelian T-duality (NATD) which is generated by a coordinate-dependent Pin(d,d) transformation is a particular solution generating transformation for these pure spinor equations. Our method is demonstrated by studying the NATD of a specific class of geometries with SU(2) isometry and SU(3)-structure. Some of the manifolds belonging to this class are $AdS_5\times T^{1,1}$, $AdS_5\times Y^{p,q}$ and $AdS_5\times S^5$. It is interesting to note that in each case, the internal manifold is a Sasaki-Einstein manifold. We show that the transformed pure spinors are associated with an SU(2)-structure. The plan of the thesis is as follows: in section 2, we study principal fiber bundles, vector bundles, and linear frame bundles. Then, we study the concept of the reduction of the structure groups. We also give familiar examples of G-structures in detail. In section 3, we briefly review the relation between G-holonomy and torsion-free G-structures. In section 4, we study the basic concepts regarding the geometry of the generalized tangent bundle $TM\oplus T^*M$. This leads us to the definition of a generalized G-structure. Since our main interest is in $SU(3)\times SU(3)$-structures we give in a separate subsection the description of $SU(3)\times SU(3)$-structures and the associated pure spinors in detail. In section 5, we focus on the differential equations to be satisfied by the pure spinors for preservation of ${\cal{N}}=1$ supersymmetry. We study the covariance of these equations under constant and non-constant Pin(d,d) transformations. Then, we study Non-Abelian T-duality (NATD) transformations in detail, and we show the invariance of pure spinor equations under NATD. In section 6, we consider a specific class of geometries. We transform the pure spinors associated with the SU(3)-structure and show that the resulting pure spinors determine an SU(2) structure. We also study the NATD transformation of the metric, the B field, and the Ramond-Ramond fields.
Parameter optimization for mathematical modeling

(Graduate School, 2023-06-09) Tunçel, Mehmet ; Duran, Ahmet ; 509132057 ; Mathematical Engineering

Mathematical modeling is used to explain and forecast complex systems, and parameter optimization methods have a crucial role to find the optimal set of parameters obtained by minimizing an objective function. Also, the management of computational resources is essential for handling big models in real-time scenarios. A. Duran and G. Caginalp (2008) propose a hybrid parameter optimization forecast algorithm for asset prices via asset flow differential equations. In this thesis, we propose a new mathematical method for an inverse problem of parameter vector optimization in asset flow theory. For this purpose, we use quasi-Newton (QN) and Monte Carlo simulations to optimize the function F[K] for each selected event and initial parameter vector. We present grid and random methods and conclude that the grid approach is better than the random approach in the unconstrained optimization problem. This study also presents a parallel numerical parameter optimization algorithm for dynamical systems used in financial applications. It achieves speed-up for up to 512 cores and considers more extensive financial market situations. Moreover, it also evaluates the convergence of the model parameter vector via nonlinear least squares error, and maximum improvement factor. In this thesis, we also examine the performance, scalability, and robustness of OpenFOAM on the GPGPU cluster for bio-medical fluid flow simulations. It compared the CPU performance of iterative solver icoFoam with direct solver SuperLU_DIST 4.0 and hybrid parallel codes of MPI+OpenMP+CUDA versus MPI+OpenMP implementation of SuperLU_DIST 4.0. Results showed speed-up for large matrices up to 20 million x 20 million. Besides that, we investigate the usage of eigenvalues to examine the spectral effects of large matrices on the performance of scalable direct solvers. Gerschgorin's theorem can be used to bound the spectrum of square matrices, and behaviors such as disjoint, overlapped, or clustered Gerschgorin circles can give clues. We define the minimum number of cores and show that it depends on the sparsity level and size of the matrix, increasing slightly as the sparsity level decreases and the order increases. In sum, this thesis presents new methods for initial parameter selection and a new algorithm for parallel numerical parameter optimization. Also, we define new metrics and show that the importance of right matching for computational systems and the optimal minimum number of cores are important in mathematical modeling and simulation.
Salgın hastalıklarda aşı ve karantina etkisinin matematiksel modellemesi

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2023-06-16) Çelik, Seda ; Özer, Saadet Seher ; 509191274 ; Matematik Mühendisligi

Salgın hastalıklar, hastalığa neden olan yeni patojenlerin meydana gelmesi ve eski patojenlerin yeniden ortaya çıkması ya da evrimleşmesi nedeniyle tarihte birçok toplu ölümlere neden olmuştur. Bu sebeple salgın hastalıkların analiz edilmesi sonucunda gelecekte meydana gelebilecek salgın hastalıklara karşı etkili tedbirlerin alınması sağlanabilir. Son yıllarda meydana gelen COVID-19, ortaya çıktığı günden bir süre sonra dünyayı etkisi altına almış, hayat akışını etkilemiştir. Bunun sonucunda çoğu ülke salgının yayılımını önlemek amacıyla tedbirler alırken, bu süre boyunca COVID-19 salgınına yönelik birçok bilimsel çalışmalar da ortaya koyulmuştur. Matematiksel modeller, gerçek hayat problemini doğru varsayımlar eşliğinde matematiksel dil kullanılması sonucunda elde edilen tahminler ve çözümlerdir. Ulaşılan çözümlerin faydalı olması için problemi iyi anlamak ve analiz etmek gerekir. Matematiksel modeller birçok dinamik modelleme türlerinde kullanılabilir; av-avcı dinamikleri, uyuşturucu madde kullanımları, alkol, sigara ve salgın hastalıklar. Epidemiyoloji de matematiksel modeller, hastalığın yayılmasını etkileyen altta yatan mekanizmaların ayrıntılı bir şekilde incelenmesini sağlaması ve salgını azaltmak için kontrol stratejilerinin rehberliğini desteklemesi nedeniyle araştırmacılar için en ilgi çekici konulardan biri olmuştur. Özellikle son zamanlarda meydana gelen COVID-19 pandemisi ile beraber matematiksel modelleme çalışmaları yeniden ilgi kazanmıştır. Bu tezde, son yıllarda toplu ölümlere neden olan COVID-19 pandemisi ile ilgili yayınlanan matematiksel makalelerin incelenmesi sonucunda, iki tür model kurulumu yapılmıştır. Kurulan matematiksel modeller, çeşitli salgın hastalık durumlarında karantina ve aşının etkinliğini incelemek için oluşturulmuştur. Bu çalışma ile gelecekte ortaya çıkacak salgın hastalıklar ile etkin mücadele konusunda ışık olması amaçlanmıştır. Bu çalışma toplam dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, temel tanımlar başlığı altında lineer ve lineer olmayan adi diferansiyel denklem sistemleri için denge noktalarının kararlılık analizleri hakkında bilgi verilmiştir. Kararlılık analizlerin yapılabilmesi için gerekli olan teoremler kısaca belirtilmiştir. Ayrıca bir sistemin Global kararlılığının incelenmesinde yardımcı olan Liapunov kararlılık teoreminden de bahsedilmiştir. İkinci bölümde, temel salgın hastalık modelleri olan SI, SIS, SIR, SIRS ve SEIR detaylı incelenmiştir. Her bir modelin tanıtımı ve matematiksel analizleri yapılmıştır. Bunun yanı sıra salgın teorisindeki en önemli kavramlardan biri olan temel üreme sayısından bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, tezin ana çalışması olarak iki farklı matematiksel model kurulumu yapılmıştır. İlk olarak, sadece aşı etkinliğini ve aşılanma oranının bir salgın yayılımı üzerindeki etkisini inceleyen basit bir matematiksel model kurulmuştur. Daha sonra hem karantina hem de aşının varlığının olduğu durum için daha kapsamlı bir matematiksel model oluşturulmuştur. Her iki modelin tanıtımı yapılması sonucunda lineer olmayan adi diferansiyel denklem sistemi kurulmuş, invaryant bölgesi, denge noktaları, yerel kararlılık analizleri ve sayısal sonuçları incelenmiştir. Modellerden elde edilen sayısal sonuçlar Mathematica programı ile çizdirilmiştir. Kurulan iki modelden ilki olan aşılanma oranını ve etkinliğini inceleyen model, aşılanmış duyarlıları, aşılanmamış duyarlıları ve enfekte popülasyonları olmak üzere 3 bölümden oluşmaktadır. Model de aşılanma oranının ve etkinliğinin salgının yayılımını nasıl etkilediği incelenmiştir. Salgın hastalık yayılımında aşı etkinliği ve aşılanma oranının etkisini inceleyen modelin sayısal sonuç grafiklerinden sonuçlar elde edilmiştir. Aşı etkinliği azaldığında temel üreme sayısında artış oluştuğu gözlemlenmiştir. Bu durum, aşı etkinliği azaldıkça salgının yayılım şiddetinin artığını belirtir. Diğer taraftan, aşı etkinliği arttığında temel üreme sayısında azalış oluştuğu gözlemlenmiştir. Bu sonuç, aşı etkinliğinin salgın yayılımında önemli bir faktör olduğunu ve salgın yayılımını azaltmak için aşı etkinliğinin artırılması gerektirdiğini belirtir. Kurulan ilk model için salgının yayılımında aşılanma oranının etkisi de incelenmiştir. İnceleme sonucunda, aşılanma oranı arttıkça salgının daha erken sönümlendiği ve salgın yayılım şiddetinin azaldığı gözlemlenirken, aşılanma oranı azalttıkça ise salgının yayılım şiddetinin arttığı sonucuna ulaşılmıştır. İkinci model olan karantina ve aşı etkinliğini inceleyen model, aşılanmış ve aşılanmamış duyarlıları, maruz kalmış, karantinaya alınmış, enfekte ve iyileşmiş popülasyonları temsil eden altı bölümden oluşmaktadır. Modelin matematiksel analizi yapılırken temel üreme sayısı yeni nesil yaklaşım yöntemi ile bulunmuştur. Hastalıksız denge noktasının yerel kararlılığı için Routh-Hurwitz yönteminden faydalanılmış, global kararlılığı için ise Liapunov teorisi uygulanmıştır. Ayrıca temel üreme sayısının 1'den küçük olması için gerekli olan parametre koşulları da incelenmiştir. Karantina ve aşı etkinliğini inceleyen modelin sayısal sonuç grafiklerinden, aşı etkinliği zayıf iken güçlü karantina uygulanmasının temel üreme sayısında azalmaya neden olduğu görülmüştür. Buradan aşı etkinliği zayıf olsa bile karantinaya girenlerin oranının yüksek olmasının salgının yayılımında azalışa neden olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Diğer taraftan, aşı ve karantina önlemi alınmadığında ise salgının ciddi şekilde yayıldığı gözlemlenmiştir. Aşı etkinliği güçlü iken karantina oranın da azalış olması durumunda ise salgının daha geç sürede sönümlendiği gözlemlenmiştir. Ayrıca aşı etkinliği ne kadar güçlü olsa bile salgının kontrolü için karantinanın gerekli olduğu yapılan inceleme sonucunda ulaşılmıştır. Hem aşı etkinliği hem karantina oranlarının çok düşük olduğu durumda ise salgının yayılım şiddetinin yüksek olduğu gözlemlenirken, her ikisinin yüksek olması durumunun ise salgının yayılımını kontrol etmede en iyi strateji olduğu bu çalışma sonucunda ulaşılmıştır.
Elgamal algoritması ve arnold dönüşümüne dayalı biyometrik görüntü kriptolojisi

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2023-09-03) Ünlü, Rabia ; Bilir Çivi, Gülçin ; 509201241 ; Matematik Mühendisliği

Görüntü şifreleme, modern iletişim ve güvenlik alanlarında önemli bir rol oynayan kritik bir teknolojidir. Hassas verilerin, özellikle insan yüzlerinin güvenli bir şekilde saklanması, aktarılması ve doğrulanması, kişisel gizliliğin korunması ve yetkisiz erişime karşı savunmanın sağlanması açısından hayati öneme sahiptir. Bu çalışmada, kişisel verilerin güvenli bir şekilde paylaşılması, veri bütünlüğünün ve gizliliğinin sağlanması için etkili bir homomorfik şifreleme yöntemi olan ElGamal dönüşümü ile Arnold dönüşümünün entegrasyonundan oluşan bir görüntü şifreleme algoritması önerilmektedir. Arnold Dönüşümü, eşit uzunluk ve genişlikteki piksel noktalarından oluşan bir görüntünün piksellerinin konumları üzerinde birden çok matris işlemi gerçekleştiren, klasik kriptografik sistem temelli bir görüntü şifreleme algoritmasıdır. Bu dönüşüm, dijital görüntünün karıştırılıp, tanınmaz bir hale getirilmesini sağlamaktadır. NxN boyutundaki görüntünün piksellerinin x ve y koordinatlarını değiştirerek bir karışıklık oluşturur ve orijinal görüntünün okunmasını zorlaştırır. Yeni x ve y koordinatları, orijinal x ve y koordinatları üzerinde bazı matematiksel işlemler uygulanarak hesaplanır. Bu işlemler, piksellerin yatay konumlarını değiştirerek görüntünün şifrelenmesini sağlar. Arnold dönüşümü, geniş çapta kullanılan önemli bir görüntü şifreleme tekniği olmasına rağmen, güvenlik zayıflıklarına sahiptir ve her boyuttaki görüntü verilerine uygulanması zordur. Bu zayıflıkları aşmak için, mevcut çalışmalar Arnold dönüşümüne entegre edilebilecek çeşitli yaklaşımlar önermektedir. ElGamal şifreleme sistemi ise, 1985 yılında Taher Elgamal tarafından geliştirilen ve Diffie-Hellman anahtar değişimi prensibine dayanan bir genel anahtarlı kısmi homomorfik şifreleme algoritmasıdır. Asimetrik anahtarlı kriptografi kullanarak güvenli bir şifreleme yöntemi sunar. Özel anahtar şifreleme işlemi için gizli tutulurken, genel anahtar çözme işlemi için kullanılır ve genel olarak erişilebilir. Şifreyi oluşturan kişinin şifrelemeyi inkar edemeyeceği bir doğruluk seviyesi sağlar. Bu nedenle sadece şifreleme değil, aynı zamanda görüntü doğrulama için de uygundur. Bu çalışmada, öncelikle simetrik, asimetrik ve hibrit görüntü şifreleme tekniklerinin kapsamlı bir incelemesi yapılmıştır. Daha sonra literatüre giren görünü şifreleme çalışmaları dikkate alınarak, biyometrik görüntülerin, 2D Arnold dönüşümü kullanılarak karıştırılması ardından ElGamal algoritmasıyla şifrelenmesi ve tersine işlem ile orijinal görüntünün elde edilmesi problemi ele alınmıştır. Önerilen yaklaşımı özel kılan nokta Arnold dönüşümü sonrası şifrelenmiş biometrik görüntünün deşifresinin ayrık logaritma hesaplamasının zorluğuna dayalı olmasıdır. Örneklerle açıklanan yaklaşım ile biyometrik görüntülerin depolanması, iletilmesi ve doğrulanması sırasında olabilecek saldırılara karşı etkili ve güvenli olan bir hibrit görüntü kriptolojisi hedef alınmıştır.

Gözat

Çıkarma tarihi ile LEE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı'a göz atma

Sayfa başına sonuç

Sıralama Seçenekleri