LEE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı

Bu topluluk için Kalıcı Uri

http://hdl.handle.net/11527/19382

Gözat

Analytical based modeling of damage induced by electromagnetic pressure impact of lightning on aerodynamic surfaces: Aircraft wing and wind turbine blade

(Graduate School, 2024-05-08) Soysal, Aysun ; Özkol, İbrahim ; Uzal, Erol ; 509162290 ; Mathematical Engineering

The survivability of systems (e.g., aircrafts and wind turbine blades) routinely operating in open terrain and weather-independent conditions is generally defined as the ability of the systems to avoid or resist harsh environments, including man-made and non-man-made. One of the non-man-made enemy environments is the lightning strike. Thus, the interaction of lightning strike and the materials of such systems must be considered in the procedures regarding design, production, certification requirements, and hence survivability of the systems. In the present thesis, the interaction of lightning strike with an aeronautical material is investigated. In this context, firstly, an analytical-based improved electromagnetic pressure impact model (IEPIM) of lightning is established. Subsequently, with the help of the pressure impact model established, two analytical-based damage models are established. The first one is the damage model for an aircraft wing and the latter one is the damage model for a wind turbine blade. For each damage model, two different beam theories are considered: Bernoulli- Euler beam theory and Timoshenko beam theory. Then, some applications of the pressure model and damage models established are performed, and then the results obtained are confirmed with appropriate studies in open the literature whenever the comparison is possible. According to the findings of the thesis, it was found that the pressure model (IEPIM) established in the thesis study was in good agreement with the experimental studies taken from the open literature for 100 kA and 200 kA lightning current. Moreover, it was observed that the pressure model provided quite correct results during the first 25 μs for 100 kA current and the first 50 μs for 200 kA current. In the damage model of an aircraft wing, which is one of the models developed in the thesis, the damage caused by the pressure impact of lightning on an aircraft wing was obtained with respect to the Timoshenko type damage model and the Bernoulli-Euler type damage model. Then, the amounts of the damage when lightning struck the root, middle and tip of the aircraft wing were calculated according to both the Timoshenko type damage model and the Bernoulli-Euler type damage model. Considering the results of the Bernoulli-Euler type damage model and the Timoshenko type damage model, it was seen that at the wing root, middle of the wing and wing tip, the largest deflections were respectively the bending deflection, torsional deflection, and bending-induced rotational deflection. In the aircraft wing damage model established, even though there was a flexural forcing function, not only bending deflection but also both torsional deflection and rotational deflection caused by cross-sectional area rotation emerged in the aircraft wing. The reason for this is that the damage model developed is established in a coupled (i.e., interactive) form. This chosen approximation is closer to the physical nature of the aircraft wing system. When the Timoshenko type damage model and the Bernoulli-Euler type damage model are compared in terms of efficiency, it has been determined that the Timoshenko type model provides less deviation than the Bernoulli-Euler type model in terms of the maximum positive damage amount, based on the lightning strike points considered. In the applications of structural analysis problems, when a Timoshenko type model is compared with a Bernoulli-Euler type model for the same material properties, it is claimed that the Bernoulli-Euler type model is used for more rigid structures and therefore gives less deflection. However, in the damage model we have established, there is a dynamic analysis and the forcing function considered in the damage model has a more complex structure than the known standard forcing functions. For these reasons, it is expected that the results of this study can be different from the known standard results. Moreover, in the free vibration analysis subsection performed before the forced vibration analysis subsection of the thesis study, it was seen that the Timoshenko type model gave lower vibration frequencies than the Bernoulli-Euler type model for the same material properties. Furthermore, it was found that the vibration mode shapes associated with these vibration frequencies had lower amplitudes compared to those obtained from the Bernoulli-Euler type model. Thus, it is an expected result that the amounts of the deflection obtained from the Timoshenko type model are lower than the amounts of the deflection obtained from the Bernoulli-Euler type model. Additionally, regarding the deflected shape of the aircraft wing, it was found that in both models, even if lightning strikes a single point on the wing, the deflections in the wing spread throughout the wing. This is because the physical behavior of the forcing function considered in the damage model corresponds to a distributed load form. In the case of the damage model of the wind turbine blade, when lightning strikes the middle of a wind turbine blade, the amount of damage to the blade caused by the pressure impact of the lightning is calculated according to both the Timoshenko type damage model and the Bernoulli-Euler type damage model for the clamped-free (C-F), clamped-clamped (C-C), and simply supported-simply supported (S-S) boundary conditions and then the results obtained were compared for both models. Accordingly, firstly, the damage model was solved by free vibration analysis and then by forced vibration analysis. Then, using the solution of the model, results were obtained for both the Timoshenko type damage model and the Bernoulli-Euler type damage model for the same material properties. Compared the both models with each other for different boundary conditions, when lightning strikes the middle of a wind turbine blade with C-C boundary condition, the Bernoulli-Euler type damage model provides better result in terms of the result of an experimental study with similar conditions taken from the literature than the Timoshenko type damage model in calculating the damage caused by the electromagnetic pressure impact of lightning. The reason for this is that wind turbine blades are relatively slender structures (i.e., structures with width ratios of at least 1/10 of the length ratios), which makes them more suitable for Bernoulli-Euler type models. On the other hand, the Timoshenko type model is more suitable for relatively shorter and thicker (stubby) structures. When the effect of the boundary conditions of the blade on the occurrence of lightning-induced damage on the wind turbine blade is investigated, in case of neglect of the axial load caused by the rotation of the blade, lightning-induced damage occurs most in the C-C, C-F and S-S boundary conditions, respectively. Among these boundary conditions, in the case of the absence of axial load, when a comparison is made on the basis of the damage model, the Bernoulli-Euler type damage model gives more damage in terms of bending deflection than the Timoshenko type damage model. In addition, while the Bernoulli-Euler type damage model gives larger results in terms of torsional deflection in the C-C and C-F boundary conditions, the Timoshenko type damage model gives more torsional deflection in the S-S boundary condition. Additionally, again in the absence of axial load, the largest damage types are bending, bending-induced rotational and torsional damage, respectively. As in the lightning damage model of the aircraft wing, even though there is only a flexural forcing function in the lightning damage model of the wind turbine blade, torsional and bending-induced rotational deflections as well as bending deflection occur due to the coupled form of the model. Furthermore, as in the aircraft wing damage model, the forcing function in the damage model has a distributed load effect. Therefore, even if the lightning strike hits a single point in the middle of the wind turbine blade, a pressure spread occurs on the blade surface due to the impact of the lightning, and this pressure spread acts in a radial direction along the blade. On the other hand, in the presence of axial load for the C-F boundary condition, the Timoshenko type damage model gives more deflection amount in terms of bending and torsional deflection than the Bernoulli-Euler type damage model.
Biconservative and biharmonic surfaces in Euclid and Minkowski spaces

(Graduate School, 2024-07-02) Yürük, Hazal ; Turgay, Nurettin Cenk ; Şen Yeğin, Rüya ; 509211217 ; Mathematics Engineering

In 1964, Sampson and Eells formulated the concept of biharmonic maps as an extension of harmonic maps while investigating the energy functional $E$ between Riemannian manifolds, a subject of both geometric and physical significance. Subsequently, numerous mathematicians have shown interest in the study of biharmonic mappings.\\ By the definition, the bienergy functional between semi-Riemannian manifolds $(M^m,g)$ and $(N^n,\tilde{g})$ is defined by $$E_2(\varphi)=\frac {1}{2} \int_M \|\tau(\varphi)\|^2 v_g$$ for a smooth map $\varphi:M \to N$, where $\tau(\varphi)$ represents the tension field of $\varphi$. $\varphi:M\to N$ is said to be biconservative if it is a critical point of $E_2$. This condition is equivalent to satisfying the Euler-Lagrange equation associated with the bienergy functional $$\tau_2(\varphi)=0,$$ where $\tau_2$ is the bitension field defined by $$\tau_2(\varphi):=\Delta\tau(\varphi)-\mathrm{tr\,} \tilde{R}(d\varphi,\tau(\varphi))d\varphi.$$\\ In the 1980s, B. Y. Chen conducted research on biharmonic submanifolds within Euclidean spaces as a component of B. Y. Chen's initiative to comprehend submanifolds of finite type in semi-Euclidean spaces. B. Y. Chen proposed an other characterization of biharmonic submanifolds in these spaces. Let $x:M\to \mathbb E^n_r$ be an isometric immersion. By examining normal and tangential parts of $\tau_2(x)$, the following results can be obtained.\\ Let $x: M^m \rightarrow \mathbb E^n_r$ be an isometric immersion of an $n$-dimensional semi-Riemannian submanifold $M^m$ into the semi-Euclidean space $\mathbb E^n_r$. If $x$ satisfies the fourth-order semi-linear PDE system given by the equations $$\Delta^\perp H+\mathrm{trace}h(A_H(\cdot),\cdot)=0$$ and $$m\mathrm{grad} \Vert H \Vert^2 +4\mathrm{trace} A_{\nabla^\perp_\cdot H}(\cdot)=0,$$ then $M^m$ is biharmonic.\\ On the other hand, if a mapping $\varphi: M \to N$ satisfies the weaker condition $$\langle \tau_2(\varphi), d\varphi \rangle = 0,$$ then it is said to be biconservative. Mainly, if $x: M \to N$ is an isometric immersion, then the previous equation is equivalent to $$\tau_2(x)^\top = 0,$$ where $\tau_2(x)^\top$ represents the tangential part of $\tau_2(x)$. In this case, $M$ is said to be a biconservative submanifold of $N$.\\ In this thesis, we mainly focus on biharmonic and biconservative surfaces in four dimensional Euclidean and Minkowski spaces. The first section provides a concise overview of the historical background and underlying principles concerning biharmonic and biconservative submanifolds, as well as an overview of the research conducted far in this field. In the second section, we give some basic notations and basic facts about submanifolds of semi- Euclidean spaces, the definition of biconservative submanifolds and we introduce the rotational surfaces. In the third section, we give biconservative PNMCV surfaces in $\mathbb E^4$. We obtain local parameterizations of these surfaces and demonstrate that they are not biharmonic. In the fourth section, we give biconservative rotational surfaces in $\mathbb E_1^4$. We study with three different class of rotational surfaces and obtain the condition for each of them to be biconservative. In the concluding section, the derived conclusions are presented, along with recommendations regarding possible future researches.
Biharmonic and biconservative submanifolds of lorentizan space forms

(Graduate School, 2022-12-16) Kayhan, Aykut ; Turgay, Nurettin Cenk ; 509172205 ; Mathematical Engineering

In 1964, Eells and Sampson gave the definition of biharmonic maps as a generalization of harmonic maps during they were studying on the energy functional E between Riemannian manifolds which has geometrical and physical interest. Later, many geometers interested in biharmonic maps. By the definition, a biharmonic map φ : M → N between two Semi-Riemannian manifolds is a critical point of the bienergy functional E2(φ) = 1 2 Z M ∥τ(φ)∥ 2 vg, where τ(φ) = trace∇dφ is the tension field of φ that vanishes for harmonic maps. If φ is a biharmonic isometric immersion into N then M is said to be biharmonic submanifold of N. In the middle of 1980's, Chen studied biharmonic submanifolds in Euclidean spaces as a part of his program of understanding finite type submanifolds in Euclidean spaces. He gave an alternative definition of biharmonic submanifolds in Euclidean spaces. That definition is also same for pseudo-Euclidean spaces: If the position vector field x : M → E n satisfies ∆ 2 x = 0 then M is called biharmonic submanifold, where ∆ denote the Laplacian of M. By the well known Laplace-Beltrami identity this equation is equivalent to ∆H = 0, where H is the mean curvature vector of M. In the mean time, independently, Jiang showed that a smooth map φ is biharmonic if and only if its bitension field τ2(φ) (which corresponds the Euler-Lagrange equation of bienergy functional) vanishes identically, i.e., τ2(φ) = 0. Jiang also showed that τ2(φ) = 0 if and only if ∆H = 0 for an isometric immersion φ : M → E n . As a result, definitions given by Chen and Jiang coincide for the class of Euclidean and pseudo-Euclidean submanifolds. Biconservative submanifolds arose from the theory of biharmonic submanifolds. Stress-energy tensor for the energy function described by Hilbert was expanded for the bienergy function as follows S2(X,Y) = 1 2 ∥τ(φ)∥ 2 ⟨X,Y⟩+⟨dφ,∇τ(φ)⟩⟨X,Y⟩ −⟨dφ(X),∇Y τ(φ)⟩ − ⟨dφ(Y),∇Xτ(φ)⟩ xxi satisfying divS2 = −⟨τ2(φ),dφ⟩ . In general, a submanifold is called biconservative if divS2 = 0. It means (τ2(φ))T = 0. Indeed, this is equivalent to (∆H) T = 0 when the ambient space is pseudo-Euclidean. Because, for the isometric immersion into E n 1 , τ(φ) = −mH and τ2(φ) = m∆H. In this thesis we study on the biconservative submanifolds and biconservative hypersurfaces of the Lorentzian space forms and we also obtained some results related biharmonic ones. This work consists of seven sections and these sections were planned as follows: In the first section, we give a brief history and philosophy of biharmonic and biconservative submanifolds and studies has been done so far. In the second section, we give some basic notions of the submanifold theory on Lorentzian inner product space and biharmonic submanifolds. In the third section, biconservative surfaces with constant mean curvature (CMC) in Minkowski 4-space E 4 1 is studied. Firstly, we determine the canonical forms of the shape operator and then we give some examples of such submanifolds in E 4 1 . Later, we classify biconservative CMC submanifolds in E 4 1 . Then, we generalize all results to the CMC surfaces of S 4 1 and H4 1 . In the fourth section, we examine the biconservative hypersurfaces in Minkowski 4-space E 4 1 . In particular, we study hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator A satisfying A(∇H) = − nH 2 ∇H, where n and H are the dimension and the mean curvature of the hypersurface, respectively. We determine the canonical forms of the shape operator, the mean curvature, sectional curvature and Levi-Civita connection of this hypersurface. Afterwards we give the necessary and sufficient condition for this hypersurface to be biconservative. Later we classify the biconservative hypersurface in E 4 1 and show the uniquniess of them. In fifth section, we examine the biconservative hypersurfaces with certain shape operator in Minkowski 5 space E 5 1 . We give some non-existence theorems. In the sixth section, we examine the biconservative submanifolds with mean curvature whose gradient is light-like in E n 1 . We give some non-existence results. In the last section, the obtained conclusions are shared and recommendations are made about the future of the problems.
Classical yang-baxter equationfrom duality covariant formulation of string theory

(Graduate School, 2024-01-12) Çırak Tunalı, Seçil ; Özer, Aybike ; 509152210 ; Mathematical Engineering

The aim of the thesis is to study the homogeneous Yang-Baxter (YB) deformation proposed in the physics literature for a generic Green-Schwarz sigma model from a geometric point of view. It has been shown that these kind of deformations are generated by a certain kind of non-constant O(d,d) transformation, called β transformation, which acts as solution generating transformations in string theory. We study the construction of such an O(d,d) transformation from a bi-vector field related to the Poisson structure on the manifold. It is a well-known fact that there is a Lie algebroid structure on the cotangent bundle of the manifold when there is a Poisson structure on the manifold. Moreover, this Lie algebroid structure is compatible with the standard Lie algebroid structure on the tangent bundle, so that there is a Courant algebroid structure on the direct sum of the tangent and cotangent bundle (called the generalized tangent bundle) of the manifold. We also study Courant algebroid structures in order to understand and to generalize the transformation and the YB deformation. Given a Lie algebra with a non-degenerate inner product, if there exists an endomorphism R, which satisfies the classical Yang-Baxter equation (CYBE), then the direct sum of the Lie algebra and its dual has a natural Drinfel'd structure. Such an endomorphism can be extended to the tangent bundle of the integral Lie group by the help of the adjoint action. In this way, an automorphism called the dressed R-matrix can be constructed, which satisfies the CYBE since the adjoint action is an automorphism of the Lie bracket. It is possible to build a Poisson bi-vector field on the manifold from the dressed R-matrix. It can be shown that the Schouten-Nijenhuis bracket of the bi-vector field with itself vanishes following directly from the fact that the dressed R-matrix satisfies CYBE. The Lie algebroid structure on the cotangent bundle induced from the Poisson structure is compatible with the standard Lie algebroid structure on the tangent bundle. Then the tangent and cotangent bundles with the stated Lie algebroid structures form a Lie bialgebroid, which is an example of a triangular Lie bialgebroid. The Drinfel'd double of the resulting triangular Lie bialgebroid is a Courant algebroid with transversal Dirac structures. This geometrical structure plays a prominent role in the solution generating mechanism stated above. The dynamical fields in the universal sector of the low energy effection action of string theory are the Riemannian metric, a 2-form field called the B-field and a scalar field called the dilaton field. The first two of these fields become the constituents of the generalized metric, which is a tensor on the generalized tangent bundle T M ⊕ T^{∗}M that transforms naturally under O(d,d). There is a O(d,d) covariant version of string theory, called Double Field Theory (DFT), which is written in terms of the generalized metric and the generalized dilaton field. DFT provides a suitable framework to demonstrate the fact that YB deformation preserves the solutions of string theory. From a geometric point of view, the existence of a generalized metric is equivalent to the existence of a subbundle of the generalized tangent bundle on which the inner product is positive definite. If one starts with a generalized metric of a specific form that solves the field equations of DFT in the limit in which it reduces to the field equations of supergravity and transforms it with the O(d,d) matrix generating the YB deformation, the resulting generalized metric also solves the field equations of DFT in the same limit. In the physics literature, the proof of this is based on comparing the "fluxes" before and after the transformation and showing that these fluxes do not change. From a geometrical point of view the fluxes are just the "structure functions" of the Courant algebroid structure on the generalized tangent bundle, when a specific basis is chosen for the sections of tangent and cotangent bundles. In order to understand this "flux preservation" principle from a geometrical point of view, we also study the axioms defining a Courant algebraid in local coordinates. We also work out in detail the case where the anchor of the Courant algebroid is determined by a bi-vector field associated by the YB deformation.
Control of Hopf and Bautin bifurcation in a modified Goodwin model of growth cycle

(Graduate School, 2024-06-24) Erdoğan, Melike Nur ; Peker, Ayşe ; 509201240 ; Mathematics Engineering

In this thesis, we conduct a comprehensive analysis of regulating key bifurcation features, such as the stability of the equilibrium and the stability and orientation of the limit cycles, in Desai et al.'s modified Goodwin model of growth cycle, which elucidates the dynamics of class struggle in controlling economic systems. The study systematically manipulates model parameters to position the economy within the desired regions of both the Hopf and Bautin bifurcation diagrams. The original Goodwin model comprises two dynamic equations representing the share of labour in national income and the proportion of labour force employment. Solutions of the system exhibit clockwise closed cycles, each centered at the singular point. Values of this point may exceed one. It implies that the singular point may extend beyond the unit area, leading to trajectories that partially or entirely exist outside that area. Even if the singular point remains within the unit box, trajectories could extend partially outside its boundaries. As a result, values surpassing one produce impractical outcomes for both the labour share and the employment rate. The modified Goodwin model proposed by Desai et al. satisfies this requirement, and all trajectories lie inside the unit square. The Jacobian matrix of the modified system at the origin has a pair of purely imaginary eigenvalues. An equilibrium with a pair of complex conjugate eigenvalues may lose its stability at a parameter exceeding a threshold value and transition to a small amplitude limit cycle called Hopf bifurcation. In the supercritical Hopf bifurcation, the limit cycle emerges at the bifurcation parameter greater than its critical value. In the subcritical Hopf bifurcation, the limit cycle is observed at the parameter values less than its critical value. The sign of the first Lyapunov coefficient at the critical value of the bifurcation parameter determines the type of the Hopf bifurcation. The second Lyapunov coefficient is evaluated where the first Lyapunov coefficient vanishes. The system undergoes another bifurcation, incorporating families of stable and unstable limit cycles coexisting, with one nested within the other, colliding, and eventually disappearing through a saddle-node bifurcation. It is called Bautin bifurcation, and it influences the stability of the equilibrium and the orientation of the resulting limit cycle. Understanding the behaviour of such systems is crucial, as they often exhibit fascinating bifurcation diagrams. Recently, a range of control laws were proposed to manipulate the bifurcation features. In this study, we will utilise the control law offered by Braga et al. in 2010 to generate controllable Hopf and Bautin bifurcation. The control law depends on two bifurcation parameters and four control parameters. If we evaluate Desai et al.'s modified system with this control law, the system's Jacobian matrix at the origin gives a pair of complex conjugate eigenvalues with a non-zero real part. The transversality condition of the Hopf bifurcation indicates that the derivative of the eigenvalue's real part with respect to the Hopf bifurcation parameter is non-zero. Considering that the Hopf bifurcation necessitates a pair of purely imaginary eigenvalues and the transversality condition, we fix the Hopf bifurcation parameter to zero when evaluating the Lyapunov coefficients. We calculate the first and second Lyapunov coefficients as presented by Kuznetsov et al. and then determine the critical values of the control parameters where the Lyapunov coefficients vanish. Following Braga et al.'s control law, the control parameter values and the initial conditions are carefully selected to regulate the stability and the direction of the limit cycles emerging near the origin. For various values of the bifurcation parameters, all possible Hopf and Bautin bifurcation diagrams are plotted using NDSolve command of Mathematica, with a specified accuracy and precision goal of 10 digits. We observe that minor alterations in parameter values lead to variations in the behaviour of the modified model, resulting in different types of bifurcations. Through this interdisciplinary analysis, we have advanced and expanded the findings regarding the Goodwin model's controllability and aimed to bridge theoretical insights with practical applications, thereby offering valuable contributions to policy decisions and strategic interventions to navigate the complexities of economic management. This thesis is organised as follows. Chapter 1 includes the purpose of the study, literature review, and hypothesis research questions. In Chapter 2, bifurcation theory and stability in nonlinear dynamical systems are explained. The theorem and accompanying proof of both Hopf and Bautin bifurcation are given in Section 2.1 and Section 2.2, respectively. Section 2.3 introduces Braga et al.'s control law, and Section 2.4 presents the original Goodwin model and Desai et al.'s modified version. In Chapter 3, we perform the bifurcation analysis of the modified model for Hopf in Section 3.2 and Bautin in Section 3.3. Numerical simulations are also presented in this chapter. The last chapter is devoted to some concluding remarks and potential future studies.
Dispersif şok dalgalarının Whitham teorisi

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2024-01-12) Özdemir, Neşe ; Ahmetolan, SEmra ; Demirci, Ali ; 509152205 ; Matematik Mühendisligi

Bu tez çalışmasında, (2+1) boyutlu focusing modifiye Kadomtsev-Petviashvili (mKP(f)) ve defocusing modifiye Kadomtsev-Petviashvili (mKP(d)) denklemleri için parabolik tipte, (3+1) boyutlu mKP(f) ve mKP(d) denklemleri için ise paraboloid tipte bir dalga cephesi boyunca uzanan basamak tipi bir başlangıç koşulu için dispersif şokdalga çözümleri (DSW) incelenmiştir. Çalışma beş bölümden oluşmaktadır.
Effect of self-steepening on optical solitons in nonlinear media

(Graduate School, 2022-02-17) Çelik, Eril Güray ; Antar, Nalan ; 509181212 ; Mathematical Engineering

Optical solitons are solitary waves that propagate without deteriorating their special structures as a result of the balance between the group velocity dispersion effect and the nonlinear effect caused by the change in refractive index due to the Kerr effect. Soliton generation and analysis in optics is a pretty popular and modern research topic, as they have a wide range of applications, such as optical communication technology, optical sensing, pulse compression in ultrafast optics and all-optical switching. Particularly, the propagation of optical solitons in fiber optic communication systems is an area of great interest to researchers. Optical solitons can propagate through long distances in fiber transmission systems without being affected by chromatic and polarization mode dispersion. Since their natural structure is preserved, they can be used as natural optical bits of information in fiber optic systems. In nonlinear optics, the propagation of the light pulse in optical fibers can be modeled by the cubic-quintic nonlinear Schrödinger (CQNLS) equation. In fiber optic systems, the width of the optical pulses is reduced to increase the bandwidth and communication speed. Whereas, if the width of the light pulses is very small, that is, the frequency is high, the CQNLS equation may be insufficient to model the physical system. Because, if the light pulse is short, often some higher-order effects need to be taken into account. It can be said that the third-order dispersion, self-steepening (or nonlinear dispersion) and the Raman effect are the most significant higher order effects. In an optical waveguide, the real part of the PT symmetric potential corresponds to the spatial distribution of the refractive index, and the imaginary part corresponds to the balanced gain-loss relationship. NLS equations with higher-order effects can not be solved analytically. Therefore, this equations should be handled with numerical methods. In this thesis, the existence and stability of soliton solutions of some kind of NLS equations that have higher-order effects and the PT symmetric potential were investigated numerically. The pseudospectral renormalization method was used to obtain fundamental soliton solutions. In order to test the nonlinear stability of solitons, spatial evolution simulation of solitons was examined. For this, the split-step Fourier method, which has a very high performance in NLS-type equations, was used. In addition, while examining the dynamic properties of solitons, linear stability conditions were also taken into account. Linear stability analysis of solitons was performed by examining the whole linear stability spectrum of solitons with the help of the Fourier collocation method. The first 4 chapters of this thesis give information about NLS equations, optical solitons, higher-order effects, numerical methods, and stability analysis. In Chapter 5, the existence and dynamic properties of solitons obtained from the NLS equation with the self steepening term are analyzed. In addition, the relationship between PT symmetric periodic potential and the influences of the self-steepening effect is examined. It has been observed that the PT- symmetric periodic potential helps to obtain stable solitons by eliminating adverse effects. In Chapter 6, the soliton solutions of the CQNLS equation with the self steepening term were investigated in the self-focusing cubic, self-defocusing quintic medium. It has been determined that the destabilization effect of self-steepening can be arrested when the coefficient of the cubic nonlinear term is 1 and the coefficient of the quintic nonlinear term is -1. Finally, the conclusions of this thesis are summarized in Chapter 7.
Elgamal algoritması ve arnold dönüşümüne dayalı biyometrik görüntü kriptolojisi

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2023-09-03) Ünlü, Rabia ; Bilir Çivi, Gülçin ; 509201241 ; Matematik Mühendisliği

Görüntü şifreleme, modern iletişim ve güvenlik alanlarında önemli bir rol oynayan kritik bir teknolojidir. Hassas verilerin, özellikle insan yüzlerinin güvenli bir şekilde saklanması, aktarılması ve doğrulanması, kişisel gizliliğin korunması ve yetkisiz erişime karşı savunmanın sağlanması açısından hayati öneme sahiptir. Bu çalışmada, kişisel verilerin güvenli bir şekilde paylaşılması, veri bütünlüğünün ve gizliliğinin sağlanması için etkili bir homomorfik şifreleme yöntemi olan ElGamal dönüşümü ile Arnold dönüşümünün entegrasyonundan oluşan bir görüntü şifreleme algoritması önerilmektedir. Arnold Dönüşümü, eşit uzunluk ve genişlikteki piksel noktalarından oluşan bir görüntünün piksellerinin konumları üzerinde birden çok matris işlemi gerçekleştiren, klasik kriptografik sistem temelli bir görüntü şifreleme algoritmasıdır. Bu dönüşüm, dijital görüntünün karıştırılıp, tanınmaz bir hale getirilmesini sağlamaktadır. NxN boyutundaki görüntünün piksellerinin x ve y koordinatlarını değiştirerek bir karışıklık oluşturur ve orijinal görüntünün okunmasını zorlaştırır. Yeni x ve y koordinatları, orijinal x ve y koordinatları üzerinde bazı matematiksel işlemler uygulanarak hesaplanır. Bu işlemler, piksellerin yatay konumlarını değiştirerek görüntünün şifrelenmesini sağlar. Arnold dönüşümü, geniş çapta kullanılan önemli bir görüntü şifreleme tekniği olmasına rağmen, güvenlik zayıflıklarına sahiptir ve her boyuttaki görüntü verilerine uygulanması zordur. Bu zayıflıkları aşmak için, mevcut çalışmalar Arnold dönüşümüne entegre edilebilecek çeşitli yaklaşımlar önermektedir. ElGamal şifreleme sistemi ise, 1985 yılında Taher Elgamal tarafından geliştirilen ve Diffie-Hellman anahtar değişimi prensibine dayanan bir genel anahtarlı kısmi homomorfik şifreleme algoritmasıdır. Asimetrik anahtarlı kriptografi kullanarak güvenli bir şifreleme yöntemi sunar. Özel anahtar şifreleme işlemi için gizli tutulurken, genel anahtar çözme işlemi için kullanılır ve genel olarak erişilebilir. Şifreyi oluşturan kişinin şifrelemeyi inkar edemeyeceği bir doğruluk seviyesi sağlar. Bu nedenle sadece şifreleme değil, aynı zamanda görüntü doğrulama için de uygundur. Bu çalışmada, öncelikle simetrik, asimetrik ve hibrit görüntü şifreleme tekniklerinin kapsamlı bir incelemesi yapılmıştır. Daha sonra literatüre giren görünü şifreleme çalışmaları dikkate alınarak, biyometrik görüntülerin, 2D Arnold dönüşümü kullanılarak karıştırılması ardından ElGamal algoritmasıyla şifrelenmesi ve tersine işlem ile orijinal görüntünün elde edilmesi problemi ele alınmıştır. Önerilen yaklaşımı özel kılan nokta Arnold dönüşümü sonrası şifrelenmiş biometrik görüntünün deşifresinin ayrık logaritma hesaplamasının zorluğuna dayalı olmasıdır. Örneklerle açıklanan yaklaşım ile biyometrik görüntülerin depolanması, iletilmesi ve doğrulanması sırasında olabilecek saldırılara karşı etkili ve güvenli olan bir hibrit görüntü kriptolojisi hedef alınmıştır.
Euclid uzaylarındaki hiperyüzeylerin Gauss tasvirinin tipleri ve Cheng Yau operatörü

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2022) Kaya, Furkan ; Turgay, Nurettin Cenk ; 708762 ; Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

Chen ve Piccini tarafından ortaya konan "$ \mathbb{E}^{m} $ Euclid uzayının bir alt manifoldunun Gauss tasviri alt manifoldu ne ölçüde belirler?" probleminden sonra sonlu tipten Gauss tasvirine sahip alt manifoldların analizi çok aktif bir araştırma konusu haline gelmiştir. Şimdiye kadar bu probleme bazı faydalı kısmi çözümler sunulmuştur. $ \mathbb{E}^{m} $ Euclid uzayının $ n $ boyutlu bir $ M $ alt manifolduna, eğer $ x $ konum vektörü $ \Delta $ Laplace operatörünün özvektörlerinin sonlu bir toplamı olarak ifade edilebilirse sonlu tiptendir denir. Dolayısıyla $ M $ alt manifoldunun sonlu tipten olması için, $ x=x_0+x_1+x_2 \cdots +x_n$ olmalıdır. Burada $ x_0 $ sabit tasvir ve $ x_1,x_2,\hdots,x_n $ ise $\lambda_i \in \mathbb{R} $ olmak üzere $i=1,2,\hdots,k $ için $ \Delta x_i=\lambda_ix_i$ şartını sağlayan sabit olmayan tasvirlerdir. Eğer $ \lambda_1,\lambda_2,\hdots,\lambda_k $ özdeğerleri birbirinden farklı ise $ M $ alt manifoldu $ k $-tipindendir denir. $ M $, Euclid uzayının bir hiperyüzeyi olsun. Benzer şekilde bir $ \psi: M^{n}\xrightarrow{}E^{n+1} $ düzgün fonksiyonuna, eğer $ M $ hiperyüzeyinin Laplace operatörünün $ k $ tane ayrık özdeğerine karşılık gelen özvektörlerin toplamı olarak yazılıyorsa, $ k $-tipindendir denir. Eğer böyle bir $ k $ değeri varsa, $ \psi $ fonksiyonuna sonlu tiptendir denir. Yukarıda verilen tanımdan dolayı $ M $ hiperyüzeyinin 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için gerek ve yeter şartın $$ \Delta G=\lambda(G+C) $$ diferansiyel denkleminin bir $ \lambda \in \mathbb{R} $ özdeğeri ve $ C $ sabit vektörü için sağlanması olduğu elde edilir. $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki düzlemler, dik silindirler ve küreler 1-tipi Gauss tasvirine sahip yüzeylerdir. Euclid uzayındaki sonlu tipten alt manifoldlar pek çok geometrici tarafından çalışılmış ve önemli sonuçlara ulaşılmıştır. Halen de bu konu ile ilgili pek çok açık problem bulunmakta ve bu açık problemler çözülmeye çalışılmaktadır. Bu problemlerin bazıları da hiperyüzeylerin Gauss tasvirleri ile ilgilidir. Günümüze kadar pek çok geometrici Euclid uzaylarındaki hiperyüzeylerin Gauss tasvirlerinin üzerine çalışmıştır. Diğer taraftan, Euclid uzayındaki bir $ M $ manifolduna, $ G $ Gauss tasviri $$ \Delta G=f(G+C) $$ denklemi düzgün bir $ f$ fonksiyonu ve bir $ C $ sabit vektörü için sağlanırsa, noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir denir. Eğer bu denklem $ C=0 $ için sağlanırsa Gauss tasviri birinci çeşit noktasal 1-tipinden; $ C\neq0 $ için sağlanırsa ikinci çeşit noktasal 1-tipindendir denir. Örneğin, $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki helikoit, katenoid ve dik koni noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip yüzeylerdir. Son senelerde bu kavramlar genişletilerek genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahip alt manifold tanımı verilmiştir. Euclid uzayındaki bir $ M $ manifoldunun $ G $ Gauss tasviri $$ \Delta G=f_1G+f_2C $$ denklemi $ f_1,f_2 $ düzgün fonksiyonları ve bir $ C $ sabit vektörü için sağlanırsa genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir denir. Örneğin, $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki tüm dönel yüzeyler genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir. Bu tez çalışmasında $ \mathbb{E}^{3} $ uzayındaki yüzeylerin Gauss tasvirlerinin tiplerine göre sınıflandırılmaları ile ilgili bazı teoremler çalışılmıştır. Üçüncü bölümde Cheng-Yau operatörüne göre noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip sabit ortalama eğrilikli ve sabit esas eğrilikli yüzeyler ile ilgili bilinen sonuçlar ayrıntılı bir şekilde açıklanmıştır. Sonra Weingarten yüzeyleri incelenmiştir. $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki doğrusal Weingarten yüzeyinin Cheng-Yau operatörüne göre ikinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için bu yüzeyi düzlemin açık bir parçası olması gerektiği gösterilmiştir. Dördüncü bölümde ise $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki minimal yüzeylerin Cheng-Yau operatörüne göre genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için bazı teoremler elde edilmiştir. Ayrıca, helikal yüzeyler incelenmiş ve $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki bir helisoidal yüzeyin $ \square $ noktasal 1-tipinden Gauss haritasına sahip olması için gerek ve yeter şartın o yüzeyin bir dönel yüzey olması veya sabit Gauss eğriliğine sahip olması gerektiği gösterilmiştir.
Exact soliton solutions of cubic nonlinear Schrödinger equation with a momentum term

(Graduate School, 2024-12-26) Uzunoğlu, Haldun Taha ; Akar Bakırtaş, İlkay ; 509221207 ; Mathematics Engineering

There are various interconnections between the positive sciences, with differential equations serving as a fundamental bridge linking mathematics to other scientific disciplines. Nonlinear wave phenomena have recently gained considerable attention due to their theoretical significance and applied relevance. Nonlinear optical wave equations not only facilitate the development of advanced techniques but also play a crucial role in elucidating natural phenomena across diverse fields, including biology, nonlinear optics, and quantum physics. Among these, solitons—localized nonlinear waves—stand out as valuable tools for understanding complex nonlinear systems. Solitons are widely studied in areas such as plasma physics, nonlinear optics, and quantum mechanics. Optical solitons, in particular, have drawn significant interest due to the inherently interdisciplinary nature of soliton theory, making it a pivotal topic for advancing technologies like high-speed data transmission. The external potential strongly influences the shape and stability of optical pulses. In quantum mechanics and nonlinear optics, potentials with parity-time symmetry (PT -symmetry) are frequently utilized. Numerous studies in the literature examine the stability of nonlinear Schrödinger (NLS) equations with PT -symmetry. These equations admit various nonlinear wave solutions, including solitons, which are localized waves that propagate without distortion. Solitons demonstrate remarkable resilience during collisions, retaining their properties even after interacting with other waves. This work investigates the soliton solutions and their stability in an NLS equation incorporating a momentum term and cubic nonlinearity under an external PT -symmetric potential. The governing equation is expressed as: iu_(z) +αu_(xx) −iΓu_(x) +φ|u|^2u+V_(PT) u = 0. Here, z denotes the scaled propagation distance, u is the differentiable complex-valued slowly varying amplitude, u_(xx) represents diffraction, Γ is the momentum term taken as a constant, and V_(PT) denotes the external potential. The PT -symmetric potential is defined as: VPT = V(x) +iW(x)=V0 +V1sech(x) +V2sech^2(x)+i[W0sech(x)tanh(x) +W1tanh(x)]. Here, V(x) and W(x) represent the real and imaginary components of the potential, where V(x) is an even function and W(x) is an odd function. A detailed introduction to solitons and their interdisciplinary significance is provided in Chapter 1. The NLS equation is introduced, along with its recent developments, including the momentum term and PT -symmetry. The chapter also outlines the research objectives and the thesis hypothesis, emphasizing the importance of the momentum term in the NLS equation. Chapter 2 describes the Spectral Renormalization (SR) Method, an iterative Fourier technique used to numerically solve the NLS equation with a momentum term and a PT -symmetric potential. The method is adapted to the problem at hand, and numerical solutions are obtained. In Chapter 3, the structure of the NLS equation without potential is analyzed to investigate the effect of the momentum term. Variations in soliton structures are examined in relation to changes in the momentum term coefficient, Γ, and the propagation constant, µ. Chapter 4 explores exact solutions of the NLS equation with a momentum term and PT -symmetric potential. Using the ansatz u(x,z) = f(x)e^i(µz+g(x)), where f(x) and g(x) are real-valued functions, analytical solutions are derived. These solutions are compared with the numerical results, which shows excellent agreement. The chapter also verifies the parity-time symmetry properties of the potential, confirming that its imaginary part is odd and its real part is even. Chapter 5 focuses on the stability analysis of soliton solutions. The Split-Step Fourier method is employed to investigate nonlinear stability, while linear stability is examined through the linear spectrum. The results indicate that the solitons become unstable with even slight increases in the momentum term coefficient, Γ. Additionally, enhancing the complex component of the potential increases instability, whereas increasing the real component improves stability. The acquired results are summed up in Chapter 6. Moreover, a brief discussion on potential future research is included. All numerical results were obtained using MATLAB2023®.
Finite-time control of switched linear systems with time-delay

(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2020) Göksu, Gökhan ; Ilgaz, Ulviye ; 509132052 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering

Denetim kuramı dinamik sistemin girdisini, çıktısına göre ayarlamak suretiyle sistemin belirli bir davranışı sergilemesini inceleyen bir mühendislik ve matematik dalıdır. İncelenen sistemler zamana göre ayrık veya sürekli olabildiği gibi, bazı durumlarda dinamik sistemin davranışı sürekli ve ayrık olayların birleşiminden de oluşabilir. Bu tip sistemlere melez (hybrid) sistemler adı verilir. Melez sistemler konusunda sürekli sistemlerin ayrık ve anlık olaylarla değiştiği sistemler olan anahtarlamalı sistemler konusu yaygın olarak çalışılmaktadır. Anahtarlamalı sistemlerle ilgili çalışmalarda genellikle sistemin asimptotik kararlı olması durumu incelenmiştir. Halbuki bir çok pratik uygulamada sonlu zaman kararlı/sınırlı olması durumu, yani sistemin davranışının sonlu zamanda belli sınırlarda tutulması durumu önem arz etmektedir. Asimptotik olarak denge noktasına giden asimptotik kararlı sistemler, sonlu zaman kararlı/sınırlı olmayabilir; bazı sonlu zaman kararlı/sınırlı sistemler asimptotik kararlı olmayabilir. Anahtarlamalı sistemlerle ilgili ana çalışma alanı ise yaşam süresi veya ortalama yaşam süresidir. Yaşam süresi ardışık anahtarlama zamanlarının farkının belli bir yaşam süresinden fazla olması; ortalama yaşam süresi ise ardışık anahtarlama zamanlarının farkının ortalamasının belli bir ortalama yaşam süresinden fazla olmasıdır. Mühendislikte ve matematikte incelenen bazı dinamik sistemler; sistemin o andaki durumunun yanında, sistemin geçmişteki durumuna da bağlı olabilir. Bu tip sistemler zaman gecikmeli sistemler olarak adlandırılır ve zaman gecikmesi kötü performansa veya sistem kararsızlığına neden olabilir. Bu çalışmada, anahtarlamalı sistemlerin alt sistemlerinin kararsız ve karışık kararlı olması durumu ele alınmıştır. Anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin bozucu etkisinde sonlu zaman kararlı/sınırlı ve H$_\infty$ sınırlı olma durumları incelenmiştir. Öncelikle, sonlu zaman kararlılığı ile asimptotik kararlılık arasındaki farklar örnekler üzerinde gösterilmiş, sistem matrisleri Hurwitz kararlı olmayan ve zamana bağlı olmayan doğrusal sistemlerin sonlu zaman kararlılığı için yeter koşul elde edilmiştir. Sonlu zaman sınırlılığı ve H$_\infty$ denetimi sağlayacak gözlemci tabanlı denetimcinin varlığı için Lyapunov-Krasovskii fonksiyoneli kullanılarak yeni yeter koşullar elde edilmiştir. Herhangi bir matris ayrıştırımına ihtiyaç olmadan gözlemci tabanlı denetimci tasarlanarak, alt sistemlerin kararsız ve karışık kararlı olduğu durumlar için ortalama yaşam süresi sınırları bulunmuştur. Bu sınırlarda doğrusal olmayan terimlere bağlı olan bazı sabitler içerdiğinden ve bu terimler de yeter koşullardaki matrislerden oluştuğundan dolayı; ortalama yaşam süresindeki bu sabitlerin çözümü için koni tamamlayıcı bir algoritma sunulmuştur. Tüm bu çalışmalar durum geri beslemesi için de uygulanmıştır. %Bu çalışmada anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemler için durum geri beslemesi altında ve gözlemci tabanlı sonlu zaman kararlılık analizleri yapılmıştır. Anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemlerin kararlılığı ile ilgili yapılan çalışmalarda genellikle durum geri beslemesi ele alınmıştır. Bu sistemlerin gözlemci tabanlı kontrolü ile ilgili çalışmalar kısıtlıdır. Bu çalışmalarda da belirli bir aralıktaki zaman gecikmesi göz önüne alınmamıştır. Ayrıca gözlemci kazanç matrisinin hesaplanması, yeter koşulda verilen doğrusal matris eşitsizliklerinden elde edilen matrislerin özel bir yapıda ayrışmasına bağlıdır. Ortalama yaşam süresi kısıtındaki özdeğerlerin hesaplamaları hakkında hiçbir detaylı açıklama da verilmemiştir. Bunun yanı sıra, durum vektörünün sistem matrisleri Hurwitz kararlı olarak seçilmiştir ve kararsız ve karışık kararlı alt sistemler arasında anahtarlama olması durumu incelenmemiştir. Çalışmanın birinci bölümü olan giriş bölümünde kontrol süreci gösterilmiştir. Melez sistemler ve anahtarlamalı sistemler konusundaki çalışmalar özetlenmiş, sonlu zaman kararlılığı konusunda yapılan çalışmalar ile ortalama yaşam süresi konusunda yapılan çalışmalardan bahsedilmiştir. Tezde ele alınan problemlerden anahtarlamalı ve zaman gecikmeli sistemlerde yapılan çalışmalarda eksik olan kısımlar özetlenerek literatür özeti tamamlanmıştır. İkinci bölümde, bu tezde kullanılan temel tanımlar ve bilgiler tanıtılmıştır. Öncelikle diferansiyel denklem sistemlerinin çözümlerinin varlığı ve tekliği için yeter koşullar verilmiştir. Melez sistemler, bir mühendislik örneği olan araçların vites dinamiği ile tanıtılarak, anahtarlamalı sistemlerin ne tarz durumlarda ortaya çıkabileceği gösterilmiş; duruma bağlı anahtarlama ve zamana bağlı anahtarlama durumları ayrıntılarıyla ele alınmıştır. Kısıtlamalı anahtarlama altında anahtarlama durumlarına bağlı yaşam süresi ve ortalama yaşam süresi kavramları tanıtılarak zaman gecikmeli sistemler ile ilgili temel bilgiler verilmiştir. Sonlu zaman kararlılığı ve sınırlılığı, Lyapunov kararlılık tanımları verilerek, bu iki kararlılık tanımları arasındaki kavram farkılıkları ortaya konmuş ve anahtarlamalı sistemler üzerinde örnek verilmiştir. Verilen örnekte kararlı iki alt sistemin periyodik anahtarlama altında periyoda bağlı kararlı veya kararsız olma durumlarının gözlemlendiği gösterilmiştir. Daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan; vektör normu ve matris normu kavramları, Schur yardımcı teoremi, Grönwall yardımcı teoremi ve Jensen eşitsizliği sunulmuş ve tezde kullanılan notasyonlar belirtilmiştir. Üçüncü bölümde; kararlı, kararsız ve karışık kararlı alt sistemlere sahip doğrusal anahtarlamalı sistemlerin vektör ve matris normları kullanılarak sonlu zaman kararlılık analizi yapılmıştır. Alt sistem matrislerinin özdeğerleri ve koşullandırma sayılarına bağlı sonlu zaman kararlılık koşulları ve bu alt sistemlerin olası aktivasyon sayıları elde edilmiştir. Anahtarlamalı sistemin sonlu zaman kararlılığının sağlanması için yeni ortalama yaşam süresi önerilmiştir. Son olarak da sayısal örneklerle teorik sonuçlar açıklanmıştır. Dördüncü bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin durum geri beslemesi altındaki sonlu zaman sınırlılığı ele alınmıştır. Yeter koşullarla birlikte ortalama yaşam süresi elde edilmiştir. Bu koşullarda dışbükey olmayan terimler olduğu için bu terimleri doğrusal matris eşitsizliği koşullarına çeviren bir koni tamamlayıcı doğrusallaştırma yöntemi ve algoritması kullanılmıştır. Son olarak da sayısal bir örnek verilmiştir. Beşinci bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin gözlemci tabanlı sonlu zaman sınırlılığı durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin tamamının kararsız ve karışık kararlı (yani bir kısmı kararlı bir kısmı kararsız) olması durumlarına göre incelenmiştir. Bu iki durumda da gözlemcinin varlığı için yeni yeter koşullar ve ortalama yaşam süresi tanıtılmıştır. Ortalama yaşam süresindeki parametrelerin hesabı için koni tamamlayıcı doğrusallaştırma yöntemi ve algoritması gösterilmiştir. Son olarak da literatürdeki durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin tamamının kararsız olma durumunu inceleyen karşılaştırmalı bir örnek ile bu matrislerin karışık kararlı olma durumunu inceleyen sayısal örnekler verilmiştir. Altıncı bölümde, anahtarlamalı ve aralık zaman gecikmeli sistemlerin H$_{\infty}$ sonlu zaman sınırlılığı için bir gözlemci tabanlı denetimci tasarlanmıştır. H$_{\infty}$ sonlu zaman sınırlılığı incelenen sisteme bozucu etki etmesinden dolayı incelenmiştir. Bu bölümde durum vektörlerinin başındaki alt sistem matrislerinin karışık kararlı olması durumu için koşullar elde edilip, önerilen koşulların etkinliği ve geçerliliği sayısal bir örnek üzerinde gösterilmiştir. Gelecek çalışmalarda, moda bağımlı kararlılaştırma analizi ve gürbüz kararlılık ele alınarak şu ana kadar yapılan çalışmaların genişletilmesi düşünülmektedir.
Fqx(Fq+vFq) halkası üzerinde lineer kodlar

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2024-01-12) Tekkoyun, Mevlüt ; Yaraneri, Ergün ; 509172204 ; Matematik Mühendisliği

Kaynaktan alıcıya bilgi transferi sırasında gürültü ismi verilen etkenler sebebiyle iletişim kanalında hatalar meydana gelmektedir. Bu hataların tespiti ve mümkünse düzeltilmesi kodlama teorisi alanının çalışma konusudur. Kodlama teorisi alanında ilk çalışmalar cisimler üzerinde iken daha sonra halkalar üzerinde de çalışılmaya başlanmıştır. Halkalar üzerindeki kod ailelerinin Gray dönüşüm ismi verilen özel bir dönüşüm altındaki görüntülerinin literatürdeki kodlardan daha fazla hata düzeltme kapasitesine sahip olduğu tespit edilmiştir. Bu yüzden halkalar üzerindeki kodlar daha fazla çalışılmaya başlanmıştır. Bu çalışma bir halka üzerindeki kodları incelediğinden, ilk olarak Bölüm 1'de literatürde halkalar üzerinde yapılan kodlama teorisi çalışmaları hakkında bir literatür çalışması yapılmıştır. Daha sonra Bölüm 2'de kodlama teorisi, halkalar, sonlu cisimler ve lineer kodlar hakkında bazı temel bilgiler verilmiştir. Kendi içinde 6 alt bölüme ayrılan Bölüm 3'te ise asıl çalışma bulunmaktadır. Bölüm 3.1'de v^2=v olmak üzere R=F_qx(F_q+vF_q) halkasının yapısı tanıtılmış ve R halkasından \F_q^{3n} cismine iki tane Gray dönüşüm tanımlanmıştır. Ayrıca Öklit ve Hermityen iç çarpımların tanımları verilmiştir. Bölüm 3.2'de ise R halkası üzerindeki lineer kodlar çalışılmıştır. Gray denk kodların tanımı verilmiş ve R üzerinde n uzunluğundaki bir C kodunun üreteç matrisinin yapısı çalışılmıştır. Bölüm 3.3'te ise R halkası üzerindeki serbest kodlar çalışılmıştır. Bilinmektedir ki, cisimler üzerindeki kodların üreteç matrisinin tüm satırları lineer bağımsızdır. Ancak bu durum halkalar için geçerli değildir. Bu yüzden bir halka üzerindeki kodların üreteç matrislerinin farklı sayıda satırdan oluşabileceği söylenebilir. Bu bölümde R halkası üzerindeki lineer kodların üreteç matrislerinin satırlarının lineer bağımsız olması için gerekli şartlar belirlenmiştir. Bölüm 3.4'te R halkası üzerinde dual kodlar çalışılmıştır. Bölüm 3.1'de tanımlamış olduğumuz iki adet iç çarpıma göre dual ve kendine dual olan kodlar çalışılmıştır. R halkası üzerindeki bir C kodunun Öklit ve Hermityen iç çarpımlara göre duallerinin üreteç matrislerinin (yani kontrol matrisi) yapısı incelenmiştir. Bölüm 3.5'te ise R halkası üzerindeki devirli kodlar çalışılmıştır. R üzerindeki bir devirli kod R_n=R[x]/(x^n-1) polinom halkasının bir idealine karşılık geldiğinden, R_n polinom halkasının ideallerinin yapısı incelenmiş ve üreteç polinomu belirlenmiştir. Bölüm 3.6'da ise tam, simetrik, Hamming, Lee ve Gray ağırlık sayaçlarının tanımları verilmiştir. Daha sonra bu ağırlık sayaçlarına göre R üzerinde n uzunluklu bir C lineer kodu için MacWilliams özdeşlikleri belirlenmiştir. Tam ağırlık sayacında R halkasının elemanlarının bir sıralamasına ihtiyaç duyulduğundan, R halkasının elemanlarını sıralamak için kullanışlı bir yöntem belirlenmiştir.
Fındığın optimum satış süresinin belirlenmesi: oyun teorisi ve karar kriterleri yaklaşımları

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2023) Muntaş, Melike ; İzgi, Burhaneddin ; 889078 ; Matematik Mühendisliği Bilim Dalı

Tarım alanında üretim ve pazarlama sürecinde risk koşullarında faaliyet gösterilmekte, karar vericiler kararlarını belirsizlik ortamında vermektedir. Üreticilerin geleceğe yönelik planlama yaparken doğanın yapısından kaynaklanan riskleri analiz etmesi ile tarımda bir ürünün üretimi ve satışa sunulması için doğru zamana ve satış fiyatına karar vermesi gerekmektedir. En uygun satış fiyatı ve en uygun satış yapılacak dönemin seçiminde yaşanan belirsizliklere karşı oyun teorisi ve karar teorisinden yararlanmak mümkündür. Bir ürünün piyasa satışı için uygun zamanın ve dolayısıyla satış fiyatının belirlenmesini temel aldığımız problemin çözümüne yönelik dinamik programlama, oyun teorisi ve karar kriterleri kapsamında uygulamayı hedeflediğimiz problem olan fındık satışı için uygun satış zamanı ve fiyatını bularak satıcının karını arttırması planlanmış ve bu çalışmada hem ülkemiz hem de dünya için fındık üreticisinin satış planlanmasına yardımcı olacak bir yaklaşım sunulması hedeflenmiştir. 2020 yılı FAO verilerine göre dünyada toplam fındık üretiminin % 59,61'ini karşılayan Türkiye, dünya fındık üretiminde birinci sıradadır. Fındık ve fındıktan üretilen ürünlerin ihracatının dünya üzerinde son 5 yıldaki kabuklu fındık olarak karşılığı ortalama 711 bin ton olup bunun %71'i Türkiye tarafından karşılanmaktadır. FAO verilerinin sonucuna göre dünyada fındık ihtiyacının büyük bir kısmını karşılayan Türkiye'de üretim ve ihracatın yanı sıra iç piyasalarda da fındık önem arz etmektedir. Birinci bölümde fındığın en uygun satış fiyatı ve en uygun satış yapılacak döneminin seçiminde kullanılacak oyun teorisi ve doğrusal programlamanın kavram ve uygulama yöntemlerine ihtiyaç olduğu ölçüde yer verilmesi amaçlanmıştır. Bu bölümde ilk olarak oyun teorisinin tarihsel gelişimi ve literatürde oyun teorisi ile uygulama yapılan bazı çalışmalar incelenmiştir. Ardından oyun teorisinin temel kavramları ve iki kişilik sıfır toplamlı oyunlar sunulmuştur. Sonra oyun teorisi ile bağlantısı olan doğrusal programlamanın tanımı, tarihsel gelişimi ve çalışmaya konu olan uygulama problemine benzer geçmişte yapılan bazı çalışmalardaki kullanımı gösterilmiştir. Ardından strateji sayısı arttıkça çözümü zorlaşan oyunların çözümünde sıklıkla kullanılan doğrusal programlamanın oyun teorisi ile arasındaki ilişki incelenmiştir. Sonra matris oyunlarında hiçbir denklem çözülmeden yaklaşık çözümün bulunduğu MN yöntemi incelenmiştir. MN yönteminin teorik alt yapısı sunulmuş ve birkaç örnekle uygulaması yapılmıştır. İkinci bölümde, belirsizlik altında karar alma kriterleri tanımlarına yer verilmiş ve örneklerle incelenmiştir. İlk olarak tüm olası alternatiflerin gerçekleşme olasılıklarının eşit kabul edildiği Laplace kriteri tanımlanmıştır. Sonra iyimser karar vericinin alternatif seçenekler arasından en büyük getiriyi sağlayan stratejiyi seçtiği Maximax kriteri incelenmiştir. Ardından kötümser karar vericinin en küçük getiri değerinin en yüksek olduğu seçeneği seçtiği Wald kriteri tanımlanmıştır. Sonra şüpheci olan karar vericinin en büyük getiriler içinden en küçükleri hedeflediği Savage kriteri gösterilmiştir. Son olarak Hurwicz karar kriteri ile karar vericinin iyimser ve kötümser yaklaşımının bir olasılık değeri ile belirlendiği gösterilmiştir. Üçüncü bölümde ise, TÜİK'ten alınan fındık fiyatları ile oyun matrisi oluşturulmuştur. Ardından doğrusal programlama yöntemi ile fındık fiyatları matrisinde analizler yapılmıştır.
Hopf bifurcation in a generalized Goodwin model with delay

(Graduate School, 2024-06-26) Şans, Eyşan ; Özemir, Cihangir ; 509201234 ; Mathematics Engineering

In the theory of dynamical systems, delay differential equations have an important place. While in a non-delayed dynamical system the rate of change of state variables depends instantaneously on the state variables, in delayed dynamical systems this functional dependence can be with a time delay. In real life problems, this may occur, for example, when the signals transmitted to the processor of a physical system that collects and evaluates signals from different points in space are transmitted with a time difference due to the path difference. Methods and simulation tools are available in the literature for analysing the stability of a dynamic system formulated without delay, either locally at equilibrium points or globally. The "stable" and "unstable" conditions that we encounter in stability analysis can be target conditions according to the physical model under investigation. For example, in a dynamic system that approximately models the vibrations of a structural element vibrating under the effect of an earthquake, it is desired that the vibrations evolve to zero equilibrium point over time and that the zero equilibrium point is stable. In a mechanical system which is desired to generate energy with its vibrations, it will be the target condition that the vibrations are not damped. Stability analysis is performed to determine the parameter conditions that will give the stable and unstable conditions of the equilibrium points. However, if the dynamical system modelling the relevant physical system actually has a delayed time dynamics, the system may actually be unstable in a parameter set that is predicted as a stable equilibrium point by the non-delayed analysis. Therefore, the analysis of the relevant dynamics needs to be carried out in the formulation of the theory of delayed dynamical systems. Goodwin's model is one of the well-known dynamical systems in macroeconomics which formulates the mechanism between the employment ratio and the wage share in a closed economy. The model is formulated under the assumptions of steady technical progress and steady growth in technical force. Only two factors of production are considered: labour and capital. Working class consume all their wages, whereas all profits are invested by the capital holders. A constant capital-output ratio is assumed, and the relation between the inflation rate and unemployment rate is determined by a linearized Phillips curve. There is an argument in the literature that the functional dependence of the Phillips curve, which expresses the relationship between the inflation rate and the unemployment rate, depends on the time delay. There are only a few publications that consider this dependence with a delay and dynamically analyse modified versions of the Goodwin model. The Goodwin model, which is essentially a mathematical economics analogue of the predator-prey system of population dynamics, despite its simplicity, explains to some extent the periodic behaviour of state variables observed at certain time intervals.
Innovative computational techniques for accurate internal defect detection in trees: A stress wave tomography approach enhanced by machine learning

(Graduate School, 2024-06-10) YIldızcan, Ecem Nur ; Tunga, Burcu ; 509211206 ; Mathematics Engineering

The detection of internal defects in trees holds critical importance given the health of forest ecosystems and the industrial significance of wood products. The identification of these internal defects without damaging the wood is a significant factor in the forestry industry and in the production of wood products. While traditional methods often require cutting or processing the wood, non-invasive techniques such as stress wave tomography offer the possibility of identifying internal defects without disrupting the wood's structure. This contributes both to the sustainable management of forest resources and to the improvement of wood product quality. A branch of artificial intelligence, machine learning algorithms allow computer systems to analyze data, recognize patterns, make decisions, and solve problems. These algorithms are critical tools in analyzing large datasets obtained from non-invasive techniques like stress wave tomography, and in accurately detecting and classifying internal defects. In this thesis, an algorithm design capable of generating stress wave tomography based on ray segmentation and machine learning has been developed for the purpose of detecting internal defects in trees. A two-stage algorithm has been proposed based on data obtained from stress waves produced by sensors mounted on trees and on the segmented propagation rays generated from these data. In the first step, a ray segmentation method maps the velocity of stress waves to create segmented sensors. In the second step, data obtained from these segmented rays are processed using K-Nearest Neighbors (KNN) and Gaussian Process Classifier (GPC) algorithms to create a tomographic image of defects within the tree. The algorithm carries the potential to detect internal defects in wood without causing damage and provides more precise results compared to traditional methods. Implemented using the Python programming language, the algorithm equips researchers with the ability to understand and analyze the internal structure of trees. This method stands out as a practical tool for contributing to forest health assessment and conservation through stress wave tomography. During experiments, data from four real trees were collected via sensors, and an algorithm was developed to generate four sets of synthetic defective tree data in the sensor's data format. Real tree data was provided by Istanbul University Cerrahpaşa Faculty of Forestry. All tree data were individually used to feed the proposed defect detection algorithm, and the outputs were transformed into tomographic images. Success rates above 90% were achieved for all evaluation metrics. Compared to related studies, the results showed improvements ranging from 7% to 22% relative to the literature. This thesis aims to contribute to the development of the sustainable wood industry by offering a new approach to detecting internal tree defects. Although the results obtained are quite good compared to the results in the scientific literature, it is thought that even better results will be obtained by optimizing the parameters of the algorithm or by differentiating the machine learning algorithms integrated into the method.
Klasik ve mikrogermeli ortam teorisiyle modellenen plaklarin caputo kesirli türevi yardimiyla nonlokal titreşim analizi

(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2020) Aydınlık, Soner ; Kırış, Ahmet ; 638082 ; Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

Bu çalışmada dikdörtgen plakların yerel olmayan üç boyutlu titreşim analizi Caputo kesirli türevi yardımıyla incelenmiştir. Kesirli türev son yıllarda mühendislik, fizik, finans, biyoloji gibi birçok alanda yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Kesirli türevin sürekli ortamlar mekaniğine uygulamaları ise, nonlokal problemlerin ve bellekli malzemelerin modellenmesinde literatürde var olan yöntemlere göre yeni bir bakış açısı getirmektedir. Klasik sürekli ortamlar mekaniğinin gelişmesine büyük katkı sağlayan gerilme tansörü kavramı 19. yy başlarında Cauchy tarafından ortaya konulmuş ve böylece lineer elastisite teorisi için hareket denklemi üç boyutlu duruma genelleştirilmiştir. Ancak bu modelde malzemenin iç karakteristik uzunluğu hesaba katılmadığı için 1960'larda yerel olmayan elastisite teorisi geliştirilmiştir. Son yıllarda kesirli analizin yaygınlaşmasıyla birlikte yerel olmayan yeni modeller geliştirilmiştir. Bu yeni modellerin temel avantajı, klasik sürekli ortamlar mekaniğinin genel yerel olmayan yapısına benzer olmasının yanı sıra, kesirli türevin tanımından kaynaklanan bazı eklemeler sayesinde fiziksel gerçeklere daha uygun olmasıdır. Ayrıca, kesirli türev kullanımı nedeniyle fiziksel büyüklüklerde meydana gelen birim uyuşmazlığı da birim uyum katsayısı tanımlanarak ortadan kaldırılabildiği için genelleştirilmiş kesirli yer değiştirme gradyanları ve kesirli gerilme büyüklükleri gibi büyüklükler, klasik olanlarla aynı fiziksel birimlere sahip olurlar. Mekanikte gerek uzaysal değişkenler ve gerekse de zaman değişkeni üzerinde kesirli analiz yapmak çok daha gerçekçi olduğundan, bu alandaki çalışmalar giderek yaygınlaşmaktadır . Bu tez çalışmasında nonlokal etkileri yansıtmak için klasik yer değiştirme gradyanları yerine, Caputo kesirli türevi yardımıyla tanımlanan kesirli yer değiştirme gradyanları kullanılmıştır. Burada kabul edilebilir fonksiyonlar olarak sınır fonksiyonlarıyla çarpılmış Chebyshev polinomları alınmıştır. Sınır fonksiyonları plağın temel geometrik sınır koşullarını sağlayacak şekilde seçilmiş, ancak gerilme sınır koşulları dikkate alınmamıştır. Kesirli türevlerin nonlokalite üzerindeki etkisini göstermek için, farklı sınır koşullarına sahip bazı dikdörtgen plakların titreşim analizi incelenmiştir. Sonuçlar, beklentilere uygun olarak kesirli türevin mertebesi klasik türevin mertebesine yaklaştıkça, nonlokal etkinin azalarak elde edilen frekans değerlerinin klasik durum için elde edilen frekans değerlerine yaklaştığını göstermektedir. Tez çalışmasında klasik titreşim probleminin Caputo kesirli türeviyle incelenmesinin yanı sıra mikrogermeli ortam teorisiyle modellenen dikdörtgen plakların titreşim analizi de Caputo kesirli türevi yardımıyla elde edilmiştir. Mikrogermeli ortam parçacağın klasik şekil değiştirmesinin yanı sıra, bu klasik şekil değiştirmeden bağımsız mikro hacimsel genleşme ve mikro dönme yapabildiği kabulüne dayanmaktadır. Kesirli türev yardımıyla mikrogermeli ortam teorisiyle modellenmiş plakların titreşim problemini nonlokal teoriyle incelemek hesapları basitleştirmesiyle beraber klasik teoriye göre daha iyi sonuçlar vermektedir.
Lie symmetries and exact solutions of Benney-Roskes/Zakharov-Rubenchik system

(Graduate School, 2023-01-06) Gönül, Şeyma ; Özemir, Cihangir ; 509191240 ; Mathematics Engineering

Many physical phenomena in our lives are modeled using ordinary differential equations (ODE) and partial differential equations (PDE). Unlike PDEs, ODEs can be solved using more familiar and straightforward techniques. Partial differential equations are widely utilized in scientific fields that place on mathematics, such as physics and engineering. A wide range of partial differential equation types has been derived as a result of the diversity of the sources. Many methods have been developed to deal with the resulting individual equations. One of these methods used to solve PDEs is Lie symmetry analysis. Lie groups and Lie algebras are useful tools for reducing the number of independent variables in a PDE by using the reduction method. Lie's method leads to group-invariant solutions and conservation laws for partial differential equations. PDEs can be classified into equivalence classes and new solutions can be derived from existing ones by taking advantage of their symmetry. The first step in the method is finding the determining equations for the system's symmetries. By solving the determining equations, the vector field that generates the transformation group of the equation is obtained, which is called the infinitesimal generator of the symmetry group. In other words, we find the infinitesimal generators of the transformation groups, which will leave the solution of the system invariant. From this generator, the Lie algebra structure of the system emerges. However, applying Lie group methods to systems of equations takes a lot of time and effort. Even solving elementary differential equations is prone to mistakes if we do it with a pen and paper. All of that has changed thanks to the accessibility of computer algebra systems like Mathematica and Maple. Some of the calculations in this thesis were done using these programs. This thesis investigates the Lie symmetry algebra of the Benney--Roskes/ Zakharov--Rubenchik (BR/ZR) system and presents exact solutions to this system of equations. BR/ZR system includes the well-known Davey-Stewartson (DS) system and Zakharov system in the limiting case. Although the first appearance of the BR system dates back a few decades, it is seen that the research on qualitative and numerical analysis of the system finds a place in the recent literature. As this literature lacks the results on Lie symmetries and solitary-type analytic solutions of the system, it has been this work's main purpose to fulfill this gap. In Chapter 1, the problem statement of the thesis and the literature review of the problem are given. In Chapter 2, the fundamental definitions and notations for the Lie symmetry analysis of differential equations are provided. In Chapter 3, (2+1)-dimensional BR/ZR system and in Chapter 4, (3+1) BR/ZR system are investigated by the tools of Lie group analysis. The symmetry algebra of the (2+1)-dimensional BR/ZR system is obtained as an infinite dimensional Lie algebra. We found that the symmetry algebra is as not rich as the symmetry algebra of the DS system, which is one of the integrable equations in (2+1) dimensions. We succeeded in finding solutions in the forms of a line soliton and hyperbolic type. We also discovered the Lie symmetry algebra of the (3+1) BR/ZR system. The invariance algebra of the system turns out to be infinite-dimensional. Concentrating on traveling solutions, we found wave components of sech-tanh type, which proceed as line solitons and kinks in two-dimensional cross-sections in space. With this thesis, we have added original results to the literature on group-theoretical properties and exact solutions of the BR/ZR system. We believe that these results will serve as a source for future numerical and qualitative studies on this system.
Machine learning applications for time series analysis

(Graduate School, 2024-06-24) Can, Mert ; Kaygun, Atabey ; 509191237 ; Mathematics Engineering

In this studying, involves doing a range of tests using time series data sets collected from stock markets (BIST30, BIST100, Apple) and cryptocurrency marketplaces. Statistical analysis and artificial intelligence models are employed to investigate various data sets inside the studies, and the findings are subsequently analysed. The main objective of the study is to provide a valuable contribution to academic research and offer practical advantages to market investors. Consequently, the researcher has thoroughly examined the current models and studies in the literature and has chosen the most suitable artificial intelligence models (ARIMA, SARIMA, GARCH) for the thesis study. The paper extensively discusses and applies these concepts within its scope. The study's findings indicate that no existing framework can accurately forecast the time series-dependent pricing of crypto assets traded on stock exchanges and crypto exchanges. These conclusions are based on the results gained from the experiments conducted. The primary factors contributing to this unpredictability can be ascribed to market price volatility and the fact that price variations generate outcomes regardless of time. Subsequent investigations might prioritise the utilisation of additional data sources to enhance the existing time series data, hence enhancing the precision of prediction outcomes. Incorporating supplementary information such as macroeconomic indicators, sector-specific data, geopolitical events, and social media sentiment can augment the precision of prediction models. This thesis study offers essential insights into the predictability of financial time series. The present pricing and daily price changes alone are inadequate in providing credible predictions. This is because elements such as seasonality, seasonal variability, and periodic trends, which are stochastic in nature, make the prediction process more complex. The thesis clearly demonstrates the constraints and difficulties encountered in financial market analysis as described in the literature, with the assistance of data derived from both literature-based research and experiments. The statistical methods used and the data gained in this study serve as an initial investigation, with the goal of establishing a methodological basis for future studies and opening up possibilities for further research in many areas. This study is expected to serve as a benchmark for future market researchers and academics conducting research in this subject.
Manifolds of generalised G-structures in string compactifications

(Graduate School, 2023-03-22) Diriöz, Emine ; Özer, Aybike ; 509162201 ; Mathematical Engineering

A G-structure on a differentiable manifold M of dimension n can be described as a reduction of the linear frame bundle L(M) of M to a Lie subgroup G of $GL(n,\mathbb{R})$. Such a reduction is equivalent to the existence of certain geometric structures on M, depending on what the subgroup G is. For example, an O(n)-structure corresponds to the existence of a Riemannian metric g. Similarly, by the existence of an almost complex structure J, the structure group reduces to $GL(n/2,\mathbb{C})$. If a Riemannian metric and an almost complex structure are compatible and the metric is hermitian then the structure group reduces to SU(n/2). In a similar fashion, a generalized G-structure can be described as a reduction of the structure group of the principal bundle associated with the generalized tangent bundle $TM\oplus T^*M$. The natural structure group of $TM\oplus T^*M$ is O(n,n). The generalized G-structures also correspond to the existence of certain geometrical objects. For example, the reduction of the structure group from O(n,n) to $O(n)\times O(n)$ corresponds to the existence of a generalized metric. Similarly, on an even-dimensional real manifold $M$ a generalized almost complex structure is given by a reduction of the structure group from O(n,n) to U(n/2,n/2). A generalized almost complex structure is defined by the existence of a pure spinor which is a section of the exterior bundle $\bigwedge^\bullet T^* M$. The SU(n/2,n/2)-structure is equivalent to the existence of a globally defined pure spinor of non-vanishing norm. Furthermore, $SU(n/2)\times SU(n/2)$-structure is given by the existence of two compatible pure spinors. The main theme of this thesis is the study of manifolds of generalized G-structure relevant to string compactifications. Superstring theory is a quantum theory of gravity consistent in 10 dimensions. There are five consistent superstring theories and the low energy dynamics of massless space-time fields are governed by ten-dimensional supergravity theories. The supergravity field equations are nonlinear partial differential equations that can be regarded as a generalization of field equations of Einstein's theory of general relativity (GR). In a supersymmetric compactification of Type II string theory down to 4 dimensions, it is required that the structure group of the generalized tangent bundle $TM \oplus T^*M$ of the six-dimensional internal manifold M is reduced from SO(6,6) to $SU(3) \times SU(3)$. This is equivalent to the existence of two globally defined compatible pure spinors $\Phi_1$ and $\Phi_2$. Furthermore, these pure spinors should satisfy certain first-order differential equations, namely supersymmetry equations. We show that these equations are covariant under certain Pin(d,d) transformations. We also show that Non-Abelian T-duality (NATD) which is generated by a coordinate-dependent Pin(d,d) transformation is a particular solution generating transformation for these pure spinor equations. Our method is demonstrated by studying the NATD of a specific class of geometries with SU(2) isometry and SU(3)-structure. Some of the manifolds belonging to this class are $AdS_5\times T^{1,1}$, $AdS_5\times Y^{p,q}$ and $AdS_5\times S^5$. It is interesting to note that in each case, the internal manifold is a Sasaki-Einstein manifold. We show that the transformed pure spinors are associated with an SU(2)-structure. The plan of the thesis is as follows: in section 2, we study principal fiber bundles, vector bundles, and linear frame bundles. Then, we study the concept of the reduction of the structure groups. We also give familiar examples of G-structures in detail. In section 3, we briefly review the relation between G-holonomy and torsion-free G-structures. In section 4, we study the basic concepts regarding the geometry of the generalized tangent bundle $TM\oplus T^*M$. This leads us to the definition of a generalized G-structure. Since our main interest is in $SU(3)\times SU(3)$-structures we give in a separate subsection the description of $SU(3)\times SU(3)$-structures and the associated pure spinors in detail. In section 5, we focus on the differential equations to be satisfied by the pure spinors for preservation of ${\cal{N}}=1$ supersymmetry. We study the covariance of these equations under constant and non-constant Pin(d,d) transformations. Then, we study Non-Abelian T-duality (NATD) transformations in detail, and we show the invariance of pure spinor equations under NATD. In section 6, we consider a specific class of geometries. We transform the pure spinors associated with the SU(3)-structure and show that the resulting pure spinors determine an SU(2) structure. We also study the NATD transformation of the metric, the B field, and the Ramond-Ramond fields.
On geodesic mappings of Riemannian manifolds

(Graduate School, 2022-01-07) Çoraplı, Ahmet Umut ; Canfes, Elif ; 509181210 ; Mathematical Engineering

Gözat

Başlık ile LEE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı'a göz atma

Sayfa başına sonuç

Sıralama Seçenekleri