The fractional derivative approach to the solution of diffraction problem for the strip

Abstract

In the thesis, it is aimed to solve the problem of diffraction by two-dimensional thin strip and double strips with a new method. The actual problem has already a solution. The purpose of the research is to develop a new approach to the problems. In previous studies, perfect electrical or magnetic conducting strips and impedance strips under specified conditions were performed. The fractional derivative method, as stated in its name, allows researchers to generalize boundary conditions and solve the existing problem in the most general way by using the fractional derivative approach. In this thesis, a new approach will be introduced that is simpler, faster to calculate, and can solve for different materials compared to existing methods in the literature where the fractional approach has been used in electromagnetics for 30 years. The method, which is generally used for metamaterial and materials with memory, is employed by many scientists in the area of electromagnetics. The first studies on the implementation of the fractional approach to the electromagnetic theory in the 1990s were done by Nader Engheta. He presented the idea of "fractionalization in electromagnetic" in the 90s, stating that there are continuous intermediate stages between the two canonical states of the electromagnetic field. Since then, several studies have been carried out on scattering problems. In the thesis, using the features of the fractional derivative approach, the intermediate stages of the boundary conditions between the two canonical states will be explained by the means of electric field distribution, radiation pattern, radar cross-sections, and current distribution. However, there are many different geometries in the literature that have not been studied yet by the proposed method. The fractional boundary condition (or integral boundary condition) that corresponds to an intermediate boundary condition between Dirichlet and Neumann boundary conditions is used to describe the scattering properties of different geometries. By determining the fractional-order, scattering properties of different materials are examined in the thesis. The new proposed boundary conditions describe a new material property (between Perfect Electric Conductor (PEC) and Perfect Magnetic Conductor (PMC)). The fractional boundary condition is the generalization of the Dirichlet and Neumann boundary conditions. In this case, the fractional derivative of the tangential component of the total electric field in the direction of the surface normal is zero on the surface of the scatterer. When the fractional-order becomes zero, this corresponds to Dirichlet Boundary Condition whereas, while the fractional-order is equal to one, this means the boundary condition is equal to Neumann Boundary Condition. In the middle, the boundary condition corresponds to different materials between perfectly electric conducting (PEC) and perfectly magnetic conducting (PMC) surfaces. The method for the solution of the diffraction problem satisfying the fractional boundary condition in this thesis is one of the hybrid methods which is employed and developed as presented in Veliev's previous studies. The reason why a hybrid method is preferred is that both analytical and numerical methods have some drawbacks. They have some limitations. Especially, the desired accuracy and the electrical dimension of the scatterer puts a limit on the applicability of the numerical solution for a specific problem because higher frequency source and electrically large objects require a greater number of discretizing. This yields to demand computation power. On the other hand, analytical methods, in general, are applicable to some finite numbers of geometry. Therefore, hybrid methods are developed to combine the advantageous sides of both analytical and numerical approaches. In analytical methods, some closed expressions can only be obtained for the high-frequency regime whereas Hybrid methods can calculate the field expressions by wider frequency regimes. This property leads to investigating resonances for double strip problems with Hybrid methods. In this thesis, the orthogonal polynomials method is employed to solve the diffraction problems. The main approach to solving the diffraction problem as follows. First, the scattered field is defined as an integral. To obtain this integral, Green's Theorem and Fourier analysis are employed. Then, the total field is forced to satisfy the fractional boundary condition. Then, the integral equation is obtained. For the fractional-order 0.5 case, the problem is solved analytically with some approximation. For the general solution, to solve the integral equation or coupled integral equations (double strip case), the current density on the strips is expressed as the summation of the special orthogonal functions regarding the geometry and edge condition. The current distribution is expanded as the summation of Gegenbauer polynomials with unknown constant coefficients regarding geometry. This manipulation allows one to convert the integral equation into a system of linear algebraic equations with unknown constant coefficients. These coefficients are obtained by employing the orthogonality and other important properties of corresponding orthogonal functions such as Gegenbauer or Laguerre polynomials. After that, numerical experiments and verification are done. To verify these findings, a comparison with another method and previous outcomes are investigated.

Tezde iki boyutlu ince şerit ve çift şeritlerde kırınım probleminin yeni bir yöntemle çözülmesi amaçlanmıştır. Bu problemlerin mükemmel iletken ve magnetik iletken için çözümleri literatürde vardır. Araştırmanın amacı, problemlere yeni bir yaklaşım geliştirmektir ve genelleştirmektir. Literatürdeki önceki çalışmalarda, belirtilen koşullar altında mükemmel elektriksel veya manyetik iletken şeritlerden veya empedans şeritlerinden saçılma problemleri üzerine çalışmalar mevcuttur. Kesirli türev yöntemi, isminde de belirtildiği gibi, sınır koşullarını genelleştirmemize ve kesirli türev yaklaşımını kullanarak mevcut problemi en genel şekilde çözmemize olanak tanır. Bu araştırma ile literatürdeki mevcut yöntemlere göre daha basit, hesaplaması daha hızlı ve farklı malzemeler için çözülebilen yeni bir yaklaşım tanıtılacaktır. Kesirsel yaklaşım elektromanyetikte 30 yıldır kullanılmaktadır. Genellikle metamalzeme ve hafızalı malzemeler için kullanılan yöntem elektromanyetik alanında birçok bilim insanı tarafından kullanılmaktadır. Elektromanyetik teoriye kesirli yaklaşımın uygulanmasına ilişkin ilk çalışmalar, 1990'larda Nader Engheta tarafından yapılmıştır. Engheta, elektromanyetik alanın iki kanonik durumu arasında sürekli ara aşamalar olduğunu belirterek 90'larda "elektromanyetikte fraksiyonelleşme" fikrini sundu. O zamandan beri saçılma problemleri üzerine çeşitli çalışmalar yapılmıştır. Tezde, kesirli türev yaklaşımının özellikleri kullanılarak, iki kanonik durum arasındaki sınır koşullarının ara aşamaları; elektrik alan dağılımı, ışıma örüntüsü, radar kesitleri ve akım dağılımı ile açıklanacaktır. Bununla birlikte, literatürde önerilen yöntemle henüz çalışılmamış birçok farklı geometri vardır. Dirichlet ve Neumann sınır koşulları arasındaki bir ara sınır koşuluna karşılık gelen kesirli sınır koşulu (veya integral sınır koşulu), farklı geometrilerdeki yüzeylerin saçılma özelliklerini tanımlamak için kullanılır. Kesir mertebesi belirlenerek, farklı malzemelerin saçılma özellikleri tezde incelenmiştir. Yeni önerilen sınır koşulları, yeni bir malzeme özelliğini (Mükemmel elektrik iletken (PEC), mükemmel manyetik iletken (PMC) veya bunlar arasında) tanımlar. Kesirli sınır koşulu, Dirichlet ve Neumann sınır koşullarının genelleştirilmesidir. Bu durumda, kesirli sınır koşulu kısaca şu şekilde özetlenebilir: toplam elektrik alanın teğetsel bileşeninin yüzey normal yönündeki kesirli türevi, saçıcının yüzeyinde sıfırdır. Kesirli mertebe sıfır olduğunda, bu Dirichlet Sınır Koşuluna karşılık gelirken, kesirli mertebe bire eşitken, sınır koşulunun Neumann Sınır Koşuluna eşit olduğu anlamına gelir. Ortada, sınır koşulu, mükemmel elektrik ileten ve mükemmel manyetik iletken yüzeyler arasındaki farklı malzemelere karşılık gelir. Çalışmamızda, Veliev'in önceki çalışmalarında sunulduğu gibi melez yöntem kullanılacaktır. Melez yöntem kullanılmasının birtakım sebepleri vardır. Hem analitik hem de sayısal yöntemlerin bazı dezavantajları ve bazı sınırlamaları vardır. Arzu edilen doğruluk ve saçıcının elektriksel boyutu, belirli bir problem için sayısal çözümün uygulanabilirliğine bir sınır getirir çünkü daha yüksek frekans kaynağı ve elektriksel olarak büyük nesneler daha fazla sayıda ayrıklaştırma gerektirir. Bu, hesaplama gücü talebini doğurur. Öte yandan, analitik yöntemler genel olarak bazı sonlu sayıdaki geometriler için uygulanabilir. Bu nedenle, hem analitik hem de sayısal yaklaşımların avantajlı yönlerini birleştirmek için melez yöntemler geliştirilmiştir. Analitik yöntemlerde, bazı kapalı ifadeler yalnızca yüksek frekans rejimi için elde edilebilirken, melez yöntemler, alan ifadelerini daha geniş frekans rejimlerinde hesaplayabilir. Bu özellik, melez yöntemlerle çift şerit problemleri için rezonansların araştırılmasına imkan tanır. Bu tezde, kırınım problemlerini çözmek için ortogonal polinomlar yöntemi kullanılmıştır. Kırınım problemini çözmek için ana yaklaşımı kısaca şöyle ifade edebiliriz. İlk olarak, saçılan alan bir integral olarak tanımlanır. Bu integrali elde etmek için Green Teoremi ve Fourier analizi kullanılır. Ardından, toplam alan, kesirli sınır koşulunu sağlamaya zorlanır. Ardından integral denklem elde edilir. Kesirli mertebeden 0.5 durumu için, problem analitik olarak bazı yaklaşımlarla çözülür. Genel çözüm için, integral denklemi veya kuple integral denklemleri (çift şerit durumu) çözmek için, şeritlerin üzerindeki akım yoğunluğu, geometri ve ayrıt koşulu dikkate alınarak özel ortogonal fonksiyonların toplamı olarak ifade edilir. Buradaki problemlerde, akım dağılımı, geometri ile ilgili bilinmeyen sabit katsayılara sahip Gegenbauer polinomlarının toplamı olarak genişletilir. Bu manipülasyon, integral denklemini, diklik bağıntıları kullanılarak, bilinmeyen sabit katsayılara sahip bir doğrusal cebirsel denklem sistemine dönüştürmeyi sağlar. Katsayıların bulunması, elde edilen lineer denklem sisteminin tersinin alınması ile gerçeklenir. Çalışmanın tek şerit için ana odağı, şerit üzerindeki akım dağılımını incelemek olup, yapılan çalışmada kesirli derecenin 0.5 olması durumu detaylı olarak incelenmiştir. Bu kesirli türevde akımın yüzey üzerinde diğer derecelere gere daha homojen dağıldığı gözlenmiş olup, dağılıma etki eden en önemli parametrenin, gelen dalganın açısı olduğu gözlenmiştir. Tek şeritten saçılmada, belli yaklaşıklılarla analitik ifadeler elde edilmiş ve önceki yapılmış çalışmalarla kıyaslamalar gerçeklenmiştir. Çizgisel kaynağın, uzak alana yerleştirilmesi ve saçılan alanın uzak alanda incelenmesi için yapılan yaklaşıklıklarla, 0.5 kesirli derece için, analitik ifadeler elde edilmiştir. Aynı zamanda, mükemmel elektriksel iletken tek şerit için, çizgisel kaynaktan saçılan alanın oluşturduğu yüzey akımlarını, Fiziksel Optik ve Momentler Yöntemi ile de modelleyip, bu tezde öne sürülen yöntemle kıyaslaması yapılmıştır. Bulgular, Momentler Yöntemin ve Tezde kullanılan yöntemin, Fiziksel Optiğe göre daha iyi sonuç verdiğini ortaya koymuştur. Önceden belirtildiği gibi, tezde aynı zamanda birbirine paralel, genişlikleri değişebilen çift şeritten saçılma da incelenmiştir. Burada ise ana amaç, oluşan rezonansları gözlemlemek ve analitik sonuçlarla kıyaslamak olmuştur. Bunun için radar kesit alanı incelemeleri yapılmıştır ve saçılan alanda belli dalgaboyları için yüksek artışlar ve doruk noktaları gözlenmiştir. Buradaki dalgaboylarında incelemeler yapıldığında, saçılan alanın değerinde diğer dalgaboylarına göre artış dikkat çekmiştir. Bu dalgaboylarındaki araştırmalarda, kaynaklar şeritlerin arasında olmamasına rağmen, toplam alan şeritler arasında diğer bölgelere kıyasla yüksek değerler almıştır. Bu tür rezonanslar, farklı sınır koşullarına sahip şeritler için önem teşkil etmektedir. Bu çalışmada, kesirli derecenin 0 ile 1 arasındaki değişimine göre, rezonansların genlik değerlerindeki değişimleri ve rezonansların şeritler arasındaki dağılımı detaylı bir şekilde incelenmiştir. Belli şartlar altında, kesirli derecenin 0.5 olduğu durumda, rezonans değerleri diğer kesirli derecelere göre daha yüksek çıktığı gözlenmiştir. Bu kuramsal yüzey, ileride rezonatör, anten veya elektromanyetik dalgaların yönlendirilmesinde kullanılan aletlerin tasarımında kullanılmak için uygun olabileceği düşünülmektedir. Bu tür bir yapı, anten sentezinde, dalga kılavuzlarında ve rezonatör probleminde kullanılabilir. Çalışmanın bir diğer önemli çıktısı ise, kesirli derecenin sıfıra yakın olduğu durumda (0-0.5 arasında), yüzeyin; mükemmel elektrik iletken yüzeye yakın bir karakteristiğe sahip olduğu, kesirli derecenin bire yakın olduğu durumlarda (0.5-1) ise mükemmel manyetik iletken yüzeye yakın bir karakteristiğe sahip olduğu gözlenmiştir.