Structural analysis of thin/thick composite box beams using finite element method

Abstract

The aim of this master's thesis is to evaluate thin and thick composite box beams, which are accepted as folded plates, using the finite element method in terms of vibration and to develop a computer code. In order to make this assessment, folded plates and box beams were analyzed with certain plate theories using different materials, boundary conditions and variable plate thicknesses. This thesis consists of introduction, equation of motion and vibration, finite element method, plate theories, composite plates and folded plates and box beam formulation sections. The introduction part is about general information of plates, box beams, vibration, materials and the use of finite elements method and the historical process of these studies. The literature studies on the emergence and development of plate theories are intended to provide the reader with a preliminary knowledge of their different uses. In addition, a general framework has been attempted to use Kirchhoff-Love and Reissner-Mindlin plate theories based on the length to thickness ratio of the plates. Vibration is an important phenomenon in terms of structural integrity, strength and efficiency for box beams, shells and panels that make up the majority of aircraft today. It is therefore significant that natural frequencies can be obtained and evaluated. Especially, accepting composite beams as folded plates in obtaining process of natural frequency values will be a basic and different approach for composite thin walled beam theories. The equation of motion and vibration section includes that the equation of motion (EOM) of different systems, the extraction of the characteristic equation that provides the frequencies of the systems from the EOMs, the phenomenon of vibration and its types. Thus, the necessity of using energy equations to find the mass and stiffness matrices which are required to obtain the natural frequency is explained through formulations. In this thesis, free vibration is discussed and structures are evaluated in this context. Finite element method section describes the element selection, creating nodes and determining degrees of freedom to obtain the shape functions of the elements. Shape functions are defined as the displacement relationship between an element and the nodes. The displacements are expressed with polynomials based on the dimensionless coordinates of the element. In this study, the finite element method (FEM) was applied to the structure by selecting a four-node quadrilateral element. Besides, this element type was evaluated as a membrane, thin bending or thick bending element with different degree of freedom (DOF) and shape functions were found for them. The plate theories form the basis of the finite element code and analysis in this study. Kirchhoff-Love Plate Theory (KLPT) is applied to thin plates, which has a length-to-thickness ratio greater than 10, comes more suitable form for isotropic homogeneous materials, since shear effects are neglected. According to KLPT, the in-plane displacements of material particles in the plate middle surface are smaller than the displacements in other direction. At the same time, the normal of the middle surface remains on the same curve and perpendicular to the plane throughout the movement. So, this theory is applied using a thin bending element and rotational displacements are dependent on vertical displacement. The shape functions have been used to equalize the potential energy, which includes strain formulas of the bending element, and the classical energy equation from EOM. The same method was followed to equalize two different form of kinetic energy equations. Thus, the stiffness and mass matrices of an element are derived from the potential energy and kinetic energy expressions. A thin metal flat plate was considered as a case study and divided into elements, matrices for one element were transformed into general matrices with the summation method of the finite element method, and the stiffness and mass values of the entire structure were obtained. Then, boundary conditions were applied to these matrices and a reduction was made. The reduced global matrices were solved by applying Modal Analysis and the results obtained were compared with the experimental, analytical and FEM results in the literature to confirm the accuracy of the applied finite element formulation and the results were seen to converge. Reissner-Mindlin plate theory (RMPT) takes into account the transverse shear effects and rotary inertia, unlike KLPT, so it is applied to thick plates which have length-to-thickness ratio is less than 10. As a reflection of transverse shear effects, it is as good in orthotropic material as in isotropic homogeneous materials. RMPT assumes that the normal of the mid surface is not perpendicular to the surface throughout the movement. This assumption makes rotational displacements independent from vertical displacement. The shape functions of the thick bending element have been used to obtain stiffness and mass matrices from energy equations. While the structure becomes thinner, it is seen that a case called as shear locking, which makes the shear stiffness dominant, occurs in RMPT application. To overcome this case, shear stiffness must be reduced by methods such as Gauss reduced integration or use of Quadrilateral, Bilinear Deflection, Bilinear Rotations and Linear Transverse Shear Strain Fields (QLLL) elements that are based transverse shear strain fields. This makes the Mindlin theory applicable to thin plates. In the comparison study, the global matrices of a metal flat plate were obtained by adding two different stiffness matrices (bending and shearing) for one element, and the QLLL method was applied prior to the shear stiffness term. With the application of boundary conditions, the natural frequencies were found using the achieved code and the dimensionless results are compared with the analytical and FEM results in literature, and the commercial finite element program ABAQUS results where the same mesh size was used with the achieved code. It has been seen that the results are very close in this comparison. The composite plates section mentioned the necessity of membrane effects in plate due to its material properties. Due to the existence of axial displacement, the DOF is taken to be 5. Thus, it was observed that bending, shear and membrane stiffness appeared to be depending on the layouts and angular orientations. In cases where the sequence is not balanced and symmetrical, the axial and bending forces act on each other and may form the membrane bending coupling stiffness. Both Kirchhoff and Mindlin theories have been applied to the composite plates by adding in-plane stiffness and mass matrices. It was compared with the dimensionless frequency values in the literature and it was seen that Mindlin theory gave good results for thick plates but Kirchhoff was not sufficient. Similarly, close results were obtained from both theories in comparison of thin plate, but the code applied based on Mindlin theory converged more due to the shear effect along the cross section of the layers. In the last part, thin/thick metal and composite folded plates and the box beams which are accepted as 4-folded plates, were analyzed with the codes obtained by the finite element method in the light of the information from the previous sections. The data were compared with the studies in the literature in order to verify and if the study was not found, it was modeled with the help of ABAQUS and compared with the results obtained here. The crank angle is considered as 90 ° in this thesis. The local axes of each face of the folded plates should be converted to a global axis to analyze easily. In order to get a suitable transformation, in-plane displacements and rotational movement on the vertical axis (drilling degree) are also considered as DOF. Thus, the structure had 6 degrees of freedom and their elements were transformed so that their stiffness and mass matrices were on the global axis. Thin/thick one and two folded composite and metal plates were evaluated, mode shapes and natural frequency values were calculated. Then, two theories were compared on different sizes of thin/thick composite and metal box beams. As a result, it has been revealed that the frequency values decrease with decreasing thickness, the restricted degrees of freedom increase the frequency values and the different sequences affect the frequency values. Moreover, the membrane effects and the transverse shear effects are important in the folded and composite structures. In several comparisons, it was seen that these codes, which were created based on the finite element method in the Mathematica program, converge as ABAQUS package program. Thus, it has been shown that beams can be considered as folded plates and the main purpose of this thesis is to be able to analyze the structures with different plate theories and to obtain better results in terms of vibration. Many computer code have been written on this subject with different theories and application methods.

Bu yüksek lisans tezinin amacı katlanmış plaka olarak kabul edilen ince ve kalın kompozit kutu kirişlerinin plaka teorileri ile titreşim açısından sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak değerlendirilmesi ve bunu yapmayı sağlayan bir bilgisayar kodunun geliştirilmesidir. Bu değerlendirmenin yapılabilmesi için farklı malzemeler, sınır koşulları ve değişken plaka kalınlıkları kullanılarak öncelikli olarak plakalar, katlanmış plakalar ve kutu kirişler belirli plaka teorileri ile analiz edilmiştir. Bu çalışmada; giriş bölümü, hareket denklemleri ve titreşime genel bakış, sonlu elemanlar formülasyonları, plaka teorileri yapısal formülasyonu, kompozit plaka formülasyonları ve katlanmış plakalar ile kutu kiriş formülasyonları olmak üzere altı ana bölüm yer almaktadır. Giriş bölümünde genel olarak plakalar, kutu kirişler, titreşim, malzemeler ve sonlu elemanlar yönteminin kullanımından ve bu çalışmaların tarihsel süreci hakkında bilgi verilmektedir. Plaka teorilerinin ortaya çıkışı ve geliştirilmesi ile ilgili literatür çalışmalarına yer verilerek farklı kullanımları hakkında okuyucunun ön bilgiye sahip olması amaçlanmıştır. Ayrıca bu bölümde, plakaların kalınlıklarına göre sınıflandırılması ve bu sınıflandırmaya bağlı olarak farklı deplasman teorilerine ihtiyaç duyulduğu, Kirchhoff-Love ve Reissner-Mindlin plaka teorileri olarak bilinen teorilerin kullanım alanları hakkında genel bir çerçeve oluşturulmaya çalışılmıştır. Günümüzde hava araçlarının büyük bir kısmını kutu kirişler, kabuklar ve paneller oluşturmaktadır. Bu nedenle, bunlar gibi özellikle kontrol yüzeylerinde ve aerodinamik yüzeylerde kullanılan yapılarda titreşim yapısal bütünlük, dayanım ve verimlilik açısından önemli bir olgudur. Titreşim yorulmaya ve çatlaklar gibi yapısal zararlara neden olabildiği için çoğunlukla hava aracında kaçınılmak istenen bir olay olarak kendini gösterebilir. Doğal frekansların elde edilerek değerlendirilebilmesi bu nedenle önem taşımaktadır. Özellikle ince/kalın cidarlı kompozit kirişlerin plakalar gibi değerlendirilerek sonlu elemanlar yöntemi ile bir bilgisayar kodu kullanılarak doğal frekans değerlerinin elde edilmesi ince cidarlı kompozit kiriş teorilerine temel ve alternatif bir yaklaşım olacaktır. Hareket denklemleri ve titreşim bölümünün, ilk alt bölümünde enerji denklemlerinin bir cismin hareketine bağlı olarak elde edilmesi ve farklı serbestlik dereceli sistemlerin Hamilton prensibi ile hareket denklemlerinin çıkarılması gösterilmiştir. İkinci alt bölümünde ise sistemlerin frekanslarının elde edilmesini sağlayan karakteristik denklemin hareket denklemlerinden çıkartılması, titreşim olgusu ve tipleri anlatılmıştır. Böylece doğal frekansı sonlu elemanlar yöntemi mantığına uygun olarak elde edebilmek için gereken kütle ve katılık matrislerinin sistemin hareketinden kaynaklı meydana geldiği ve bu değerlerin bulunabilmesi için enerji denklemlerinin kullanılması gerekliliği formülasyonlar aracılığıyla anlatılmıştır. Bu tez içerisinde serbest titreşim ele alınmış ve yapılar bu bağlamda değerlendirilmiştir. Sonlu elemanlar yöntemi bölümünde eleman seçimi, düğüm noktalarının oluşturulması ve serbestlik derecelerinin belirlenmesi ile elemanların şekil fonksiyonlarının elde edilmesine yer verilmiştir. Şekil fonksiyonları bir elemanın deplasmanlarının düğüm noktalarındaki deplasman değerleri ile ilişkisini ifade eder. Bunu yaparken de elemanın boyutsuz eksenini baz alan polinomlarla deplasmanları tanımlar. Böylece daha önceki kısımlarda bahsedilen potansiyel ve kinetik enerji denklemlerinden çıkarılan katılık ve kütle matrislerinin, düğüm noktalarındaki değerlere göre açılımı sağlanmış olur ve seçilen elemanın matrisleri oluşturulabilir. Bu çalışmada, dört düğüm noktalı dörtgen eleman seçilerek yapıya sonlu elemanlar yöntemi uygulanmıştır. Ancak bu eleman farklı serbestlik dereceleri için membran, ince eğilme ve kalın eğilme elemanı olarak değerlendirilip şekil fonksiyonları bulunmuştur. Plaka teorilerinin yapısal formülasyonları bu çalışmadaki sonlu elemanlar kodunun ve analizin temelini oluşturmaktadır. Kirchhoff-Love Plaka Teorisi (KLPT) yanal kayma deformasyonu etkileri ihmal edildiği için ince plakalara uygulanan bir plaka teorisidir ve bu ihmalden dolayı daha çok izotropik homojen malzemelere uygundur. Uzunluğunun kalınlığına oranı 10 dan büyük olan plakalar ince plaka olarak adlandırılmaktadır. Öncelikli olarak Kirchhoff-Love plaka teorisine (KLPT) göre plakanın orta yüzeyindeki malzeme tanecikleri dikey yönde hareket etmekte ve eksenel hareketleri diğer yöndeki hareketine göre küçük olduğu için ihmal edilmektedir. Aynı zamanda hareket boyunca orta yüzeyin normalinin aynı eğri üzerinde ve yüzeye dik olarak kaldığı varsayılır. Bu yüzden, teori ince eğilme elemanı kullanılarak uygulanır ve dönme deplasmanları dikey yöndeki deplasmana bağlı olarak tanımlıdır. Eğilme elemanının şekil fonksiyonları ve düğüm noktalarındaki deplasmanları, gerinim formüllerini içeren potansiyel enerji denklemi ile hareket denklemlerinden gelen klasik potansiyel enerji denkleminin eşitlenmesinde kullanılmıştır. Kinetik enerji denklemlerinin eşitlenmesinde de aynı yöntem izlenmiştir. Böylece bu teori için bir elemanın katılık ve kütle matrisleri çıkartılmıştır. İnce, metal ve düz bir plaka örnek çalışma olarak ele alınarak elemanlara bölünmüş, bir eleman için tanımlanan matrisler sonlu elemanlar yönteminin toplama metodu ile global matrisler haline getirilmiş ve tüm yapının katılık ve kütle değerleri elde edilmiştir. Ardından sınır koşulları bu matrislere uygulanarak indirgeme yapılmıştır. İndirgenmiş global matrisler Modal Analiz uygulanarak çözülmüş ve elde edilen sonuçlar, uygulanan sonlu elemanlar yönteminin doğruluğunu teyit etmek amacıyla literatürdeki deneysel, analitik ve FEM sonuçları ile karşılaştırılmıştır ve sonuçların yakınsadığı görülmüştür. Diğer bir plaka teorisi olan Reissner-Mindlin plaka teorisi (RMPT), KLPT den farklı olarak yanal kayma deformasyonu etkilerini ve dönme ataletini de hesaba katar bu nedenle de yanal kayma deformasyonu etkisinin kalınlık boyunca önemli olduğu kalın plakalara uygulanan bir plaka teorisidir. Kayma deformasyonu etkilerinin bir yansıması olarak ortotropik malzemede de izotropik homojen malzemelerde olduğu kadar iyi sonuç vermektedir. Uzunluğunun kalınlığına oranı 10 dan küçük olan plakalar kalın plaka olarak adlandırılmaktadır. RMPT, Kirchhoff teorisindeki ana özellikleri aynen kabul etmesi ile birlikte, hareket boyunca orta yüzeyin normalinin yüzeye dik kalmadığını varsayar. Bu varsayım dönme deplasmanlarını dikey yöndeki deplasmandan bağımsız hale getirir. Bu teoride kalın eğilme elemanı kullanılmıştır. Kalın eğilme elemanının şekil fonksiyonları ve düğüm noktalarındaki deplasmanları, eksenel ve kayma gerinim formüllerini içeren potansiyel enerji denklemi ile hareket denklemlerinden gelen klasik potansiyel enerji denkleminin eşitlenmesinde kullanılmıştır. Kütle matrisinin eldesi için de kinetik enerji denklemleri eşitlenmiş ve bu kez dönme deplasmanından kaynaklanan etkiler de ortaya çıkmıştır. Böylece bu teori için bir elemanın hem eğilme hem de ve göz önünde bulundurulan yanal kayma deformasyonu etkilerinden dolayı oluşan katılık ve kütle matrisleri çıkartılmıştır. Aynı zamanda yapı inceldikçe RMPT uygulamasında sorunlar oluştuğu ve frekans değerlerinin iyi sonuçlar vermediği görülür. Bunun nedeni kayma kilitlemesi olarak adlandırılan bir durumdur. Bu durum, azalan plaka kalınlığı sonucunda kayma katılığının dominant hale gelmesinden kaynaklanmaktadır. Bu durumu engellemek için kayma katılığının indirgenmesi gerekir. Kayma kilitlemesini aşmak için Gauss integral indirgeme yöntemleri ya da QLLL adı verilen yanal kayma gerinim alanlarına bağlı eleman yapısı metodu kullanılmıştır. Böylece Mindlin teorisi ince plakalara da uygulanabilir hale getirilmiştir. Karşılaştırma çalışmasında metal düz bir plakanın global matrisleri KLPT ile aynı şekilde elde edilmiştir. Ancak bu sefer bir eleman için iki farklı katılık matrisi (eğilme ve kayma) bulunarak toplanmıştır ve kayma katılığı için öncesinde QLLL metodu uygulanmıştır. Aynı şekilde bağımsız dönme deplasmanları da kütle matrisini farklılaştırmıştır. Sınır şartlarının bu matrislere uygulanarak indirgenmesi ile yapının doğal frekansları hazırlanan modal analiz kodu uygulanarak bulunmuş ve boyutsuzlaştırılmış sonuçlar, literatürdeki analitik, FEM sonuçları ve ticari sonlu elemanlar programı ABAQUS ile aynı ağ boyutunda modellenerek buradan da alınan boyutsuz frekans değerleri ile karşılaştırılmıştır ve sonuçların çok yakın olduğu görülmüştür. Kompozit plakalar bölümünde; kompozit malzemelerin özelliklerinden, katmanların diziliminden ve kompozit malzeme yapısından kaynaklı olarak membran etkilerinin görüldüğünden yani eksenel yer değiştirmenin ihmal edilemediği ve eğilme etkisinin daha baskın olmadığından bahsedilmiştir. Böylece katman dizilimlerine ve açısal yönelimlerine bağlı olarak eğilme, kayma, eksenel katılıklarının ortaya çıktığı görülmüştür. Dizilimin dengeli ve simetrik olmaması gibi durumlarda eksenel ve eğilme kuvvetleri birbirleri üzerine etki ederler ve membran eğilme birleşik katılığını oluşturabilirler. Bu katılıklar katman dizilimlerine bağlı olarak hem eğilme hem de membran elemanının beraber kullanılması ile elde edilmişlerdir. Serbestlik derecesi, eksenel yer değiştirme kabulü nedeniyle diğer plakalardan farklı olarak 5 olarak alınmıştır. Hem Kirchhoff hem de Mindlin teorileri, bu plakalara eksenel katılık ve kütle matrisleri de hesaplanıp toplanarak uygulanmıştır. Bunun sonucu olarak değişken kalınlıklarda kompozit plakalar iki teori ile modal analiz yapılarak değerlendirilmiştir. Literatürdeki boyutsuz frekans değerleri ile karşılaştırılmış ve kalın plakalar için Mindlin teorisinin iyi sonuç verdiği ancak Kirchhoff 'un yeterli olamadığı görülmüştür. Aynı şekilde ince plaka için yapılan kıyaslamada da iki teoriden de yakın sonuçlar alınmış ancak katmanların yanal kesiti boyunca kayma etkisinden dolayı Mindlin teorisine bağlı uygulanan kod daha fazla yakınsamıştır. Son bölümde ince/kalın metal ve kompozit katlanmış plakalar ve 4 katlamalı plaka gibi kabul edilmiş olan kutu kirişler daha önceki bölümlerden elde edilen bilgiler ışığında sonlu elemanlar yöntemi ile elde edilen kodlarla analiz edilmiştir. Veriler doğrulamak amacı ile literatürdeki çalışmalarla karşılaştırılmış, çalışma bulunamadığı takdirde ABAQUS yardımı ile modellenerek buradan alınan sonuçlarla kıyaslanmıştır. Belirli bir açı ile katlanmış plakalarda, plakalar farklı lokal eksenlerde yer aldıkları için sonlu elemanlarla analiz yöntemi uygulanırken açık bir zar gibi düşünülerek katlanmış plakanın açıldığı var sayılmalı ve global bir eksen baz alınarak katlanmış plakaların her yüzünün lokal eksenlerinin bu global eksene dönüşümü yapılmalıdır. Bu dönüşümün sağlıklı olabilmesi açısından düzlem içi yer değiştirmeleri ve dikey eksendeki dönme hareketi de serbestlik derecesi olarak dikkate alınmıştır. Bu dönme hareketi beraberinde tekillik problemi getirse de sıfır olan ve z ekseni etrafındaki dönme etkisinden gelen köşegen elemanlarının çok küçük değerlere eşitlenmesi ile bu durum giderilmiştir. Böylece yapı 6 serbestlik derecesine sahip olmuş ve plakalar arasındaki açıyla ilişkilendirilen bir dönüşüm matrisi yardımı ile plaka elemanlarının katılık ve kütle matrisleri global eksende olacak şekilde dönüştürülmüştür. Ardından, yukarıda bahsedilen düz plakalarda izlenen yol izlenmiştir. Bu tezde katlama açısı 90°olarak kabul edilmiş ince/kalın tek ve çift katlamalı kompozit ve metal plakalar değerlendirilmiş, mod şekilleri ve doğal frekans değerleri çıkartılmıştır. Ardından farklı boyutlarda ince/kalın kompozit ve metal kutu kirişler üzerinde iki teori de kıyaslanmıştır. Farklı sınır koşulları, malzeme özellikleri, katman dizilimleri ve kalınlık değişiminin titreşime etkisi gösterilmiştir. Farklı boyutlardaki kutu kirişlerin mod şekilleri değerlendirildiğinde, kısa kirişlerin daha erken burulma moduna girdiği ve yapısının bozulduğu gözlemlenmiştir. Sonuç olarak, yapı inceldikçe frekanslarda düşüş olduğu, kısıtlanan serbestlik derecelerinin frekansı arttırdığı, farklı dizilimlerin frekans değerlerini etkilediği, membran etkilerinin ve yanal kayma etkilerinin katlanmış yapılarda önemli olduğu ortaya çıkmıştır. Birçok kıyaslamada Mathematica programında sonlu elemanlar yöntemine dayalı olarak oluşturulan bu kodların, ABAQUS paket programı kadar iyi yakınsadığı görülmüştür. Böylece, kirişlerin katlanmış plakalar olarak kabul edilerek değerlendirilebildiği gösterilmiş ve bu tezin asıl amacı olan yapıların farklı plaka teorileri ile analiz edilebilmesi ve titreşim açısından daha iyi sonuçlar elde edilebilmesi konusunda başarılı olunmuştur. Bu konuda çok sayıda farklı teori ve uygulama yöntemleri ile bilgisayar kodu yazılmıştır.