Sınıflandırma Yolunda (1+1)-boyutta İntegre Edilebilir Skaler Evrim Denklemleri

Abstract

Keyfi m inci mertebeden evrim denklemlerinin sınıflandırılması hakkında, ilk sonuç, [A.V.Mikailov, V.V.Sokolov, A.B.Shabat,91]’de elde edildi. Bu sonuç, n = m+1 mertebeden, trivial olmayan korunan yoğunluk (conserved density) olarak ρ=Pun2+Qun+R yu kabul eden, m=2k+1, ve k≥3 mertebeden, ut=F[u] evrim denklemlerinin kuazilineer olmasıdır. Elde edilen sonuca göre özellikle 3 üncü mertebede ortaya çıkan, lineer olmayan, integre edilebilir evrim denklemlerinin sınıfları, 7den büyük mertebelerde gözükmemektedir. Bu nedenle polinom olmayan durumlar için bir sınıflandırma yapılabileceği düşüncesi, (1+1) boyutta (1 uzaysal, 1 zamansal) intergre edilebilir denklemlerin sınıflandırılması probleminin bu çalışmada ele alınmasına sebep oldu. Bu tezde integrabilite testi olarak, Mikhailov vd. tarafından ortaya konan, biçimsel simetrinin varlığı kullanılmıştır [J.A.Sanders, J.P.Wang,98]. ``Level grading” adını verdiğimiz, difernasiyel polinomların türevleri üzerine bir kademeli cebir (graded algebra) yapısı tanımlandı. Esas sonucumuz, keyfi polinom olmayan skaler integre edilebilir m inci mertebeden evrim denklemlerinin um-i, i=0,1,2 olmak üzere, ilk üç büyük türeve göre polinom olduğunun ispatıdır. Bu sonucun ispatı, düşük mertebelerde açık hesaplamaların yapılmasını gerektirdiğinden, 7 inci ve 9 uncu mertebeden keyfi skaler evrim denklemleri, örnek olarak, açık şekilde hesaplandı. Hesaplarımızda, [A.H.Bilge,2005]’de hesaplanan üç korunan yoğunluğu kullandık. Genel durum için ve düşük mertebelerde yapılan hesaplamalar, sadece bu üç korunan yoğunluk ile, um-3 için polinomluğun elde edilmesinin imkansız olduğunu gösterdi. Böylece problem ile ilgili bundan başka yapılacak olan tartışmalar ileriki çalışmalara ertelendi.

The first result towards a classificaiton for arbitrary m’th order evolution equations is obtained in [1] where it is shown that scalar evolution equations ut=F[u], of order m=2k+1 with k≥3, admitting a nontrivial conserved density ρ=Pun2+Qun+R of order n=m+1, are quasilinear. This result indicates that essentially non-linear classes of integrable equations arising at the third order are absent for equations of order larger than 7 and one may hope to give a complete classification in the non-polynomial case. This is the motivation of the present work where the problem of classification of scalar integrable evolution equations in (1+1) (1 spatial and 1 temporal)-dimensions is further analyzed. In this thesis we use the existence of a formal symmetry introduced by Mikhailov et al. as the integability test [4]. We introduced a graded algebra structure on the derivative of differential polynomials, that we call ``level garding”. Our main result is the proof that arbitrary (non-polynomial) scalar, integrable evolution equations of order m, are polynomial in the top three derivatives, namely um-i, i=0,1,2. In the proof of this result explicit computations are nedeed at lower orders and computations for equations of order 7 and 9 are given as an example. In our computations we used three conserved densities obtained in [1]. Computations for the general case and for the lower orders showed that it is impossible to obtain polynomiality in um-3 by using only these three conserved densities. Thus further discussions of the problem is postponed to future work.