Altıncı mertebe casimir invaryantlarının açık kuruluşu ve eşdeğerlik sınıflarının varlığı

Abstract

Bu çalışmada altıncı mertebe Casimir invayyantlarmın açık kuruluşu AS ve AQ cebirleri için ele alındı. Altıncı mertebe için Casimir katsayılarının değerleri en genel olarak hesaplandığında aynı değere sahip olan katsayıların varlığı gözlendi. Aynı değere sahip olan bu katsayıların oluşturduğu cümleler eşdeğerlik sınıfları olarak adlandırıldı. Bu özel gruplandırnıalardan yola çıkarak altıncı mertebe Casimir invaryantlarını kurmak için bir yöntem geliştirildi. Eşdeğerlik sınıflarının varlığı bizi, bu sınıfların hangi ölçütlere göre ayırtedilmesi gerektiği problemi ile karşı karşıya getirdi. Bu sınıfları birbirinden ayırtetmek için katsayılar üzerinde etkili dört gösterge tanımlandı. Sözkonusu göstergeler eşdeğerlik sınıflarını tamamen belirlememizi sağladı. Casimir katsayıları arasında var olan eşdeğerlik sınıflarını belirledikten sonra aynı sınıfa ait olan katsayılara aynı sayısal değer verildi. Bunun sonucunda altıncı mertebe Casimir invayyantlarının katsayıları sayısal olarak büyük ölçüde azaldı. AS cebiri için 12300 katsayı 661, AS cebiri için ise 37184 katsayı 1301 katsayı ile ifade edildi, indirgenmiş katsayılarının dört parametreye bağlı olarak çözülmesi ile altıncı mertebe casimir invayyantlarının açık kuruluşu elde edildi. Bu çalışmada geliştirdiğimiz yöntem sayesinde teknik ve zaman açısından neredeyse imkansız gibi gözüken AN cebirlerinin altıncı mertebe Casimir invaryantlarını kurma imkanına erişildi.

The Casirair operators are elements which are commutative with ali their generators of an algebra.With this definition a Casimir operatör is determined as the multiple products of an algebra.For this reason ali Casimir operators of an algebra form a basis Universal Enveloping Alge- bra which is connected \vith. this algebra. At this work sixth order general construction for AS and AS Lie algebras are formed with a special method below Let TA, A = 1.2 N (N + l)/2 be the generators of a Lie algebras of dimension N defiııed by \T T l = F c T l-LA'.LB\ -L AB C where the F,DC are structure constants. The structure constants are A B completely antisymmetric as in below, F c = -F c AB BA The determining structure constants help us to mat eh with metric tensor gAB a = p öp c VAH - f AC fBD v-2 TA generators will be assumed: rr\ <>., = T; f =T Jo,; - -S-+;V(JV + l)/2 ^ = k,,/«J = r.+A,(JV+l) and we choice a convenient basis as in beknv, S = e.',.-+ı /o { = Ci + l,i "» = ei,i ~ ei+ı,i+ı A sixth order Casinıir invariant can be defined as I[6] = g^^A.AtA. {T^ T^ T^ TA^ TA^ T^ } gAlA2A3A4:A5Ae coefficients of Casinıir invariant s are completely synı- nıetric. And here by using [J[6], TA] = O relation we will have the equation P {Cl nC2CsC4C5Ce}B - f) ^ AB y -u For to determine the coefficient of sixth order Casimir invariant, the solved equations above have formed the starting point. This gives a general solution of the Casinıir operators which are solved in ternıs of a number of free parameters. in the solution of p.order Casinıir invariants for AN Lie algebras, ali partitions number formed by p's positive integers except l, will give us the number of linearly independent elenıents. When we examine the general solutions of sixth order Casimir invari¬ ants it was seen that some of the coefficients have the same value.lt is called as equivalence classes. We developed a method of solving for sixth order. We defined a covenient criteria for the coefficients which have same values for equivalence classes. For this reason we defined four indicators IND1,IND11,IND2,IND3 act on coefficients gAıA*- AP. vi İNDÎ, IND2, IND3 are in order as INDllg^A'-A'A'+t-^^Tfaif.A^eA,], Kı[e.4t,e,ı3], «ı[e.-İ!,e.4j, «ı[e.42^e-43], «ı[e.4f_ı,eA,]] JJVD2[i,yAlAa-A*A«+1-A'>] = I>-2[/i,-,e.4l], AC2[ft,.e.42], ^2^t,ej4J] JJVU3[yAlAa-A»A'+1-Aî'] = [(«3[/M,+1, ^A,+2,..., hAp, e^i], «3[hA,+I, A.4,+2,.... hAp. e.42]), («317u?+ı, ^/i,+2?....> hAp, e^2]î «3[^A,+ı, hAq+2, /J.4P, eA3])5 (K3[^A,+1, ^A,+2,..., hAp, eA,_J, «3^.4,+1, ^.47+2,..., ^.4P. e.4,])] At here «ı, «2, Kz are in order as Kı[e«A,eaB] = (aA,ora) and /sı[fc,-,eaA] = (Ai,aA) K<2[hi,Hk ~ Vl] = -l, İ < & Kı[hi,Hk - pı] = 2, fc-l<="" k2[hi,fj,k="" -="" f*l]="l," -1«^ )«x + (AA?+2, aA )ox +... (AA|), «A X vii- İNDÎ l is defined as in the following INDll\gAlA*"A<] = $[P[gAıA*-A<}} and also p^AıAa...A,j ^ ffP[Aı]P[A2]...P[A,] The P operatör is defined via relations P[Ai] = i, iJV(JV + l)/2 A is given by AUU,A;2,Aia] = l, «An + «AİS = a^,a AUa, Aİ2. Aİ3] = l, a AH + OCAİ» = aAu AU.-nAij^Aja] = l, «A.-2 +- (L5)