LEE- Matematik Mühendisliği-Yüksek Lisans
Bu koleksiyon için kalıcı URI
Gözat
Son Başvurular
1 - 5 / 6
-
ÖgeOn geodesic mappings of Riemannian manifolds(Graduate School, 2022-01-07)
-
ÖgeSalgın hastalıklarda aşı ve karantina etkisinin matematiksel modellemesi(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2023-06-16)Salgın hastalıklar, hastalığa neden olan yeni patojenlerin meydana gelmesi ve eski patojenlerin yeniden ortaya çıkması ya da evrimleşmesi nedeniyle tarihte birçok toplu ölümlere neden olmuştur. Bu sebeple salgın hastalıkların analiz edilmesi sonucunda gelecekte meydana gelebilecek salgın hastalıklara karşı etkili tedbirlerin alınması sağlanabilir. Son yıllarda meydana gelen COVID-19, ortaya çıktığı günden bir süre sonra dünyayı etkisi altına almış, hayat akışını etkilemiştir. Bunun sonucunda çoğu ülke salgının yayılımını önlemek amacıyla tedbirler alırken, bu süre boyunca COVID-19 salgınına yönelik birçok bilimsel çalışmalar da ortaya koyulmuştur. Matematiksel modeller, gerçek hayat problemini doğru varsayımlar eşliğinde matematiksel dil kullanılması sonucunda elde edilen tahminler ve çözümlerdir. Ulaşılan çözümlerin faydalı olması için problemi iyi anlamak ve analiz etmek gerekir. Matematiksel modeller birçok dinamik modelleme türlerinde kullanılabilir; av-avcı dinamikleri, uyuşturucu madde kullanımları, alkol, sigara ve salgın hastalıklar. Epidemiyoloji de matematiksel modeller, hastalığın yayılmasını etkileyen altta yatan mekanizmaların ayrıntılı bir şekilde incelenmesini sağlaması ve salgını azaltmak için kontrol stratejilerinin rehberliğini desteklemesi nedeniyle araştırmacılar için en ilgi çekici konulardan biri olmuştur. Özellikle son zamanlarda meydana gelen COVID-19 pandemisi ile beraber matematiksel modelleme çalışmaları yeniden ilgi kazanmıştır. Bu tezde, son yıllarda toplu ölümlere neden olan COVID-19 pandemisi ile ilgili yayınlanan matematiksel makalelerin incelenmesi sonucunda, iki tür model kurulumu yapılmıştır. Kurulan matematiksel modeller, çeşitli salgın hastalık durumlarında karantina ve aşının etkinliğini incelemek için oluşturulmuştur. Bu çalışma ile gelecekte ortaya çıkacak salgın hastalıklar ile etkin mücadele konusunda ışık olması amaçlanmıştır. Bu çalışma toplam dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, temel tanımlar başlığı altında lineer ve lineer olmayan adi diferansiyel denklem sistemleri için denge noktalarının kararlılık analizleri hakkında bilgi verilmiştir. Kararlılık analizlerin yapılabilmesi için gerekli olan teoremler kısaca belirtilmiştir. Ayrıca bir sistemin Global kararlılığının incelenmesinde yardımcı olan Liapunov kararlılık teoreminden de bahsedilmiştir. İkinci bölümde, temel salgın hastalık modelleri olan SI, SIS, SIR, SIRS ve SEIR detaylı incelenmiştir. Her bir modelin tanıtımı ve matematiksel analizleri yapılmıştır. Bunun yanı sıra salgın teorisindeki en önemli kavramlardan biri olan temel üreme sayısından bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, tezin ana çalışması olarak iki farklı matematiksel model kurulumu yapılmıştır. İlk olarak, sadece aşı etkinliğini ve aşılanma oranının bir salgın yayılımı üzerindeki etkisini inceleyen basit bir matematiksel model kurulmuştur. Daha sonra hem karantina hem de aşının varlığının olduğu durum için daha kapsamlı bir matematiksel model oluşturulmuştur. Her iki modelin tanıtımı yapılması sonucunda lineer olmayan adi diferansiyel denklem sistemi kurulmuş, invaryant bölgesi, denge noktaları, yerel kararlılık analizleri ve sayısal sonuçları incelenmiştir. Modellerden elde edilen sayısal sonuçlar Mathematica programı ile çizdirilmiştir. Kurulan iki modelden ilki olan aşılanma oranını ve etkinliğini inceleyen model, aşılanmış duyarlıları, aşılanmamış duyarlıları ve enfekte popülasyonları olmak üzere 3 bölümden oluşmaktadır. Model de aşılanma oranının ve etkinliğinin salgının yayılımını nasıl etkilediği incelenmiştir. Salgın hastalık yayılımında aşı etkinliği ve aşılanma oranının etkisini inceleyen modelin sayısal sonuç grafiklerinden sonuçlar elde edilmiştir. Aşı etkinliği azaldığında temel üreme sayısında artış oluştuğu gözlemlenmiştir. Bu durum, aşı etkinliği azaldıkça salgının yayılım şiddetinin artığını belirtir. Diğer taraftan, aşı etkinliği arttığında temel üreme sayısında azalış oluştuğu gözlemlenmiştir. Bu sonuç, aşı etkinliğinin salgın yayılımında önemli bir faktör olduğunu ve salgın yayılımını azaltmak için aşı etkinliğinin artırılması gerektirdiğini belirtir. Kurulan ilk model için salgının yayılımında aşılanma oranının etkisi de incelenmiştir. İnceleme sonucunda, aşılanma oranı arttıkça salgının daha erken sönümlendiği ve salgın yayılım şiddetinin azaldığı gözlemlenirken, aşılanma oranı azalttıkça ise salgının yayılım şiddetinin arttığı sonucuna ulaşılmıştır. İkinci model olan karantina ve aşı etkinliğini inceleyen model, aşılanmış ve aşılanmamış duyarlıları, maruz kalmış, karantinaya alınmış, enfekte ve iyileşmiş popülasyonları temsil eden altı bölümden oluşmaktadır. Modelin matematiksel analizi yapılırken temel üreme sayısı yeni nesil yaklaşım yöntemi ile bulunmuştur. Hastalıksız denge noktasının yerel kararlılığı için Routh-Hurwitz yönteminden faydalanılmış, global kararlılığı için ise Liapunov teorisi uygulanmıştır. Ayrıca temel üreme sayısının 1'den küçük olması için gerekli olan parametre koşulları da incelenmiştir. Karantina ve aşı etkinliğini inceleyen modelin sayısal sonuç grafiklerinden, aşı etkinliği zayıf iken güçlü karantina uygulanmasının temel üreme sayısında azalmaya neden olduğu görülmüştür. Buradan aşı etkinliği zayıf olsa bile karantinaya girenlerin oranının yüksek olmasının salgının yayılımında azalışa neden olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Diğer taraftan, aşı ve karantina önlemi alınmadığında ise salgının ciddi şekilde yayıldığı gözlemlenmiştir. Aşı etkinliği güçlü iken karantina oranın da azalış olması durumunda ise salgının daha geç sürede sönümlendiği gözlemlenmiştir. Ayrıca aşı etkinliği ne kadar güçlü olsa bile salgının kontrolü için karantinanın gerekli olduğu yapılan inceleme sonucunda ulaşılmıştır. Hem aşı etkinliği hem karantina oranlarının çok düşük olduğu durumda ise salgının yayılım şiddetinin yüksek olduğu gözlemlenirken, her ikisinin yüksek olması durumunun ise salgının yayılımını kontrol etmede en iyi strateji olduğu bu çalışma sonucunda ulaşılmıştır.
-
ÖgeEffect of self-steepening on optical solitons in nonlinear media(Graduate School, 2022-02-17)Optical solitons are solitary waves that propagate without deteriorating their special structures as a result of the balance between the group velocity dispersion effect and the nonlinear effect caused by the change in refractive index due to the Kerr effect. Soliton generation and analysis in optics is a pretty popular and modern research topic, as they have a wide range of applications, such as optical communication technology, optical sensing, pulse compression in ultrafast optics and all-optical switching. Particularly, the propagation of optical solitons in fiber optic communication systems is an area of great interest to researchers. Optical solitons can propagate through long distances in fiber transmission systems without being affected by chromatic and polarization mode dispersion. Since their natural structure is preserved, they can be used as natural optical bits of information in fiber optic systems. In nonlinear optics, the propagation of the light pulse in optical fibers can be modeled by the cubic-quintic nonlinear Schrödinger (CQNLS) equation. In fiber optic systems, the width of the optical pulses is reduced to increase the bandwidth and communication speed. Whereas, if the width of the light pulses is very small, that is, the frequency is high, the CQNLS equation may be insufficient to model the physical system. Because, if the light pulse is short, often some higher-order effects need to be taken into account. It can be said that the third-order dispersion, self-steepening (or nonlinear dispersion) and the Raman effect are the most significant higher order effects. In an optical waveguide, the real part of the PT symmetric potential corresponds to the spatial distribution of the refractive index, and the imaginary part corresponds to the balanced gain-loss relationship. NLS equations with higher-order effects can not be solved analytically. Therefore, this equations should be handled with numerical methods. In this thesis, the existence and stability of soliton solutions of some kind of NLS equations that have higher-order effects and the PT symmetric potential were investigated numerically. The pseudospectral renormalization method was used to obtain fundamental soliton solutions. In order to test the nonlinear stability of solitons, spatial evolution simulation of solitons was examined. For this, the split-step Fourier method, which has a very high performance in NLS-type equations, was used. In addition, while examining the dynamic properties of solitons, linear stability conditions were also taken into account. Linear stability analysis of solitons was performed by examining the whole linear stability spectrum of solitons with the help of the Fourier collocation method. The first 4 chapters of this thesis give information about NLS equations, optical solitons, higher-order effects, numerical methods, and stability analysis. In Chapter 5, the existence and dynamic properties of solitons obtained from the NLS equation with the self steepening term are analyzed. In addition, the relationship between PT symmetric periodic potential and the influences of the self-steepening effect is examined. It has been observed that the PT- symmetric periodic potential helps to obtain stable solitons by eliminating adverse effects. In Chapter 6, the soliton solutions of the CQNLS equation with the self steepening term were investigated in the self-focusing cubic, self-defocusing quintic medium. It has been determined that the destabilization effect of self-steepening can be arrested when the coefficient of the cubic nonlinear term is 1 and the coefficient of the quintic nonlinear term is -1. Finally, the conclusions of this thesis are summarized in Chapter 7.
-
ÖgeEuclid uzaylarındaki hiperyüzeylerin Gauss tasvirinin tipleri ve Cheng Yau operatörü(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2022)Chen ve Piccini tarafından ortaya konan "$ \mathbb{E}^{m} $ Euclid uzayının bir alt manifoldunun Gauss tasviri alt manifoldu ne ölçüde belirler?" probleminden sonra sonlu tipten Gauss tasvirine sahip alt manifoldların analizi çok aktif bir araştırma konusu haline gelmiştir. Şimdiye kadar bu probleme bazı faydalı kısmi çözümler sunulmuştur. $ \mathbb{E}^{m} $ Euclid uzayının $ n $ boyutlu bir $ M $ alt manifolduna, eğer $ x $ konum vektörü $ \Delta $ Laplace operatörünün özvektörlerinin sonlu bir toplamı olarak ifade edilebilirse sonlu tiptendir denir. Dolayısıyla $ M $ alt manifoldunun sonlu tipten olması için, $ x=x_0+x_1+x_2 \cdots +x_n$ olmalıdır. Burada $ x_0 $ sabit tasvir ve $ x_1,x_2,\hdots,x_n $ ise $\lambda_i \in \mathbb{R} $ olmak üzere $i=1,2,\hdots,k $ için $ \Delta x_i=\lambda_ix_i$ şartını sağlayan sabit olmayan tasvirlerdir. Eğer $ \lambda_1,\lambda_2,\hdots,\lambda_k $ özdeğerleri birbirinden farklı ise $ M $ alt manifoldu $ k $-tipindendir denir. $ M $, Euclid uzayının bir hiperyüzeyi olsun. Benzer şekilde bir $ \psi: M^{n}\xrightarrow{}E^{n+1} $ düzgün fonksiyonuna, eğer $ M $ hiperyüzeyinin Laplace operatörünün $ k $ tane ayrık özdeğerine karşılık gelen özvektörlerin toplamı olarak yazılıyorsa, $ k $-tipindendir denir. Eğer böyle bir $ k $ değeri varsa, $ \psi $ fonksiyonuna sonlu tiptendir denir. Yukarıda verilen tanımdan dolayı $ M $ hiperyüzeyinin 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için gerek ve yeter şartın $$ \Delta G=\lambda(G+C) $$ diferansiyel denkleminin bir $ \lambda \in \mathbb{R} $ özdeğeri ve $ C $ sabit vektörü için sağlanması olduğu elde edilir. $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki düzlemler, dik silindirler ve küreler 1-tipi Gauss tasvirine sahip yüzeylerdir. Euclid uzayındaki sonlu tipten alt manifoldlar pek çok geometrici tarafından çalışılmış ve önemli sonuçlara ulaşılmıştır. Halen de bu konu ile ilgili pek çok açık problem bulunmakta ve bu açık problemler çözülmeye çalışılmaktadır. Bu problemlerin bazıları da hiperyüzeylerin Gauss tasvirleri ile ilgilidir. Günümüze kadar pek çok geometrici Euclid uzaylarındaki hiperyüzeylerin Gauss tasvirlerinin üzerine çalışmıştır. Diğer taraftan, Euclid uzayındaki bir $ M $ manifolduna, $ G $ Gauss tasviri $$ \Delta G=f(G+C) $$ denklemi düzgün bir $ f$ fonksiyonu ve bir $ C $ sabit vektörü için sağlanırsa, noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir denir. Eğer bu denklem $ C=0 $ için sağlanırsa Gauss tasviri birinci çeşit noktasal 1-tipinden; $ C\neq0 $ için sağlanırsa ikinci çeşit noktasal 1-tipindendir denir. Örneğin, $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki helikoit, katenoid ve dik koni noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip yüzeylerdir. Son senelerde bu kavramlar genişletilerek genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahip alt manifold tanımı verilmiştir. Euclid uzayındaki bir $ M $ manifoldunun $ G $ Gauss tasviri $$ \Delta G=f_1G+f_2C $$ denklemi $ f_1,f_2 $ düzgün fonksiyonları ve bir $ C $ sabit vektörü için sağlanırsa genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir denir. Örneğin, $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki tüm dönel yüzeyler genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahiptir. Bu tez çalışmasında $ \mathbb{E}^{3} $ uzayındaki yüzeylerin Gauss tasvirlerinin tiplerine göre sınıflandırılmaları ile ilgili bazı teoremler çalışılmıştır. Üçüncü bölümde Cheng-Yau operatörüne göre noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip sabit ortalama eğrilikli ve sabit esas eğrilikli yüzeyler ile ilgili bilinen sonuçlar ayrıntılı bir şekilde açıklanmıştır. Sonra Weingarten yüzeyleri incelenmiştir. $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki doğrusal Weingarten yüzeyinin Cheng-Yau operatörüne göre ikinci çeşit noktasal 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için bu yüzeyi düzlemin açık bir parçası olması gerektiği gösterilmiştir. Dördüncü bölümde ise $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki minimal yüzeylerin Cheng-Yau operatörüne göre genelleştirilmiş 1-tipinden Gauss tasvirine sahip olması için bazı teoremler elde edilmiştir. Ayrıca, helikal yüzeyler incelenmiş ve $ \mathbb{E}^{3} $ Euclid uzayındaki bir helisoidal yüzeyin $ \square $ noktasal 1-tipinden Gauss haritasına sahip olması için gerek ve yeter şartın o yüzeyin bir dönel yüzey olması veya sabit Gauss eğriliğine sahip olması gerektiği gösterilmiştir.
-
ÖgeSpektral ertelenmiş düzeltme zaman integrasyonu yöntemleri(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2022-06-01)Bu çalışmada, adi diferansiyel denklemler ile oluşturulmuş başlangıç değer problemlerinin sayısal çözümlerini yapabilmek için geliştirilmiş "spektral ertelenmiş düzeltme" yöntemleri incelenmiştir. Spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin özü, Euler yöntemlerine dayanmaktadır. Amaç, birer ilkel zaman integrasyonu yöntemi olan açık ve kapalı Euler yöntemlerinin doğruluk mertebesini keyfi mertebede arttırabilmektir. Problemler çözülürken, öncelikle, tez içinde "ara çözüm" olarak adlandırılacak olan başlangıç çözümü, denklemin yapısına uygun olarak, açık veya kapalı Euler yöntemleri ile elde edilmiştir. Ardında, ara çözüme düzeltme prosedürü uygulanarak "düzeltme çözümü" olarak adlandırılacak olan çözümler elde edilmiştir. Elde edilen sonuçların literatürle uyumlu olduğu ve keyfi mertebede doğruluk sağlanabildiği gözlemlenmiştir. Yine çalışmada, başlangıç değer problemlerinin çözümünde sıklıkla başvurulan sayısal yöntemlerden olan Runge - Kutta yöntemlerinin ve spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin kararlılık bölgesi analizleri yapılmıştır. Bu kararlılık bölgeleri şekiller aracılığıyla karşılaştırılmıştır. Ardından, spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin kararlılık davranışı hem açık hem kapalı şemalar için incelenmiş olup sonuçlar şekiller ile verilmiştir. Yine çalışmada, spektral ertelenmiş düzeltme yöntemleri, tek bir denklemden sisteme kadar dört adet başlangıç değer problemine uygulanarak elde edilen sonuçlar çizelgeler ile çalışmaya eklenmiştir. Ayrıca yine her bir problem için bir diferansiyel denklem çözücüsü olan ODE45 ile 5. mertebe açık spektral ertelenmiş düzeltme yönteminin çözümleri karşılaştırılmıştır. Gerçek çözümü bilinen problemler için her iki yöntemin de gerçek çözümle karşılaştırılması yapılıp, sonuçlar şekiller ile gösterilmiştir. Sonuç olarak, bu çalışmada hem kararlılık bölgesi analizleri yapılarak hem de problemlerin çözümünde kullanılarak, spektral ertelenmiş düzeltme yöntemlerinin başlangıç değer problemlerini çözmedeki doğruluk ve etki performansı incelenmiş ve yöntemin sıklıkla kullanılan diğer sayısal yöntemlerden bazıları ile karşılaştırılması yapılarak avantaj ve dezavantajlarından bahsedilmiştir.