Doğru Eksenli Çubukların Burkulma Analizi İçin Geliştirilen Yeni Bir Fonksiyonel Ve Sonlu Eleman Çözümü

Abstract

Bu çalışmada, fonksiyonel analiz yöntemi ile ve Gateaux türevi kullanılarak, lineer elastik doğru eksenli çubukların burkulmasına ait, yeni bir fonksiyonel elde edilmiştir. Fonksiyonelin yapısında, çökme ve moment büyüklükleri bulunmakta ve hem geometrik, hem de dinamik sınır koşullarını içermektedir. Fonksiyonel literatürdeki toplam potansiyel enerji ifadesine de dönüşebilmektedir. Bu yeni fonksiyonelin doğruluğunu test etmek için, literatürde Euler halleri olarak bilinen burkulma tipleri gözönüne alınmış, sabit kesitli çubukların kritik burkulma yükü problemi, önce Ritz, daha sonra da karışık sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak çözülmüştür. Lineer, kuadratik ve kübik şekil fonksiyonları kullanılarak her düğüm noktasında çökme ve moment bilinmeyeni olan kapalı formda karışık sonlu eleman matrisleri elde edilmiştir. Euler halleri, bu karışık sonlu eleman matrisleri kullanılarak yeniden incelenmiştir. Eleman sayısının artmasına paralel olarak, sistem matrisinin boyutlarının büyümesinden dolayı ortaya çıkan çözüm zorluklarını aşmak için de, indirgenmiş sistem matrisleri kullanılmıştır. Bu indirgenmiş sonlu eleman matrisleri kullanılarak, değişken kesitli çubukların, sürekli kirişlerin, yanal deplasmanı önlenmiş yada serbest bırakılmış çerçevelerin burkulma analizine yönelik uygulamalar yapılmıştır. Elde edilen sonuçların, literatürdeki çalışmalarla karşılaştırıldığında, önerilen yöntemlerle geliştirilen karışık sonlu eleman formülasyonunun, mühendislik uygulamaları açısından yeter yakınsaklığı sağladığı gözlenmiştir.

In this study, using the Gateaux differential, a new functional is obtained for linear elastic straight bars using functional analysis method. The functional contains deflection and moment terms, and also both the geometric and the dynamic boundary conditions are involved. The functional can be transformed to the total potential energy equation in literature. For testing the new functional, critical buckling loads of straight bars, which are known as Euler buckling types in literature, are solved using Ritz and mixed finite element methods. Using linear, quadratic and cubic shape functions, mixed finite element matrices for straight bars, which has deflection and moment term in each node, are obtained in an explicit form. Euler buckling types, are also examined with these mixed finite element matrices In order to avoid the difficulties of solving huge system matrix, that are seen with increasing element number, reduce system matrix is used. Using these reduced element matrices, buckling analysis of variable cross section bars, continuous beams and lateral displacement fixed or free frames, are done. The comparison of the results with the exampes given in the literature, was in a good agreement.