Diferansiyel Operatörlerin Düzenli İzleri Ve Spektral Özellikleri

dc.contributor.advisor Oruçoğlu, Kamil tr_TR
dc.contributor.author Şen, Erdoğan tr_TR
dc.contributor.authorID 10087537 tr_TR
dc.contributor.department Matematik Mühendisliği tr_TR
dc.contributor.department Mathematics Engineering en_US
dc.date 2015 tr_TR
dc.date.accessioned 2017-05-11T13:14:27Z
dc.date.available 2017-05-11T13:14:27Z
dc.date.issued 2015-09-11 tr_TR
dc.description Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2015 tr_TR
dc.description Thesis (PhD) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2015 en_US
dc.description.abstract Matematiksel fiziğin bazı problemlerinde zaman değişkenine göre kısmi türev sadece diferansiyel denklemde değil aynı zamanda sınır koşularında da ortaya çıkmaktadır. Böyle problemlere uygun olan sınır-değer problemlerinde özdeğer parametresi sadece diferansiyel denklemde değil aynı zamanda sınır koşullarında da bulunmaktadır. Süreksiz sınır-değer problemleri ise farklı fiziksel ve mekanik özellikleri bulunan cisimler arasındaki ısı ve madde iletimi veya başka geçiş süreçlerinde ortaya çıkmaktadır. Literatürde süreksiz Sturm-Liouville problemleri hakkında çalışmalar mevcuttur, ama süreksizlik noktası sayısı birden fazla olduğunda özdeğer ve özfonksiyonların asimtotik davranışlarının ve bazı spektral özelliklerinin nasıl değiştiği bu tezde incelenen konular arasındadır. Yine literatürde diferansiyel ifadede süreksiz operatör içeren Sturm-Liouville operatörlerinin düzenli izleri birkaç çalışma dışında araştırılmamıştır. Bu tezde daha genel ve farklı sınır koşullarına sahip süreksiz operatör katsayılı bir diferansiyel operatör için düzenli iz formülü elde edilmiştir. Bu tezin esas kısmı 5 bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde tezde incelenen problemler tanıtılmış, bunların uygulama alanlarından bahsedilmiş, teorik önemi belirtilmiş ve bunlarla ilgili olarak yapılan çalışmalar hakkında literatür özeti verilmiştir. İkinci bölümde ise  aralığında tanımlı; iki noktada süreksizliğe sahip    ağırlık fonksiyonuna sahip   diferansiyel operatörü ve          şeklinde sınır koşullarının birinde özdeğer parametresinin yer aldığı         geçiş (iletim) koşullarına sahip sınır-değer probleminin özdeğerleri ve özfonksiyonları için asimtotik formül bulunmuştur.   ve   olarak alındığında problem sürekli bir sınır-değer problemine dönüşür ve elde edilen sonuçlar [C. T. Fulton, Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 77 (1977) 293-308] çalışmasında elde edilen sonuçlarla çakışır. Sürekisizlik noktalarının sayısını tek bir nokta olarak almamız durumunda ise sonuçlar [O. Sh. Mukhtarov and M. Kadakal, Some spectral properties of one Sturm-Liouville type problem with discontinuous weight, Siberian Mathematical Journal, 46 (2005) 681-694] çalışmasındaki sonuçlarla çakışır. Yani elde edilen sonuçlar literatürdeki sonuçların bir genelleştirilmesidir. Üçüncü bölümde ise sınır koşulunda özdeğer parametresi olan tanım aralığında sonlu sayıda süreksiz noktaya sahip olan sınır-değer problemi; yani   aralığında tanımlı    diferansiyel operatörü;                     sınır koşulları ve           geçiş koşulları ile oluşturulan sınır-değer problemi uygun bir Hilbert uzayı ve bu uzayda kendine eş bir lineer operatör tanımlanarak problem operatör denklem olarak ifade edilmiştir. Kökleri (sıfırları) sınır-değer probleminin özdeğerleri olacak şekilde bir polinom bulunmuş ve özdeğerlerin katlılığı incelenmiştir. Daha sonra özdeğer ve özfonksiyonlar için asimtotik formüller bulunmuş, spektrumunun sadece özdeğerlerden ibaret olduğu ispatlanmış, resolvent operatörü incelenmiş, özfonksiyonlar cinsinden seri açılımı elde edilmiş ve özfonksiyonların tamlığı incelenmiştir.   sonsuz boyutlu ayrılabilir bir Hilbert uzayı olmak üzere   uzayında                                                                                                             diferansiyel ifadeleri ve aynı    sınır koşulları ile oluşturulan operatörler sırasıyla   ve   olsun. Burada  ,    olmak üzere   dan   ye    koşullarını sağlayan bir operatördür ve  , operator fonksiyonu   aralığında tanımlıdır ve aşağıdaki koşulları sağlar: a.) Her   için   ikinci mertebeden zayıf türeve sahiptir.   zayıf ölçülebilirdir ve her   için   kendine eş nükleer operatörlerdir. b.) fonksiyonları    aralığında sınırlı ve ölçülebilirdir. Burada     dan   a nükleer operatörler uzayını göstermektedir. c.) Her   için   dır.   operatörünün özdeğerleri   ve   operatörlerinin özdeğerleri   olsun. Dördüncü bölümde   ve   operatörlerinin saf ayrık spektruma sahip olduğu gösterilmiş, resolvent operatörleri için bazı eşitlikler elde edilmiş ve   operatörünün düzenli izi için   şeklinde bir formül bulunmuştur. Eğer diferansiyel ifadedeki sınırsız katsayılı operatörü yani   operatörünü özdeş olarak sıfıra eşit alırsak elde edilen sonuçlar [K. Koklu, I. Albayrak, A. Bayramov, A regularized trace formula for second order differential operator equations, Mathematica Scandinavica, 107 (2010) 123-138] çalışmasındaki sonuçlar ile çakışır. Beşinci bölümde ise [-1,1] aralığının   ve   gibi iki iç noktasında süreksiz olan, katsayıları sonlu   diferansiyel denkleminden,  ,                                                    sınır koşullarından ve x= , x=  süreksizlik noktalarındaki          geçiş koşullarından oluşan bir Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarının tamlığı incelenmiştir. Sınır-değer-geçiş problemi önce uygun Hilbert uzayında kendine eş bir operatör yardımıyla özdeğer problemi olarak ifade edilmiştir. Daha sonra bu operatörün simetrik bir operatör olduğu ispatlanmış ve özfonksiyonlar sistemine açılım teoremi ispatlanmıştır. tr_TR
dc.description.abstract This thesis consists of five main chapters. In introduction, we give a general information about the theory of Sturm-liouville operators and  previous works in the literature which is realatively close to our studies. Also establishment of the problems is given in introduction.   In the second chapter, we extend some spectral properties of regular Sturm-Liouville problems to those which consist of a Sturm-Liouville equation with discontinuous weight at two interior points together with spectral parameter-dependent boundary conditions. By modifying some techniques of [C. T. Fulton, Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 77 (1977) 293-308; O. Sh. Mukhtarov and M. Kadakal, Some spectral properties of one Sturm-Liouville type problem with discontinuous weight, Siberian Mathematical Journal, 46 (2005) 681-694], we give an operator-theoretic formulation for the considered problem and obtain asymptotic formulas for the eigenvalues and eigenfunctions. In the third chapter, we investigate discontinuous two-point boundary value problems with eigenparameter in the boundary conditions and with transmission conditions at the finitely many points of discontinuity. Namely we consider the discontinuous eigenvalue problem which consist of Sturm-Liouville equation    on   together with eigenparameter-dependent boundary conditions   and transmission conditions at the points of discontinuity       where     is a given real-valued function continuous in     and has finite limits   ;   is a complex eigenvalue parameter;          are real numbers;    and     This section organised as follows: Firstly we give operator formulation of the problem in a suitable Hilbert space (i.e., A self-adjoint linear operator   is defined in a suitable Hilbert space   such that the eigenvalues of the considered problem coincide with those of  ) and then asymptotic approximate formulas of characteristic function derived for four distinct cases. Asymptotic formulas for eigenvalues and eigenfunctions of the problem is given and finally we show that the eigenfunctions of   are complete in  . In the fourth chapter, assuming   is a separable Hilbert space, we consider the operators   and  generated by the differential expressions   and   respectively, in the Hilbert space  , with the same boundary conditions   where   is a positive definite self-adjoint operator in   and   satisfies some additional conditions. Let the eigenvalues of the operators   and   be   and   respectively. In this section, firstly we investigate the spectrum and resolvent of the operators   and  . Finally, under the conditions (1)-(3) the following formula has been found for the regularized trace of  :   In the fifth chapter, we investigate the resolvent operator and completeness of eigenfunctions of a Sturm-Liouville problem with discontinuities at two points. The problem contains an eigenparameter in the one of boundary conditions. For operator-theoretic formulation of the considered problem we define an equivalent inner product in the Hilbert space   and suitable self-adjoint linear operator in it. en_US
dc.description.degree Doktora tr_TR
dc.description.degree PhD en_US
dc.identifier.uri http://hdl.handle.net/11527/14215
dc.publisher Fen Bilimleri Enstitüsü tr_TR
dc.publisher Institute of Science And Technology en_US
dc.rights İTÜ tezleri telif hakkı ile korunmaktadır. Bunlar, bu kaynak üzerinden herhangi bir amaçla görüntülenebilir, ancak yazılı izin alınmadan herhangi bir biçimde yeniden oluşturulması veya dağıtılması yasaklanmıştır. tr_TR
dc.rights İTÜ theses are protected by copyright. They may be viewed from this source for any purpose, but reproduction or distribution in any format is prohibited without written permission. en_US
dc.subject Sturm-Liouville problemi tr_TR
dc.subject Sturm-Liouville problem en_US
dc.subject tamlık tr_TR
dc.subject özdeğer ve özfonksiyonların asimtotiği tr_TR
dc.subject geçiş koşulları tr_TR
dc.subject düzenli iz tr_TR
dc.subject çekirdek operator tr_TR
dc.subject regularized trace en_US
dc.subject completeness en_US
dc.subject spectrum en_US
dc.subject asymptotics of eigenvalues and eigenfunctions en_US
dc.subject transmission conditions en_US
dc.subject nuclear operator en_US
dc.title Diferansiyel Operatörlerin Düzenli İzleri Ve Spektral Özellikleri tr_TR
dc.title.alternative Regularized Traces And Spectral Properties Of Differential Operators en_US
dc.type doctoralThesis en_US
Dosyalar
Lisanslı seri
Şimdi gösteriliyor 1 - 1 / 1
thumbnail.default.placeholder
Ad:
license.txt
Boyut:
3.14 KB
Format:
Plain Text
Açıklama