Salgın hastalıklarda aşı ve karantina etkisinin matematiksel modellemesi

Abstract

Salgın hastalıklar, hastalığa neden olan yeni patojenlerin meydana gelmesi ve eski patojenlerin yeniden ortaya çıkması ya da evrimleşmesi nedeniyle tarihte birçok toplu ölümlere neden olmuştur. Bu sebeple salgın hastalıkların analiz edilmesi sonucunda gelecekte meydana gelebilecek salgın hastalıklara karşı etkili tedbirlerin alınması sağlanabilir. Son yıllarda meydana gelen COVID-19, ortaya çıktığı günden bir süre sonra dünyayı etkisi altına almış, hayat akışını etkilemiştir. Bunun sonucunda çoğu ülke salgının yayılımını önlemek amacıyla tedbirler alırken, bu süre boyunca COVID-19 salgınına yönelik birçok bilimsel çalışmalar da ortaya koyulmuştur. Matematiksel modeller, gerçek hayat problemini doğru varsayımlar eşliğinde matematiksel dil kullanılması sonucunda elde edilen tahminler ve çözümlerdir. Ulaşılan çözümlerin faydalı olması için problemi iyi anlamak ve analiz etmek gerekir. Matematiksel modeller birçok dinamik modelleme türlerinde kullanılabilir; av-avcı dinamikleri, uyuşturucu madde kullanımları, alkol, sigara ve salgın hastalıklar. Epidemiyoloji de matematiksel modeller, hastalığın yayılmasını etkileyen altta yatan mekanizmaların ayrıntılı bir şekilde incelenmesini sağlaması ve salgını azaltmak için kontrol stratejilerinin rehberliğini desteklemesi nedeniyle araştırmacılar için en ilgi çekici konulardan biri olmuştur. Özellikle son zamanlarda meydana gelen COVID-19 pandemisi ile beraber matematiksel modelleme çalışmaları yeniden ilgi kazanmıştır. Bu tezde, son yıllarda toplu ölümlere neden olan COVID-19 pandemisi ile ilgili yayınlanan matematiksel makalelerin incelenmesi sonucunda, iki tür model kurulumu yapılmıştır. Kurulan matematiksel modeller, çeşitli salgın hastalık durumlarında karantina ve aşının etkinliğini incelemek için oluşturulmuştur. Bu çalışma ile gelecekte ortaya çıkacak salgın hastalıklar ile etkin mücadele konusunda ışık olması amaçlanmıştır. Bu çalışma toplam dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, temel tanımlar başlığı altında lineer ve lineer olmayan adi diferansiyel denklem sistemleri için denge noktalarının kararlılık analizleri hakkında bilgi verilmiştir. Kararlılık analizlerin yapılabilmesi için gerekli olan teoremler kısaca belirtilmiştir. Ayrıca bir sistemin Global kararlılığının incelenmesinde yardımcı olan Liapunov kararlılık teoreminden de bahsedilmiştir. İkinci bölümde, temel salgın hastalık modelleri olan SI, SIS, SIR, SIRS ve SEIR detaylı incelenmiştir. Her bir modelin tanıtımı ve matematiksel analizleri yapılmıştır. Bunun yanı sıra salgın teorisindeki en önemli kavramlardan biri olan temel üreme sayısından bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, tezin ana çalışması olarak iki farklı matematiksel model kurulumu yapılmıştır. İlk olarak, sadece aşı etkinliğini ve aşılanma oranının bir salgın yayılımı üzerindeki etkisini inceleyen basit bir matematiksel model kurulmuştur. Daha sonra hem karantina hem de aşının varlığının olduğu durum için daha kapsamlı bir matematiksel model oluşturulmuştur. Her iki modelin tanıtımı yapılması sonucunda lineer olmayan adi diferansiyel denklem sistemi kurulmuş, invaryant bölgesi, denge noktaları, yerel kararlılık analizleri ve sayısal sonuçları incelenmiştir. Modellerden elde edilen sayısal sonuçlar Mathematica programı ile çizdirilmiştir. Kurulan iki modelden ilki olan aşılanma oranını ve etkinliğini inceleyen model, aşılanmış duyarlıları, aşılanmamış duyarlıları ve enfekte popülasyonları olmak üzere 3 bölümden oluşmaktadır. Model de aşılanma oranının ve etkinliğinin salgının yayılımını nasıl etkilediği incelenmiştir. Salgın hastalık yayılımında aşı etkinliği ve aşılanma oranının etkisini inceleyen modelin sayısal sonuç grafiklerinden sonuçlar elde edilmiştir. Aşı etkinliği azaldığında temel üreme sayısında artış oluştuğu gözlemlenmiştir. Bu durum, aşı etkinliği azaldıkça salgının yayılım şiddetinin artığını belirtir. Diğer taraftan, aşı etkinliği arttığında temel üreme sayısında azalış oluştuğu gözlemlenmiştir. Bu sonuç, aşı etkinliğinin salgın yayılımında önemli bir faktör olduğunu ve salgın yayılımını azaltmak için aşı etkinliğinin artırılması gerektirdiğini belirtir. Kurulan ilk model için salgının yayılımında aşılanma oranının etkisi de incelenmiştir. İnceleme sonucunda, aşılanma oranı arttıkça salgının daha erken sönümlendiği ve salgın yayılım şiddetinin azaldığı gözlemlenirken, aşılanma oranı azalttıkça ise salgının yayılım şiddetinin arttığı sonucuna ulaşılmıştır. İkinci model olan karantina ve aşı etkinliğini inceleyen model, aşılanmış ve aşılanmamış duyarlıları, maruz kalmış, karantinaya alınmış, enfekte ve iyileşmiş popülasyonları temsil eden altı bölümden oluşmaktadır. Modelin matematiksel analizi yapılırken temel üreme sayısı yeni nesil yaklaşım yöntemi ile bulunmuştur. Hastalıksız denge noktasının yerel kararlılığı için Routh-Hurwitz yönteminden faydalanılmış, global kararlılığı için ise Liapunov teorisi uygulanmıştır. Ayrıca temel üreme sayısının 1'den küçük olması için gerekli olan parametre koşulları da incelenmiştir. Karantina ve aşı etkinliğini inceleyen modelin sayısal sonuç grafiklerinden, aşı etkinliği zayıf iken güçlü karantina uygulanmasının temel üreme sayısında azalmaya neden olduğu görülmüştür. Buradan aşı etkinliği zayıf olsa bile karantinaya girenlerin oranının yüksek olmasının salgının yayılımında azalışa neden olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Diğer taraftan, aşı ve karantina önlemi alınmadığında ise salgının ciddi şekilde yayıldığı gözlemlenmiştir. Aşı etkinliği güçlü iken karantina oranın da azalış olması durumunda ise salgının daha geç sürede sönümlendiği gözlemlenmiştir. Ayrıca aşı etkinliği ne kadar güçlü olsa bile salgının kontrolü için karantinanın gerekli olduğu yapılan inceleme sonucunda ulaşılmıştır. Hem aşı etkinliği hem karantina oranlarının çok düşük olduğu durumda ise salgının yayılım şiddetinin yüksek olduğu gözlemlenirken, her ikisinin yüksek olması durumunun ise salgının yayılımını kontrol etmede en iyi strateji olduğu bu çalışma sonucunda ulaşılmıştır.