Sıradan Türevli Denklemlerin Uzay Geni Şletme İle Evrensel Bir Biçime Dönüştürülmesi Ve Kesme Yaklaştırımları

Abstract

Bu tezde, matris katsayılı türevli denklemler evrenselbir biçime dönüştürülerek asıl yapılarından işlenmesi daha kolay yapılara dönüşüm sağlanmıştır.Sözü edilen dönüşüm uzay genişletme kavramı kullanılarak gerçekleştirilmektedir. Öncelikle denklem uzay genişletme kavramı kullanılarak yeni bir evrensel biçime dönüştürülür ve sonra da bu genel yapının seri çözümü elde edilir. Elde edilen seri çözümün katsayıları ikili bir özyineli ilişkiyi sağlamaktadır. Bu çalışmanın asıl amacı elde edilen çözümden kesmeler yaparak yaklaşık çözüm üreten bir yapı oluşturmaktır. Geliştirilen yöntemin sonuçları, ilgilenilen aralığın değişik noktalarında saptırım açılımları kullanılarak güçlendirilmektedir. Matris katsayılı türevli denkleme saptırım değiştirgesi eklenmekte ve denklem Maclaurin serisine açılmaktadır. Böylece katsayıları iki terimli özyinelemeyi sağlayan bir kesme yaklaştırımı elde edilmektedir. Oluşturulan kesme yaklaştırımları için yakınsaklık ölçütleri incelenmiş ve hata analizi yapılmıştır. Bu çalışmada üzerinde durulan bir diğer olgu da doğrusal olmayan türevli denklemlerin çözümüne yöneliktir. Öncelikle sendelenimsizlik yaklaştırımı kullanılarak göretürevli denklemler aracılığı ile doğrusal olmayan matris katsayılı türevli denklemler üretilmektedir. Daha sonra da göretürevli denklemlere uzay genişletme uygulanarak evrensel biçim oluşturulmakta ve bu biçimin seri çözümü elde edilmektedir. Göretürevli denklemler kullanılarak doğrusal olmayan denklem takımı üretmek oldukça önemli bir bulgudur. Bu, doğrusal olmayan denklem takımı çözmek zorunda kalmadan bu tür denklemlere çözüm üretilmesini sağlar.

In this thesis, it is focused on the conversion of matrix ordinary differential equations to certain universal forms which can be handled more easily than their original structures. Conversion to new form is realized by using space extension approach which introduces new unknowns into equation. First, the differential equation is converted into a new universal form by using space extension approach. Then a series solution to this common form is sought. The coefficients of this solution form a two term recursion. Main purpose of this work is to construct approximate solutions by truncating this series solution. This method presented here is empowered by using perturbation expansions at the other end point of the interval under consideration. A perturbation parameter is introduced into the matrix ordinary differential equation and the equation is expanded into Maclaurin series whose coefficients satisfy a two term recursion and thus a new truncation approximation is constructed. We also investigated the convergence and error estimates for these truncation approximants. The nonlinear matrix ordinary differential equations are also concerned in the thesis. First, fluctuation free approximation is used in order to obtain nonlinear matrix ordinary differential via certain partial differential equations. Then, space extension concept is applied to partial differential equations. This is a very important fact that we obtain a system of nonlinear ordinary differential equations by using partial differential equations. This prevents us from solving nonlinear ODEs. We get a solution for them by solving related PDEs via space extension approach.