LEE- Matematik Mühendisliği-Yüksek Lisans

Bu koleksiyon için kalıcı URI

http://hdl.handle.net/11527/19383

Gözat

Yüksek boyutlu model gösterilimi kullanılarak histopatolojik görüntülerde leke ayırma işlemi

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2021-12-30) Ceylan, Ayça ; Tunga, Burcu ; 509181211 ; Matematik Mühendisliği

Sayısal patoloji, histopatolojik doku örneklerinin mikroskopta incelenmesiyle elde edilen görüntüleri kullanır. Bir biyopsi örneğinin görüntüleme cihazına girebilen cam slayt numunesi olarak hazırlanması, patoloji uzmanları tarafından geleneksel olarak elle yapılan bir dizi işlemden oluşur. Bu işlemler sırasında, görünür kontrast için numuneleri görüntülemeden önce boyamak gerekir. Boyama, hastalıklı veya tümörlü hücreleri ya da diğer patolojik hücreleri bulmak için doku numunelerinin ön ve arka yüzeylerine tıbbi bir boya renginin uygulanması işlemidir. Buna ek olarak, tümörlerin tanısında yaygın olarak kullanılan bir yöntemdir ve çeşitli boya kombinasyonlarını içerir. Sıklıkla kullanılan boyama yöntemlerinden biri olan Hematoksilen ve Eozin (H&E); sayısal patolojide doku yapılarını incelemek, kanser türlerini sınıflandırmak ya da kanser türünü derecelendirmek için kullanılır ve dokuyu mavi-pembe tonlarına boyar. İmmünohistokimyasal boyamada ise birden fazla slaytta tek bir biyobelirteç etiketlemenin aksine, bir doku bölümünde birden fazla biyolojik belirteç aynı anda tanımlanabilir. Bu nedenle, kanserli dokudaki çoklu biyobelirteçlerin aynı anda değerlendirilmesi için sıklıkla kullanılır. 3,3´-Diaminobenzidin ve Hematoksilen (DAB&H), en yaygın boya türü kombinasyonu olup; genellikle doku slaytını kahverengi ve mavi renklerine boyar. Histopatolojik boyamalarda doku bölgesi birden fazla boya ya da diğer bir ifadeyle leke rengi ile boyanmaktadır. Dokudaki her bir biyolojik yapıya özgü görüntü analizinin yapılabilmesi için leke bölgelerinin ayrılması gerekir. Bu prosedür, patolojide "leke dekonvolüsyonu" ya da "leke ayırma" işlemi olarak adlandırılır. Leke ayırma işleminin amacı; histopatolojik görüntüyü, kullanılan boya kombinasyonlarındaki gerçek leke renklerine göre görüntü kanallarına ayırmaktır. Bu tez çalışmasında, literatürdeki çalışmalardan farklı olarak Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi kullanılarak histopatolojik görüntülerde leke ayırma işlemi gerçekleştirilmiştir. Tez kapsamında önerilen leke ayırma algoritmaları, İstanbul Medipol Üniversitesi Patoloji Bölümü ve Warwick leke ayırma denek taşından alınan DAB&H ve H&E boyalı histopatolojik görüntüler üzerinde test edilmiştir. Önerilen algoritmalar, literatürde leke ayırma konusunda bilinen bir yöntem olan Renk Dekonvolüsyonu ile karşılaştırılarak; çeşitli ölçütlerle başarım değerlendirmesi yapılmıştır. Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi; analitik yapısı bilinen çok değişkenli ve sürekli yapıdaki bir işlevin sabit işlev, tek değişkenli, iki değişkenli ve böylece artan sayıda değişkene bağlı işlevlerin toplamı şeklinde yeniden yazılabilmesini sağlayan bir yöntemdir. Yöntemin amacı, çok değişkenli bir işlevi daha az sayıda bağımsız değişken içeren sonlu sayıdaki işlevler toplamı olarak ifade etmektir. Tez kapsamında, RGB formatlı histopatolojik görüntüler çok değişkenli bir veri kümesi olarak kabul edilmiştir. Bu amaçla; görüntüler, I, 4-boyutlu uzaya eşlenmiştir. Sonrasında, Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi yöntemi 4-boyutlu yapıya getirilen histopatolojik görüntülere uygulanarak; en fazla üç değişkenli YBMG bileşenlerini içeren denklem temel alınmıştır. Tez çalışmasında, öncelikle RGB formatlı DAB&H ve H&E boyalı histopatolojik görüntüler 3 x 3 kayan pencere yapısı kullanılarak; alt görüntülere ayrılmıştır. YBMG yönteminin her bir alt görüntüye uygulanmasıyla, alt görüntüler farklı boyutlardaki görüntü bileşenlerine ayrılmıştır. Görüntü bileşenlerinin incelenmesi sonucunda da alt görüntülerin her birine özgü renk özellikleri, birli bileşenlerden biri olan YBMG-I3 bileşeninde gözlemlenmiştir. Bu bilgiler ışığında, her bir alt görüntünün YBMG-I3 bileşeni ile ilgili leke bölgelerinin piksel temelli ortak özellikleri arasında bir benzerlik ilişkisi kurularak leke bölgeleri ayrıştırılmıştır. Bu tez çalışmasının kendi kapsamında birçok özgün tarafı bulunmaktadır. Bunlardan birincisi ve en önemli olanı, histopatolojik görüntülerde leke ayırma konusunda ilk defa Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi yönteminin bu çalışmada kullanılması ve konuyla ilgili yapılan testlerden de umut verici sonuçlara ulaşılmasıdır. Çalışmanın diğer bir özgün tarafı, Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi yönteminin RGB formatlı histopatolojik görüntülere uygulanmasında yapılan birtakım düzenlemeler sonucunda yeni bir görüntü ayrıştırma algoritmasının tasarlanmasıdır. Bunun yanı sıra, buradaki görüntü ayrıştırma algoritmasından elde edilen görüntü bileşenlerinden de görüntü renksizleştirme konusuyla ilgili özgün bir algoritma geliştirilmiştir.
Euclid uzaylarındaki hiperyüzeylerin Gauss tasvirinin tipleri ve Cheng Yau operatörü

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2022) Kaya, Furkan ; Turgay, Nurettin Cenk ; 708762 ; Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

Chen ve Piccini tarafından ortaya konan "$ \mathbb{E}^{m} $ Euclid uzayının bir alt manifoldunun Gauss tasviri alt manifoldu ne ölçüde belirler?" probleminden sonra sonlu tipten Gauss tasvirine sahip alt manifoldların analizi çok aktif bir araştırma konusu haline gelmiştir. Şimdiye kadar bu probleme bazı faydalı kısmi çözümler sunulmuştur. $ \mathbb{E}^{m} $ Euclid uzayının $ n $ boyutlu bir $ M $ alt manifolduna, eğer $ x $ konum vektörü $ \Delta $ Laplace operatörünün özvektörlerinin sonlu bir toplamı olarak ifade edilebilirse sonlu tiptendir denir. Dolayısıyla $ M $ alt manifoldunun sonlu tipten olması için, $ x=x_0+x_1+x_2 \cdots +x_n$ olmalıdır. Burada $ x_0 $ sabit tasvir ve $ x_1,x_2,\hdots,x_n $ ise $\lambda_i \in \mathbb{R} $ olmak üzere $i=1,2,\hdots,k $ için $ \Delta x_i=\lambda_ix_i$ şartını sağlayan sabit olmayan tasvirlerdir. Eğer $ \lambda_1,\lambda_2,\hdots,\lambda_k $ özdeğerleri birbirinden farklı ise $ M $ alt manifoldu $ k $-tipindendir denir. $ M $, Euclid uzayının bir hiperyüzeyi olsun. Benzer şekilde bir $ \psi: M^{n}\xrightarrow{}E^{n+1} $ düzgün fonksiyonuna, eğer $ M $ hiperyüzeyinin Laplace operatörünün $ k $ tane ayrık özdeğerine karşılık gelen özvektörlerin toplamı olarak yazılıyorsa, $ k $-tipindendir denir. Eğer böyle bir $ k $ değeri varsa, $ \psi $ fonksiyonuna sonlu tiptendir denir. Yukarıda verilen tanımdan dolayı $ M $ hiperyüzeyinin 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için gerek ve yeter şartın $$ \Delta G=\lambda(G+C) $$ diferansiyel denkleminin bir $ \lambda \in \mathbb{R} $ özdeğeri ve $ C $ sabit vektörü için sağlanması olduğu elde edilir. $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki düzlemler, dik silindirler ve küreler 1-tipi Gauss tasvirine sahip yüzeylerdir. Euclid uzayındaki sonlu tipten alt manifoldlar pek çok geometrici tarafından çalışılmış ve önemli sonuçlara ulaşılmıştır. Halen de bu konu ile ilgili pek çok açık problem bulunmakta ve bu açık problemler çözülmeye çalışılmaktadır. Bu problemlerin bazıları da hiperyüzeylerin Gauss tasvirleri ile ilgilidir. Günümüze kadar pek çok geometrici Euclid uzaylarındaki hiperyüzeylerin Gauss tasvirlerinin üzerine çalışmıştır. Diğer taraftan, Euclid uzayındaki bir $ M $ manifolduna, $ G $ Gauss tasviri $$ \Delta G=f(G+C) $$ denklemi düzgün bir $ f$ fonksiyonu ve bir $ C $ sabit vektörü için sağlanırsa, noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir denir. Eğer bu denklem $ C=0 $ için sağlanırsa Gauss tasviri birinci çeşit noktasal 1-tipinden; $ C\neq0 $ için sağlanırsa ikinci çeşit noktasal 1-tipindendir denir. Örneğin, $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki helikoit, katenoid ve dik koni noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip yüzeylerdir. Son senelerde bu kavramlar genişletilerek genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahip alt manifold tanımı verilmiştir. Euclid uzayındaki bir $ M $ manifoldunun $ G $ Gauss tasviri $$ \Delta G=f_1G+f_2C $$ denklemi $ f_1,f_2 $ düzgün fonksiyonları ve bir $ C $ sabit vektörü için sağlanırsa genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir denir. Örneğin, $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki tüm dönel yüzeyler genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir. Bu tez çalışmasında $ \mathbb{E}^{3} $ uzayındaki yüzeylerin Gauss tasvirlerinin tiplerine göre sınıflandırılmaları ile ilgili bazı teoremler çalışılmıştır. Üçüncü bölümde Cheng-Yau operatörüne göre noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip sabit ortalama eğrilikli ve sabit esas eğrilikli yüzeyler ile ilgili bilinen sonuçlar ayrıntılı bir şekilde açıklanmıştır. Sonra Weingarten yüzeyleri incelenmiştir. $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki doğrusal Weingarten yüzeyinin Cheng-Yau operatörüne göre ikinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için bu yüzeyi düzlemin açık bir parçası olması gerektiği gösterilmiştir. Dördüncü bölümde ise $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki minimal yüzeylerin Cheng-Yau operatörüne göre genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için bazı teoremler elde edilmiştir. Ayrıca, helikal yüzeyler incelenmiş ve $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki bir helisoidal yüzeyin $ \square $ noktasal 1-tipinden Gauss haritasına sahip olması için gerek ve yeter şartın o yüzeyin bir dönel yüzey olması veya sabit Gauss eğriliğine sahip olması gerektiği gösterilmiştir.
Suppression of symmetry-breaking bifurcations of optical solitons in parity-time symmetric potentials

(Graduate School, 2022) Turgut, Melis ; Akar Bakırtaş, İlkay ; 881411 ; Mathematics Engineering Programme

Optical soliton refers to any optical field that maintains its special structure during propagation because of the balance between diffraction and self-phase modulation of the medium. The dynamics of optical solitons are investigated comprehensively due to their fundamental structures and potential applications. In particular, optical solitons play an important role in fiber optic communication system that uses pulses of infrared light to transmit information from one place to another over a long distance. The propagation of the electromagnetic wave in optical fibers is modeled by the cubic-quintic nonlinear Schrödinger (CQNLS) equation iΨ_z+Ψ_{xx}+α|Ψ|^2Ψ+β|Ψ|^4Ψ=0, where Ψ(x,z) is normalized complex-valued slowly varying pulse envelope of the electric field, z is the scaled propagation distance, x is the transverse coordinate, Ψ_{xx} corresponds to diffraction, α and β are the coefficients of cubic and quintic nonlinearities, respectively. A higher-order dispersion needs to be considered for performance enhancement along trans-oceanic and trans-continental distances. Fourth order dispersion needs to be taken into account for short pulse widths where the group velocity dispersion changes within the spectral bandwidth of the signal. In addition, it is known from many studies in the literature that an external potential added to the system can be also beneficial for performance improvement. In this thesis, we consider the nonlinear paraxial beam propagation in cubic-quintic nonlinearity with a complex parity-time (PT) symmetric potential and fourth order dispersion. This propagation is modeled by the following CQNLS equation iΨ_z+Ψ_{xx}−γΨ_{xxxx}+V(x)Ψ+α|Ψ|^2Ψ+β|Ψ|^4Ψ=0, where γ>0 is the coupling constant of the fourth order dispersion, V(x) represents a complex PT-symmetric potential. In this thesis, we consider PT-symmetric potentials that are of the form V(x)=g^2(x)+c0*g(x)+ig′(x) where g(x) is an arbitrary real and even function, c0 is an arbitrary real constant and PT-symmetric solitons undergo symmetry breaking. We take a localized double-hump function g(x) in the form of g(x)=A*[exp(−(x+x0)^2)+exp(−(x−x0)^2)] where A and x0 are related to the modulation strength and separation of PT-symmetric potential, respectively. The soliton solutions of CQNLS equation with fourth order dispersion and a complex PT-symmetric potential are numerically obtained by means of the squared-operator method since the equation is nonintegrable. The linear stability analysis of the numerically obtained solitons is examined by linear spectrum analysis and the nonlinear stability analysis is examined by nonlinear evolution with split-step Fourier method. The existence of symmetry breaking of solitons and suppression of symmetry-breaking bifurcations have been investigated. To examine the effect of fourth order dispersion on this symmetry breaking, the coefficient of fourth order dispersion γ is incremented gradually. Consequently, we have demonstrated that the symmetry-breaking bifurcation of the solitons in this problem is completely suppressed as the strength of the fourth order dispersion increases. Moreover, increasing the strength of fourth order dispersion positively influences the linear and nonlinear stability behaviors of solitons.
On the hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator in Minkowski spaces

(Graduate School, 2022) Ünsal, Nilgün ; Turgay, Nurettin Cenk ; 509181215 ; Mathematical Engineering Programme

Let $M$ be an oriented hypersurface of the Minkowski space $\mathbb E^{n+1}_1$. One of the most important extrinsic object of $M$ is its shape operator $S$ defined by the Wiengarten formula $$SX=-\tilde \nabla_X N,$$ where $N$ is the unit normal vector field to $M$ whenever $X \in TM$. The shape operator can be used to determine how the tangent plane and its normal move in all directions. Note that $S$ is a self adjoint endomorphism in $TM$. Therefore, it is diagonalizable when $M$ is Riemannian. However, if $M$ is Lorentzian, then its shape operator can be non-diagonalizable. In this case, the shape operator $S$ has four canonical forms. These canonical forms are written with respect to either an orthonormal basis or a pseudo-orthonormal basis. If the basis is orthonormal, then it is called a orthonormal frame field. An orthonormal frame of vector fields in a neighborhood of any point in $M$ is a basis $\{ E_1, \hdots, E_n \}$ such that $$(E_1,E_1)=-1, \quad (E_1,E_i)=0, \quad (E_i,E_j)=\delta_{ij}$$ for $2 \leq i, \ j \leq n$. On the other hand if the basis is pseudo-orthonormal, then it is called a pseudo-orthonormal frame field. A pseudo-orthonormal frame of vector fields in a neighborhood of any point in $M$ is a basis { X, Y, E_1, \hdots, E_{n-2} } such that $$(X,X)= (Y,Y)=0, \quad (X,E_i)=(Y,E_i)=0, \quad (X,Y)=-1$$ and $$(E_i, E_j)=\delta_{ij}$$ for $1 \leq i, \ j \leq n-2$. The eigenvalues and eigenvectors of $S$ are called the principal curvatures and principal directions of $M$, respectively. If the shape operator $S$ is diagonalizable and $M$ has constant principal curvatures, then the hypersurface $M$ is said to be isoparametric. If $S$ is non-diagonalizable and its minimal polynomial is constant, then $M$ is said to be isoparametric. In this thesis, we study isoparametric hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator in Minkowski space $\mathbb E^{4}_1$. This thesis consists of five sections. First section is introduction. In the second section, we give some basic concepts on Lorentzian inner product and also some basic facts on hypersurfaces of $\mathbb E^{n+1}_1$. In the third section, a theorem about isoparametric hypersurfaces is given. We note that these theorems are proved by Magid in 1985. We prove these theorems by using another method. In fact, this theorem implies that there is only four classes of isoparametric hypersurface using the Codazzi and Gauss equations in $\mathbb E^{4}_1$. Then, we give another theorem which proves that there is no isoparametric hypersurface in $\mathbb E^{4}_1$ with complex principal curvatures. In the fourth section, we construct a family of hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator in $\mathbb E^{5}_1$. We obtain the shape operator, the mean curvature, Gauss-Kronecker curvature and Levi-Civita connection of this hypersurface. Then, we give the necessary and sufficient condition for this hypersurface to be minimal with a theorem.
On geodesic mappings of Riemannian manifolds

(Graduate School, 2022-01-07) Çoraplı, Ahmet Umut ; Canfes, Elif ; 509181210 ; Mathematical Engineering
Effect of self-steepening on optical solitons in nonlinear media

(Graduate School, 2022-02-17) Çelik, Eril Güray ; Antar, Nalan ; 509181212 ; Mathematical Engineering

Optical solitons are solitary waves that propagate without deteriorating their special structures as a result of the balance between the group velocity dispersion effect and the nonlinear effect caused by the change in refractive index due to the Kerr effect. Soliton generation and analysis in optics is a pretty popular and modern research topic, as they have a wide range of applications, such as optical communication technology, optical sensing, pulse compression in ultrafast optics and all-optical switching. Particularly, the propagation of optical solitons in fiber optic communication systems is an area of great interest to researchers. Optical solitons can propagate through long distances in fiber transmission systems without being affected by chromatic and polarization mode dispersion. Since their natural structure is preserved, they can be used as natural optical bits of information in fiber optic systems. In nonlinear optics, the propagation of the light pulse in optical fibers can be modeled by the cubic-quintic nonlinear Schrödinger (CQNLS) equation. In fiber optic systems, the width of the optical pulses is reduced to increase the bandwidth and communication speed. Whereas, if the width of the light pulses is very small, that is, the frequency is high, the CQNLS equation may be insufficient to model the physical system. Because, if the light pulse is short, often some higher-order effects need to be taken into account. It can be said that the third-order dispersion, self-steepening (or nonlinear dispersion) and the Raman effect are the most significant higher order effects. In an optical waveguide, the real part of the PT symmetric potential corresponds to the spatial distribution of the refractive index, and the imaginary part corresponds to the balanced gain-loss relationship. NLS equations with higher-order effects can not be solved analytically. Therefore, this equations should be handled with numerical methods. In this thesis, the existence and stability of soliton solutions of some kind of NLS equations that have higher-order effects and the PT symmetric potential were investigated numerically. The pseudospectral renormalization method was used to obtain fundamental soliton solutions. In order to test the nonlinear stability of solitons, spatial evolution simulation of solitons was examined. For this, the split-step Fourier method, which has a very high performance in NLS-type equations, was used. In addition, while examining the dynamic properties of solitons, linear stability conditions were also taken into account. Linear stability analysis of solitons was performed by examining the whole linear stability spectrum of solitons with the help of the Fourier collocation method. The first 4 chapters of this thesis give information about NLS equations, optical solitons, higher-order effects, numerical methods, and stability analysis. In Chapter 5, the existence and dynamic properties of solitons obtained from the NLS equation with the self steepening term are analyzed. In addition, the relationship between PT symmetric periodic potential and the influences of the self-steepening effect is examined. It has been observed that the PT- symmetric periodic potential helps to obtain stable solitons by eliminating adverse effects. In Chapter 6, the soliton solutions of the CQNLS equation with the self steepening term were investigated in the self-focusing cubic, self-defocusing quintic medium. It has been determined that the destabilization effect of self-steepening can be arrested when the coefficient of the cubic nonlinear term is 1 and the coefficient of the quintic nonlinear term is -1. Finally, the conclusions of this thesis are summarized in Chapter 7.
Spektral ertelenmiş düzeltme zaman integrasyonu yöntemleri

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2022-06-01) Bahçekapılı, Duygum Asya ; Kadıoğlu, Samet Yücel ; Kadıoğlu, Hülya ; 509171247 ; Matematik Mühendisliği

Bu çalışmada, adi diferansiyel denklemler ile oluşturulmuş başlangıç değer problemlerinin sayısal çözümlerini yapabilmek için geliştirilmiş "spektral ertelenmiş düzeltme" yöntemleri incelenmiştir. Spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin özü, Euler yöntemlerine dayanmaktadır. Amaç, birer ilkel zaman integrasyonu yöntemi olan açık ve kapalı Euler yöntemlerinin doğruluk mertebesini keyfi mertebede arttırabilmektir. Problemler çözülürken, öncelikle, tez içinde "ara çözüm" olarak adlandırılacak olan başlangıç çözümü, denklemin yapısına uygun olarak, açık veya kapalı Euler yöntemleri ile elde edilmiştir. Ardında, ara çözüme düzeltme prosedürü uygulanarak "düzeltme çözümü" olarak adlandırılacak olan çözümler elde edilmiştir. Elde edilen sonuçların literatürle uyumlu olduğu ve keyfi mertebede doğruluk sağlanabildiği gözlemlenmiştir. Yine çalışmada, başlangıç değer problemlerinin çözümünde sıklıkla başvurulan sayısal yöntemlerden olan Runge - Kutta yöntemlerinin ve spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin kararlılık bölgesi analizleri yapılmıştır. Bu kararlılık bölgeleri şekiller aracılığıyla karşılaştırılmıştır. Ardından, spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin kararlılık davranışı hem açık hem kapalı şemalar için incelenmiş olup sonuçlar şekiller ile verilmiştir. Yine çalışmada, spektral ertelenmiş düzeltme yöntemleri, tek bir denklemden sisteme kadar dört adet başlangıç değer problemine uygulanarak elde edilen sonuçlar çizelgeler ile çalışmaya eklenmiştir. Ayrıca yine her bir problem için bir diferansiyel denklem çözücüsü olan ODE45 ile 5. mertebe açık spektral ertelenmiş düzeltme yönteminin çözümleri karşılaştırılmıştır. Gerçek çözümü bilinen problemler için her iki yöntemin de gerçek çözümle karşılaştırılması yapılıp, sonuçlar şekiller ile gösterilmiştir. Sonuç olarak, bu çalışmada hem kararlılık bölgesi analizleri yapılarak hem de problemlerin çözümünde kullanılarak, spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin başlangıç değer problemlerini çözmedeki doğruluk ve etki performansı incelenmiş ve yöntemin sıklıkla kullanılan diğer sayısal yöntemlerden bazıları ile karşılaştırılması yapılarak avantaj ve dezavantajlarından bahsedilmiştir.
Fındığın optimum satış süresinin belirlenmesi: oyun teorisi ve karar kriterleri yaklaşımları

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2023) Muntaş, Melike ; İzgi, Burhaneddin ; 889078 ; Matematik Mühendisliği Bilim Dalı

Tarım alanında üretim ve pazarlama sürecinde risk koşullarında faaliyet gösterilmekte, karar vericiler kararlarını belirsizlik ortamında vermektedir. Üreticilerin geleceğe yönelik planlama yaparken doğanın yapısından kaynaklanan riskleri analiz etmesi ile tarımda bir ürünün üretimi ve satışa sunulması için doğru zamana ve satış fiyatına karar vermesi gerekmektedir. En uygun satış fiyatı ve en uygun satış yapılacak dönemin seçiminde yaşanan belirsizliklere karşı oyun teorisi ve karar teorisinden yararlanmak mümkündür. Bir ürünün piyasa satışı için uygun zamanın ve dolayısıyla satış fiyatının belirlenmesini temel aldığımız problemin çözümüne yönelik dinamik programlama, oyun teorisi ve karar kriterleri kapsamında uygulamayı hedeflediğimiz problem olan fındık satışı için uygun satış zamanı ve fiyatını bularak satıcının karını arttırması planlanmış ve bu çalışmada hem ülkemiz hem de dünya için fındık üreticisinin satış planlanmasına yardımcı olacak bir yaklaşım sunulması hedeflenmiştir. 2020 yılı FAO verilerine göre dünyada toplam fındık üretiminin % 59,61'ini karşılayan Türkiye, dünya fındık üretiminde birinci sıradadır. Fındık ve fındıktan üretilen ürünlerin ihracatının dünya üzerinde son 5 yıldaki kabuklu fındık olarak karşılığı ortalama 711 bin ton olup bunun %71'i Türkiye tarafından karşılanmaktadır. FAO verilerinin sonucuna göre dünyada fındık ihtiyacının büyük bir kısmını karşılayan Türkiye'de üretim ve ihracatın yanı sıra iç piyasalarda da fındık önem arz etmektedir. Birinci bölümde fındığın en uygun satış fiyatı ve en uygun satış yapılacak döneminin seçiminde kullanılacak oyun teorisi ve doğrusal programlamanın kavram ve uygulama yöntemlerine ihtiyaç olduğu ölçüde yer verilmesi amaçlanmıştır. Bu bölümde ilk olarak oyun teorisinin tarihsel gelişimi ve literatürde oyun teorisi ile uygulama yapılan bazı çalışmalar incelenmiştir. Ardından oyun teorisinin temel kavramları ve iki kişilik sıfır toplamlı oyunlar sunulmuştur. Sonra oyun teorisi ile bağlantısı olan doğrusal programlamanın tanımı, tarihsel gelişimi ve çalışmaya konu olan uygulama problemine benzer geçmişte yapılan bazı çalışmalardaki kullanımı gösterilmiştir. Ardından strateji sayısı arttıkça çözümü zorlaşan oyunların çözümünde sıklıkla kullanılan doğrusal programlamanın oyun teorisi ile arasındaki ilişki incelenmiştir. Sonra matris oyunlarında hiçbir denklem çözülmeden yaklaşık çözümün bulunduğu MN yöntemi incelenmiştir. MN yönteminin teorik alt yapısı sunulmuş ve birkaç örnekle uygulaması yapılmıştır. İkinci bölümde, belirsizlik altında karar alma kriterleri tanımlarına yer verilmiş ve örneklerle incelenmiştir. İlk olarak tüm olası alternatiflerin gerçekleşme olasılıklarının eşit kabul edildiği Laplace kriteri tanımlanmıştır. Sonra iyimser karar vericinin alternatif seçenekler arasından en büyük getiriyi sağlayan stratejiyi seçtiği Maximax kriteri incelenmiştir. Ardından kötümser karar vericinin en küçük getiri değerinin en yüksek olduğu seçeneği seçtiği Wald kriteri tanımlanmıştır. Sonra şüpheci olan karar vericinin en büyük getiriler içinden en küçükleri hedeflediği Savage kriteri gösterilmiştir. Son olarak Hurwicz karar kriteri ile karar vericinin iyimser ve kötümser yaklaşımının bir olasılık değeri ile belirlendiği gösterilmiştir. Üçüncü bölümde ise, TÜİK'ten alınan fındık fiyatları ile oyun matrisi oluşturulmuştur. Ardından doğrusal programlama yöntemi ile fındık fiyatları matrisinde analizler yapılmıştır.
Lie symmetries and exact solutions of Benney-Roskes/Zakharov-Rubenchik system

(Graduate School, 2023-01-06) Gönül, Şeyma ; Özemir, Cihangir ; 509191240 ; Mathematics Engineering

Many physical phenomena in our lives are modeled using ordinary differential equations (ODE) and partial differential equations (PDE). Unlike PDEs, ODEs can be solved using more familiar and straightforward techniques. Partial differential equations are widely utilized in scientific fields that place on mathematics, such as physics and engineering. A wide range of partial differential equation types has been derived as a result of the diversity of the sources. Many methods have been developed to deal with the resulting individual equations. One of these methods used to solve PDEs is Lie symmetry analysis. Lie groups and Lie algebras are useful tools for reducing the number of independent variables in a PDE by using the reduction method. Lie's method leads to group-invariant solutions and conservation laws for partial differential equations. PDEs can be classified into equivalence classes and new solutions can be derived from existing ones by taking advantage of their symmetry. The first step in the method is finding the determining equations for the system's symmetries. By solving the determining equations, the vector field that generates the transformation group of the equation is obtained, which is called the infinitesimal generator of the symmetry group. In other words, we find the infinitesimal generators of the transformation groups, which will leave the solution of the system invariant. From this generator, the Lie algebra structure of the system emerges. However, applying Lie group methods to systems of equations takes a lot of time and effort. Even solving elementary differential equations is prone to mistakes if we do it with a pen and paper. All of that has changed thanks to the accessibility of computer algebra systems like Mathematica and Maple. Some of the calculations in this thesis were done using these programs. This thesis investigates the Lie symmetry algebra of the Benney--Roskes/ Zakharov--Rubenchik (BR/ZR) system and presents exact solutions to this system of equations. BR/ZR system includes the well-known Davey-Stewartson (DS) system and Zakharov system in the limiting case. Although the first appearance of the BR system dates back a few decades, it is seen that the research on qualitative and numerical analysis of the system finds a place in the recent literature. As this literature lacks the results on Lie symmetries and solitary-type analytic solutions of the system, it has been this work's main purpose to fulfill this gap. In Chapter 1, the problem statement of the thesis and the literature review of the problem are given. In Chapter 2, the fundamental definitions and notations for the Lie symmetry analysis of differential equations are provided. In Chapter 3, (2+1)-dimensional BR/ZR system and in Chapter 4, (3+1) BR/ZR system are investigated by the tools of Lie group analysis. The symmetry algebra of the (2+1)-dimensional BR/ZR system is obtained as an infinite dimensional Lie algebra. We found that the symmetry algebra is as not rich as the symmetry algebra of the DS system, which is one of the integrable equations in (2+1) dimensions. We succeeded in finding solutions in the forms of a line soliton and hyperbolic type. We also discovered the Lie symmetry algebra of the (3+1) BR/ZR system. The invariance algebra of the system turns out to be infinite-dimensional. Concentrating on traveling solutions, we found wave components of sech-tanh type, which proceed as line solitons and kinks in two-dimensional cross-sections in space. With this thesis, we have added original results to the literature on group-theoretical properties and exact solutions of the BR/ZR system. We believe that these results will serve as a source for future numerical and qualitative studies on this system.
Salgın hastalıklarda aşı ve karantina etkisinin matematiksel modellemesi

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2023-06-16) Çelik, Seda ; Özer, Saadet Seher ; 509191274 ; Matematik Mühendisligi

Salgın hastalıklar, hastalığa neden olan yeni patojenlerin meydana gelmesi ve eski patojenlerin yeniden ortaya çıkması ya da evrimleşmesi nedeniyle tarihte birçok toplu ölümlere neden olmuştur. Bu sebeple salgın hastalıkların analiz edilmesi sonucunda gelecekte meydana gelebilecek salgın hastalıklara karşı etkili tedbirlerin alınması sağlanabilir. Son yıllarda meydana gelen COVID-19, ortaya çıktığı günden bir süre sonra dünyayı etkisi altına almış, hayat akışını etkilemiştir. Bunun sonucunda çoğu ülke salgının yayılımını önlemek amacıyla tedbirler alırken, bu süre boyunca COVID-19 salgınına yönelik birçok bilimsel çalışmalar da ortaya koyulmuştur. Matematiksel modeller, gerçek hayat problemini doğru varsayımlar eşliğinde matematiksel dil kullanılması sonucunda elde edilen tahminler ve çözümlerdir. Ulaşılan çözümlerin faydalı olması için problemi iyi anlamak ve analiz etmek gerekir. Matematiksel modeller birçok dinamik modelleme türlerinde kullanılabilir; av-avcı dinamikleri, uyuşturucu madde kullanımları, alkol, sigara ve salgın hastalıklar. Epidemiyoloji de matematiksel modeller, hastalığın yayılmasını etkileyen altta yatan mekanizmaların ayrıntılı bir şekilde incelenmesini sağlaması ve salgını azaltmak için kontrol stratejilerinin rehberliğini desteklemesi nedeniyle araştırmacılar için en ilgi çekici konulardan biri olmuştur. Özellikle son zamanlarda meydana gelen COVID-19 pandemisi ile beraber matematiksel modelleme çalışmaları yeniden ilgi kazanmıştır. Bu tezde, son yıllarda toplu ölümlere neden olan COVID-19 pandemisi ile ilgili yayınlanan matematiksel makalelerin incelenmesi sonucunda, iki tür model kurulumu yapılmıştır. Kurulan matematiksel modeller, çeşitli salgın hastalık durumlarında karantina ve aşının etkinliğini incelemek için oluşturulmuştur. Bu çalışma ile gelecekte ortaya çıkacak salgın hastalıklar ile etkin mücadele konusunda ışık olması amaçlanmıştır. Bu çalışma toplam dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, temel tanımlar başlığı altında lineer ve lineer olmayan adi diferansiyel denklem sistemleri için denge noktalarının kararlılık analizleri hakkında bilgi verilmiştir. Kararlılık analizlerin yapılabilmesi için gerekli olan teoremler kısaca belirtilmiştir. Ayrıca bir sistemin Global kararlılığının incelenmesinde yardımcı olan Liapunov kararlılık teoreminden de bahsedilmiştir. İkinci bölümde, temel salgın hastalık modelleri olan SI, SIS, SIR, SIRS ve SEIR detaylı incelenmiştir. Her bir modelin tanıtımı ve matematiksel analizleri yapılmıştır. Bunun yanı sıra salgın teorisindeki en önemli kavramlardan biri olan temel üreme sayısından bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, tezin ana çalışması olarak iki farklı matematiksel model kurulumu yapılmıştır. İlk olarak, sadece aşı etkinliğini ve aşılanma oranının bir salgın yayılımı üzerindeki etkisini inceleyen basit bir matematiksel model kurulmuştur. Daha sonra hem karantina hem de aşının varlığının olduğu durum için daha kapsamlı bir matematiksel model oluşturulmuştur. Her iki modelin tanıtımı yapılması sonucunda lineer olmayan adi diferansiyel denklem sistemi kurulmuş, invaryant bölgesi, denge noktaları, yerel kararlılık analizleri ve sayısal sonuçları incelenmiştir. Modellerden elde edilen sayısal sonuçlar Mathematica programı ile çizdirilmiştir. Kurulan iki modelden ilki olan aşılanma oranını ve etkinliğini inceleyen model, aşılanmış duyarlıları, aşılanmamış duyarlıları ve enfekte popülasyonları olmak üzere 3 bölümden oluşmaktadır. Model de aşılanma oranının ve etkinliğinin salgının yayılımını nasıl etkilediği incelenmiştir. Salgın hastalık yayılımında aşı etkinliği ve aşılanma oranının etkisini inceleyen modelin sayısal sonuç grafiklerinden sonuçlar elde edilmiştir. Aşı etkinliği azaldığında temel üreme sayısında artış oluştuğu gözlemlenmiştir. Bu durum, aşı etkinliği azaldıkça salgının yayılım şiddetinin artığını belirtir. Diğer taraftan, aşı etkinliği arttığında temel üreme sayısında azalış oluştuğu gözlemlenmiştir. Bu sonuç, aşı etkinliğinin salgın yayılımında önemli bir faktör olduğunu ve salgın yayılımını azaltmak için aşı etkinliğinin artırılması gerektirdiğini belirtir. Kurulan ilk model için salgının yayılımında aşılanma oranının etkisi de incelenmiştir. İnceleme sonucunda, aşılanma oranı arttıkça salgının daha erken sönümlendiği ve salgın yayılım şiddetinin azaldığı gözlemlenirken, aşılanma oranı azalttıkça ise salgının yayılım şiddetinin arttığı sonucuna ulaşılmıştır. İkinci model olan karantina ve aşı etkinliğini inceleyen model, aşılanmış ve aşılanmamış duyarlıları, maruz kalmış, karantinaya alınmış, enfekte ve iyileşmiş popülasyonları temsil eden altı bölümden oluşmaktadır. Modelin matematiksel analizi yapılırken temel üreme sayısı yeni nesil yaklaşım yöntemi ile bulunmuştur. Hastalıksız denge noktasının yerel kararlılığı için Routh-Hurwitz yönteminden faydalanılmış, global kararlılığı için ise Liapunov teorisi uygulanmıştır. Ayrıca temel üreme sayısının 1'den küçük olması için gerekli olan parametre koşulları da incelenmiştir. Karantina ve aşı etkinliğini inceleyen modelin sayısal sonuç grafiklerinden, aşı etkinliği zayıf iken güçlü karantina uygulanmasının temel üreme sayısında azalmaya neden olduğu görülmüştür. Buradan aşı etkinliği zayıf olsa bile karantinaya girenlerin oranının yüksek olmasının salgının yayılımında azalışa neden olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Diğer taraftan, aşı ve karantina önlemi alınmadığında ise salgının ciddi şekilde yayıldığı gözlemlenmiştir. Aşı etkinliği güçlü iken karantina oranın da azalış olması durumunda ise salgının daha geç sürede sönümlendiği gözlemlenmiştir. Ayrıca aşı etkinliği ne kadar güçlü olsa bile salgının kontrolü için karantinanın gerekli olduğu yapılan inceleme sonucunda ulaşılmıştır. Hem aşı etkinliği hem karantina oranlarının çok düşük olduğu durumda ise salgının yayılım şiddetinin yüksek olduğu gözlemlenirken, her ikisinin yüksek olması durumunun ise salgının yayılımını kontrol etmede en iyi strateji olduğu bu çalışma sonucunda ulaşılmıştır.
Elgamal algoritması ve arnold dönüşümüne dayalı biyometrik görüntü kriptolojisi

(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2023-09-03) Ünlü, Rabia ; Bilir Çivi, Gülçin ; 509201241 ; Matematik Mühendisliği

Görüntü şifreleme, modern iletişim ve güvenlik alanlarında önemli bir rol oynayan kritik bir teknolojidir. Hassas verilerin, özellikle insan yüzlerinin güvenli bir şekilde saklanması, aktarılması ve doğrulanması, kişisel gizliliğin korunması ve yetkisiz erişime karşı savunmanın sağlanması açısından hayati öneme sahiptir. Bu çalışmada, kişisel verilerin güvenli bir şekilde paylaşılması, veri bütünlüğünün ve gizliliğinin sağlanması için etkili bir homomorfik şifreleme yöntemi olan ElGamal dönüşümü ile Arnold dönüşümünün entegrasyonundan oluşan bir görüntü şifreleme algoritması önerilmektedir. Arnold Dönüşümü, eşit uzunluk ve genişlikteki piksel noktalarından oluşan bir görüntünün piksellerinin konumları üzerinde birden çok matris işlemi gerçekleştiren, klasik kriptografik sistem temelli bir görüntü şifreleme algoritmasıdır. Bu dönüşüm, dijital görüntünün karıştırılıp, tanınmaz bir hale getirilmesini sağlamaktadır. NxN boyutundaki görüntünün piksellerinin x ve y koordinatlarını değiştirerek bir karışıklık oluşturur ve orijinal görüntünün okunmasını zorlaştırır. Yeni x ve y koordinatları, orijinal x ve y koordinatları üzerinde bazı matematiksel işlemler uygulanarak hesaplanır. Bu işlemler, piksellerin yatay konumlarını değiştirerek görüntünün şifrelenmesini sağlar. Arnold dönüşümü, geniş çapta kullanılan önemli bir görüntü şifreleme tekniği olmasına rağmen, güvenlik zayıflıklarına sahiptir ve her boyuttaki görüntü verilerine uygulanması zordur. Bu zayıflıkları aşmak için, mevcut çalışmalar Arnold dönüşümüne entegre edilebilecek çeşitli yaklaşımlar önermektedir. ElGamal şifreleme sistemi ise, 1985 yılında Taher Elgamal tarafından geliştirilen ve Diffie-Hellman anahtar değişimi prensibine dayanan bir genel anahtarlı kısmi homomorfik şifreleme algoritmasıdır. Asimetrik anahtarlı kriptografi kullanarak güvenli bir şifreleme yöntemi sunar. Özel anahtar şifreleme işlemi için gizli tutulurken, genel anahtar çözme işlemi için kullanılır ve genel olarak erişilebilir. Şifreyi oluşturan kişinin şifrelemeyi inkar edemeyeceği bir doğruluk seviyesi sağlar. Bu nedenle sadece şifreleme değil, aynı zamanda görüntü doğrulama için de uygundur. Bu çalışmada, öncelikle simetrik, asimetrik ve hibrit görüntü şifreleme tekniklerinin kapsamlı bir incelemesi yapılmıştır. Daha sonra literatüre giren görünü şifreleme çalışmaları dikkate alınarak, biyometrik görüntülerin, 2D Arnold dönüşümü kullanılarak karıştırılması ardından ElGamal algoritmasıyla şifrelenmesi ve tersine işlem ile orijinal görüntünün elde edilmesi problemi ele alınmıştır. Önerilen yaklaşımı özel kılan nokta Arnold dönüşümü sonrası şifrelenmiş biometrik görüntünün deşifresinin ayrık logaritma hesaplamasının zorluğuna dayalı olmasıdır. Örneklerle açıklanan yaklaşım ile biyometrik görüntülerin depolanması, iletilmesi ve doğrulanması sırasında olabilecek saldırılara karşı etkili ve güvenli olan bir hibrit görüntü kriptolojisi hedef alınmıştır.
Optimal control theory of fourth order differential inclusions

(Graduate School, 2024-06-06) Özdemir, Mehmet ; Mahmudov, Elmkhan ; 509191272 ; Mathematics Engineering

Optimal control theory is a field of study in mathematics and engineering that focuses on finding the most effective method of controlling a system in order to accomplish a desired result. The process involves mathematically modeling the system, devising a control strategy that optimizes a specific objective function, and implementing the control method. Optimal control theory is applied in various disciplines such as engineering, economics, biology. Optimization challenges are prevalent in several fields of research and engineering. We consistently strive for optimal solutions, maximizing resource utilization and minimizing effort to get desired results. In the field of classical mechanics, one example of a problem we may encounter is finding the path that minimizes the amount of time it takes to go. Nevertheless, traditional differential equations sometimes encounter difficulties in accurately representing the intricacy of real-world systems. Fourth-order differential inclusions are introduced as a strong tool to address optimization issues that include higher-order dynamics. The fundamental concept behind the use of fourth-order (DFIs) for optimization is to identify the state trajectory (expressed by a function) that minimizes a certain cost functional. We use the notion of locally adjoint mappings (LAMs) to deduce optimality criteria. These mappings establish a connection between changes in the system's condition and fluctuations in the cost functional. Mathematicians may determine the necessary and sufficient conditions for a trajectory to be optimum by examining these links. The use of fourth-order (DFIs) in optimization is not limited to mechanics. They are used in fields such as optimal control theory, where engineers develop control systems for dynamic processes. In this context, the term "inclusion" refers to the description of how a system behaves when subjected to different control inputs. The objective of the optimization issue is to find the control strategy that minimizes a certain cost, such as fuel consumption.
Innovative computational techniques for accurate internal defect detection in trees: A stress wave tomography approach enhanced by machine learning

(Graduate School, 2024-06-10) YIldızcan, Ecem Nur ; Tunga, Burcu ; 509211206 ; Mathematics Engineering

The detection of internal defects in trees holds critical importance given the health of forest ecosystems and the industrial significance of wood products. The identification of these internal defects without damaging the wood is a significant factor in the forestry industry and in the production of wood products. While traditional methods often require cutting or processing the wood, non-invasive techniques such as stress wave tomography offer the possibility of identifying internal defects without disrupting the wood's structure. This contributes both to the sustainable management of forest resources and to the improvement of wood product quality. A branch of artificial intelligence, machine learning algorithms allow computer systems to analyze data, recognize patterns, make decisions, and solve problems. These algorithms are critical tools in analyzing large datasets obtained from non-invasive techniques like stress wave tomography, and in accurately detecting and classifying internal defects. In this thesis, an algorithm design capable of generating stress wave tomography based on ray segmentation and machine learning has been developed for the purpose of detecting internal defects in trees. A two-stage algorithm has been proposed based on data obtained from stress waves produced by sensors mounted on trees and on the segmented propagation rays generated from these data. In the first step, a ray segmentation method maps the velocity of stress waves to create segmented sensors. In the second step, data obtained from these segmented rays are processed using K-Nearest Neighbors (KNN) and Gaussian Process Classifier (GPC) algorithms to create a tomographic image of defects within the tree. The algorithm carries the potential to detect internal defects in wood without causing damage and provides more precise results compared to traditional methods. Implemented using the Python programming language, the algorithm equips researchers with the ability to understand and analyze the internal structure of trees. This method stands out as a practical tool for contributing to forest health assessment and conservation through stress wave tomography. During experiments, data from four real trees were collected via sensors, and an algorithm was developed to generate four sets of synthetic defective tree data in the sensor's data format. Real tree data was provided by Istanbul University Cerrahpaşa Faculty of Forestry. All tree data were individually used to feed the proposed defect detection algorithm, and the outputs were transformed into tomographic images. Success rates above 90% were achieved for all evaluation metrics. Compared to related studies, the results showed improvements ranging from 7% to 22% relative to the literature. This thesis aims to contribute to the development of the sustainable wood industry by offering a new approach to detecting internal tree defects. Although the results obtained are quite good compared to the results in the scientific literature, it is thought that even better results will be obtained by optimizing the parameters of the algorithm or by differentiating the machine learning algorithms integrated into the method.
Control of Hopf and Bautin bifurcation in a modified Goodwin model of growth cycle

(Graduate School, 2024-06-24) Erdoğan, Melike Nur ; Peker, Ayşe ; 509201240 ; Mathematics Engineering

In this thesis, we conduct a comprehensive analysis of regulating key bifurcation features, such as the stability of the equilibrium and the stability and orientation of the limit cycles, in Desai et al.'s modified Goodwin model of growth cycle, which elucidates the dynamics of class struggle in controlling economic systems. The study systematically manipulates model parameters to position the economy within the desired regions of both the Hopf and Bautin bifurcation diagrams. The original Goodwin model comprises two dynamic equations representing the share of labour in national income and the proportion of labour force employment. Solutions of the system exhibit clockwise closed cycles, each centered at the singular point. Values of this point may exceed one. It implies that the singular point may extend beyond the unit area, leading to trajectories that partially or entirely exist outside that area. Even if the singular point remains within the unit box, trajectories could extend partially outside its boundaries. As a result, values surpassing one produce impractical outcomes for both the labour share and the employment rate. The modified Goodwin model proposed by Desai et al. satisfies this requirement, and all trajectories lie inside the unit square. The Jacobian matrix of the modified system at the origin has a pair of purely imaginary eigenvalues. An equilibrium with a pair of complex conjugate eigenvalues may lose its stability at a parameter exceeding a threshold value and transition to a small amplitude limit cycle called Hopf bifurcation. In the supercritical Hopf bifurcation, the limit cycle emerges at the bifurcation parameter greater than its critical value. In the subcritical Hopf bifurcation, the limit cycle is observed at the parameter values less than its critical value. The sign of the first Lyapunov coefficient at the critical value of the bifurcation parameter determines the type of the Hopf bifurcation. The second Lyapunov coefficient is evaluated where the first Lyapunov coefficient vanishes. The system undergoes another bifurcation, incorporating families of stable and unstable limit cycles coexisting, with one nested within the other, colliding, and eventually disappearing through a saddle-node bifurcation. It is called Bautin bifurcation, and it influences the stability of the equilibrium and the orientation of the resulting limit cycle. Understanding the behaviour of such systems is crucial, as they often exhibit fascinating bifurcation diagrams. Recently, a range of control laws were proposed to manipulate the bifurcation features. In this study, we will utilise the control law offered by Braga et al. in 2010 to generate controllable Hopf and Bautin bifurcation. The control law depends on two bifurcation parameters and four control parameters. If we evaluate Desai et al.'s modified system with this control law, the system's Jacobian matrix at the origin gives a pair of complex conjugate eigenvalues with a non-zero real part. The transversality condition of the Hopf bifurcation indicates that the derivative of the eigenvalue's real part with respect to the Hopf bifurcation parameter is non-zero. Considering that the Hopf bifurcation necessitates a pair of purely imaginary eigenvalues and the transversality condition, we fix the Hopf bifurcation parameter to zero when evaluating the Lyapunov coefficients. We calculate the first and second Lyapunov coefficients as presented by Kuznetsov et al. and then determine the critical values of the control parameters where the Lyapunov coefficients vanish. Following Braga et al.'s control law, the control parameter values and the initial conditions are carefully selected to regulate the stability and the direction of the limit cycles emerging near the origin. For various values of the bifurcation parameters, all possible Hopf and Bautin bifurcation diagrams are plotted using NDSolve command of Mathematica, with a specified accuracy and precision goal of 10 digits. We observe that minor alterations in parameter values lead to variations in the behaviour of the modified model, resulting in different types of bifurcations. Through this interdisciplinary analysis, we have advanced and expanded the findings regarding the Goodwin model's controllability and aimed to bridge theoretical insights with practical applications, thereby offering valuable contributions to policy decisions and strategic interventions to navigate the complexities of economic management. This thesis is organised as follows. Chapter 1 includes the purpose of the study, literature review, and hypothesis research questions. In Chapter 2, bifurcation theory and stability in nonlinear dynamical systems are explained. The theorem and accompanying proof of both Hopf and Bautin bifurcation are given in Section 2.1 and Section 2.2, respectively. Section 2.3 introduces Braga et al.'s control law, and Section 2.4 presents the original Goodwin model and Desai et al.'s modified version. In Chapter 3, we perform the bifurcation analysis of the modified model for Hopf in Section 3.2 and Bautin in Section 3.3. Numerical simulations are also presented in this chapter. The last chapter is devoted to some concluding remarks and potential future studies.
Machine learning applications for time series analysis

(Graduate School, 2024-06-24) Can, Mert ; Kaygun, Atabey ; 509191237 ; Mathematics Engineering

In this studying, involves doing a range of tests using time series data sets collected from stock markets (BIST30, BIST100, Apple) and cryptocurrency marketplaces. Statistical analysis and artificial intelligence models are employed to investigate various data sets inside the studies, and the findings are subsequently analysed. The main objective of the study is to provide a valuable contribution to academic research and offer practical advantages to market investors. Consequently, the researcher has thoroughly examined the current models and studies in the literature and has chosen the most suitable artificial intelligence models (ARIMA, SARIMA, GARCH) for the thesis study. The paper extensively discusses and applies these concepts within its scope. The study's findings indicate that no existing framework can accurately forecast the time series-dependent pricing of crypto assets traded on stock exchanges and crypto exchanges. These conclusions are based on the results gained from the experiments conducted. The primary factors contributing to this unpredictability can be ascribed to market price volatility and the fact that price variations generate outcomes regardless of time. Subsequent investigations might prioritise the utilisation of additional data sources to enhance the existing time series data, hence enhancing the precision of prediction outcomes. Incorporating supplementary information such as macroeconomic indicators, sector-specific data, geopolitical events, and social media sentiment can augment the precision of prediction models. This thesis study offers essential insights into the predictability of financial time series. The present pricing and daily price changes alone are inadequate in providing credible predictions. This is because elements such as seasonality, seasonal variability, and periodic trends, which are stochastic in nature, make the prediction process more complex. The thesis clearly demonstrates the constraints and difficulties encountered in financial market analysis as described in the literature, with the assistance of data derived from both literature-based research and experiments. The statistical methods used and the data gained in this study serve as an initial investigation, with the goal of establishing a methodological basis for future studies and opening up possibilities for further research in many areas. This study is expected to serve as a benchmark for future market researchers and academics conducting research in this subject.
Penalized stable regression

(Graduate School, 2024-06-24) Sarıbaş, İrem ; İnan, Gül ; 509211209 ; Mathematics Engineering

In machine learning, the process of data splitting is critical for developing both accurate and consistent models. This process involves dividing the data into separate sets for training, validation, and testing. The training set enables the training of models, the validation set assists in selecting the best parameters, and the test data allows for the assessment of performance of the model in real-world scenarios. Various data splitting techniques exist, each serving specific characteristics of the data set and modeling objectives, such as one-time split and k-fold cross-validation. In the method of one-time split, the data set is randomly divided into two subsets at a predetermined ratio. In the method of k-fold cross-validation, the data set is randomly divided into k equal parts. The model is trained on k-1 parts, and the remaining part is used for validation or testing. This process is repeated such that each part is used for training exactly once. Over-fitting is an issue in machine learning where a model learns the details and noise in the training data to an extent that adversely affects its performance on previously unseen data. Regularized regression methods play a crucial role in addressing the problem of over-fitting, especially for models that perform excellently on training data but fail on new and previously unseen data. Techniques such as Ridge regression, the Least Absolute Shrinkage and Selection Operator (LASSO), Smoothly Clipped Absolute Deviation (SCAD), and the Minimax Concave Penalty (MCP) hold significant places in enhancing model training. By penalizing the coefficients of features, these methods help reduce over-fitting, encouraging the development of simpler models because such models are more likely to generalize better to new data sets. The penalty implemented by Ridge regression is proportional to the sum of the squares of the coefficients, which reduces their effect while retaining all features in the model, but does not eliminate any feature completely. LASSO aims both to shrink regression coefficients and to remove insignificant features from the model. It employs the sum of the absolute values of the coefficients as the penalty term. This method zeroes out the coefficients of insignificant features, thereby automatically performing feature selection. SCAD applies a penalty similar to that of LASSO to small coefficients but avoids penalizing large coefficients, allowing the model to retain large coefficients that are significantly different from zero. MCP is a method developed to address variable selection in high-dimensional data, offering a non-convex penalty mechanism and promoting sparse solutions while penalizing large coefficient values with less bias, thus reducing the effect on large coefficients differently than Ridge. In this thesis, we propose an optimization-based algorithmic data splitting method to effectively select training and validation sets. Our proposed method systematically assigns data points to training or validation sets based on their contributions to the performance of the model. If the contribution of a data point to the performance of the model is high, it is placed in the training set; if low, in the validation set. In this study, the proposed approach is tested on various regression models using penalties such as Ridge, LASSO, SCAD, and MCP. The approach is compared with traditional data splitting techniques like one-time split method and k-fold cross-validation, applied to two different data sets using various evaluation metrics. Each data splitting scenario has been repeated one thousand times to ensure the consistency of the results and to obtain statistically reliable outcomes. The evaluation metrics include the runtime, the average value of the regularization parameter lambda, the standard deviation of the regularization parameter lambda, errors in prediction for the validation, training, and test sets, average coefficients, and the standard deviation of the coefficients. In the scenario of one-time split method, the data set is randomly divided such that 80% of the observations are in the training and validation set, and 20% are in the test set. Then, based on a predetermined ratio, the training and validation sets are further randomly split. Models are constructed using these sets, and performance is measured. In the scenario of k-fold cross-validation, the data set is randomly divided so that 80% of the observations are in the training and validation set, and 20% are in the test set. The training and validation set is then is divided into k equal parts. k-1 parts are used for training while the remaining part is used for validation. This process is repeated k times, each time with a different part used as the validation set, and the performance of the models is measured. In the scenario evaluating the optimization-based data splitting approach, the data set is randomly divided so that 80% of the observations are in the training and validation set, and 20% are in the test set. Then, considering the contribution of each data point to the performance of the model, the training and validation sets are split according to a predetermined ratio. Models are built using these sets, and their performance is measured. The findings obtained from the tests conducted over the mentioned scenarios are as follows: When evaluated in terms of the runtime, the proposed method, although requiring more time compared to the method of single random splitting, provides effective results in similar or less time when compared to k-fold cross-validation. This situation becomes more pronounced especially when working with large data sets or complex models. Our method optimizes data splitting processes, balancing the cost of time while maximizing the accuracy and performance of the model. In terms of the average value of the regularization parameter lambda, variability in lambda values across different scenarios indicates that regularization methods such as Ridge and SCAD significantly impact the fit of the models to the data. In the case of LASSO, low lambda values result in outcomes similar to those of unregularized regression models, suggesting a minimal impact of the regularization. When evaluating the standard deviation of the regularization parameter lambda, the proposed method reduces the standard deviations of lambda values, ensuring more consistent data fit by the model. This reduction indicates an enhancement in the generalization ability of the model and a better fit to the data. In terms of prediction errors (MSE) evaluated scenario-wise, the proposed method maintains consistency in MSE values across the validation, training, and test sets. Notably, tests conducted with both k-fold cross-validation and the proposed optimization approach enhance the generalization capacity of the model, offering the lowest MSE values. The results demonstrate that the proposed optimization-based data splitting method can produce models with prediction errors comparable to, and in some cases more successful than, those developed using k-fold cross-validation. When compared in terms of computational cost, the optimization-based data splitting method appears to be more advantageous than the time spent on k-fold cross-validation. Furthermore, the models have exhibited significantly lower standard deviations in predictions, model coefficients, and hyperparameters. This indicates a marked increase in model stability and suggests that the proposed method can contribute to the development of more reliable and consistent machine learning models. These findings offer promising perspectives on the applicability and effectiveness of the method.
Hopf bifurcation in a generalized Goodwin model with delay

(Graduate School, 2024-06-26) Şans, Eyşan ; Özemir, Cihangir ; 509201234 ; Mathematics Engineering

In the theory of dynamical systems, delay differential equations have an important place. While in a non-delayed dynamical system the rate of change of state variables depends instantaneously on the state variables, in delayed dynamical systems this functional dependence can be with a time delay. In real life problems, this may occur, for example, when the signals transmitted to the processor of a physical system that collects and evaluates signals from different points in space are transmitted with a time difference due to the path difference. Methods and simulation tools are available in the literature for analysing the stability of a dynamic system formulated without delay, either locally at equilibrium points or globally. The "stable" and "unstable" conditions that we encounter in stability analysis can be target conditions according to the physical model under investigation. For example, in a dynamic system that approximately models the vibrations of a structural element vibrating under the effect of an earthquake, it is desired that the vibrations evolve to zero equilibrium point over time and that the zero equilibrium point is stable. In a mechanical system which is desired to generate energy with its vibrations, it will be the target condition that the vibrations are not damped. Stability analysis is performed to determine the parameter conditions that will give the stable and unstable conditions of the equilibrium points. However, if the dynamical system modelling the relevant physical system actually has a delayed time dynamics, the system may actually be unstable in a parameter set that is predicted as a stable equilibrium point by the non-delayed analysis. Therefore, the analysis of the relevant dynamics needs to be carried out in the formulation of the theory of delayed dynamical systems. Goodwin's model is one of the well-known dynamical systems in macroeconomics which formulates the mechanism between the employment ratio and the wage share in a closed economy. The model is formulated under the assumptions of steady technical progress and steady growth in technical force. Only two factors of production are considered: labour and capital. Working class consume all their wages, whereas all profits are invested by the capital holders. A constant capital-output ratio is assumed, and the relation between the inflation rate and unemployment rate is determined by a linearized Phillips curve. There is an argument in the literature that the functional dependence of the Phillips curve, which expresses the relationship between the inflation rate and the unemployment rate, depends on the time delay. There are only a few publications that consider this dependence with a delay and dynamically analyse modified versions of the Goodwin model. The Goodwin model, which is essentially a mathematical economics analogue of the predator-prey system of population dynamics, despite its simplicity, explains to some extent the periodic behaviour of state variables observed at certain time intervals.
Biconservative and biharmonic surfaces in Euclid and Minkowski spaces

(Graduate School, 2024-07-02) Yürük, Hazal ; Turgay, Nurettin Cenk ; Şen Yeğin, Rüya ; 509211217 ; Mathematics Engineering

In 1964, Sampson and Eells formulated the concept of biharmonic maps as an extension of harmonic maps while investigating the energy functional $E$ between Riemannian manifolds, a subject of both geometric and physical significance. Subsequently, numerous mathematicians have shown interest in the study of biharmonic mappings.\\ By the definition, the bienergy functional between semi-Riemannian manifolds $(M^m,g)$ and $(N^n,\tilde{g})$ is defined by $$E_2(\varphi)=\frac {1}{2} \int_M \|\tau(\varphi)\|^2 v_g$$ for a smooth map $\varphi:M \to N$, where $\tau(\varphi)$ represents the tension field of $\varphi$. $\varphi:M\to N$ is said to be biconservative if it is a critical point of $E_2$. This condition is equivalent to satisfying the Euler-Lagrange equation associated with the bienergy functional $$\tau_2(\varphi)=0,$$ where $\tau_2$ is the bitension field defined by $$\tau_2(\varphi):=\Delta\tau(\varphi)-\mathrm{tr\,} \tilde{R}(d\varphi,\tau(\varphi))d\varphi.$$\\ In the 1980s, B. Y. Chen conducted research on biharmonic submanifolds within Euclidean spaces as a component of B. Y. Chen's initiative to comprehend submanifolds of finite type in semi-Euclidean spaces. B. Y. Chen proposed an other characterization of biharmonic submanifolds in these spaces. Let $x:M\to \mathbb E^n_r$ be an isometric immersion. By examining normal and tangential parts of $\tau_2(x)$, the following results can be obtained.\\ Let $x: M^m \rightarrow \mathbb E^n_r$ be an isometric immersion of an $n$-dimensional semi-Riemannian submanifold $M^m$ into the semi-Euclidean space $\mathbb E^n_r$. If $x$ satisfies the fourth-order semi-linear PDE system given by the equations $$\Delta^\perp H+\mathrm{trace}h(A_H(\cdot),\cdot)=0$$ and $$m\mathrm{grad} \Vert H \Vert^2 +4\mathrm{trace} A_{\nabla^\perp_\cdot H}(\cdot)=0,$$ then $M^m$ is biharmonic.\\ On the other hand, if a mapping $\varphi: M \to N$ satisfies the weaker condition $$\langle \tau_2(\varphi), d\varphi \rangle = 0,$$ then it is said to be biconservative. Mainly, if $x: M \to N$ is an isometric immersion, then the previous equation is equivalent to $$\tau_2(x)^\top = 0,$$ where $\tau_2(x)^\top$ represents the tangential part of $\tau_2(x)$. In this case, $M$ is said to be a biconservative submanifold of $N$.\\ In this thesis, we mainly focus on biharmonic and biconservative surfaces in four dimensional Euclidean and Minkowski spaces. The first section provides a concise overview of the historical background and underlying principles concerning biharmonic and biconservative submanifolds, as well as an overview of the research conducted far in this field. In the second section, we give some basic notations and basic facts about submanifolds of semi- Euclidean spaces, the definition of biconservative submanifolds and we introduce the rotational surfaces. In the third section, we give biconservative PNMCV surfaces in $\mathbb E^4$. We obtain local parameterizations of these surfaces and demonstrate that they are not biharmonic. In the fourth section, we give biconservative rotational surfaces in $\mathbb E_1^4$. We study with three different class of rotational surfaces and obtain the condition for each of them to be biconservative. In the concluding section, the derived conclusions are presented, along with recommendations regarding possible future researches.
Exact soliton solutions of cubic nonlinear Schrödinger equation with a momentum term

(Graduate School, 2024-12-26) Uzunoğlu, Haldun Taha ; Akar Bakırtaş, İlkay ; 509221207 ; Mathematics Engineering

There are various interconnections between the positive sciences, with differential equations serving as a fundamental bridge linking mathematics to other scientific disciplines. Nonlinear wave phenomena have recently gained considerable attention due to their theoretical significance and applied relevance. Nonlinear optical wave equations not only facilitate the development of advanced techniques but also play a crucial role in elucidating natural phenomena across diverse fields, including biology, nonlinear optics, and quantum physics. Among these, solitons—localized nonlinear waves—stand out as valuable tools for understanding complex nonlinear systems. Solitons are widely studied in areas such as plasma physics, nonlinear optics, and quantum mechanics. Optical solitons, in particular, have drawn significant interest due to the inherently interdisciplinary nature of soliton theory, making it a pivotal topic for advancing technologies like high-speed data transmission. The external potential strongly influences the shape and stability of optical pulses. In quantum mechanics and nonlinear optics, potentials with parity-time symmetry (PT -symmetry) are frequently utilized. Numerous studies in the literature examine the stability of nonlinear Schrödinger (NLS) equations with PT -symmetry. These equations admit various nonlinear wave solutions, including solitons, which are localized waves that propagate without distortion. Solitons demonstrate remarkable resilience during collisions, retaining their properties even after interacting with other waves. This work investigates the soliton solutions and their stability in an NLS equation incorporating a momentum term and cubic nonlinearity under an external PT -symmetric potential. The governing equation is expressed as: iu_(z) +αu_(xx) −iΓu_(x) +φ|u|^2u+V_(PT) u = 0. Here, z denotes the scaled propagation distance, u is the differentiable complex-valued slowly varying amplitude, u_(xx) represents diffraction, Γ is the momentum term taken as a constant, and V_(PT) denotes the external potential. The PT -symmetric potential is defined as: VPT = V(x) +iW(x)=V0 +V1sech(x) +V2sech^2(x)+i[W0sech(x)tanh(x) +W1tanh(x)]. Here, V(x) and W(x) represent the real and imaginary components of the potential, where V(x) is an even function and W(x) is an odd function. A detailed introduction to solitons and their interdisciplinary significance is provided in Chapter 1. The NLS equation is introduced, along with its recent developments, including the momentum term and PT -symmetry. The chapter also outlines the research objectives and the thesis hypothesis, emphasizing the importance of the momentum term in the NLS equation. Chapter 2 describes the Spectral Renormalization (SR) Method, an iterative Fourier technique used to numerically solve the NLS equation with a momentum term and a PT -symmetric potential. The method is adapted to the problem at hand, and numerical solutions are obtained. In Chapter 3, the structure of the NLS equation without potential is analyzed to investigate the effect of the momentum term. Variations in soliton structures are examined in relation to changes in the momentum term coefficient, Γ, and the propagation constant, µ. Chapter 4 explores exact solutions of the NLS equation with a momentum term and PT -symmetric potential. Using the ansatz u(x,z) = f(x)e^i(µz+g(x)), where f(x) and g(x) are real-valued functions, analytical solutions are derived. These solutions are compared with the numerical results, which shows excellent agreement. The chapter also verifies the parity-time symmetry properties of the potential, confirming that its imaginary part is odd and its real part is even. Chapter 5 focuses on the stability analysis of soliton solutions. The Split-Step Fourier method is employed to investigate nonlinear stability, while linear stability is examined through the linear spectrum. The results indicate that the solitons become unstable with even slight increases in the momentum term coefficient, Γ. Additionally, enhancing the complex component of the potential increases instability, whereas increasing the real component improves stability. The acquired results are summed up in Chapter 6. Moreover, a brief discussion on potential future research is included. All numerical results were obtained using MATLAB2023®.

Gözat

Çıkarma tarihi ile LEE- Matematik Mühendisliği-Yüksek Lisans'a göz atma

Sayfa başına sonuç

Sıralama Seçenekleri