Relativistic and non-relativistic kinetic theories of chiral fermions

Abstract

This thesis is about the kinetic theories of massive and massless spin-1/2 particles in the presence of the external electromagnetic fields as well as the vorticity. To derive the relativistic semiclassical kinetic theories of Weyl and Dirac fermions by taking into consideration the noninertial features, the Wigner function formalism will be used by means of the modified quantum kinetic equation. In addition to obtaining the quantum anomalous effects (e.g. the chiral magnetic and the chiral vortical effects) in these systems, the three dimensional semiclassical chiral transport equations will be attained from the covariant semiclassical kinetic theory that we established. The mass contributions to the particle current terms will also be shown by working with the Dirac particles. In the Section 2 we firstly will give a quick review of why the Wigner function approach is crucial for the different kind of physical systems. Moreover, the quantum kinetic equation is introduced as a main ingredient of this thesis. The general form of the equations of the Wigner function components that satisfy the standard quantum kinetic equation will be derived. We will modify the quantum kinetic equation to take into account the noninertial properties due to the angular velocity of rotating frame which is equivalent to the fluid vorticity in the hydrodynamical approach. The main novelty of this thesis lies under this modification because we create a way to obtain the Coriolis-like force in the three-dimensional semiclassical kinetic equations by virtue of the modified quantum kinetic equation including the circulation tensor. In the first part of the Section 3 we will propose a modified quantum kinetic equation for chiral fluids by introducing the enthalpy current in the circulation tensor. The vector and axial-vector field components of the Wigner function for chiral fluids are worked out in a semiclassical scheme. Moreover, we demonstrate that the chiral currents and energy-momentum tensor computed by means of these vector and axial-vector field components are consistent with the hydrodynamical results. After working with the chiral fluids in Minkowski spacetime, we will investigate the Weyl particles by extending our modified theory to curved spacetime. The main motivation to study in curved spacetime is that it provides a relativistic chiral transport equation whose nonrelativistic limit yields a consistent three-dimensional kinetic theory which depends explicitly on spatial coordinates. The related particle current density and chiral transport equation for an inertial observer in the rotating frame will be derived. In the last part of this section, we will work with the Dirac particles in rotating coordinate frame to determine the modification terms in the quantum kinetic equation, and to obtain the general solutions of the Wigner function components. Section 4 consists of two parts. Firstly, the relativistic chiral kinetic theories of the massless spin-1/2 fermions will be established by the virtue of the general form of the chiral vector and axial vector components of the Wigner function which are determined in Section 3 by studying in Minkowski spacetime as well as in curved spacetime. Then, in the rest part of this section, the covariant semiclassical transport equations of Dirac particles will be constructed by using the quantum kinetic equation modified by enthalpy current dependent terms. In Section 5 we will show that a new semiclassical covariant chiral transport equation of chiral fluids in the comoving frame will provide new three-dimensional semiclassical chiral kinetic theory possessing a Coriolis force term. In order to reach a three-dimensional semiclassical chiral kinetic theory, four dimensional covariant transport equation is integrated over the zeroth component of four-momentum. The particle number and current densities deduced from this nonrelativistic transport equation satisfy the anomalous continuity equation and generate the magnetic and vortical effects correctly. A novel three-dimensional chiral kinetic transport equation depending on spatial coordinates will be established by inspecting the nonrelativistic limit of the curved spacetime approach in the rotating frame for a comoving observer in the presence of electromagnetic fields. It will be showed that our results are consistent with the chiral anomaly, chiral magnetic and vortical effects. In Section 6. we will begin by giving a short introduction about the first order Hamilton formalism to show how one can establish the semiclassical kinetic theory for Dirac particles. Then, in order to attain nonrelativistic semiclassical kinetic equations of massive spin-1/2 fermions by using the Wigner function formalism, the relativistic kinetic equations in the comoving frame found in Sec. 4 are integrated over the zeroth component of four-momentum. The resulting vector and axial-vector currents will be calculated at zero temperature. Finally, we will obtain the mass corrections to the chiral vector and axial-vector currents produced by both formulations.

İçinde yaşadığımız evreni daha iyi anlamak ve tutarlı, doğrulanabilir tarifler sunabilmek, dünyanın her yerindeki fizikçilerin yaptıkları çalışmaların altında yatan en temel motivasyonlardan biridir. Evreni anlama çabaları derinleştikçe karşımızda bulacağımız en temel sorulardan birkaçı şunlar olabilir: Evren büyük patlamadan sonra nasıl görünüyordu? Hangi maddeler ve yasalar evrene hakimdi? Bu soruların cevabı bizi "kuark-gluon plazma" ifadesine götürür; kuark-gluon plazma (KGP) olan adlandırılan evre, büyük patlamadan birkaç mikrosaniye sonra ve henüz madde oluşmamışken, evrenin fiziksel durumunu ve dinamiğini tarif etmek için kullanılır. Bu evreye adını veren, temel parçacıklar olan, kuark ve kuarkları düşük sıcaklık ve yoğunlukta bir arada tutan gluonların arasındaki güçlü etkileşmeler, kuantum renk dinamiği (KRD) ile açıklanır. Yaklaşık kırk yıldır teorik yüksek enerji fiziğinin çalışma konusu olan KGP, yirmi yıldan uzun bir süredir de, bilhassa teknolojik olanakların gelişmesiyle birlikte, deneysel araştırmaların da en çok ilgi uyandıran konularından biri haline gelmiştir. 2005 yılında, New York'ta Brookhaven Ulusal Laboratuvarında bulunan rölativistic ağır iyon çarpıştırıcısında (RHIC), altın atomlarının ışık hızına yakın bir hızda çarpıştırılabilmesiyle, ilk kez KGP evresi dev bir laboratuvar ortamında yaratılmıştır. Daha sonraki yıllarda, İsviçre-Fransa sınırında bulunan Avrupa Nükleer Araştırma Merkezi'inde (CERN) bulunan büyük hadron çarpıştırıcısında da (LHC), KGP yüksek enerjilerde yaratılmıştır. Bu çok sıcak ve yüksek yoğunluktaki erken evren fazının yaratılabiliyor olması büyük heyecan ve önemli neticeler doğurmuştur; örneğin, merkezi olmayan ağır iyon çarpışmaları, büyük şiddetteki manyetik alanlar ve girdaplar ortaya çıkarırlar. Bu şiddetteki manyetik alanlar ve girdaplar, sistemdeki hadronların yapısında değişikliklere neden olarak birçok önemli sonuçlar verirler. Bu durumların yol açtığı en bilinen fiziksel olayların başında, manyetik alanın ve gidpalığın neden olduğu, sistemde indüklenen elektrik akımları gelmektedir; ortaya çıkan bu anomalilere, sırasıyla, kiral manyetik etki (CME) ve kiral girdaplık etkisi (CVE) adı verilmektedir ve yalnızca ağır iyon çarpışmalarında değil katı hal sistemlerindeki Dirac ve Weyl yarı-metaller üzerine yapılan araştırmalarda da deneysel olarak ölçülmüşlerdir. Bu tezin de önemli bir parçasını, son yıllarda üzerine yoğun araştırmalar yapılmakta olan, kiral anomalisinin neden olduğu, taşınım anomalileri oluşturmaktadır. Bu tezde kütleli ve kütlesiz spin-1/2 fermiyonların kinetik teorisi, elektromanyetik alanların ve girdaplığın olduğu dönen bir gözlem çerçevesi için elde edilecektir. Rölativistik yarıklasik kovaryant kinetik teori, Wigner fonksiyon formalizmi kullanılarak kurulacaktır. İnşa edilecek kinetik kuramın, literatürde aynı formalizmden yola çıkılarak kurulmuş olan diğer yarıklasik kinetik kuramlardan ayrılan başlıca özelliği, kuracağımız teorinin eylemli referans sisteminin özellikleri içermesidir. Burada anlatılmak istenen, örneğin, elde edilecek olan hareket denklemlerinin Coriolis benzeri kuvvet terimlerini verebilmesidir. Bu amaç doğrultusunda gerçekleştirilecek olan ilk aşama, standart kuantum kinetik denkleminin modifiye edilmesidir. Elde edilen kovaryant kinetik teorinin, kiral kuantum anomalilerini tutarlı bir şekilde verdiği gösterildikten sonra ise üç boyutlu yarıklasik taşınım teorisi hem kütleli hem de kütlesiz fermiyonlar için bulunacaktır. Son olarak ise parçacık akımına gelen kütle katkıları hesaplanacaktır. Tezin ilk bölümünde, Wigner fonksiyon formalisminin farklı fiziksel sistemlerdeki uygulamalarından bahsedilerek yöntem hakkında özet bir bilgilendirme yapılacaktır. Ardından ise tezin ve aynı zamanda anlatılan yöntemin de en önemli bileşeni olan kuantum kinetik denklemi (KKD) tanıtılacak ve standart KKD denklemine konulan Wigner fonksiyonun (Clifford cebrinin 16 bağımsız üretecinden oluşan) bileşenlerinin sağladığı, bağlı set denklemleri türetilecektir. Bir sonraki bölümde, yukarıda da nedenlerinden kısaca bahsedildiği üzere, kuramda eylemli referans sisteminin yaratacağı, Coriolis kuvveti benzeri etkileri kaybetmemek amacıyla, çalışılacak sisteme dolaşım tensörü tanıtılacaktır. Standart KKD ifadesindeki, faz uzayı türevi elektromanyetik alan tensörü içermektedir. Modifiye edilen KKD'de dolaşım tensörünün de bulunacak olan hareket denklemleri üzerinde, elektromanyetik alan tensörü gibi, rol oynadığı gösterilecektir. Daha sonra ise, Wigner fonksiyonun bileşenleri aracılığıyla tanımlanan vektör ve aksiyel vektör ifadeleri yarı klasik yaklaşıklık çerçevesinde hesaplanır. Bulunan sonuçların ilk paragrafta bahsedilmiş olan kuantum anomalileri doğru bir şekilde verdiği gösterilecektir. Bunlarla birlikte elde edilen enerji momentum tensörünün de hidrodinamik çalışmalardan bildiğimiz sonuçlar ile tutarlı olduğu gösterilir; bu sayede, kurulan teorinin sağlaması yapılmış olunacaktır. Bu hesaplamalar Minkowski uzayı baz alınarak incelendikten sonra, modifiye edilen kuram, eğri uzay göz önüne alınarak genişletilecektir. Eğri uzayda çalışılmaya başlanmasının altında yatan motivasyon ise, şimdiye kadar hesaplanmış olan üç boyutlu kiral taşınım denklemlerinden farklı olarak, çalıştığımız formalizmin yapmış olduğumuz değişikliklerle birlikte, üç boyutlu hareket denklemlerinin uzaysal koordinatlara, x, açıkça bağlı olacak olmasıdır. Dönen gözlem çerçevesindeki eylemsiz bir gözlemci için kiral taşınım denklemleri ve parçacık akımı türetilecektir. Bu bölümün son kısmı ise kütleli spin-1/2 parçacıklara ayrılacaktır; KKD'nin üzerinde değişiklik yapılarak Wigner fonksiyonu bileşenlerinin sağladığı denklemler, Dirac parçacıkları için, genel olarak elde edilecektir. Tezin bir sonraki ilk bölümü yalnızca Weyl parçacıklarının rölativistik kiral kinetik teorisine ayrılmış olmakla birlikte, iki parçadan oluşmaktadır: öncelikle Minkowski uzayında elde edilen sonuçlara yer verilecek, devamında ise eğri uzayda kurulmuş formalizmden yararlanılarak devam edilecektir. Bir önceki bölümde genel ifadelerle, kütlesiz spin-1/2 fermiyonlar için, elde edilmiş olan Wigner fonksiyonun vektör ve aksiyel vektör bileşenlerinin sağladığı denklemler kullanılarak kovaryant kiral kinetik kuramı Minkowski ve eğri uzay için ayrı ayrı bulunacaktır. Bölümün diğer yarısında ise Dirac parçacıklarının kovaryant yarı klasik taşınım denklemi elde edilir. Kovaryant yarıklasik kiral kinetik denklemleri dönen koordinat çerçevesinde kiral parçacıkları için yazıldıktan sonra üç boyutlu yarıklasik kiral taşınım denklemleri elde edilir. Bu yeni rölativistik olmayan denklemler, ilk başta ele alınan motivasyon kaynağımız doğrultusunda, Coriolis kuvvetini içerirler. Yapılmış olan tez çalışmasının özgünlüklerinden biri de burada yatmaktadır çünkü bunu elde edebilmiş olmak bizim formalizmimizi, diğer Wigner fonksiyon formalizmi kullanılarak çalışılan araştırmalardan farklı kılmaktadır. Kurmuş olduğumuz yarı klasik kovaryant kinetik denklemi dört vektör momentumun birinci bileşeni üzerinden integre edilmelidir. Bu methodun tutarlı bir üç boyutlu kiral kinetik teorisini doğru verebilmesi için kontrol edilmesi gereken denklemler, bu bölümde detaylıca anlatılacaktır. Yeni bulunan hareket denklemleri vasıtasıyla hesaplanan parçacık akımlarının kiral anomalileri (kiral manyetik ve kiral girdaplık etkilerini) doğru verdiği gösterilecektir. Eğri uzay için elde edilmiş olan kovaryant kuram kullanılarak hesaplanacak olan üç boyutlu kiral taşınım denklemleri, yukarıda eğri uzayda çalışmamızın motivasyon kaynağı olarak belirtildiği üzere, uzaysal koordinatlara bağlı olarak dönen gözlem çerçevesindeki gözlemci için elde edilecektir; hesaplamalar dış elektromanyetik alanların varlığı ihmal edilmeden yapılacaktır. Bulunan sonuçlar kullanılarak hesaplanacak olan parçacık akımlarının kiral anomalisini ve kiral kuantum etkilerinin tutarlı bir şekilde verdiği gösterilecektir. Tezin son kısmında, bulunan sonuçların tartışmaları yapılmadan önce, kütle katkısının kiral akımlarına nasıl bir katkı verdiği iki ayrı method ile gösterilecektir. Bu yöntemlerin ilkinde, Hamilton formalizmi kullanılarak, diferansiyel form methodu aracılığıyla, Dirac parçacıkları için nasıl yarı klasik kinetik kuramın elde edileceği kısaca anlatılacaktır. Daha sonra, bu yöntemden kütleli spin-1/2 fermiyonlar için elde edilen kinetik denklemler kullanılarak parçacık akımları hesaplanacak ve buradan bulunan kiral manyetik ve girdaplık etkilerine gelen kütle katkıları gösterilecektir. Bu bölümde başvurulacak ikinci method ise Wigner fonksiyonu yöntemidir; tezin 4. Bölümünde elde edilmiş olan kovaryant kinetik kuram dört vektör momentumun birinci bileşeni, dört vektör momentumun birinci bileşeni üzerinden integre edilerek, Dirac parçacıkları için rölativistik olmayan yeni üç boyutlu hareket denklemleri bulunacaktır. Bu taşınım denklemleri kullanılarak vektör ve aksiyel vektör terimleri hesaplanacak ve kütle ifadesinin buradaki sonuçlara katkısı gösterilecektir.