Power Series Subspaces Of Nuclear Frechet Spaces With The Properties DN And Omega
Power Series Subspaces Of Nuclear Frechet Spaces With The Properties DN And Omega
Dosyalar
Tarih
2020
Yazarlar
Doğan, Nazlı
Süreli Yayın başlığı
Süreli Yayın ISSN
Cilt Başlığı
Yayınevi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Özet
Power series spaces constitute an important and well-studied class in the theory of Fréchet spaces. Linear topological invariants weak-DN and Ω are enjoyed by many natural Fréchet spaces appearing in analysis. In particular, spaces of analytic functions, solutions of homogeneous elliptic linear partial differential operator with their natural topologies have the properties weak-DN and Ω. It is a well-known fact that the diametral dimension ∆(E) and the approximate diametral dimension δ(E) of a nuclear Fréchet space E with the properties weak-DN and Ω are between corresponding invariant of power series spaces Λ_{1}(ε) and Λ_{∞}(ε) for some specific exponent sequence ε. This sequence is called associated exponent sequence of E, see Definition 2.4.2. Concidence of the diametral dimension and/or approximate diametral dimension of E with that of a power series space yields some structural results. For example, in [1], A. Aytuna, J.Krone and T. Terzioglu proved that a nuclear Fréchet space E with the properties weak-DN and Ω contains a complemented copy of Λ_{∞}(ε) provided ∆(E) = ∆(Λ_{∞}(ε)) and ε is stable. On the other hand, A. Aytuna, [2], characterized tame nuclear Fréchet spaces E with the properties weak-DN and Ω and stable exponent sequence ε, as those that satisfies δ(E) = δ(Λ_{1}(ε)). These results lead us to ask the following two questions: Let E be a nuclear Fréchet space with the properties weak-DN and Ω and ε be the associated exponent sequence of E. 1. Is there a complemented subspace of E which is isomorphic to Λ_{1}(ε) if ∆(E) = ∆(Λ_{1}(ε))? 2. If the diametral dimension of E coincides with that of a power series space, then does this imply that the approximate diametral dimension also do the same and vice versa? The basis of this thesis was motivated by these two questions. The main purpose of this thesis is to determine the connections between the diametral dimension and the approximate diametral dimension and to investigate power series subspaces of the nuclear Fréchet spaces with the properties weak-DN and Ω using these invariants. In the first chapter, some significant studies in the theory of nuclear Fréchet spaces are mentioned and the aim of this thesis is given. In the second chapter, we introduced preliminary materials and essential theorems. In the third chapter, we showed that the second question has an affirmative answer when the power series space is of infinite type. Then we searched an answer for the second question in the finite type case and, in this regard, we first proved that the condition δ (E) = δ (Λ_{1}(ε)) always implies ∆(E) = ∆(Λ_{1}(ε)). For other direction, the existence of a prominent bounded subset in the nuclear Fréchet space E plays a decisive role. Among other things, we proved that δ (E) = δ (Λ_{1}(ε)) if and only if E has a prominent bounded subset and ∆(E) = ∆(Λ_{1} (ε)). In the first section of the fourth chapter, we showed that a regular nuclear Köthe space with the properties DN and Ω is a power series space if its diametral dimension coincides with that of a power series space of infinite type or its approximate diametral dimension coincides with that of a power series space of finite type. In the second section of the fourth chapter, we constructed a family of nuclear Köthe spaces K(a_{k,n}) with the properties weak-DN and Ω. First we showed that for an element of the family of which is parameterized by a stable sequence α, ∆(K(a_{k,n})) = ∆(Λ_{1}(α)) and δ(K(a_{k,n})) = δ(Λ1(α)). Second, we proved that for an element of the family of which is parameterized by an unstable sequence α, ∆(K(a_{k,n}) = ∆(Λ_{1}(ε)) and δ(K(a_{k,n}))≠δ(Λ1(ε)) for its associated exponent sequence ε. This showed that the second question has a negative answer for power series space of finite type. Furthermore, we proved in Theorem 4.3.1 that the first question has a negative answer, that is, Λ1(ε) is not isomorphic to any subspace of these Köthe spaces K(a_{k,n}), let alone is isomorphic to a complemented subspace, though the condition ∆(K(a_{k,n})) = ∆(Λ_{1}(ε)) is satisfied. In the third section of fourth chapter, motivated by our finding in the third section, we compiled some additional information, for instance, for an element E of the family parameterized by an unstable sequence, • E does not have a prominent bounded set. • ∆(E), with respect to the canonical topology, is not barrelled, hence, not ultrabornological. • Although the equality ∆(E) = Λ_{1}(ε) is satisfied and the canonical imbedding from ∆(E) into Λ_{1}(ε) has a closed graph, the canonical imbedding from ∆(E) into Λ1(ε) is not continuous.
Kuvvet serisi uzayları, Fréchet uzayları teorisinin çokça çalışılan ve yapısı iyi bilinen önemli bir sınıfıdır. Fréchet uzaylarının en doğal örnekleri ise zayıf-DN ve Ω özelliklerine sahiptir. Özellikle, analitik fonksiyon uzayları ve homojen eliptik lineer kısmi diferansiyel operatörlerin çözüm uzayları zayıf-DN ve Ω özelliklerine sahiptir. Öte yandan, zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip bir E nükleer Fréchet uzayının çapsal boyutu ∆(E) ve yakla¸sık çapsal boyutu δ(E) özel bir ε ekponansiyel dizisi tarafından üretilen sonlu tip kuvvet serisi uzayı Λ_{1}(ε) ve sonsuz tip kuvvet serisi uzayı Λ_{∞}(ε) ile ilişkilidir. Zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip bir E nükleer Fréchet uzayının çapsal boyutunun ve/veya yaklaşık çapsal boyutunun bir kuvvet serisinin çapsal boyutuna ve/veya yaklaşık çapsal boyutuna eşit olması E uzayının yapı teorisi hakkında önemli bilgiler verir. Örneğin, A. Aytuna, J. Krone ve T. Terzioğlu, [1], zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip bir E nükleer Fréchet uzayının ∆(E) = ∆(Λ_{∞}(ε)) ve ε ekponansiyel dizisi kararlı koşulları altında, Λ_{∞}(ε) uzayına izomorf bir tümler alt uzayının var olduğunu gösterdiler. Öte yandan, A. Aytuna, [2], her zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip uysal E nükleer Fréchet uzayının, δ(E) = δ(Λ_{1}(ε)) ve ε eksponansiyel dizisi kararlı olması durumunda Λ_{1}(ε) uzayına izomorf olduğunu gösterdi. Bu sonuçlar bizi aşagıdaki soruları sormaya yönledirdi: E uzayı zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip bir nükleer Fréchet uzayı ve ε, E uzayının ilişkili ekponansiyel dizisi olsun. 1. Eğer ∆(E) = ∆(Λ_{1}(ε)) ise, E uzayının Λ_{1}(ε) uzayına izomorf bir tümler alt uzayı var mıdır? 2. Eğer E uzayının çapsal boyutu bir kuvvet serisinin çapsal boyutuna eşit ise E uzayının yaklaşık çapsal boyutu da aynı kuvvet serisinin yaklaşık çapsal boyutuna eşit midir ve tersi de doğru mudur? Bu tezin temeli bu iki soru üzerine kurulmuştur ve bu tezin amacı, zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip nükleer Fréchet uzaylarının topolojik değişmezleri arasındaki bağlantıları araştırmak ve bu bağlantıları kullanarak, bazı çapsal koşullar altında, bu uzayların kuvvet serisi alt uzaylarının var olup olmadığını araştırmaktır. Birinci bölümde nükleer Fréchet uzaylarının bazı önemli sonuçlarına değinilmiş ve bu tez çalışmasının motivasyonu verilmiştir. İkinci bölümde bazı giriş yapıları ve önemli teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde ikinci sorunun sonsuz tip kuvvet serisi uzayları için olumlu bir cevabının olduğu gösterilmiştir. Sonlu tip kuvvet serileri için ise ilk olarak δ (E) = δ (Λ_{1}(ε)) koşulu altında ∆(E) = ∆(Λ_{1}(ε)) saglandığı ispat edildi. Diğer yön için belirgin sınırlı kümelerin varlığının önemli bir rolü vardır. İkinci soru için, δ (E) = δ (Λ_{1}(ε)) koşulunun sağlanması için gerek ve yeter koşulun E uzayının belirgin sınırlı bir alt kümesinin olması ve ∆(E) = ∆(Λ_{1}(ε)) sağlanması olduğu gösterildi. Dördüncü bölümün ilk kısımında K(a_{k,n}), zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip regüler nükleer bir Köthe uzayı olmak üzere ∆(K(ak,n)) = ∆(Λ_{∞}(ε)) koşulunun sağlanması için gerek ve yeter koşul K(a_{k,n}) uzayının Λ_{∞}(ε) uzayına izomorf olması ve benzer şekilde δ(K(a_{k,n})) = δ(Λ_{1}(ε)) koşulunun sağlanması için gerek ve yeter koşul K(a_{k,n}) uzayının Λ_{1}(ε) uzayına izomorf olması ifadelerini ispat edildi. Dördüncü bölümün ikinci kısımında zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip K(a_{k,n}) nükleer Köthe uzayılarından oluşan bir aile kuruldu. Öncelikle bu ailenin kararlı ε ilişkili eksponansiyel dizisi olan bir elemanı K(a_{k,n}) için ∆(K(a_{k,n})) = ∆(Λ_{1}(α)) ve δ(K(a_{k,n})) = δ(Λ_{1}(α)) olduğunu gösterdik. Daha sonra, bu ailenin kararsız ε ilişkili eksponansiyel dizisi olan herhangi bir elemanı K(a_{k,n}) için ∆(K(a_{k,n})) = ∆(Λ_{1}(ε)) iken δ(K(a_{k,n})) ≠δ(Λ_{1}(ε)) olduğunu ispat ettik. Bu ise ikinci sorunun sonlu tip kuvvet serileri için olumsuz bir cevabının olduğunu gösterir. Bu bilgiyi kullanarak, Teorem 4.3.1'te bu Köthe uzaylarının Λ1(ε) uzayına izomorf bir alt uzayı olmadığını ispat ettik. Dolayısıyla, ilk sorunun da olumsuz bir cevabı vardır. Dördüncü bölümün üçüncü kısımında ikinci bölümde elde ettiğimiz sonuçlardan hareketle bazı ek bilgiler verdik. Mesela bu ailenin kararsız ε ili¸skili eksponansiyel dizisi olan herhangi bir elemanı E için • E uzayı herhangi bir belirgin sınırlı alt kümeye sahip değildir. • E uzayının çapsal boyutu ∆(E) doğal topolojisine göre varilleri dolu değildir ve ultrabornolojik değildir. • ∆(E) = Λ_{1}(ε) ve ∆(E) uzayından Λ_{1}(ε) uzayına giden kapsama tasvirinin grafiği kapalı olmasına rağmen, bu kapsama tasviri sürekli değildir.
Kuvvet serisi uzayları, Fréchet uzayları teorisinin çokça çalışılan ve yapısı iyi bilinen önemli bir sınıfıdır. Fréchet uzaylarının en doğal örnekleri ise zayıf-DN ve Ω özelliklerine sahiptir. Özellikle, analitik fonksiyon uzayları ve homojen eliptik lineer kısmi diferansiyel operatörlerin çözüm uzayları zayıf-DN ve Ω özelliklerine sahiptir. Öte yandan, zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip bir E nükleer Fréchet uzayının çapsal boyutu ∆(E) ve yakla¸sık çapsal boyutu δ(E) özel bir ε ekponansiyel dizisi tarafından üretilen sonlu tip kuvvet serisi uzayı Λ_{1}(ε) ve sonsuz tip kuvvet serisi uzayı Λ_{∞}(ε) ile ilişkilidir. Zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip bir E nükleer Fréchet uzayının çapsal boyutunun ve/veya yaklaşık çapsal boyutunun bir kuvvet serisinin çapsal boyutuna ve/veya yaklaşık çapsal boyutuna eşit olması E uzayının yapı teorisi hakkında önemli bilgiler verir. Örneğin, A. Aytuna, J. Krone ve T. Terzioğlu, [1], zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip bir E nükleer Fréchet uzayının ∆(E) = ∆(Λ_{∞}(ε)) ve ε ekponansiyel dizisi kararlı koşulları altında, Λ_{∞}(ε) uzayına izomorf bir tümler alt uzayının var olduğunu gösterdiler. Öte yandan, A. Aytuna, [2], her zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip uysal E nükleer Fréchet uzayının, δ(E) = δ(Λ_{1}(ε)) ve ε eksponansiyel dizisi kararlı olması durumunda Λ_{1}(ε) uzayına izomorf olduğunu gösterdi. Bu sonuçlar bizi aşagıdaki soruları sormaya yönledirdi: E uzayı zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip bir nükleer Fréchet uzayı ve ε, E uzayının ilişkili ekponansiyel dizisi olsun. 1. Eğer ∆(E) = ∆(Λ_{1}(ε)) ise, E uzayının Λ_{1}(ε) uzayına izomorf bir tümler alt uzayı var mıdır? 2. Eğer E uzayının çapsal boyutu bir kuvvet serisinin çapsal boyutuna eşit ise E uzayının yaklaşık çapsal boyutu da aynı kuvvet serisinin yaklaşık çapsal boyutuna eşit midir ve tersi de doğru mudur? Bu tezin temeli bu iki soru üzerine kurulmuştur ve bu tezin amacı, zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip nükleer Fréchet uzaylarının topolojik değişmezleri arasındaki bağlantıları araştırmak ve bu bağlantıları kullanarak, bazı çapsal koşullar altında, bu uzayların kuvvet serisi alt uzaylarının var olup olmadığını araştırmaktır. Birinci bölümde nükleer Fréchet uzaylarının bazı önemli sonuçlarına değinilmiş ve bu tez çalışmasının motivasyonu verilmiştir. İkinci bölümde bazı giriş yapıları ve önemli teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde ikinci sorunun sonsuz tip kuvvet serisi uzayları için olumlu bir cevabının olduğu gösterilmiştir. Sonlu tip kuvvet serileri için ise ilk olarak δ (E) = δ (Λ_{1}(ε)) koşulu altında ∆(E) = ∆(Λ_{1}(ε)) saglandığı ispat edildi. Diğer yön için belirgin sınırlı kümelerin varlığının önemli bir rolü vardır. İkinci soru için, δ (E) = δ (Λ_{1}(ε)) koşulunun sağlanması için gerek ve yeter koşulun E uzayının belirgin sınırlı bir alt kümesinin olması ve ∆(E) = ∆(Λ_{1}(ε)) sağlanması olduğu gösterildi. Dördüncü bölümün ilk kısımında K(a_{k,n}), zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip regüler nükleer bir Köthe uzayı olmak üzere ∆(K(ak,n)) = ∆(Λ_{∞}(ε)) koşulunun sağlanması için gerek ve yeter koşul K(a_{k,n}) uzayının Λ_{∞}(ε) uzayına izomorf olması ve benzer şekilde δ(K(a_{k,n})) = δ(Λ_{1}(ε)) koşulunun sağlanması için gerek ve yeter koşul K(a_{k,n}) uzayının Λ_{1}(ε) uzayına izomorf olması ifadelerini ispat edildi. Dördüncü bölümün ikinci kısımında zayıf-DN ve Ω özelliğine sahip K(a_{k,n}) nükleer Köthe uzayılarından oluşan bir aile kuruldu. Öncelikle bu ailenin kararlı ε ilişkili eksponansiyel dizisi olan bir elemanı K(a_{k,n}) için ∆(K(a_{k,n})) = ∆(Λ_{1}(α)) ve δ(K(a_{k,n})) = δ(Λ_{1}(α)) olduğunu gösterdik. Daha sonra, bu ailenin kararsız ε ilişkili eksponansiyel dizisi olan herhangi bir elemanı K(a_{k,n}) için ∆(K(a_{k,n})) = ∆(Λ_{1}(ε)) iken δ(K(a_{k,n})) ≠δ(Λ_{1}(ε)) olduğunu ispat ettik. Bu ise ikinci sorunun sonlu tip kuvvet serileri için olumsuz bir cevabının olduğunu gösterir. Bu bilgiyi kullanarak, Teorem 4.3.1'te bu Köthe uzaylarının Λ1(ε) uzayına izomorf bir alt uzayı olmadığını ispat ettik. Dolayısıyla, ilk sorunun da olumsuz bir cevabı vardır. Dördüncü bölümün üçüncü kısımında ikinci bölümde elde ettiğimiz sonuçlardan hareketle bazı ek bilgiler verdik. Mesela bu ailenin kararsız ε ili¸skili eksponansiyel dizisi olan herhangi bir elemanı E için • E uzayı herhangi bir belirgin sınırlı alt kümeye sahip değildir. • E uzayının çapsal boyutu ∆(E) doğal topolojisine göre varilleri dolu değildir ve ultrabornolojik değildir. • ∆(E) = Λ_{1}(ε) ve ∆(E) uzayından Λ_{1}(ε) uzayına giden kapsama tasvirinin grafiği kapalı olmasına rağmen, bu kapsama tasviri sürekli değildir.
Açıklama
Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2020
Anahtar kelimeler
Fréchet spaces,
Fréchet uzayı,
diametral dimensions,
çapsal boyutlar