FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı

Bu topluluk için Kalıcı Uri

http://hdl.handle.net/11527/84
Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı altında bir lisansüstü programı olup, yüksek lisans ve doktora düzeyinde eğitim vermektedir.

Gözat

Konu "Adi fonksiyonel denklem" ile FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı'a göz atma
  • Öge
    Yerel Olmayan Bazı Sınır Değer Problemleri İçin Green Veya Genelleştirilmiş Green Fonksiyonelinin İnşası
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2013-09-13) Özen, Kemal ; Oruçoğlu, Kamil ; 10007050 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Evrendeki pek çok fiziksel olguyu modelleyen matematiksel problemler, matematiksel analiz ve uygulamalı matematikte yerel ve yerel olmayan problemler olarak iki gruba ayrılabilir. Öte yandan bir başka sınıflamaya göre bu matematiksel problemler başlangıç değer ve sınır değer problemleri şeklinde de ikiye ayrılabilir. Tüm bu bahsedilen problemlerde karşımızda, bilinmeyen (bilinmeyenler) için cebirsel, diferansiyel, integro-diferansiyel, integral veya fonksiyonel denklem (denklem sistemleri) ile bilinmeyeni (bilinmeyenleri) belirlemeye yarayabilecek bazı koşul veya koşullar mevcuttur. Bilindiği üzere, yerel problemler lisans ve lisans sonrası derslerde her zaman öncelikle tanıtılan klasik problemler iken yerel olmayan problemler daha genel anlamda olan klasik olmayan tipte problemlerdir. Yerel olmama durumu ya problemin denklem veya denklemlerinde ya problemin koşul veya koşullarında ya da problemin hem denklem veya denklemlerinde hem de koşul veya koşullarında ortaya çıkabilir. Sonuçta bu üç yapıdaki her bir problem yerel olmayan problem olarak anılır. Bu çalışmada yerel olmama durumu problemin sadece koşul veya koşullarında ortaya çıkmaktadır. Bir fiziksel problemde yerel olmama durumu esas olarak birbiriyle ilişkili, etkileşimli iki veya daha fazla nesnenin, olgunun varlığından kaynaklanır. Evrende ve onun başlangıcından günümüze gelişiminde nesnelerin ve olguların etkileşimlerinin varlığı dikkate alındığında aslında pek çok fiziksel problemin matematiksel modellenmesi sonucunda çoğunlukla yerel olmayan tipte problemlerle karşılaşılabileceği oldukça beklenen bir sonuçtur. Kurulan yerel modellerde nesnelerin ve olguların bu söz konusu etkileşimleri yeterince dikkate alınamadığından modellerin çözümleri sonucunda da ilgili bazı fiziksel gerçeklikler açıklanamamakta ve ortaya çıkarılamamaktadır. Dolayısıyla yerel olmayan modellerin ve çözümlerinin irdelenmesi önem arzetmektedir. Böyle yerel olmayan problemlerin çeşitli formlardaki çözümlerinin varlığı, tekliği ve yapısı konularının incelenmesi amacıyla bazı temel çözümlerinin özellikle de Green fonksiyonunun veya genelleştirilmiş Green fonksiyonunun oluşturulması yararlı olmaktadır. Yayınlarda Green fonksiyonu inşa etmek üzere kullanılan genelde üç temel analitik yöntem mevcuttur. Bunlardan ilki parametrelerin değişimi yöntemidir. Bu yöntemle, yerel olmayan doğrusal koşullar altında düzgün katsayılı denklemlerin söz konusu olduğu aşikâr çekirdekli bazı doğrusal Sınır Değer Problemleri (SDP ler) için analitik olarak Green fonksiyon elde edilmiştir ama aşikâr olmayan çekirdekli söz konusu problemler için genelleştirilmiş Green fonksiyonunun inşası uğraştırıcı olabilir. İkinci yöntem, klasik Green fonksiyon yöntemidir. Bu yöntemle ele alınan problemin kısmi integrasyon kullanılarak bir eşitlikle klasik anlamda eş problemi kurulmaya çalışılır ama bazı yerel olmayan doğrusal koşullar durumunda veya düzgün olmayan katsayılı denklemler durumunda eş problemin klasik anlamda elde edilmesi ya çok uğraştırıcıdır ya da mümkün olmayabilir. Dolayısıyla böyle problem için ikinci yöntemle, uygun koşullar altında var olmasına rağmen analitik olarak Green veya genelleştirilmiş Green fonksiyonunun açık ifadesi elde edilemeyebilir. Üçüncü yöntem ise; temel olarak parametrelerin değişimi yöntemine dayanan süreksizlik içeren çeşitli problemler için geliştirilmiş bir temel çözüm yöntemidir. Bu yöntemle de ilgili bazı problemler için Green fonksiyon elde edilmiş ama bildiğimiz ve araştırmalarımızdan edindiğimiz kadarıyla yerel olmayan koşullu problemlerin bu açıdan incelenmesi birkaç istisna haricinde ihmal edilmiştir. Dolayısıyla bahsedilen bu eksiklikler söz konusu olduğunda analitik Green veya genelleştirilmiş Green fonksiyonunun açık ifadesinin yerine yayınlarda, yaklaşık (veya analitik-yaklaşık) ifade veya özel başka çekirdek fonksiyon ifadesi genelde elde edilmesi ve yaklaşık (veya analitik-yaklaşık) çözümler türetilmesi yoluyla boşluk doldurulmaya çalışılmaktadır. Son yıllarda pek çok çalışmanın ve uygulamanın yapıldığı Çoğalan Çekirdek Yöntemi (ÇÇY) buna örnek olarak verilebilir. Bahsedilen eksikliklerin giderilmesine katkıda bulunmak üzere; ana fikri Seyidali Seyidoğlu Akhiev e ait bir yöntemin devamı niteliğinde olan, matematiksel analizin fonksiyonel analiz, genelleştirilmiş fonksiyonlar ve doğrusal operatörler teorisi gibi alt dallarına dayanan bir temel çözüm yöntemiyle esas olarak yerel olmayan koşullu bazı problemlere temel çözümler elde edilerek çözümün integral gösteriliminin türetilmesi ve çeşitli uygulamalarla yöntemin kullanışlılığının gösterilmesi bu çalışmada temel amaç edinilmiştir. Burada adı geçen temel çözüm, uygun duruma göre Green fonksiyoneli veya genelleştirilmiş Green fonksiyonelidir. Özelde Green veya genelleştirilmiş Green fonksiyon ilgili fonksiyonel yardımıyla belirlenir. Çalışmada ele alınan problemlerde denklemin katsayılarının düzgün olmayan fonksiyonlar oldukları ancak Lp-integrallenebilirlik ve sınırlılık gibi bazı özelliklere de sahip oldukları varsayılır. Denklemi temsil eden operatörün doğrusal kısmının genel olarak formal eş operatörü olmayabilir veya bu kısma sadece bir distribüsyonlar (distribution) uzayında karşılık bulunabilir. Ayrıca, basit bir doğrusal diferansiyel denklem ve bir yerel olmayan koşul durumunda bile ele alınan problemin anlamlı klasik tipte eş problemi olmayabilir. Bu sebeplerle böyle bir problem için bahsedilen klasik yöntemleri kullanmada bazı ciddi zorluklar doğabilir. Öte yandan benzer zorluklar, diferansiyel denkleminin katsayılarının türevlenemeyen sürekli fonksiyonlar olduğu klasik tipten problemlerde bile doğabilir. Bu zorlukların giderilmesine katkı yapmak üzere, Green ve genelleştirilmiş Green fonksiyonelleri kavramları tanıtılarak bu çerçevede söz konusu problemlerin çözümleri araştırılmıştır. Bu kavramların temel fikri, eş sistem olarak adlandırılan yeni eş problem kavramının kullanımının esas alınmasıdır. Eş sistemin yapısı denklem ve koşuldaki (koşullardaki) doğrusal operatörlere bağlıdır. Aşikâr çekirdekli problem için Green fonksiyoneli ve aşikâr olmayan çekirdekli problem için genelleştirilmiş Green fonksiyoneli bu eş sistemin özel hallerinin tek çözümleridir. Bu özel haldeki eş sistemlerin her ikisi de bir bilinmeyen elemanlı integro-cebirsel denklemlerden oluşur. Bilinmeyen elemanın ilk bileşeni her zaman bir fonksiyon; diğer bileşen veya bileşenler reel sayıdır. Bu denklemlerden biri ilk bileşenin bilinmeyen olduğu genellikle bir integral denklemdir ve diğer bileşen veya bileşenler parametredir. Diğer denklem veya denklemler kalan bileşene veya bileşenlere göre cebirseldir ve ilk bileşenle tanımlanan bazı integral fonksiyoneller içerebilir(ler). Eş sistemin buradaki rolü, Banach uzaylardaki doğrusal operatör denklemler teorisinde verilen eş operatörün rolüyle benzerdir. Aşikâr çekirdekli problem için çözümün integral gösterilimi Green fonksiyoneli ile elde edilir. Aşikâr olmayan çekirdekli problem için çözülebilirlik koşulları altında çözümün integral gösterilimi genelleştirilmiş Green fonksiyoneli ile elde edilir. Bu fonksiyonellerin her ikisinin de ilk bileşenleri sırasıyla ele alınan problemin Green fonksiyonuna ve genelleştirilmiş Green fonksiyonuna karşılık gelir. Kısaca belirtilecek olursa bu yöntem Green fonksiyon elde etmek için kullanılan klasik yöntemlerden temelde farklıdır. Çalışmada, yerel olmayan çeşitli türden doğrusal koşullar altında önce ikinci mertebe doğrusal adi diferansiyel denklem ve bunun yükleme terimli formu ardından daha genel hal olan m. mertebe adi diferansiyel denklem ile temsil edilen problemler için aşikâr çekirdekli operatörler durumunda yöntem vasıtasıyla Green fonksiyon ile Green çözüm elde etmek üzere incelemeler yapılmıştır. En son ise yine aynı türden koşul altında genelleştirilmiş gecikme terimleri de içerebilen birinci mertebeden doğrusal olmayan adi integro-diferansiyel denklemle verilen bir SDP modeli göz önüne alınmıştır. Ele alınan problemler düzgün ve düzgün olmayan katsayılı denklemler için örneklendirilmiştir. Yöntem, ele alınan örneklerden anlaşılabileceği üzere yerel olmayan doğrusal koşullar içeren oldukça geniş doğrusal ve bazı doğrusal olmayan problemler sınıfına kolayca uygulanabilir ve etkin sonuçlar verebilir. Özellikle çalışılan modellere uyan problemin eş probleminin klasik anlamda ifade edilemediği durumlarda yöntem oldukça değerlidir. Dolayısıyla çalışmadaki yöntemin, bahsedilen problemleri genellikle integral denkleme dönüştürerek çözüm türetmeyi amaçlamış ender yöntemlerden biri olduğunu düşünmekteyiz. Çalışmada belirtilen çözülebilirlik koşulları altında tanıtılan ilk özel eş sistemin tek çözümü vardır ancak ve ancak çözülebilirlik koşulları altında tek Green fonksiyoneli (dolayısıyla da tek Green fonksiyonu) vardır çıkarımı sayesinde yayınlarda var olan bazı çalışmalarda ilgilenilen söz konusu problemlerin çözümlerinin varlık ve teklik koşulları çok daha kolay bir şekilde elde edilebilmektedir. Dolayısıyla, çalışma kapsamındaki sonuçların ilgilenilen söz konusu problemlerin çözümlerinin varlık ve tekliğini incelemeyi amaç edinecek çalışmalar için yararlı olabileceğini düşünmekteyiz. Tez çalışmasının yapılmasına büyük ölçüde sebep olan, vurgulamış olduğumuz temel zorlukların giderilmesine katkı yapmak üzere başvurulabilen ÇÇY gibi yaklaşık veya analitik-yaklaşık çözüm yöntemlerinin kullanımında, tez çalışması kapsamındaki yaklaşımın dikkate alınması ile, ilgili yöntemler vasıtasıyla elde edilebilecek çözümlerin hassasiyetinin daha da arttırılabileceğini düşünmekteyiz. Yayınlarda katsayı ve sağ yan fonksiyonları üzerinde süreklilik gibi kuvvetli varsayımların yapılarak çözümlerinin incelenebildiği adi diferansiyel ve integro-diferansiyel denklemleri konu edinen çalışmalardaki incelemelerin aslında süreklilik gibi kuvvetli varsayımlar yerine Lp-integrallenebilirlik ve sınırlılık gibi daha zayıf varsayımlarla da yapılabileceğinin örneklerini oluşturması yönüyle de çalışmanın dikkate değer olduğunu düşünmekteyiz. Çalışma esas olarak yerel olmayan koşul veya koşullar içeren sınır değer problemlerine odaklansa da aslında yerel koşul veya koşullar içeren pek çok başlangıç ve sınır değer problemi için de Green veya genelleştirilmiş Green fonksiyonunu türetmede etkin bir başvuru kaynağı olarak kullanılabilir. Özellikle denkleminde katsayı ve sağ yan fonksiyonlarının sürekli değil de Lp-integrallenebilir ve sınırlı varsayıldığı yerel koşul veya koşullarla verilen başlangıç ve sınır değer problemleri için oldukça kullanışlı ve yararlı olabilir.