FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Doktora
Bu koleksiyon için kalıcı URI
Gözat
Konu "analytical solution" ile FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Doktora'a göz atma
Sayfa başına sonuç
Sıralama Seçenekleri
-
ÖgeBazı Özel 1+1- Ve 2+1-boyutlu Evrim Tipi Denklemlerde İntegre Edilebilme Ve Simetriler(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2012-10-09) Özemir, Cihangir ; Güngör, Faruk ; 444749 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics EngineeringEvrim tipi denklemler, ısı yayılımı ve dalga hareketi gibi temel fiziksel olayların modelleri olarak ortaya çıkmaktadır. Isı denklemleri, nonlineer Schrödinger (NLS) tipi dalga denklemleri, Davey-Stewartson (DS) ve genelleştirilmiş Davey-Stewartson (GDS) sistemi, Korteweg-de Vries (KdV), Burgers ve Kadomtsev-Petviashvili (KP) denklemleri bu sınıf için en sık karşılaşılan denklemler olarak anılabilir. Bahsedilen denklemler, uygulamalı matematik ve matematiksel fizik alanındaki literatürün oldukça büyük bir kısmına konu olmaktadır. Sabit katsayılı denklemlerin değişken katsayılı genelleştirmeleri, türetildikleri modellerde homojen olmayan, konum ve/veya zamana göre değişim gösteren koşullar gözönüne alındığında elde edilir. Çoğunlukla bu genelleştirme sonucunda orijinal denklemin simetri cebiri ve integre edilebilirliği gibi özellikleri aynı kalmaz. Ancak değişken katsayılar belli koşulları sağladığında genelleştirilmiş denklem de Lax çifti, Painlevé özelliği gibi integre edilebilirlik özelliklerine sahip olabilir, simetri cebirinin tümünü veya alt cebirlerini taşıyabilir. Bu koşulları elde etmedeki seçeneklerden biri, değişken katsayılı denklemi sabit katsayılı denkleme dönüştüren nokta dönüşümlerinin bulunmasıdır. Painlevé özelliği, bir denklemin tüm çözümlerinin hareketli tekil noktalar civarında tek değerli olması, yani tüm çözümlerde en fazla kutup türünden tekillik bulunmasıdır. Painlevé özelliği integre edilebilirlik için gerek veya yeter koşul değildir. Ancak literatürde karşılaşılan integre edilebilir denklemlerin büyük bir kısmı aynı zamanda bu özelliğe de sahiptir. Bu özelliği kimi yazarlar, P-integre edilebilirlik olarak da adlandırmaktadır. Painlevé özelliğinin araştırılması bazı durumlarda bilgisayar yazılımları ile dahi yapılabilmektedir. Bu kolaylık nedeniyle Painlevé analizi, denklemlerin integre edilebilirlik ve çözüm analizinde iyi bir başlangıç noktası olmaktadır. İntegre edilebilir olmayan denklemler için Painlevé seri temsillerinin sonlu terimde kesilmesinin de tam çözüm elde etmede faydalı yöntemlerden biri olduğunu not etmek gerekir. Diferansiyel denklemin çözüm uzayını değişmez bırakan dönüşüm gruplarının elde edilmesi, analitik çözüm yöntemleri oldukça kısıtlı olan doğrusal olmayan denklemlerin analizinde en etkin sistematik araçlardan biridir. Lie grupları adını alan bu dönüşüm grupları ve ilişkili simetri cebirlerinin kullanılmasıyla bir kısmi diferansiyel denklemin değişken sayısının azaltılması ve yeterince zengin bir simetri cebiri varsa adi diferansiyel denklemlere indirgenerek tam çözümlerin bulunması mümkündür. Uygulama alanı fark denklemlerine değin uzanmaktadır. Görünüşte farklı olan iki denklemin simetri cebirleri, bir dönüşümle birbirine denk ise bu denklemler de aslında birbirine dönüştürülebilir. Bu açıdan Lie teorisi, diferansiyel denklemlerin sınıflandırılmasında bir araç olarak ortaya çıkar. Diferansiyel denklemlerin simetri grupları dikkate alınarak sınıflandırılması günümüze değin aktif olarak çalışılan bir konu olmuştur. Matematiksel açıdan, genel bir denklem sınıfına ait, belirli simetri cebirlerine sahip denklem ailelerinin belirlenerek ayırt edilmesi ilginç bir problemdir. Elde edilen cebirler, bu ailelerin temsilci denklemlerinin grup-değişmez çözümleri için de yol göstermektedir. Sonsuz boyutlu simetri cebirleri söz konusu olduğunda, elde edilen denklem ailelerinin integre edilebilirliği için de ışık tutabilmektedir. Fizikçiler için, bu faydalara ek olarak, uygulamada karşılaşılan denklemlerin genel sınıflarının cebirsel özellikleri dikkate alınarak yapılan sınıflandırma çalışmalarında ulaşılan, çok sayıda durumda problemin fiziksel doğasını yansıtan sonuçlar ilginç olmaktadır. Elde edilen denklem aileleri, belirli simetri özelliklerine sahip fiziksel olayları modellemede aday olmaktadır. Bu tez çalışmasında yukarıda belirtilen çerçevedeki analiz yöntemleriyle dört adet problem ele alınmıştır. İncelenen ilk problem, değişken katsayılı kübik nonlineer Schrödinger denklemi nin (NLSD) integre edilebilirliği üzerinedir. Değişken katsayılı NLSD ve türevli terimleri içeren genelleştirmeleri için Painlevé testine ilişkin sonuçlar elde edilmiştir. Değişken katsayılı NLSD için sabit katsayılı denkleme dönüşüm formülleri elde edilmiş, elde edilen sonuçların simetri cebirleriyle ilişkisi bir örnek üzerinde ele alınmıştır. Sunulan sonuçlar arasında bazı tam çözümler de bulunmaktadır. Literatürdeki sonuçlara göre, değişken katsayılı NLS denkleminin Lie simetri cebirlerinin maksimal boyutu beştir ve maksimal cebir, denklem sabit katsayılı denkleme dönüştürülebildiğinde gerçeklenmektedir. Bunun yanında, dört boyutlu simetri cebirlerine sahip NLS denklemleri, birbirine denk olmayan beş farklı sınıfa ait olabilir. İlk problemde elde edilen sonuçlara göre, değişken katsayılı NLSD, Painlevé testini geçtiği koşulda standart NLS denklemine dönüştürülebilir ve beş boyutlu bir simetri cebirine sahiptir. Bu, denklemin integre edilebilir durumu olarak adlandırılır. Eğer bir değişken katsayılı NLS denkleminin simetri cebirinin boyutu dört ise, sabit katsayılı denkleme dönüştürülemez. Dört boyutlu simetri cebirlerinin kanonik denklemleri için, bir boyutlu cebirlerin optimal sistemi kullanılarak adi diferansiyel denklemlere indirgeme yapılabilir. Bu şekilde mümkün tüm indirgemelerin elde edilmesi ve çözümlerinin analizi, ele alınan ikinci problemdir. Bunun yanında, kanonik kısmi diferansiyel denklemlerin Painlevé serilerinin ilk terimde kesilmesi yoluyla oldukça ilginç tam çözümler elde edilmiştir. Değişken katsayılı kübik-kuintik Schrödinger denklemi (KKSD), özellikle fiber optik uygulamalarında model olarak kullanılan bir denklemdir. Simetri cebirinin maksimal boyutunun belirlenmesi ve denklem ailesinin sahip olabileceği sonlu boyutlu simetri cebirlerinin kanonik sınıflarının bulunması literatürde mevcut kübik durum ile paralellik göstermektedir. Analiz sonuçlarına göre kübik-kuintik denklem için maksimal simetri cebiri dört boyutlu, kübik durumda beş boyutlu, kuintik durumda ise altı boyutludur. Burada elde edilen sonuçlar, ikinci problemdeki analize benzer şekilde, dört boyutlu simetri cebirlerine sahip kübik-kuintik denklemler için grup-değişmez çözümlerin araştırılması imkanını verir. Son olarak ele alınan problem, değişken katsayılı KP-Burgers denkleminin sonsuz boyutlu Lie simetri cebirlerine sahip sınıflarının belirlenmesidir. Literatürde integre edilebilirliği bilinen $2+1$-boyutlu denklemler için Kac-Moody-Virasoro tipinde simetri cebirine sahip olmak tipik bir özelliktir. Ele alınan denklem ailesi için, Virasoro ve Kac-Moody tipinde simetri cebirlerinin denklemin değişmezlik cebiri olarak gerçeklenebildiği gösterilmiş, bulunan kanonik denklem aileleri için Painlevé özelliği, tam çözüm ve indirgenmiş denklemler üzerinde durulmuştur. İntegre edilebilirlik ve simetri araçlarını kullanarak, değişken katsayılı evrim tipi denklemlerden iki farklı sınıf dalga yayılımı denklemi üzerine literatürde mevcut sonuçlara katkıda bulunduğumuzu düşünmekteyiz.