Dirac-benzeri Hamilton Yoğunluklarının Ve Berry Ayar Alanlarının Çeşitli Fiziksel Sistemlere Uygulamaları:alan Kuramı Metotları

Abstract

Bu çalışmada kütleli ve kütlesiz Dirac benzeri Hamilton yoğunlukları ve onlar vasıtasıyla türetilen Berry ayar alanlarının çeşitli sistemlere kuantum alan kuramları yöntemleri ile uygulamaları çalışılmıştır. İlk yapılan çalışmalar, $2+1$ boyutlu zaman tersinmesi altında simetrik topolojik yalıtkanların etkin alan kuramları yoluyla fiziksel özelliklerinin tespit edilmesi ile ilgilidir. Tek atom kalınlığında, $2$ boyutlu bir malzeme olan grafen, düşük enerji limitinde, momentum uzayında doğrusal bir enerji-momentum ilişkisine sahiptir. Bu ilişki nedeniyle grafendeki yük taşıyıcıları etkin olarak Dirac benzeri bir Hamilton yoğunluğu ile ifade edilir. Spin-yörünge etkileşiminin etkisiyle sözkonu Hamilton yoğunluğu kütle terimi de kazanır. Bu özellikler grafen gibi bir yoğun madde sisteminin, yüksek enerji fiziğinin argümanları ile incelenmesine olanak verir. Çalışmada Foldy-Wouthuysen dönüşümü ile kütleli Dirac Hamilton fonksiyonu köşegenleştirimiş ve ilgili köşegenleştirme matrisinin pozitif alt uzaya izdüşürülmesi ile Berry ayar alanları hesaplanmıştır. Berry ayar alanlarına ait eğrilikler elde edilmiş ve ilgili Chern sayıları tanımlanmıştır. Sürekli limitte, $2+1$ boyutlu, kütleli Dirac Lagrange yoğunluğu Feynman yol integrali metodu ile kuantize edilmiştir. Yol integralinde fermiyonik alanların integre edilmesiyle dış elektromanyetik alan cinsinden topolojik Chern-Simons etkin eylemi elde edilmiştir. Sözkonusu eylemin katsayısı topolojik bir değişmez olan fermiyon propagatörünün "dönme sayısı"dır. Serbest Dirac Hamilton yoğunluğunun propagatörü pozitif ve negatif alt uzaylara izdüşüren işlemciler vasıtasıyla ifade edilmiş ve bu sayede $2+1$ ve $4+1$ boyuttaki etkin eylemlerin katsayılarının, topolojik Chern sayılarına eşit olduğu gösterilmiştir. Sonrasında, yine $2+1$ boyutlu Kane-Mele modeli bu sefer Rashba spin-yörünge etkileşiminin eklenmesi durumunda incelenmiştir. Rashba spin yörünge etkileşiminin mevcut olması spin operatörünün $z$ yönündeki bileşeninin korununumlu bir büyüklük olmamasına yol açar. Yine de spin Hall evresi ve bu evrenin iletkenliğini benzer metotlarla incelemek mümkündür. $2+1$ boyutlu Kane-Mele modeline Rashba terimi de eklenmiş, oluşan Hamilton yoğunluğu köşegenleştirilmiştir. Köşegenleştirme matrisinden pozitif alt uzaya izdüşürülmek suretiyle Berry ayar alanı ve onu kullanarak Berry eğriliği tanımlanmıştır. $2+1$ boyutlu Dirac parçacığının elektromanyetik ve spin ayar alanları ile etkileşen kuramı ele alınmıştır. Spin akımının doğru tanımlanabilmesi için spin operatörünün $z$ yönündeki bileşeni kuramda spin ayar alanının önüsıra yazılmış ve ilgili bölüşüm fonksiyonunda fermiyonlar integre edilmiştir. Bir ilmek mertebesindeki kuantum düzeltmeleri, dış elektromanyetik ve spin ayar alanları cinsiden topolojik kuramlar vermişlerdir. Bu kuramların katsayıları da ilgili fermiyon propagatörlerinin dönme sayılarına karşılık gelmektedirler. Bu katsayılar izdüşüm işlemcileri kullanılarak hesaplanmıştır. Zaman tersinmesi altında simetrik bir kuram ile ilgilenildiğinden sıfır olmayan tek katsayı zaman tersinme simetrisine sahip spin Hall akımını veren eylemin katsayısıdır. Sözkonusu eylem BF tipi topolojik bir eylemdir. Bu eylemin elektromanyetik alana tepkisi spin Hall akımını vermektedir. Eylemin başındaki katsayının spin Hall olayının iletkenliğine eşit olduğu gösterilmiş ve analitik ve numerik yöntemlerin yardımı ile hesaplanmıştır. Sonuç, Kane-Mele tarafından tartışılan Rashba spin-yörünge etkileşiminin varlığının kuantize iletkenliği az da olsa bozması öngörüsü ile uyumludur. Topolojik yalıtkanlarla ilgili son yapılan çalışma $3+1$ boyutlu zaman simetrisi altında değişmez topolojik yalıtkanları içermektedir. Sözkonusu yalıtkanların kuramı $4+1$ boyutlu kuramlardan boyut indirgeme yöntemi vasıtasıyla elde edilmektedir. Bu etkin kuramın parçacık fiziğinde de karşılaşılan $\theta$ vakum eylemi formatında olduğu bilinmektedir. Bu çalışmada ise doğrudan $3+1$ boyutta, yüksüz fermiyonlar ve onların çift kutup etkileşimlerini içeren bir Lagrange yoğunluğu önerilmiştir. Sözkonusu yüksüz sanki parçacıkların nasıl oluştuğu bilinmemektedir, orijinal Dirac parçacıkları olan elektronlar ve deşiklerin yüksüz bir fermiyon oluşturamayacağı da açıktır. Lakin böyle yüksüz fermiyonlar etkin olarak sanki parçacıklar şeklinde karşımıza çıkabilirler. Daha önceki çalışmalarda olduğu gibi yüksüz fermiyonların bölüşüm fonksiyonu içerisinde integre edilmeleri sonucu dış elektromanyetik alanlara bağlı topolojik eylem elde edilmiştir. $3+1$ boyutta çalışıldığı için parametrelerin uygun şekilde renormalize edilmeleri gerekmektedir. Elde edilen etkin eylem, beklenildiği üzere $\theta$ vakum eylemidir. Sözkonusu eylemin uzay-zamanda hangi katman üzerinde yazılacağı bilinmemekle birlikte, bazı tıkız katmanlar üzerinde uygun normalizasyon katsayısı ile birlikte, kuantize bir sayı vereceği bilinmektedir. Bu bağlamda $3+1$ boyuttaki kesirli topolojik yalıtkanlar da tartışılmıştır. Öte yandan $3+1$ boyutlu topolojik yalıtkanlar için BF tipi etkin eylemler de önerilmektedir. Sözkonusu etkin eylemleri yine yüksüz sanki parçacıkların kuramı vasıtasıyla elde etmenin mümkün olduğu da gösterilmiştir. Yöntem olarak yine ilgili yol integralindeki fermiyonlar integre edilerek bir halka mertebesindeki terimlere bakmak yeterlidir. Sonuç olarak, yüksüz fermiyonlar $3+1$ boyutlu topolojik yalıtkanların etkin eylemlerini oluşturmak için her iki biçimde de kullanılabilirler. Çalışmanın daha sonraki kısmında kütlesiz Dirac Hamilton fonksiyonu, bu Hamilton fonksiyonunun köşegenleştirilmesi sırasında türetilen Berry ayar alanları ve onların çeşitli sistemlere uygulamaları üzerinde yoğunlaşılmıştır. Tüm çift uzay-zaman boyutlarında kütlesiz Dirac Lagrange yoğunluğunun, ayar simetrisi dışında bir de kiral simetrisi vardır. Sözkonusu kuramın elektronlarını sağ ve sol elli olarak sınıflandırmak mümkündür. Bu simetri, ayar simetrisinin belirttiği sağ ve sol elli elektronların toplamının yani elektrik akımının korunumunun dışında, klasik olarak sağ ve sol elli parçacıklara ait akımların ayrı ayrı da korunduğu anlamına gelir. Lakin bu simetri kuantizasyon sırasında regülarizasyon nedeni ile bozulmaktadır. Klasik kuram içerisinde korunan bir akımın kuantum seviyesinde korunmamasına anomali denmektedir. Kuantum kuramında akımı korunmamasına yol açan terim topolojik Chern karakteri cinsinden her çift uzay zaman boyutunda verilebilmektedir. Öte yandan son yapılan çalışmalar yarıklasik limitte de kiral anomalinin oluştuğunu göstermektedir. Dinamik sistemlerin yarı-klasik analizi tanım olarak çeşitli belirsizlikler içerir. Çünkü spin dinamiği gibi kuantum mekaniksel olgular klasik faz uzayında incelenir. Çalışmada $3+1$ ve $5+1$ boyutlu Weyl Hamilton fonksiyonları ele alınmıştır. Faz uzayında çalışılacağı için hesaplamalar diferansiyel formlarla yapılmıştır. Bu Hamilton fonksiyonları belirli kiralliğe sahip parçacıkları içermektedir. $3+1$ boyutlu Weyl Hamilton fonksiyonunun köşegenleştirilmesinden Abelyan bir Berry ayar alanı türetilmiştir. Böylelikle Hamilton fonksiyonunun pozitif enerjili kısmı kullanılarak klasik faz uzayında, bir Weyl parçacığının elektromanyetik ve Berry ayar alanları ile etkileşimini tarif eden Hamilton 1-form yazılmıştır. Sözkonusu 1-formun dış türevi alınarak simplektik 2-form elde edilmiştir. Weyl Hamilton fonksiyonundan elde edilen Berry eğriliğinin, momentum uzayında ortaya çıkan bir tekkutbun alanı olduğu gösterilmiştir. Faz uzayının hacim-formu, hem simplektik 2-formun kuvveti hem de simplektik matrisin determinantının karekökü cinsinden tanımlanmıştır. Hareket denklemleri türetilmiştir. Kiral anomaliyi elde etmek için faz uzayı hacim-formunun her iki tanımını da kullanarak Liouville denklemine ulaşılmıştır. Bir tekkutup alanına eşit olduğu için, Berry eğriliğinin dış türevi Dirac delta fonksiyonuna eşittir. Bu nedenle faz uzayı hacmi korunmamaktadır. Uygun bir dağılım fonksiyonu kullanarak çok paçacıklı sistemlere geçiş yapılmış ve kiral anomali ifadesi tam olarak türetilmiştir. "Kiral manyetik etki"nin elde edilmesi için de faz uzayının hacmi, hacim-formunun kuvveti cinsinden açıkça yazılmış ve Lie türevi alınmıştır. Ortaya çıkan ifadeden faz uzayı elemanlarının hareket denklemleri ve simplektik matrisin determinantının karekökü elde edilmiştir. Bu sayede kiral akım tanımlanmış ve kiral manyetik etki kısmı (akımın manyetik alan yönündeki bileşeni) açıkça gösterilmiştir. Sonrasında $5+1$ boyutlu Weyl Hamilton fonksiyonu ele alınmıştır. Bu Hamilton fonksiyonunun pozitif enerjili özvektörleri bulunmuş ve onlardan Berry ayar alanları ve Berry eğrilikleri açıkça hesaplanmıştır. $3+1$ boyuttakine benzer şekilde simplektik 2-form tanımlanmıştır. Fakat $5+1$ boyutlu uzay-zamanda Weyl Hamilton fonksiyonunun köşegenleştirilmesinden türetilen Berry ayar alanları Abelyan değillerdir. Bu nedenle simplektik 2-form öncekinden farklı olarak matris değerli olma özelliğini taşımaktadır. Bu durumda faz uzayı elemanlarına ait hız ifadelerinin uygun boyutlu matrisler ile tanımlanmaları önerilmiştir. Elde edilen hareket denklemleri de matris denklemlerdir. Temel varsayım spin ve koordinat uzaylarının ayrı ayrı ele alınabileceğidir. Bu varsayıma dayanarak matris değerli hacim-formu da tanımlanmıştır. $3+1$ boyuttakine benzer şekilde hacim-formun her iki tanımı da kullanılarak Liouville denklemi elde edilmiş ve en sonunda spin uzayı üzerinde iz işlemi yapılarak $5+1$ boyutlu kiral anomali ifadesine ulaşılmıştır. Bu boyuttaki kiral manyetik akıma ulaşmak için ise matris değerli hacim-formun simplektik matrisin kuvveti cinsiden tanımının Lie türevi alındıktan sonraki hali açıkça elde edilmiş ve matris değerli hareket denkleminin izi alınarak kiral manyetik etki terimi başarıyla elde edilmiştir. $3+1$ ve $5+1$ boyutta yarıklasik kiral anomali ve kiral manyetik akım aynı formülasyon içerisinde elde edildikten sonra bu işlem tüm $d+1$ çift uzay-zaman boyutlarına genelleştirilmiştir. Bunun için yine ilk olarak matris değerli simplektirk formun genel hali yazılmış ve hareket denklemlerinin genel hali elde edilmiştir. Hacim-formun $2d+1$ boyutlu faz uzayındaki tanımı hem simplektik 2-formun kuvveti biçiminde hem de simplektik matrisin determinantının karekökü cinsinden tanımlanmıştır. $5+1$ boyuttakine benzer şekilde, her çift $d+1$ boyutta da Berry eğriliklerinin tekkutup alanı verdiği gösterilmiş ve Liouville denklemi kullanılarak $d+1$ boyutta da kiral anomalinin oluştuğu gösterilmiştir. Kiral manyetik akıma ulaşmak için hacim-formunun tanımından yola çıkarak hareket denklemlerinin ilgili kısmı türetilmiş ve kiral manyetik etki doğru biçimde ifade edilmiştir. Böylelikle hem kiral manyetik etki, hem de kiral anomali tüm çift uzay-zaman boyutlarında aynı yarıklasik kinetik kuramın çatısı altında elde edilmiştir. Her iki etkinin kaynağının da Berry eğriliğinin sonucu olan momentum uzayındaki tekkutup olduğu gösterilmiştir. Son kısımda ise Weyl Hamilton fonksiyonu ve ondan türetilen Berry ayar alanı ile ilgili topolojik kavramlarla ilgili hesaplamalar yapılmıştır. Sözkonusu sistemler için $d+1$ boyutlu Berry ayar alanı ve fermiyon propagatörünün topolojik dönme sayısı tanımlanmış ve çeşitli özellikleri belirtilmiştir. Öncelikle $3+1$ boyutlu Weyl sistemi incelenmiştir. $3+1$ boyutlu fermiyon dönme sayısı pozitif alt uzaya izdüşüm işlemcisi cinsinden ifade edilmiş ve bu ifadenin momentum uzayındaki tekkutup alanının diverjansı olduğu gösterilmiştir. Böylelikle dönme sayısı hesaplanmış ve kirallik sayısına eşit olduğu gösterilmiştir. Öte yandan sözkonusu tekkutbun, Berry eğriliğinden elde edilenle aynı olduğu açıkça gösterilmiştir. Dönme sayısının Chern sayısına eşit olduğu da ispatlanmıştır. Sonrasında benzer argümanların geçerliliği $5+1$ boyutlu Weyl sistemi için de ispatlanmıştır. Son olarak tüm bu sonuçlar tüm çift $d+1$ boyutlu Weyl sistemlerine taşınmış ve dönme sayılarının her durum için kirallik sayısına eşit olduğu gösterilmiştir. Öte yandan dönme sayısında ortaya çıkan tekkutbun Berry eğriliğinden elde edilenle aynı olduğu ve böylelikle her boyuttaki Weyl sistemi için yarıklasik kiral anomali ve kiral manyetik etkinin varlığı ispat edilmiştir. $d+1$ boyutlu dönme sayısının Chern sayısına eşit olduğu ve kiralliğin yarıklasik limitte tekkutbun yükü olarak ortaya çıktığı gösterilmiştir. Tekkutbun ayar alanının antisimetrik tensör ayar alanı olduğu ispat edilmiştir. Sonuçta kiralliğin yarıklasik limitte de kendini topolojik kökenli tekkutup olarak gösterdiği ve yarıklasik kiral anomaliye ve kiral manyetik etkiye sabep olduğu gösterilmiştir. Söz konusu bulguların Weyl yarımetalleri için önemi tartışılmıştır.

In this study, the applications of Dirac-like Hamiltonians with and without mass terms and the related Berry gauge fields to diverse physical systems are discussed in terms of field theoretic methods. In the first part, a pure gauge field is obtained through the diagonalization of the massive Dirac Hamiltonian. By projection onto the positive energy eigenstates, the Berry gauge field and the Berry field strength is defined. The related Chern numbers in terms of the Berry curvatures are defined in $2$ and $4$ space dimensions. Considering the $2+1$ dimensional Dirac particle interacting with the external electromagnetic field, the fermionic degrees of freedom are integrated out in the path integral formalism. At the first loop order, the effective action is found to be the topological Chern-Simons action. In the weak field limit, the coefficient of this action is shown to be the winding number of the free fermion propagator. This topological number is calculated by means of the projection operators. It is demonstrated that in both $2+1$ and $4+1$ dimensions these winding number are equal to the related Chern numbers. In the second part, the Kane-Mele model in the presence of the Rashba spin-orbit interaction is considered. Kane and Mele, in their original article argued that the effect of the Rashba coupling would slightly modify the quantized value of the conductivity. Dealing with the Dirac spinors coupled to the external electromagnetic and spin gauge fields, the fermions are integrated through the path integral formalism. The resulting effective action is of the BF type. The coefficient of the effective action is the winding number of the fermion propagator which is modified with the $S_z$ coupling. This coefficient gives the spin Hall conductivity. The calculation of the coefficient explicitly shows that the spin Hall conductivity altered slightly. In the third part, the action of neutral Dirac particles coupled to electromagnetic field strength by the dipole interactions are proposed for the $3+1$ dimensional time reversal invariant topological insulators. By integrating out the fermionic fields, the $\theta$ vacuum action is obtained after a suitable normalization procedure as the effective action of the $3+1$ dimensional topological insulators. It is possible to obtain the BF type theories of the $3+1$ dimensional topological insulators within this scheme. For this purpose the auxilary gauge and antisymmetic tensor gauge fields are inserted into the action of the neutral particles and it is shown that after the path integral quantization the desired BF type action is acquired. Beginning with the fourth part, the main focus will be on the applications of the massless Dirac Hamiltonian and the related Berry gauge fields. The $3+1$ dimensional Weyl Hamiltonian is diagonalized and a Berry gauge field is derived through the diagonalization procedure. It is shown that the Berry curvature results in the field of a monopole located at the center of the momentum space. The symplectic 2-form for a positive energy Weyl particle interacting with the electromagnetic and Berry gauge fields is written. Phase space volume form is defined. The anomalous Liouville equation is obtained through the Lie derivative of the volume form. Using a proper phase-space distribution function, the non-conservation of the chiral current is shown within the chiral kinetic theory. By investigating the explicit form of the Liouvile equation, the equations of the motion for the phase space variables are observed. The chiral current is built and the chiral magnetic effect is derived. The same procedure is also explicitly applied to the $5+1$ dimensional case where the acquired Berry gauge fields are non-Abelian. The the whole formulation is generalized to all even $d+1$ dimensional spacetimes, hence the $d+1$ dimensional semiclassical chiral anomaly and chiral magnetic effect is acquired within the same formulation. The last part is devoted to the topological concepts related to the Weyl Hamiltonian and the Berry gauge field. In $3+1$ and $5+1$ dimensions, the winding numbers for the free fermion propagators due to the Weyl Hamiltonians are defined. It is shown that the winding numbers are equal to the charge of the Dirac monopole located at the center of the momentum space. It is also shown that these winding number are the Chern numbers which are written in terms of the related Berry curvatures. The gauge field structure of the Dirac monopoles are explored. This procedure is generalized for all even $d+1$ dimensions.