Spin(7) Holonomisine Sahip (3+3+2) Warped-benzeri Çarpım Manifoldları

Abstract

Rieman holonomi grup teorisinde iki tane ayrıcalıklı durum vardır, bunlar 7-boyutlu manifoldlar üzerinde olan holonomi grubu ve 8-boyutlu manifoldlar üzerinde olan Spin(7) holonomi grubudur. Aynı zamanda bu holonomi gruplarına sahip Rieman manifoldları Ricci-düz uzaylardır. Bu tez çalışmasında, Spin(7) holonomisine sahip Rieman manifoldlarının yapısı araştırılıp, bu tip manifoldlar üzerindeki warped çarpım metriklerinin bir genelleştirilmesi çalışıldı. Spin(7) holonomi grubuna sahip manifoldları karakterize eden özel bir 4-form yapısının varlığıdır, Bonan form olarak adlandırılır ve Hodge anlamında kendine eş, Spin(7) invaryant ve kapalı bir formdur. Bonan formun yapısını açık şekilde elde etmek için Steiner üçlü sistem yardımıyla yeni bir Bonan form kurulum metodunu sunacağız. Literatürde 8-boyutlu Spin(7) holonomisine sahip manifoldlar üzerinde bir açık metrik yapısı örneği araştırılmış ve Yasui-Ootsuka tarafından manifoldu üzerinde verilen metrik yapı incelenmiştir. Hacim koruyan vektör alanları ve 2-vektör şartı adı verilen özel bir tensör formülünü sağlayan vektör alanları tahmini (ansatzını) kullanalarak Spin(7) invaryant metrik elde etmişlerdir. Bu tez çalışmasında warped çarpım metriğinin bir genelleştirmesi olarak warped-benzeri çarpım metriği ile adlandırdığımız diferansiyel form tahmini (ansatzını) kullanacağız. Çoklu-warped çarpım manifoldlarının bir genelleştirilmesini, lif metrik yapılarının diagonal olmamasına izin vererek warped-benzeri çarpım manifoldları olarak tanımlıyacağız. B baz manifoldu 2-boyutlu, lif uzayları i=1,2 tam, bağlantılı ve basit bağlantılı 3-boyutlu manifoldlar olan biçimindeki manifoldun Spin(7) holonomisine sahip olduğunda, lif uzaylarımız lerin e isometrik olduğunu ispatlayacağız. Sonra (3+3+2) warped-benzeri çarpım metrikleri sınıfı içerisinde ayar dönüşümleri kullanarak Yasui-Ootsuka çözümünü yeniden elde edeceğiz.

In the theory of Riemannian holonomy groups there are two exceptional cases, the holonomy group in 7-dimensional and the holonomy group Spin(7) in 8-dimensional manifolds. Also Riemanian manifolds with these holonomy groups are Ricci-flat. In the present thesis, we investigate the structure of Riemannian manifolds with Spin(7) holonomy group and study a metric structure as a generalization warped product metrics on these type of manifolds. Spin(7) holonomy manifolds are characterized by the existence of a special 4-form called Bonan form which is a self-dual in the Hodge sense, Spin(7) invariant and closed form. Thus we review the methods of the explicit construction for the Bonan form and present a new method related to Steiner triple systems. We have surveyed an explicit metric structure of 8-dimensional manifold with Spin(7) holonomy in the literature and worked out the metric given by Yasui and Ootsuka on the manifold . They use vector fields ansatz to satisfy the concepts of volume-preserving vector fields and a specific tensor formula called the 2-vector condition. In our work, we use a differential form ansatz called warped-like product which is a generalization of warped product metric. We define warped-like product manifolds as a generalization of multiply-warped product manifolds, by allowing the fiber metric to be non block diagonal. We prove that if is a warped-like product manifold where the base B is two dimensional, the fibers i=1,2, are complete, connected and simply connected 3-manifolds and M has Spin(7) holonomy, then the s are isometric to . Then we recover the Yasui-Ootsuka solution in this class of (3+3+2) warped-like product metrics up to gauge transformations.