Daireden Farklı Enkesite Sahip Silindirik Olmayan Helislerin Dinamik Analizi

Abstract

Çalışmada öncelikle helis geometrisi ve koordinat sistemlerinde kullanılan tanımlamalar açıklanmıştır. Kartezyen koordinat sistemi kullanılarak betimlenen helislerin Frenet sisteminde tanımlanması da ilgili denklemler kullanılarak yapılmıştır. Bu adımdan sonra, matris elemanı türetilmesi için, Timoshenko Kiriş Teorisi kesin silindirik helis geometrisi, sonlu eleman interpolasyonu vasıtasıyla, geometrinin uyarlanmış eğrilikler kullanılmıştır. Sonraki bölümde ise, hesapta kullanılan hareket, kinematik ve bünye denklemleri belirlenmiştir. Bu temel denklemleri baz alan fonksiyonel özetlenmiştir. Hesaplarda karışık sonlu eleman formülasyonu kullanılmıştır. İlk önce lineer şekil fonksiyonları belirlendikten sonra, silindirik olmayan helisler için bağıntılar sıralanmıştır. İleriki kısımlarda ise, sonlu elemanlar formülasyonunda kullanılan eleman matrisi ve kütle matrisi belirlenmiştir. Kullanılan bu eleman 2x12 serbestlik dereceli 2 düğüm noktasına sahiptir. Daireden farklı enkesitler için, gerekli kesme kuvveti katsayıları ayrıca hesaplanmıştır ve karışık sonlu elemanlar analizinde kullanılmıştır. Bahsi geçen kesme kuvveti katsayısı nümerik bir katsayıyı ifade etmektedir. Literatür taramasında görüldüğü üzere, hesaplarda çeşitli kabullerle yaklaşık bir sayı alındığı görülmüştür. Daireden farklı enkesitlerin burulma rijitliği hesap esasları da belirlenmesine müteakip, karışık sonlu eleman için dinamik analiz denklemleri belirlenmiştir. Literatürdeki dikdörtgen ve kare enkesitli silindirik ve konik helisler için olan uygun teorik ve numerik problemler çözülmüştür ve sonuçlar doğrulanmışlardır. Kare kesit, kutu kesit ve I formunda enkesite sahip silindirik olmayan helislerin dinamik analizi irdelenmiştir.

Being a start, helix geometry and coordinate systems, which commonly used in this subject, were presented. Helixes, which are defined under Cartesian coordinate systems, were also indicated. For the derivation of the two-noded element matrix, Timoshenko beam theory is employed based on the exact cylindrical helix geometry. Non-cylindrical helix geometry is derived using modified curvatures of the geometry by means of the finite element interpolation. The nodal variables of the element are the displacement vector, the rotation vector, the force vector and the moment vector where are Frenet unit vectors. The problem of torsion can be reduced to a standard problem in the theory of potentials in 2D and the resulting Poisson’s equation is solved by finite elements in order to obtain the torsional rigidity of the arbitrary cross sections. In further sections, eqution of motion, Kinematic equations and constitutive equations, which are related with the dynamic analyses, were indicated. In following sections, the element matrix and mass matrix are defined. These matrices with sub-matrices were used in the calculation of finite element method. In this part, matrices were defined which included an element has two nodes with 2x12 degrees of freedom. For the arbitrary cross sections, the necessary shear coefficients are calculated explicitly, and used in the mixed finite element analysis. These shear coefficients are a group numerical value depending the geometry of cross-sections and the calculation has maximum %10 error margin. After the chapter related principals of calculations for torsional rigidity of non-circular cross-sections, equations and general specification of mixed finite element method were defined. The basic of this section is to defining the problem of determining the natural vibration frequencies of a structural system. According to literature, it could be reduced to the solution of a standard eigenvalue problem. The available theoretical and numerical solutions for analysis of cylindrical and conical helices with rectangular and square cross sections in the literature are solved and the results are verified. The dynamic analysis of non-cylindrical helices with the square box section and I shaped cross section are studied as a pioneering research.