FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı

Bu topluluk için Kalıcı Uri

http://hdl.handle.net/11527/84
Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı altında bir lisansüstü programı olup, yüksek lisans ve doktora düzeyinde eğitim vermektedir.

Gözat

Konu "Adi Diferansiyel Denklemler" ile FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı'a göz atma
  • Öge
    Chebyshev Polinomları Ve Adi Diferansiyel Denklemlerin Seri Çözümleri
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2014-07-02) Köprülüoğlu, Barış ; Kırış, Ahmet ; 10042350 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematical Engineering
    Günümüzde başta fizik, mekanik ve kimya olmak üzere çok sayıda alandaki bilimsel problem diferansiyel denklem formunda ortaya çıkmaktadır. Bunların büyük kısmının kesin analitik çözümünü bulmak zordur. Dolayısıyla, kesin çözüme son derece yakın sayısal çözümler bulmak adına birçok teknik denenmiştir. Örnek olarak; Euler, Taylor, Runge-Kutta ve asimptotik açılımlar sayılabilir. Euler, Taylor ve Runge-Kutta metodlarında büyük   değerleri için başlangıç koşullarını sağlamak oldukça zordur. Asimptotik açılımlar bu hususta daha çok kolaylık sağlasa da, sınırlı derecede doğruluğa sahip olup önemli sayıda basamak kaybına yol açar. Bir diğer teknik ise bu olumsuzluklardan sıyrılabilen ve sayısal hesaplamalarda sıklıkla kullanılan Chebyshev yöntemidir. Chebyshev yöntemi, fonksiyona belirli bir aralıkta yaklaşım yaparken, hatayı mümkün olduğunca az yapacak noktalar seçerek bunlara karşılık gelen interpolasyonları arar. Chebyshev yaklaşımı olarak adlandırılan bu interpolasyonları bulmanın en verimli yolu Chebyshev polinomlarını ( )  kullanmaktır. Verilen aralık   aralığına uyarlanarak, fonksiyon   serisi şeklinde açılır. Chebyshev polinomlarının en büyük avantajlarından biri  sayısal diferansiyellenme ve sayısal integrasyonun çok hızlı gerçekleşmesidir. Bir diğeri ise fonksiyonu sonsuz diferansiyellenebilir yapan Chebyshev açılımları sayesinde düzgün (smooth) fonksiyonların iyi temsil edilebilmesidir. Açılım katsayıları  ’ ler ,   sonsuza giderken hızlıca sıfıra yakınsarlar. Bunun yanında, Chebyshev yönteminin sınır değer problemleri ve akışkanlar mekaniğinin sayısal çözümlerinde de başarılı olduğu kanıtlanmıştır. Chebyshev polinomları Rus matematikçi Chebyshev tarafından 1854 yılında tanıtılmış olup [1], diferansiyel denklemlerde kullanılmak üzere Lanczos [2] ve Clenshaw [3-7] tarafından tekrar ele alınmıştır. Konu hakkında geniş bilgi Fox ve Parker’ın kitabında bulunabilir [8]. Son yıllarda ise; Sezer, Gülsu ve Tanay yüksek mertebe lineer adi diferansiyel denklemler [9] için, Elbarbary ve El Kady sınır değer problemleri [10] için,   Khalifa, Elbarbary ve Elzarek ikinci ve dördüncü mertebe eliptik denklemler [11] için, Muite dördüncü mertebe yarı lineer başlangıç sınır değer problemleri [12] için Chebyshev polinomlarını kullanmışlardır. Bunun yanında Ramos ve Rubio, Runge-Kutta ile Chebyshev geri rekürsif diferansiyellenmesi arasındaki ilişkiyi [13]; Clenshaw ve Curtis, sayısal integrasyonda Chebyshev’in nasıl kullanılabileceğini [5]; Skogestad ve Kalisch, Korteweg-de Vries sınır değer probleminin çözümünde sonlu fark ve Chebyshev yönteminin karşılaştırmasını [14], Sezer ve Kaynak Chebyshev matrix yöntemini [15] ortaya koymuşlardır.  Bu çalışmada Birinci bölümde önce Taylor polinomlarının yetersizliği ve Chebyshev polinomlarına neden gerek duyulduğu anlatılıp, daha sonra Chebyshev polinomları tanımlanmış, kökleri ve ekstremum değerleri elde edilmiştir. Bununla birlikte yönetici katsayısı birim olan Monik Chebyshev polinomları takdim edilip,   aralığında tanımlı olan Chebyshev polinomunun diğer aralıklara nasıl uyarlandığı gösterilmiştir. Bu hususta özellikle   aralığına uyarlanma önemli bir yer teşkil etmektedir. Bu bölümün sonunda bazı Chebyshev ifadelerinin seri açılımları daha sonraki bölümlerde kullanılmak üzere verilmiştir. İkinci bölümde ise beşinci bölümde bahsedilecek olan diferansiyel denklem  çözümlerinde sıklıkla kullanılan Chebyshev fonksiyonlarının integral ve türevleri verilerek, birinci bölümdeki tanım ve teoremler yardımıyla ispatlanmıştır.   Üçüncü bölümde herhangi bir fonksiyon yerine interpolasyon kullanmakla yapılan hata analizi ile, Lagrange interpolasyonları yerine, bu yöntemde düğüm noktalarının Chebyshev polinomlarının kökleri olarak seçilmesine dayanan Lagrange-Chebyshev interpolasyonunu kullanmanın daha az hataya neden olduğu gösterilmiştir. Ayrıca bu sonucun bir başka faydası olarak; verilen hata toleransı içinde kalacak şekilde interpolasyon polinomlarının mertebesi indirgenerek, gerçek problemlerin çözüm aşamalarında hesap ekonomikleştirmesi yapılabilmesi sayılabilir.    Dördüncü bölümde  önce  . mertebe fark denklemi ve diferansiyel denklemler için, sonra birinci ve ikinci mertebe rekürans bağıntıları için hata analizi yapılmıştır. Burada ikinci mertebe rekürans bağıntılarında başlangıç ve sınır değer problemleri ayrı ayrı ele alınıp detaylandırılmış, geriye rekürans bağıntısı kullanmakla ortaya çıkan hatanın belirli bir değerden küçük kalacağı gösterilmiştir. Son olarak, beşinci bölümde ise Chebyshev polinomlarının adi diferansiyel denklemlerin seri çözümleri için nasıl kullanıldığı ispatları ile gösterilmiştir. Bunun için, doğrudan hesap, geriye rekürsif ilişki ve geriye rekürsif ilişkinin biraz daha geliştirilmiş hali olan Clenshaw yöntemleri ile adi diferansiyel denklemlerin çözümleri verilmiş, karmaşık başlangıç değer ve sınır değer problemleri çözülmüştür.