BE- Hesaplamalı Bilim ve Mühendislik Lisansüstü Programı - Doktora
Bu koleksiyon için kalıcı URI
Gözat
Yazar "Demiralp, Metin" ile BE- Hesaplamalı Bilim ve Mühendislik Lisansüstü Programı - Doktora'a göz atma
Sayfa başına sonuç
Sıralama Seçenekleri
-
ÖgeÇokdeğişkenliliği yükseltilmiş çarpımlar gösteriliminde yeni bir destek işlevi belirleyiş yöntemi(Bilişim Enstitüsü, 2017) Tuna, Süha ; Demiralp, Metin ; 702102003 ; Hesaplamal¹ Bilimler ve Mühendislik ; Computational Science and EngineeringGünümüzde yaşanan olaylar birden çok değişken ya da değiştirgenin (ing: parameter) birbiri ile etkileşimi aracılığıyla ortaya çıkmaktadır. Bu olayların anlaşılması ve ayrıntılarının dile getirilmesi, geçmişte yaşanmış ya da gelecekte yaşanması olası andıran (benzer) olayların çözümleyişinde (ing: analysis) çok önemli bir yer tutar. Andıran durum, bilimcil sorunlar için de geçerlidir. Sözgelimi, bir dizgenin (ing: system) evrimi (ing: evolution), bir ortamın sıcaklığının artımı ya da azalımı, insan damar ağı biçelendirimi (ing: modelling) ve kan akışındaki etkileşimler, tutumbilim (ing: economy) ve değişik ülke paraları arasındaki oranların anlık durumundaki dalgalanışlar gibi olguların tümünde birden çok kavramın birbirinden bağımlı ya da bağımsız olarak değişimi gündeme gelmektedir. Bu yüzden, göz önüne alınan sorunlarda çokdeğişkenliliğin anlaşılması olgusu oldukça önem kazanmaktadır. Bilimle uğraşan bireyler (ing: scientists), ele aldıkları sorunları gözlemleyerek veri (ing: data) toplarlar ve bu verileri etkin biçimde yansıtan çözümcül (ing: analytic) biçeler (ing: models) oluşturmaya çalışırlar. Oluşturdukları biçelerin doğruluğunu andırımlar (ing: simulations) yardımıyla sınarlar. Tüm bu aşamalar, yoğun çokdeğişkenlilik içeren durumlarda oldukça karmaşıklaşır. Bu yüzden, elde edilen biçelerin ayrıştırılarak, kolay işlenebilir duruma getirilmeleri de en az biçeleyiş düzeyinde önem kazanmış olur. Sözkonusu biçeler, uzbilim (ing: mathematics) dilinde çokdeğişkenli işlev (ing: multivariate function) olarak adlandırılır ve bu tür işlevlerin ayrıştırımı sorunu (ing: problem), yukarıda belirtilen nedenlerden ötürü, üzerinde düşünülmesi gereken oldukça önemli bir olgudur. Az önce belirtilen amaç doğrultusunda, Prof. Dr. Metin Demiralp öncülüğündeki Bilişim Enstitüsü Bilgisayım Bilimi ve Yöntemleri Topluluğu (BEBBYT) üyelerince bir takım sayıcıl yöntem (ing: numerical methods) geliştirilmiştir. Bu yöntemlerden biri, günümüzde türlü bilimcil ve ölçmenlik (ing: engineering) sorunları için oldukça etkin olarak kullanılan Çokdeğişkenliliği Yükseltilmiş Çarpımlar Gösterilimidir (ÇYÇG). ÇYÇG, geçmişi 1990'lara dayanan ve Rus sayıtımcı (ing: statistician) Sobol'ca önesürülmüş sayıtım (ing: statistics) tabanlı bir yöntem olan Yüksek Boyutlu Biçe Gösterilim (YBBG) yönteminin bir özelsizleştirimidir (ing: generalization). ÇYÇG ile bir çokdeğişkenli işlevi kendisinden daha az sayıda değişken içeren işlevler türünden yazmak olanaklı olmaktadır. Bu da bilimcil yazında (ing: scientific literature) "ayrıştırım" sözcüğüyle belirtilen kavramdan başka bir şey değildir. Yukarıda sözü edilen "az sayıda değişken içeren işlevler" kavramı ile belirtilmek istenen ise, ÇYÇG bileşenleri ve tekdeğişkenli destek işlevleridir. Tekdeğişkenli destek işlevleri, ilgili ÇYÇG ayrıştırımının oluşturumunda yer alan önemli öğeler olmakla birlikte ÇYÇG'nin YBBG'ye göre daha esnek bir yöntem olarak düşünülebilmesine de olanak sağlar. Bir çokdeğişkenli işlevin ÇYÇG açılımının gerçekleştirilebilmesi için, ilgili işlevin, üzerinde çalışılan çokboyutlu dikgen uzamın (ing: orthogonal geometry) üzerinde çözümcül (ing: analytic) olması gerekir. Bunun yanısıra, ilgili koşulu sağlayan çokdeğişkenli işlevlerin ÇYÇG açılımları (ayrıştırımları) sonlu sayıda terimin üstüste toplanımından oluşmaktadır. Elde edilen açılımın belli sayıda terimi alınıp, geriye kalanlar gözardı edildiğinde ilgili çözümcül çokdeğişkenli işleve bir yaklaştırım gerçekleştirilmiş olur. Bu yaklaştırımın etkinliğini etkileyen birçok neden olmakla birlikte, bunlardan en önemlisi, ÇYÇG yaklaştırımında kullanılan destek işlevleridir. Destek işlevlerinin uygun seçimiyle, göz önüne alınan çokdeğişkenli işleve etkin ÇYÇG yaklaştırımları üretmek olanaklıdır. Bu bağlamda, adı geçen destek işlevlerinin, en etkin ÇYÇG yaklaştırımını verecek şekilde eniyilenişi (ing: optimization) büyük önem taşır. Savda, bu olgu ele alınmış ve araştırımlar bağlamında, ÇYÇG'nde destek işlevi eniyileyişi için etkin bir yöntem elde edilmiştir. Bu yöntemin geliştirimi, aslında, sav araştırımlarının başlangıcında gözlemlenen bir olguya dayanmaktadır. Bu olgu, ÇYÇG ayrıştırımı için üzerinde çalışılan uzamın küçültümünün ÇYÇG yaklaştırımlarının niteliğine olumlu yönde katkı vermesi durumudur. Böylelikle, bir çokdeğişkenli işleve, üzerinde tanımlı olduğu çokboyutlu uzay üzerinde ÇYÇG yaklaştırımı yapmak yerine, bu uzayı aynı sayıda boyut içeren altuzaylara ayırıp ilgili işleve her bir altuzayda ÇYÇG yaklaştırımı uygulama yöntemi benimsenmiştir. Elde edilen yeni yönteme Altkesimcil (ing: piecewise) ÇYÇG denilmiş ve bu yöntem ile yapılan yaklaştırımların, ÇYÇG kullanılarak elde edilen yaklaştırımlara göre daha etkin olduğu sayıcıl uygulamalar ve aşkınizgecil görüntü (ing: hyperspectral imagery) verileri üzerinde gerçekleştirilen uygulayışlar aracılığıyla gösterilmiştir. Altkesimcil ÇYÇG yardımıyla aşkınizgecil görüntüler için özgün bir kayıplı sıkıştırım (ing: lossy compression) uzişi (ing: algorithm) bilimcil yazına kazandırılmış ve umut verici tepe-im-gürültü oranı (ing: peak-signal-to-noise ratio) değerleri elde edilmiştir. Daha dar uzamlarda, etkinliğinin arttırıldığı gösterilen ÇYÇG'nde kullanılan destek işlevlerinin eniyileyişi için saptırım (ing: perturbation) tabanlı bir yöntem geliştirimi olgusu öne çıkmıştır. Bunun nedeni, içerisinde küçük değerli değiştirgeler içeren sorunların, saptırım açılımları kuramı (ing: perturbation expansions theory) yardımıyla etkin biçimde çözülebilmeleri olgusudur. Destek işlevlerinin eniyileyimi sırasında eşleşik (ing: coupled) biçimde olan Fredholm türü tümlev (ing: integral) denklemler ile karşılaşılmaktadır. Bu eşleşik denklemler, savda "Uzamcıl Ayrıştırım" adı verilen yöntem ile ayrışık (ing: uncoupled) ve her bir denklem, özüne-eş (ing: self-adjoint) ve tıkız (ing: compact) bir Hilbert-Schmidt tümlev işlecinin (ing: integral operator) izgecil sorunu (ing: spectral problem) olarak karşımıza çıkmıştır. Bu izgecil sorunların her birinin en baskın özdeğerine karşılık gelen özişlevlerin (ing: eigenfunction) ise, aslında, aranılan eniyilenmiş tekdeğişkenli destek işlevlerinden başka bir şey olmadıkları açıkça gösterilmiştir. Bu bağlamda, savda geliştirilen saptırım tabanlı yöntem, özüne-eş ve tıkız Hilbert-Schmidt tümlev işleçlerinin en baskın özikililerini (ing: eigenpairs) bulmak için geliştirilmiş bir yöntemdir. Bu yöntem aracılığıyla, ilgili tümlev işlecin en baskın özdeğer ve eşlik eden özişlevlerine birer sonsuz saptırım toplamdizisi (ing: series) karşılık getirilmiştir. Bu toplamdiziler, saptırım değiştirgesinin üslülerini içeren sonsuz sayıda terimden oluşmaktadır. Bu terimlerin tümünü birden kullanmak olanaklı olmadığından, ilgili toplamdizide kesme yapılarak, özdeğer ve özişleve yaklaştırım yapımı olanaklı duruma gelmiş olur. Savın amacı doğrultusunda özişlev kavramı öne çıktığından, özişlev için geliştirilen toplamdizinin yakınsaklığı irdelenmiş ve ilgili toplamdizinin karmaşık uzayda boş olmayan bir teker (ing: disc) içerisinde yakınsadığı gösterilmiştir. Elde edilen kuramcıl (ing: theoretical) bulgular sayıcıl uygulamalar aracılığıyla desteklenmiştir. Böylelikle, savda, özüne-eş ve tıkız Hilbert-Schmidt tümlev işleçlerinin izgecil sorununun çözümü amacıyla saptırım tabanlı oldukça etkin ve özgün bir yöntem geliştirilmiştir. Geliştirilen saptırım tabanlı yöntem kullanılarak, bir çözümcül ikideğişkenli işlevin ÇYÇG açılım için destek işlevi üretimi olanaklı duruma gelmiştir. Elde edilen eniyilenmiş destek işlevleriyle, değişik türden ikideğişkenli işlevler için ÇYÇG yaklaştırımları gerçekleştirilmiş ve bulunan sonuçlar eniyileyiş yapılmadan kullanılan destek işlevleri yardımıyla gerçekleştirilen ÇYÇG yaklaştırımlarıyla karşılaştırılmıştır. Bu sonuçlara göre, ilgili toplamdizilerin yakınsaklık tekerleri içerisinde kalındıkça, eniyilenmiş desteklerin, diğer desteklere göre daha etkin ÇYÇG yaklaştırımı sağladıkları gözlemlenmiştir. Böylelikle savın amacı olan ÇYÇG'nin etkinliğinin arttırımı ve bu bağlamda ele alınan destek işlevi eniyileyişi olgusuna ulaşılmıştır.
-
ÖgeSıradan türevli denklemlerin olasılıksal evriminin izgesel niteliklerinde yöney ve katlıdizi tabanlı incelemeler(Bilişim Enstitüsü, ) Gözükırmızı, Coşar ; Demiralp, Metin ; Hesaplamalı Bilim ve Mühendislik ; Computational Science and EngineeringBu çalışmada birinci kerte, açık ve özerk sıradan türevli denklem takımlarının başlangıç değer sorunlarının çözümü için olasılıksal evrim yaklaşımının etkinliğinin artırımına eğilindi. Bu genel anlamda bir etkinlik artırımının oldukça ayrıntılı bir sorun olmasından dolayı, sağ yanı ikinci derece çokçokterimli olan denklem takımlarına odaklanıldı. Daha genel yapılar için, öncelikle ikinci derece çokçokterimli sağ yan işlevleri içeren yapıya getirim olgusu vurgulandı. Olasılıksal evrim yaklaşımının sıklıkla kullanılan yöntemlerle yarışabilir bir duruma gelmesi için ne gibi adımlar atılabileceği bulundu ve ayrıntılı olarak incelendi. Olasılıksal evrim yaklaşımı dolaysızüslü toplamdiziler olarak adlandırılan, Taylor toplamdizileri ile yakından ilintili olan yapılara dayanır. Dolaysızüslü toplamdizilerin önemli özelliği, katsayılarında esneklikler içermesidir. Bu esneklikleri belirlemek için kullanılabilecek olan eşbölünüm ilkesi bu çalışma bağlamında ortaya konmuş ve bir kanıtsav olarak sunulmuştur. Esnekliklerin, değişmezlik eklenimli uzay genişletimi yöntemi ile de birleştirilerek daha etkin bir yöntem oluşturumu için kullanımı ise, yine bu çalışmada ortaya konan dördüllüğe indirgeyim kanıtsavını doğurmuştur. Çizem olarak, birinci kerte, açık ve özerk sıradan türevli denklem takımlarının uzay genişletimi yöntemi ile ikinci derece çokçokterimli sağ yan işlevleri olan bir denklem takımına getirimi, oluşan yapının bu tez bağlamında etkinleştirilen değişmezlik eklenimli uzay genişletimi yöntemi ile yalnızca ikinci derece terimleri içeren yapıya dönüştürümü, bu yapının da olasılıksal evrim yaklaşımı bağlamında cebirsel anlatımlar içeren sonsuz bir toplamdiziye getirimi ve toplamdiziden yapılacak sonlu kesmeler ile yaklaşık çözüm elde edinimi önerilmektedir.
-
ÖgeSıradan Türevli Denklemlerin Sayısal Çözümünde Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi Değişmezlik Ölçeni Eniyilemesi(Bilişim Enstitüsü, ) Altay, Nejla ; Demiralp, Metin ; Hesaplamalı Bilim ve Mühendislik ; Computational Science and Engineering
-
ÖgeSıradan Türevli Denklemlerin Uzay Geni Şletme İle Evrensel Bir Biçime Dönüştürülmesi Ve Kesme Yaklaştırımları(Bilişim Enstitüsü, ) Altınbaşak, Sevda Üsküplü ; Demiralp, Metin ; Hesaplamalı Bilim ve Mühendislik ; Computational Science and EngineeringBu tezde, matris katsayılı türevli denklemler evrenselbir biçime dönüştürülerek asıl yapılarından işlenmesi daha kolay yapılara dönüşüm sağlanmıştır.Sözü edilen dönüşüm uzay genişletme kavramı kullanılarak gerçekleştirilmektedir. Öncelikle denklem uzay genişletme kavramı kullanılarak yeni bir evrensel biçime dönüştürülür ve sonra da bu genel yapının seri çözümü elde edilir. Elde edilen seri çözümün katsayıları ikili bir özyineli ilişkiyi sağlamaktadır. Bu çalışmanın asıl amacı elde edilen çözümden kesmeler yaparak yaklaşık çözüm üreten bir yapı oluşturmaktır. Geliştirilen yöntemin sonuçları, ilgilenilen aralığın değişik noktalarında saptırım açılımları kullanılarak güçlendirilmektedir. Matris katsayılı türevli denkleme saptırım değiştirgesi eklenmekte ve denklem Maclaurin serisine açılmaktadır. Böylece katsayıları iki terimli özyinelemeyi sağlayan bir kesme yaklaştırımı elde edilmektedir. Oluşturulan kesme yaklaştırımları için yakınsaklık ölçütleri incelenmiş ve hata analizi yapılmıştır. Bu çalışmada üzerinde durulan bir diğer olgu da doğrusal olmayan türevli denklemlerin çözümüne yöneliktir. Öncelikle sendelenimsizlik yaklaştırımı kullanılarak göretürevli denklemler aracılığı ile doğrusal olmayan matris katsayılı türevli denklemler üretilmektedir. Daha sonra da göretürevli denklemlere uzay genişletme uygulanarak evrensel biçim oluşturulmakta ve bu biçimin seri çözümü elde edilmektedir. Göretürevli denklemler kullanılarak doğrusal olmayan denklem takımı üretmek oldukça önemli bir bulgudur. Bu, doğrusal olmayan denklem takımı çözmek zorunda kalmadan bu tür denklemlere çözüm üretilmesini sağlar.
-
ÖgeYüksek Boyutlu Model Gösterilimi İle Veri Bölüntüleme Yönteminin Koşutlaştırılması(Bilişim Enstitüsü, ) Kanal, M. Engin ; Demiralp, Metin ; Hesaplamalı Bilim ve Mühendislik ; Computational Science and EngineeringYalnızca uzaydaki belli noktalardaki degerleri verilmiş çok de ğişkenli bir f(x1,x2,··· ,xN) işlevine alışılagelmiş yöntemlerle içdegerbiçim işlemi yapılması boyut sayısı arttıgında birer başbelası durumuna gelir. Bu tür işlevler için do ğrudan bilgisayar programcılıgı ile çözüm aramak yerine ilk olarak bu işlevleri bilgisayar programlaması açısından daha kolay ele alınacak, matematiksel olarak, etkili bir yapıya getirmek gerekir. Bu amaçla bu işleve yaklaştırım yapan bir böl–ve–yönet algoritması geliştirilmiştir. Bu yaklaştırım sayesinde çok degişkenli ˘ f işlevi çok daha düşük boyutlu terimlerle ifade edilebilmektedir. Bu yaklaştırıma Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi (YBMG) adı verilmektedir. Bu yöntem çeşitli çalışmalarla başarılı bir şekilde uygulanmıştır. Fakat bu yöntem bu haliyle büyük veri hacmine sahip problemler üzerinde uygulanamaz. Problemdeki boyut sayısı ve boyutlardaki dügüm noktaları sayıları arttıgında veri hacmi öyle büyür ki alışılagelmiş PC’ler verinin gereksinim duydugu yüksek RAM sığasını karşılayamaz. Diğer bir önemli problem de YBMG terimlerini hesaplamakta kullanılan eşitliklerin yapılarıdır. Eşitlikler için yazılmış algoritmadaki döngü sayıları problemdeki boyut sayısına bagımlıdır. Bu çalışmada ilk olarak YBMG terimlerini hesaplamakta kullanılan eşitlikler iyileştirilmiştir. Bu iyileştirme sonucunda eşitliklerin problemdeki boyut sayısına bagımlılı ğı ortadan kaldırılmıştır. İyileştirilmiş eşitlikler sayesinde yöntem koşutlaştırmaya uygun bir hale getirilmiştir. Son olarak da yöntemin koşutlaştırmasının başarımı çözümlenmiştir.