Operatör Değerli Fonksiyonlar Sınıfında Varyasyonel Ve Faktorizasyon Yöntemleri

Abstract

Tezde bir sınıf kendine eş operatör değerli fonksiyonlar sınıfında ( Rayleigh Sistemi ) varyasyonel ve faktorizasyon yöntemleri ve bu yöntemlerin yardımı ile bir takım spektral ve faktorizasyon problemleri incelenmiştir. Tez Giriş Bölümü ve 3 esas bölümden oluşur. 2. Bölümde sürekli operatör fonksiyonlar sınıfında varyasyonel prensiplerin ve spektral dağılım fonksiyonu için bir formülün bulunması soruları ele alınmıştır. Burada esas amaç Atalet teoremlerinin ispatlanması ve varyasyonel teoride Atalet teoremlerini yeni bir yöntem olarak varyasyonel prensiplerin ve spektral dağılım fonksiyonunun bulunmasında uygulamaktır. Elde edilen esas sonuçlar Teorem 2.2.2, Teorem 2.3.2 ve Sonuç 2.3.1 de verilmiştir. 3. bölümde analitik ve analitik olmayan operatör fonksiyonlar sınıfında faktorizasyon koşulları ve bu koşullar arasındaki bağlantılar ele alınmıştır. Elde edilen esas sonuç bir sınıf Rayleigh sistemleri için (Tanım 3.2.1) zayıf regülerlik koşulu altında faktorizasyon teoreminin ispatlanmasıdır ( Teorem 3.2.2 ). 4. bölümde elde edilen sonuçlar 2. bölümde verilen varyasyonel prensiplerin ve operatör teoriden bilinen Riesz izdüşüm formülünün bir uygulaması olarak değerlendirilebilir. Bu bölümde ele alınan sınıf kuazihiperbolik demetler (KHD) sınıfıdır. Bu sınıf son yıllarda tanımlanmış ve hiperbolik demetlerin bir genişlemesi olduğu ispatlanmıştır. Hiperbolik demetler için varyasyonel ve faktorizasyon teoremleri araştırılmıştır. Bu nedenle aynı yöntemlerin KHD sınıfına uygulanması doğal bir problem olarak bu bölümde ele alınmıştır. Ayrıca izole özdeğerin civarında operatör teoriden bilinen iv Riesz izdüşüm formülünün operatör fonksiyonlar teorisinde aynen sağlanmadığı ve bunun KHD sınıfında A [z] = L'(z) şeklinde olacağı bu bölümde ispatlanmıştır ( Teorem 4.3.4 ).

In this thesis, we investigate variational and factorization methods for a class of selfadjoint operator- valued functions (Rayleigh system) and using these methods we study some spectral and factorization problems. This thesis contains an introduction and 3 main chapters. In Chapter 2, we aim to obtain spectral distribution function and investigate variational methods for continuous operator-valued functions. Our main aim is to prove Inertia theorems and to give an application of these theorems, as a new method, in establishing of variational principles and spectral distribution function. The basic results, proved in this section are given in Theorem 2.2.2, Theorem 2.3.2 and Corollary 2.3.1. In Chapter 3 factorization methods and connection between factorization conditions for analytic and non-analytic operator-valued functions are considered. Under the weakly regularity condition (Definition 3.2.1) we prove a factorization theorem for a class of Rayleigh systems (Theorem 3.2.2). The results, proved in Chapter 4 can be considered as an application of variational principles, given in Chapter 2 and of the well known in operator theory Riesz decomposition theorem. The class, to be considered in this chapter is a class of quasihyperbolic operator pencils (QHP). This class was defined recently and it was proved that the class of quasihyperbolic operator pencils is an extension of the class of strongly hyperbolic pencils. The variational and factorization theorems for hyperbolic pencils were investigated. For this reason we study these problems for quasihyperbolic pencils. Particularly, we prove that an analog of Riesz projection formula at the neighborhood of an isolated eigenvalue in the spectrum, i.e 2niJr R{z)dz r VI is not valid for QHP and we obtain the following formula in the class of QHP where A[z] = L'(z) ( Theorem 4.3.4 ).