FBE- Fizik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Doktora
Bu koleksiyon için kalıcı URI
Gözat
Yazar "Dayı, Ömer Faruk" ile FBE- Fizik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Doktora'a göz atma
Sayfa başına sonuç
Sıralama Seçenekleri
-
ÖgeBerry Ayar Alanları Cinsinden Dirac Sistemleri Ve Bir Topolojik Yalıtkanın Efektif Alan Kuramı(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2015-10-23) Yunt, Elif ; Dayı, Ömer Faruk ; 10060258 ; Fizik Mühendisliği ; Physics EngineeringBerry ayar alanları cinsinden Dirac sistemleri ve zaman tersinmesi altında değişmez bir topolojik yalıtkanın etkin alan kuramı incelenmiştir. Dirac sistemleri ya da diğer bir ismi ile Dirac-benzeri sistemler, kütleli ve ya kütlesiz Dirac Hamilton fonksiyonu ile betimlenen yoğun madde sistemleridir. Tezde incelenen Dirac sistemleri zaman tersinmesi altında değişmez kalan topolojik yalıtkanlardır. Topolojik yalıtkanlar, iç kısımlarında yalıtkan olmalarına rağmen iletken kenar durumlarına sahip olan ve topolojik değişmezler ile karakterize edilen sistemlerdir. \\ Maddenin simetri kırılması ile sınıflandırılması bilinmektedir. Katı-sıvı- gaz sistemleri öteleme simetrisinin kırılması ile, manyetik malzemeler, dönme simetrisinin kırılması ile ve süperiletkenlik ayar simetrisinin kırılması ile betimlenmektedir. Topolojik yalıtkanın betimlemesi simetri kırılması ile verilememektir ve böylece topolojik yalıtkan, topolojik olarak betimlenen maddenin yeni bir fazı olarak ortaya çıkmıştır. Sıradan yalıtkan topolojik olarak bakıldığında trivial bir yapıda olmasına rağmen topolojik yalıtkan trivial olmayan bir yapıdadır. Topolojik yalıtkan kavramının ortaya çıkması esas olarak kuantum Hall olayının topolojik bir faz olduğunun anlaşılması ile başlamıştır. \\ Klasik Hall olayında dış bir manyetik alan içerisinde ilerleyen yüklü parçacıklar, manyetik alana ve ilerleme yönüne dik bir elektrik alan ve yük akımı oluştururlar. Oluşan yük akımı ile dik elektrik alanın oranı Hall iletkenliği ile verilir. Hall iletkenliği, dış manyetik alan ile sürekli ve doğru orantılı olarak artar. İki boyutlu etkileşmeyen elektron sisteminde düşük sıcaklık ve yüksek manyetik alan altında meydana gelen kuantum Hall olayında ise kuantum Hall iletkenliği $\frac{e^2}{h} \ '$ nin tamsayı katları olacak şekilde kuantize değerler almaktadır. Enine iletkenlikteki bu kuantizasyon $10^9$ mertebesinde hassastır. Safsızlıklardan etkilenmemektedir. Kuantum Hall sisteminin oluşumu herhangi bir simetri kırılması ilkesi ile verilememiştir. Kuantum Hall iletkenliğini betimleyen kuantize tamsayının topolojik bir değişmez olduğunun gösterilmesi ile beraber kuantum Hall sistemi topolojik fazların ilk örneği olarak ortaya çıkmıştır. Topolojik değişmezler, ilgili topolojik uzaya ait olan ve sürekli deformasyonlar altında değişmez kalan sayılardır. Kuantum Hall olayının, topolojik fazların ilk örneği olarak ortaya çıkması ile yoğun madde sistemlerinin incelenmesinde geometri ve topoloji önem kazanmaya başlamıştır. İki boyutlu bir sistem olan grafen yapraklarında yük taşıyıcıların etkin olarak kütlesiz Dirac denklemini sağladığının gösterilmesi de bu gelişmede önemli bir aşama olmuştur. Zira, Dirac Hamilton fonksiyonunun topolojik özellikleri, yankı uyandıran bu gelişmeler olduğunda halihazırda önemli bir araştırma konusuydu. Berry ayar alanları, Dirac Hamilton fonksiyonu ile betimlenen yoğun madde sistemlerinin topolojik yapısını incelemek için kullanılmıştır. Berry ayar alanından elde edilen Berry eğriliği topolojik bir değişmez olan Chern sayısının hesaplanmasını sağlar. Zaman tersinmesine sahip bir topolojik yalıtkanın Chern sayısı sıfırdan farklı çıkmaktadır. \\ Teorik altyapıyı oluşturmak icin öncelikle graphene üzerindeki kütlesiz $2+1$ boyutlu Dirac Hamilton fonksiyonunun çıkarımı verilmiştir. En yakın komşu etkileşmesi içeren sıkı bağlanma Hamilton yoğunluğundan başlayarak, Dirac noktaları etrafında ve sürekli limitte kütlesiz $2+1$ boyutlu Dirac Hamilton fonksiyonu elde edilir. Grafen, karbon atomlarından oluşan iki boyutlu altıgen bir örgü yapısına sahiptir. Altıgen Brillouin bölgesinin kenar noktaları Dirac noktaları olarak adlandırılır. Grafenin kuramsal açıdan önemi, enerji dağınım bağıntısının Dirac noktaları civarında lineer olması ve bu noktalar civarında yapılan yaklaşıklık ile elektronların grafen üzerinde etkin olarak $2+1$ boyutlu kütlesiz Dirac denklemini sağlamasıdır. Foldy-Wouthuysen dönüşümü, Dirac Hamilton fonksiyonunu köşegenleştirmeye yarayan bir dönüşümdür. Foldy-Wouthuysen dönüşümü kullanılarak bir ayar alanı tanımlanabilir. Bu saf bir ayar alanıdır ve ilgili eğrilik özdeş olarak sıfırdır. Foldy- Wouthuysen dönüşümü ile edilen ayar alanının pozitif enerji özdurumları üzerine izdüşümü alınırak Berry ayar alanı ve Berry ayar alanı kullanılarak ilgili Berry eğriliği tanımlanır. Bu şekilde Berry ayar alanı ve Berry eğriliği herhangi bir boyutta tanımlanabilir. $2+1$ boyutta Berry eğriliğinin entegrali birinci Chern sayısını verir. $4+1$ boyutta Berry eğriliği uygun bir şekilde entegre edilerek ikinci Chern sayısı elde edilir. \\ Dirac-benzeri denklem sağlayan fiziksel sistemler için kuantum spin Hall etkisinin incelemesi yarı klasik bir formulasyon ile yapılmıştır. Bu incelemede diferansiyel formlar kullanılmıştır. Kullanılan yarı klasik formulasyonda, klasik faz uzayı değişkenleri olan konum ve momentum dinamik serbestlik değişkenleri iken spin dinamik bir serbestlik derecesi olarak alınmamıştır. Spin, kullanılan yarı klasik formulasyonun matris değerli büyüklükler içermesinde kendini göstermektedir. Herhangi bir boyutta Dirac denkleminin pozitif enerji çözümleri kullanılarak kurulan dalga paketi yoluyla dalga paketinin dinamiğini betimleyen 1-form elde edilmiştir. Bu 1-form kullanılarak herhangi bir boyuttaki simplektik 2-form elde edilmiştir. $2+1$ boyutlu simplektik 2-form ve Liouville denklemi kullanılarak, yarı klasik hareket denklemleri elde edilmiştir. Bu hareket denklemlerinin yardımıyla, faz uzayı ölçüsü, konum ve momentumun zaman evrimleri için klasik faz uzayı değişkenleri konum ve momentum cinsinden yarı klasik denklemler elde edilmiştir. Spin Hall akımı faz uzayı ölçüsü ve konumun zaman evrimi ile tanımlanmıştır. Formulasyon, anomal kuantum Hall etkisi, Rashba spin yörünge etkileşmesi içeren ve içermeyen Kane-Mele modeli üzerinden örneklenmiştir. Rashba spin yörünge etkileşmesi içeren ve içermeyen Kane-Mele modeli örneklerinde kuantum seviyesinde spinin korunup korunmadığından bağımsız olarak spin Hall iletkenliğine gelen temel katkının spin Chern sayısı ile verildiği gösterilmiştir. Spin Chern sayısı, yukarı spin taşıyıcıları ile ilgili Chern sayısı ile aşağı spin taşıyıcıları ile ilgili Chern sayısının farkının yarısı olark tanımlanır. \\ Kane-Mele modeli, zaman tersinmesi simetrisine sahip $2+1$ boyutlu içsel spin yörünge etkileşmesi içeren grafen modelidir. Bu teorik model, grafende spin yörünge etkileşmesi sayesinde spin Hall olayının gerçekleşebileceğini öngörmektedir. Kane-Mele modeli, zaman tersinmesi simetrisine sahip topolojik yalıtkanların ilk örneğidir. Matematiksel olarak, spin yörünge etkileşmesi Dirac Hamilton yoğunluğunda kütle benzeri bir terim olarak ortaya çıkmıştır. Bu kütle benzeri terim Dirac noktaları için ters işaretli olarak gelmektedir. Ayrıca her Dirac noktasında, yukarı spin taşıyıcıları ve aşağı spin taşıyıcıları için iki ayrı Hamilton fonksiyonu mevcuttur. Spin yörünge teriminin yol açtığı enerji aralığını geçen kenar durumları kuantum spin Hall olayının oluşmasını sağlar. Kuantum spin Hall iletkenliği, topolojik olarak korunan kenar durumları vasıtasıyla taşınan ters spin akımlarının zıt yönlü ilerlemesi ile gerçekleşmektedir ve sistemin Hamilton yoğunluğunun zaman tersinmesi simetrisine sahip olmasını gerektirmektedir. Bu model, grafendeki içsel spin yörünge etkileşmesinin çok küçük olmasından dolayı fiziksel olarak gerçeklenebilir olmamasına rağmen, zaman tersinmesi altında değişmez kalan topolojik yalıtkanların teorisinin oluşmasını sağlamıştır. Kane-Mele modeli için Foldy-Wouthuysen dönüşümleri kullanılarak Berry ayar alanı ve ilgili Berry eğriliği hesabı yapılmıştır. Ayrıca Rashba spin yörünge etkileşmesi içeren Kane-Mele modeli incelenmiştir. Rashba spin yörünge etkileşmesi ilgilenilen spin yönündeki korunumunu bozar. Sadece içsel spin yörünge etkileşmeli Kane-Mele modelinden en büyük farkı budur. Rashba spin yörünge etkileşmesi içeren Kane-Mele modeli için hem enerji özdurumları bazında hem de ilgilenilen spin bileşeninin özdurumları bazında Berry ayar alanı hesabı ve ilgili Berry eğriliği hesabı yapılmıştır. Bu model için, ilgilenilen spin bileşeninin köşegen olduğu bazda Berry eğriliği de köşegendir. Dolayısıyla spin Hall iletkenliği hesaplanabilmiştir. Kullanılan yarı klasik formulasyon ile, $2+1$ boyutta spin Hall iletkenliği hem elektrik alanda hem Berry eğriliğinde lineer olan konumun zaman evriminden elde edilmiştir. Bu anomal hız terimi herhangi bir $d+1$ boyutta mevcuttur. \\ Ayrıca, $2+1$ ve $4+1$ boyutta Chern-Simons kuramı ve bir boyut indirgeme yöntemi ile topolojik yalıtkanların alan kuramsal bir incelemesi sunulmuştur. Chern-Simons eylemleri, dış ayar alanları içeren Dirac eylemlerinin etkin alan kuramları olarak ortaya çıkar. Etkin alan kuramı, ilgili yol entegralinde fermiyon serbestlik dereceleri entegre edilerek elde edilir. Öncellikle, $2+1$ boyutta zaman tersinme simetrisi içermeyen kuantum Hall olayının topolojik alan kuramı incelenmiştir. $2+1$ boyutlu zaman tersinmesi simetrisine sahip bir topolojik yalıtkanın etkin alan kuramı $2+1$ boyutlu Chern-Simons kuramı ile verilmiştir. $2+1$ boyutlu Chern-Simons kuramı birinci Chern sayısı ile orantılıdır ve $2+1$ boyutlu Chern-Simons eyleminden elde edilen akım ifadesinde birinci Chern sayısı yer alır. Boyutsal indirgeme yöntemi kullanılarak ve yük kutuplanması açıkca elde edilerek $2+1$ boyutlu Chern-Simons kuramından elde edilen $1+1$ boyutlu bir kuram sunulmuştur. Daha sonra temel topolojik yalıtkanı betimlediği gösterilen $4+1$ boyutlu Chern-Simons kuramı incelenmiştir. $4+1$ boyutlu kütle benzeri terim içeren Dirac kuramının Foldy-Wouthuysen dönüşümü kullanılarak elde edilen Berry ayar alanı ve ilgili Berry eğriliğinin hesabı ayrıntılı olarak sunulmuştur. Bu Berry ayar alanı Abelyen olmayan bir ayar alanıdır. İlgili Berry eğriliği kullanılarak ikinci Chern sayısı hesaplanmıştır. $4+1$ boyutlu zaman tersinmesi simetrisine sahip bir topolojik yalıtkanın etkin alan kuramı $4+1$ boyutlu Chern-Simons kuramı ile verilmiştir. $4+1$ boyutlu Chern-Simons kuramının katsayısı ikinci Chern sayısı ile orantılıdır ve $4+1$ boyutlu Chern-Simons eyleminden elde edilen akım ifadesinde ikinci Chern sayısı yer alır. Bu etkin alan kuramından boyut indirgeme yöntemi kullanılarak $3+1$ ve $2+1$ boyutlu kuramlar elde edilmiştir. Grafendeki kuantum spin Hall olayından esinlenerek, $3+1$ boyutta yitimsiz spin Hall akımına yol açan, zaman tersinme simetrisine sahip kuramsal bir topolojik yalıtkan modeli öne sürülmüştür. $2+1$ boyutlu indirgenmiş eylemde yer alan ayar alanlarının açık formu elde edilmiştir. Modelin zaman tersinme simetrisi açıkca gösterilmiştir. Sunulan ayrıntılı çıkarımlar topolojik yalıtkanların $\mathbb{Z}_2$ sınıflandırılmasını takip edilebilir bir şekilde tartışılmasını sağlamaktadır. Bu bölümde sunulan yaklaşımın Foldy-Wouthuysen dönüşümünün pertürbatif olarak geçerli olduğu etkileşim içeren Dirac sistemlerine de genelleştirilmesi prensipte mümkündür.
-
ÖgeDirac-benzeri Hamilton Yoğunluklarının Ve Berry Ayar Alanlarının Çeşitli Fiziksel Sistemlere Uygulamaları:alan Kuramı Metotları(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2014-09-29) Elbistan, Mahmut ; Dayı, Ömer Faruk ; 10053755 ; Fizik Mühendisliği ; Physics EngineeringBu çalışmada kütleli ve kütlesiz Dirac benzeri Hamilton yoğunlukları ve onlar vasıtasıyla türetilen Berry ayar alanlarının çeşitli sistemlere kuantum alan kuramları yöntemleri ile uygulamaları çalışılmıştır. İlk yapılan çalışmalar, $2+1$ boyutlu zaman tersinmesi altında simetrik topolojik yalıtkanların etkin alan kuramları yoluyla fiziksel özelliklerinin tespit edilmesi ile ilgilidir. Tek atom kalınlığında, $2$ boyutlu bir malzeme olan grafen, düşük enerji limitinde, momentum uzayında doğrusal bir enerji-momentum ilişkisine sahiptir. Bu ilişki nedeniyle grafendeki yük taşıyıcıları etkin olarak Dirac benzeri bir Hamilton yoğunluğu ile ifade edilir. Spin-yörünge etkileşiminin etkisiyle sözkonu Hamilton yoğunluğu kütle terimi de kazanır. Bu özellikler grafen gibi bir yoğun madde sisteminin, yüksek enerji fiziğinin argümanları ile incelenmesine olanak verir. Çalışmada Foldy-Wouthuysen dönüşümü ile kütleli Dirac Hamilton fonksiyonu köşegenleştirimiş ve ilgili köşegenleştirme matrisinin pozitif alt uzaya izdüşürülmesi ile Berry ayar alanları hesaplanmıştır. Berry ayar alanlarına ait eğrilikler elde edilmiş ve ilgili Chern sayıları tanımlanmıştır. Sürekli limitte, $2+1$ boyutlu, kütleli Dirac Lagrange yoğunluğu Feynman yol integrali metodu ile kuantize edilmiştir. Yol integralinde fermiyonik alanların integre edilmesiyle dış elektromanyetik alan cinsinden topolojik Chern-Simons etkin eylemi elde edilmiştir. Sözkonusu eylemin katsayısı topolojik bir değişmez olan fermiyon propagatörünün "dönme sayısı"dır. Serbest Dirac Hamilton yoğunluğunun propagatörü pozitif ve negatif alt uzaylara izdüşüren işlemciler vasıtasıyla ifade edilmiş ve bu sayede $2+1$ ve $4+1$ boyuttaki etkin eylemlerin katsayılarının, topolojik Chern sayılarına eşit olduğu gösterilmiştir. Sonrasında, yine $2+1$ boyutlu Kane-Mele modeli bu sefer Rashba spin-yörünge etkileşiminin eklenmesi durumunda incelenmiştir. Rashba spin yörünge etkileşiminin mevcut olması spin operatörünün $z$ yönündeki bileşeninin korununumlu bir büyüklük olmamasına yol açar. Yine de spin Hall evresi ve bu evrenin iletkenliğini benzer metotlarla incelemek mümkündür. $2+1$ boyutlu Kane-Mele modeline Rashba terimi de eklenmiş, oluşan Hamilton yoğunluğu köşegenleştirilmiştir. Köşegenleştirme matrisinden pozitif alt uzaya izdüşürülmek suretiyle Berry ayar alanı ve onu kullanarak Berry eğriliği tanımlanmıştır. $2+1$ boyutlu Dirac parçacığının elektromanyetik ve spin ayar alanları ile etkileşen kuramı ele alınmıştır. Spin akımının doğru tanımlanabilmesi için spin operatörünün $z$ yönündeki bileşeni kuramda spin ayar alanının önüsıra yazılmış ve ilgili bölüşüm fonksiyonunda fermiyonlar integre edilmiştir. Bir ilmek mertebesindeki kuantum düzeltmeleri, dış elektromanyetik ve spin ayar alanları cinsiden topolojik kuramlar vermişlerdir. Bu kuramların katsayıları da ilgili fermiyon propagatörlerinin dönme sayılarına karşılık gelmektedirler. Bu katsayılar izdüşüm işlemcileri kullanılarak hesaplanmıştır. Zaman tersinmesi altında simetrik bir kuram ile ilgilenildiğinden sıfır olmayan tek katsayı zaman tersinme simetrisine sahip spin Hall akımını veren eylemin katsayısıdır. Sözkonusu eylem BF tipi topolojik bir eylemdir. Bu eylemin elektromanyetik alana tepkisi spin Hall akımını vermektedir. Eylemin başındaki katsayının spin Hall olayının iletkenliğine eşit olduğu gösterilmiş ve analitik ve numerik yöntemlerin yardımı ile hesaplanmıştır. Sonuç, Kane-Mele tarafından tartışılan Rashba spin-yörünge etkileşiminin varlığının kuantize iletkenliği az da olsa bozması öngörüsü ile uyumludur. Topolojik yalıtkanlarla ilgili son yapılan çalışma $3+1$ boyutlu zaman simetrisi altında değişmez topolojik yalıtkanları içermektedir. Sözkonusu yalıtkanların kuramı $4+1$ boyutlu kuramlardan boyut indirgeme yöntemi vasıtasıyla elde edilmektedir. Bu etkin kuramın parçacık fiziğinde de karşılaşılan $\theta$ vakum eylemi formatında olduğu bilinmektedir. Bu çalışmada ise doğrudan $3+1$ boyutta, yüksüz fermiyonlar ve onların çift kutup etkileşimlerini içeren bir Lagrange yoğunluğu önerilmiştir. Sözkonusu yüksüz sanki parçacıkların nasıl oluştuğu bilinmemektedir, orijinal Dirac parçacıkları olan elektronlar ve deşiklerin yüksüz bir fermiyon oluşturamayacağı da açıktır. Lakin böyle yüksüz fermiyonlar etkin olarak sanki parçacıklar şeklinde karşımıza çıkabilirler. Daha önceki çalışmalarda olduğu gibi yüksüz fermiyonların bölüşüm fonksiyonu içerisinde integre edilmeleri sonucu dış elektromanyetik alanlara bağlı topolojik eylem elde edilmiştir. $3+1$ boyutta çalışıldığı için parametrelerin uygun şekilde renormalize edilmeleri gerekmektedir. Elde edilen etkin eylem, beklenildiği üzere $\theta$ vakum eylemidir. Sözkonusu eylemin uzay-zamanda hangi katman üzerinde yazılacağı bilinmemekle birlikte, bazı tıkız katmanlar üzerinde uygun normalizasyon katsayısı ile birlikte, kuantize bir sayı vereceği bilinmektedir. Bu bağlamda $3+1$ boyuttaki kesirli topolojik yalıtkanlar da tartışılmıştır. Öte yandan $3+1$ boyutlu topolojik yalıtkanlar için BF tipi etkin eylemler de önerilmektedir. Sözkonusu etkin eylemleri yine yüksüz sanki parçacıkların kuramı vasıtasıyla elde etmenin mümkün olduğu da gösterilmiştir. Yöntem olarak yine ilgili yol integralindeki fermiyonlar integre edilerek bir halka mertebesindeki terimlere bakmak yeterlidir. Sonuç olarak, yüksüz fermiyonlar $3+1$ boyutlu topolojik yalıtkanların etkin eylemlerini oluşturmak için her iki biçimde de kullanılabilirler. Çalışmanın daha sonraki kısmında kütlesiz Dirac Hamilton fonksiyonu, bu Hamilton fonksiyonunun köşegenleştirilmesi sırasında türetilen Berry ayar alanları ve onların çeşitli sistemlere uygulamaları üzerinde yoğunlaşılmıştır. Tüm çift uzay-zaman boyutlarında kütlesiz Dirac Lagrange yoğunluğunun, ayar simetrisi dışında bir de kiral simetrisi vardır. Sözkonusu kuramın elektronlarını sağ ve sol elli olarak sınıflandırmak mümkündür. Bu simetri, ayar simetrisinin belirttiği sağ ve sol elli elektronların toplamının yani elektrik akımının korunumunun dışında, klasik olarak sağ ve sol elli parçacıklara ait akımların ayrı ayrı da korunduğu anlamına gelir. Lakin bu simetri kuantizasyon sırasında regülarizasyon nedeni ile bozulmaktadır. Klasik kuram içerisinde korunan bir akımın kuantum seviyesinde korunmamasına anomali denmektedir. Kuantum kuramında akımı korunmamasına yol açan terim topolojik Chern karakteri cinsinden her çift uzay zaman boyutunda verilebilmektedir. Öte yandan son yapılan çalışmalar yarıklasik limitte de kiral anomalinin oluştuğunu göstermektedir. Dinamik sistemlerin yarı-klasik analizi tanım olarak çeşitli belirsizlikler içerir. Çünkü spin dinamiği gibi kuantum mekaniksel olgular klasik faz uzayında incelenir. Çalışmada $3+1$ ve $5+1$ boyutlu Weyl Hamilton fonksiyonları ele alınmıştır. Faz uzayında çalışılacağı için hesaplamalar diferansiyel formlarla yapılmıştır. Bu Hamilton fonksiyonları belirli kiralliğe sahip parçacıkları içermektedir. $3+1$ boyutlu Weyl Hamilton fonksiyonunun köşegenleştirilmesinden Abelyan bir Berry ayar alanı türetilmiştir. Böylelikle Hamilton fonksiyonunun pozitif enerjili kısmı kullanılarak klasik faz uzayında, bir Weyl parçacığının elektromanyetik ve Berry ayar alanları ile etkileşimini tarif eden Hamilton 1-form yazılmıştır. Sözkonusu 1-formun dış türevi alınarak simplektik 2-form elde edilmiştir. Weyl Hamilton fonksiyonundan elde edilen Berry eğriliğinin, momentum uzayında ortaya çıkan bir tekkutbun alanı olduğu gösterilmiştir. Faz uzayının hacim-formu, hem simplektik 2-formun kuvveti hem de simplektik matrisin determinantının karekökü cinsinden tanımlanmıştır. Hareket denklemleri türetilmiştir. Kiral anomaliyi elde etmek için faz uzayı hacim-formunun her iki tanımını da kullanarak Liouville denklemine ulaşılmıştır. Bir tekkutup alanına eşit olduğu için, Berry eğriliğinin dış türevi Dirac delta fonksiyonuna eşittir. Bu nedenle faz uzayı hacmi korunmamaktadır. Uygun bir dağılım fonksiyonu kullanarak çok paçacıklı sistemlere geçiş yapılmış ve kiral anomali ifadesi tam olarak türetilmiştir. "Kiral manyetik etki"nin elde edilmesi için de faz uzayının hacmi, hacim-formunun kuvveti cinsinden açıkça yazılmış ve Lie türevi alınmıştır. Ortaya çıkan ifadeden faz uzayı elemanlarının hareket denklemleri ve simplektik matrisin determinantının karekökü elde edilmiştir. Bu sayede kiral akım tanımlanmış ve kiral manyetik etki kısmı (akımın manyetik alan yönündeki bileşeni) açıkça gösterilmiştir. Sonrasında $5+1$ boyutlu Weyl Hamilton fonksiyonu ele alınmıştır. Bu Hamilton fonksiyonunun pozitif enerjili özvektörleri bulunmuş ve onlardan Berry ayar alanları ve Berry eğrilikleri açıkça hesaplanmıştır. $3+1$ boyuttakine benzer şekilde simplektik 2-form tanımlanmıştır. Fakat $5+1$ boyutlu uzay-zamanda Weyl Hamilton fonksiyonunun köşegenleştirilmesinden türetilen Berry ayar alanları Abelyan değillerdir. Bu nedenle simplektik 2-form öncekinden farklı olarak matris değerli olma özelliğini taşımaktadır. Bu durumda faz uzayı elemanlarına ait hız ifadelerinin uygun boyutlu matrisler ile tanımlanmaları önerilmiştir. Elde edilen hareket denklemleri de matris denklemlerdir. Temel varsayım spin ve koordinat uzaylarının ayrı ayrı ele alınabileceğidir. Bu varsayıma dayanarak matris değerli hacim-formu da tanımlanmıştır. $3+1$ boyuttakine benzer şekilde hacim-formun her iki tanımı da kullanılarak Liouville denklemi elde edilmiş ve en sonunda spin uzayı üzerinde iz işlemi yapılarak $5+1$ boyutlu kiral anomali ifadesine ulaşılmıştır. Bu boyuttaki kiral manyetik akıma ulaşmak için ise matris değerli hacim-formun simplektik matrisin kuvveti cinsiden tanımının Lie türevi alındıktan sonraki hali açıkça elde edilmiş ve matris değerli hareket denkleminin izi alınarak kiral manyetik etki terimi başarıyla elde edilmiştir. $3+1$ ve $5+1$ boyutta yarıklasik kiral anomali ve kiral manyetik akım aynı formülasyon içerisinde elde edildikten sonra bu işlem tüm $d+1$ çift uzay-zaman boyutlarına genelleştirilmiştir. Bunun için yine ilk olarak matris değerli simplektirk formun genel hali yazılmış ve hareket denklemlerinin genel hali elde edilmiştir. Hacim-formun $2d+1$ boyutlu faz uzayındaki tanımı hem simplektik 2-formun kuvveti biçiminde hem de simplektik matrisin determinantının karekökü cinsinden tanımlanmıştır. $5+1$ boyuttakine benzer şekilde, her çift $d+1$ boyutta da Berry eğriliklerinin tekkutup alanı verdiği gösterilmiş ve Liouville denklemi kullanılarak $d+1$ boyutta da kiral anomalinin oluştuğu gösterilmiştir. Kiral manyetik akıma ulaşmak için hacim-formunun tanımından yola çıkarak hareket denklemlerinin ilgili kısmı türetilmiş ve kiral manyetik etki doğru biçimde ifade edilmiştir. Böylelikle hem kiral manyetik etki, hem de kiral anomali tüm çift uzay-zaman boyutlarında aynı yarıklasik kinetik kuramın çatısı altında elde edilmiştir. Her iki etkinin kaynağının da Berry eğriliğinin sonucu olan momentum uzayındaki tekkutup olduğu gösterilmiştir. Son kısımda ise Weyl Hamilton fonksiyonu ve ondan türetilen Berry ayar alanı ile ilgili topolojik kavramlarla ilgili hesaplamalar yapılmıştır. Sözkonusu sistemler için $d+1$ boyutlu Berry ayar alanı ve fermiyon propagatörünün topolojik dönme sayısı tanımlanmış ve çeşitli özellikleri belirtilmiştir. Öncelikle $3+1$ boyutlu Weyl sistemi incelenmiştir. $3+1$ boyutlu fermiyon dönme sayısı pozitif alt uzaya izdüşüm işlemcisi cinsinden ifade edilmiş ve bu ifadenin momentum uzayındaki tekkutup alanının diverjansı olduğu gösterilmiştir. Böylelikle dönme sayısı hesaplanmış ve kirallik sayısına eşit olduğu gösterilmiştir. Öte yandan sözkonusu tekkutbun, Berry eğriliğinden elde edilenle aynı olduğu açıkça gösterilmiştir. Dönme sayısının Chern sayısına eşit olduğu da ispatlanmıştır. Sonrasında benzer argümanların geçerliliği $5+1$ boyutlu Weyl sistemi için de ispatlanmıştır. Son olarak tüm bu sonuçlar tüm çift $d+1$ boyutlu Weyl sistemlerine taşınmış ve dönme sayılarının her durum için kirallik sayısına eşit olduğu gösterilmiştir. Öte yandan dönme sayısında ortaya çıkan tekkutbun Berry eğriliğinden elde edilenle aynı olduğu ve böylelikle her boyuttaki Weyl sistemi için yarıklasik kiral anomali ve kiral manyetik etkinin varlığı ispat edilmiştir. $d+1$ boyutlu dönme sayısının Chern sayısına eşit olduğu ve kiralliğin yarıklasik limitte tekkutbun yükü olarak ortaya çıktığı gösterilmiştir. Tekkutbun ayar alanının antisimetrik tensör ayar alanı olduğu ispat edilmiştir. Sonuçta kiralliğin yarıklasik limitte de kendini topolojik kökenli tekkutup olarak gösterdiği ve yarıklasik kiral anomaliye ve kiral manyetik etkiye sabep olduğu gösterilmiştir. Söz konusu bulguların Weyl yarımetalleri için önemi tartışılmıştır.
-
ÖgeKomütatif Olmayan Ayar Kuramlarında Dualite Parent Eylem Yaklaşımı(Fen Bilimleri Enstitüsü, ) Yapışkan, Barış ; Dayı, Ömer Faruk ; Fizik Mühendisliği ; Physics EngineeringKomütatif olmayan (noncommutative) ayar kuramları sicim kuramının ayrışma (decoupling) limitini tanımlarlar. Böylece, sicim kuramının özelliklerinin alan kuramı diliyle çalışılmasına imkân verirler. Dualite bir modelin farklı özelliklerinin anlaşılması için güçlü bir araçtır. Komütatif olmayan ayar kuramlarında S dualitenin çalışılması bu tip teorilere özgü yeni sonuçlar vermeleri nedeniyle ayrıca önemlidir. Uzay koordinatları arasında komütatif olmama özelliğinin tanımlı bulunduğu bir kuramda, S dualite zaman ve uzay koordinatları arasında komütatiflik bulunmayan bir kurama yol açar. Bu tip bir ayar kuramında Hamilton fonksiyonun tanımlanabilmesi bilinen kuantizasyon yöntemleriyle mümkün değilken, bir parent eylemden başlanarak bunun yapılabileceği gösterilebilir. Bu yolla D3-zarlarının yaşam hacim (worldvolume) kuramlarının ve bunların BPS durumlarının çalışılması mümkün olmaktadır. Dual kuramların çalışılması için parent eylem yöntemi uygun bir araçtır. Başka bir araca gerek kalmaksızın parent eylemin path integral formalizminden hareketle dual kuramların bölüşüm fonksiyonları hesaplanabilmiştir. Her ne kadar komütatif olmayan durumda dual kuramların bölüşüm fonksiyonları arasında komütatif durumdakine benzer şekilde açık bir dönüşüm tanımlanamasa da bunların bölüşüm fonksiyonlarının eşdeğer oldukları gösterilmiştir. Komütatif olmayan ayar kuramının süpersimetrik duruma genelleştirilmesi halinde dualitenin kurulabilmesi amacıyla benzer şekilde parent eylemden yararlanılabilir. Bunun için Seiberg-Witten gönderiminin süpersimetrik duruma bir genelleştirilmesi tanımlanmalıdır. Parent eylemin farklı tanımlamalarının mümkün olmasına bağlı olarak değişik sonuçlara ulaşılır.
-
ÖgeNonantikomutatif N=1/2 Süpersimetrik Ayar Teorisi(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2009-01-29) Kelleyane-Özharar, Lara Talar ; Dayı, Ömer Faruk ; Fizik Mühendisliği ; Physics EngineeringD-brane ler üzerinde açk sicimlerin bulunabildiği hiperyüzeylerdir. Bir D-brane i, bir Ramond-Ramond (gravifoton) fonunda ele aldığımızda süperuzayın deforme olduğunu ve N = 1 süpersimetrisinin kırılıp N=1/2 süpersimetrisine dönüştüğünü görürüz. Bir başka deyişle, Q süperyükleri süperuzayın bir süpersimetrisi olmaya devam ederken Q (bar) süperyükleri, koordinatlara bağlı olmaları nedeniyle süpersimetriyi kırarlar. Belli bir düşük enerji limitinde D-brane in yaşam yüzeyi Yang-Mills alanlarıyla tanımlanabilir. Buna bağlı olarak, N=1/2 süpersimetrik ayar teorisinin daha iyi irdelenmesi açık sicim dinamiğinin daha iyi anlaşılması için faydalı olacaktır. Bu tezde nonantikomutatif N=1/2 süpersimetrik U(1) ayar teorisinin S-dualite özellikleri, ana eylem formalizmi kullanılarak incelenecektir. Dualite kavramı, hesapları basitleştirdiğinden çok önemlidir. S-dualite dönüşümleri orijinal alanlarla bunların duallerinin yerdeğiştirilmesiyle elde edilir. Kuplaj sabiti g olan bir teorinin vakum ve durumlarını, kuplaj sabiti 1/g olan bir teorininkilere gönderir. Böylece, her zaman için pertürbatif hesaplama yönteminden faydalanılabilir. U(1) gibi basit teoriler için S-dualite özelliği ayar alanlarının yeniden ölçeklendirilmesi ile gösterilebilir. Ancak, nonkomutatif veya nonantikomutatif U(1) teorileri gibi daha karmaşık teorilerin incelenmesi için ana eylem formalizmini kullanmak daha uygun olur. Tanım gereği bir ana eylem, hareket denklemleri kullanılarak dual alanlar yok edildiğinde orijinal eylemi, tersine orijinal alanlar yok edildiğinde de dual eylemi vermelidir. Biz burada orijinal ve dual teorinin bölüşüm fonksiyonlarının eşitliğini göstererek nonantikomutatif N=1/2 süpersimetrik U(1) ayar teorisinin S-dualite dönüşümleri altında değişmez olduğunu göstereceğiz. Seiberg-Witten gönderimi, nonkomutatif alanları hesap yapması daha kolay olan komutatif alanlarla ilişkilendiren bir denklik bağıntısıdır. Bu tezde ayrıca, N=1/2 süpersimetrik U(N) ayar teorisi nonkomutatif uzayda ele alınarak, nonantikomutatif ve aynı zamanda nonkomutatif süperuzayda tanımlanmış alanlar yerine, komutatif alanlarla çalışılmasına olanak veren Seiberg-Witten gönderiminin genişletilmesi verilecektir. Bu genelleştirilmiş gönderim kullanılarak nonkomutatif ve nonantikomutatif U(1) teorisi ve nonkomutatif ve nonantikomutatif U(N) teorisi eylemleri komutatif alanlar cinsinden elde edilecektir.
-
ÖgeRelativistic and non-relativistic kinetic theories of chiral fermions(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2021) Kılınçarslan, Eda ; Dayı, Ömer Faruk ; 658128 ; Fizik Mühendisliği Ana Bilim DalıThis thesis is about the kinetic theories of massive and massless spin-1/2 particles in the presence of the external electromagnetic fields as well as the vorticity. To derive the relativistic semiclassical kinetic theories of Weyl and Dirac fermions by taking into consideration the noninertial features, the Wigner function formalism will be used by means of the modified quantum kinetic equation. In addition to obtaining the quantum anomalous effects (e.g. the chiral magnetic and the chiral vortical effects) in these systems, the three dimensional semiclassical chiral transport equations will be attained from the covariant semiclassical kinetic theory that we established. The mass contributions to the particle current terms will also be shown by working with the Dirac particles. In the Section 2 we firstly will give a quick review of why the Wigner function approach is crucial for the different kind of physical systems. Moreover, the quantum kinetic equation is introduced as a main ingredient of this thesis. The general form of the equations of the Wigner function components that satisfy the standard quantum kinetic equation will be derived. We will modify the quantum kinetic equation to take into account the noninertial properties due to the angular velocity of rotating frame which is equivalent to the fluid vorticity in the hydrodynamical approach. The main novelty of this thesis lies under this modification because we create a way to obtain the Coriolis-like force in the three-dimensional semiclassical kinetic equations by virtue of the modified quantum kinetic equation including the circulation tensor. In the first part of the Section 3 we will propose a modified quantum kinetic equation for chiral fluids by introducing the enthalpy current in the circulation tensor. The vector and axial-vector field components of the Wigner function for chiral fluids are worked out in a semiclassical scheme. Moreover, we demonstrate that the chiral currents and energy-momentum tensor computed by means of these vector and axial-vector field components are consistent with the hydrodynamical results. After working with the chiral fluids in Minkowski spacetime, we will investigate the Weyl particles by extending our modified theory to curved spacetime. The main motivation to study in curved spacetime is that it provides a relativistic chiral transport equation whose nonrelativistic limit yields a consistent three-dimensional kinetic theory which depends explicitly on spatial coordinates. The related particle current density and chiral transport equation for an inertial observer in the rotating frame will be derived. In the last part of this section, we will work with the Dirac particles in rotating coordinate frame to determine the modification terms in the quantum kinetic equation, and to obtain the general solutions of the Wigner function components. Section 4 consists of two parts. Firstly, the relativistic chiral kinetic theories of the massless spin-1/2 fermions will be established by the virtue of the general form of the chiral vector and axial vector components of the Wigner function which are determined in Section 3 by studying in Minkowski spacetime as well as in curved spacetime. Then, in the rest part of this section, the covariant semiclassical transport equations of Dirac particles will be constructed by using the quantum kinetic equation modified by enthalpy current dependent terms. In Section 5 we will show that a new semiclassical covariant chiral transport equation of chiral fluids in the comoving frame will provide new three-dimensional semiclassical chiral kinetic theory possessing a Coriolis force term. In order to reach a three-dimensional semiclassical chiral kinetic theory, four dimensional covariant transport equation is integrated over the zeroth component of four-momentum. The particle number and current densities deduced from this nonrelativistic transport equation satisfy the anomalous continuity equation and generate the magnetic and vortical effects correctly. A novel three-dimensional chiral kinetic transport equation depending on spatial coordinates will be established by inspecting the nonrelativistic limit of the curved spacetime approach in the rotating frame for a comoving observer in the presence of electromagnetic fields. It will be showed that our results are consistent with the chiral anomaly, chiral magnetic and vortical effects. In Section 6. we will begin by giving a short introduction about the first order Hamilton formalism to show how one can establish the semiclassical kinetic theory for Dirac particles. Then, in order to attain nonrelativistic semiclassical kinetic equations of massive spin-1/2 fermions by using the Wigner function formalism, the relativistic kinetic equations in the comoving frame found in Sec. 4 are integrated over the zeroth component of four-momentum. The resulting vector and axial-vector currents will be calculated at zero temperature. Finally, we will obtain the mass corrections to the chiral vector and axial-vector currents produced by both formulations.