FBE- Mühendislik Bilimleri Lisansüstü Programı

Bu topluluk için Kalıcı Uri

http://hdl.handle.net/11527/9893

Gözat

Konu "Akışkanlar" ile FBE- Mühendislik Bilimleri Lisansüstü Programı'a göz atma
  • Öge
    İçerisinde akışkan bulunan viskoelastik ve elastik tüplerde nonlineer dalga yayılması
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 1999) Akgün, Güler ; Demiray, Hilmi ; 100675 ; Mühendislik Bilimleri ; Engineering Sciences
    Bu çalışmada içi viskoz olmayan sıkışmaz bir akışkan ile dolu viskoelastik ve elastik tüplerde zayıf nonlineer dalga yayılımı probleminin asimptotik analizi yapılmıştır. Birinci bölümde kısaca konunun tarihsel gelişiminden söz edilmiş ve bu konuda yapılmış teorik çalışmalar özetlenmiştir, ikinci bölümde ise çalışmanın esas konusunu oluşturacak olan, içerisinde sıkıştırılamayan ve viskoz olmayan akışkan bulunan öngörülmeli ince viskoelastik ve elastik tüplerde nonlineer dalga yayılımı probleminde kullanılacak olan alan denklemleri elde edilmiştir. Bölüm 3'te bu çalışmada kullanılacak olan pertürbasyon yöntemleri hakkında kısa bilgiler verilmiştir. Bölüm 4'te içerisinde viskoz olmayan akışkan bulunan ince viskoelastik ve elastik tüplerde zayıf nonlineer dalgaların yayılımı problemi indirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılarak ayrı ayrı incelenmiştir. Dispersiyon, dissipasyon ve nonlineerite arasındaki dengeye bağlı olarak pertürbasyon açılımındaki en düşük mertebeden terimleri yöneten denklemlerin, Burgers, Korteweg-de Vries ve Korteweg-de Vries-Burgers denklemleri olduğu gösterilmiştir. Bu denklemlerin ilerleyen dalga çözümleri ve elde edilen bir kısım sayısal sonuçlar yine aynı bölümde verilmiştir. Bölüm 5'te de iki ayrı problem ele alınmıştır. Birinci problemde içi viskoz olmayan akışkanla dolu nonlineer viskoelastik tüplerde zayıf nonlineer, dissipatif, fakat kuvvetli dispersif ortamlarda dalgaların genlik modulasyonu incelenmiş ve böyle bir ortamda yönetici denklem olarak dissipatif nonlineer Schrödinger denklemi elde edilmiştir. Bu denklemin belli başlangıç koşulları altında nümerik çözümü Split Step Fourier yöntemi ile verilmiştir, ikinci problemde ise tüpün viskoelastik etkileri ihmal edilmiş, fakat eksenel yöndeki yer değiştirmesi de hesaba katılarak problem yeniden incelenmiştir. Bu problemde yönetici denklem olarak biri radyal diğeri de eksenel hareketle ilgili iki nonlineer Schrödinger denklemi elde edilmiştir. Bu denklemlerin kararlı düzlem dalgaların oluşma koşullan sayısal olarak incelenmiş ve grafikler üzerinde gösterilmiştir. Son olarak da içerisinde viskoz olmayan akışkan bulunan ön gerilmeli elastik tüplerde farklı iki dalga boyunda yayılan iki akustik dalganın süper pozisyonundan oluşan dalgaların nonlineer etkileşimi Bölüm 6'da incelenmiş ve böyle bir ortamda dalgaların genlik modülasyonunu yöneten denklemlerin küple nonlineer Schrödinger denklemleri ile verilebileceği elde edilmiştir. Temel Denklemler Bu çalışmada, içerisinde viskoz olmayan ve sıkıştırılamayan akışkan bulunan tüp içerisinde nonlineer dalga yayılımı problemi tüp malzemesinin viskoelastik veya elastik oluşuna bağlı olarak iki ayrı durum için incelenmiştir. Birinci durumda viskoelastik etkiler göz önünde bulundurulmuş, ancak yataklama koşulları nedeniyle tüpün eksenel yöndeki hareketi ihmal edilmiştir. Bu durumda eksenel yöndeki kuvvetlerin dengesinin T yataklama kuvveti yardımıyla sağlandığı varsayılmıştır, ikinci durumda ise viskoelastik etkiler ihmal edilip eksenel yöndeki yer değiştirmeler hesaba katılmıştır. Her iki hal için alan denklemleri aşağıdaki gibi verilebilir. Nonlineer viskoelastik tüpün hareket denklemleri : d2u E2 1 d /Sı ötr _ d /£ı\.,.du Burada u radyal yer değiştirmeyi, p iç basıncı, Sı, S2 teğetsel yöndeki mambran kuvvetlerini, A ve Ag da ilgili doğrultulardaki germeleri göstermektedir. Nonlineer elastik tüpün hareket denklemleri : d (\ du\., dw.dY,..,., dw. 9/1 9S \.dtı, N /, 9iü N..." 9iü. _¦¦ Burada S şekil değiştirme enerjisi fonksiyonu, w eksenel yer değiştirme, ar, az ise ivme bileşenleridir. S şekil değiştirme enerjisi fonksiyonunun, Ag ve Az'in analitik bir fonksiyonu olduğu kabul edilerek, u = 0, du/dz = 0 ve dw/dz = 0 civarında seriye açılmıştır. Bu açılımlar (1), (3) ve (4) denklemlerinde yerine yazıldığında nonlineer viskoelastik ve elastik tüpler için hareket denklemleri yerdeğiştirmeler ve onların türevleri cinsinden elde edilebilir. Ana metinde yer alan bu denklemler yer tasarrufu nedeniyle burada verilmemiştir. Akışkan denklemleri : Yukarıdaki tüp denklemlerinin akışkan denklemleri ile desteklenmesi gerekir. Sıkıştırılamayan ideal bir akışkanın yaklaşık (ortalama) hareket denklemleri aşağıdaki biçimde verilebilir du _ du A dv dv dv dp 2 m + 2"aî + A»& " ° ¦ â + "âl + âî = °- (5) Zayıf Nonlineer Dalgalar Bu kısımda alan denklemlerinin, uzun dalga yaklaşımı halinde, zayıf nonlineer dalga çözümleri elde edilmeye çalışılmıştır. Daha önce verilen alan denklemleri için ayrı ayrı inceleme yapılmıştır. Yataklanmış viskoelastik tüpler : (1) ve (5) denklemleri kullanılarak küçük fakat sonlu genlikli dalgaların yayılımı indirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Bunun için aşağıdaki şekilde koordinat dönüşümü tanımlanabilir ç = ea(z-gt), r = ea+1gt. (6) Burada e nonlineeritenin küçüklüğünü sembolize eden bir parametre, a ise daha sonra belirlenecek olan bir sabittir. Ayrıca alan değişkenlerinin aşağıdaki gibi e cinsinden asimptotik bir seriye açılabileceği kabul edilmiştir oo oo oo tı = £eraun(£,r), v = J2^nM^r), p = £ e»pn(£,r). (7) Burada un, vn ve pn alan denklemlerinin çözümü sonucunda belirlenecek olan fonksiyonlardır. (6) dönüşümü ve (7) açılımları alan denklemlerinde yerine yazılır ve e'un çeşitli kuvvetlerine göre denklemler sıfıra eşitlenirse, bir diferansiyel denklemler sınıfı elde edilir. Sırasıyla 0(e) ve 0(e2) mertebesindeki denklemler çözülecek olursa aşağıdaki master denklem bulunur -^ + 7ıU-+l2e2° 'W-^ 'W = 0. (8) Burada U, radyal yer değiştirmenin pertürbasyon açılımında en düşük terimi göstermektedir, a'nın alacağı değerlere göre bu genel denklemden bilinen çeşitli evolüsyon denklemlerine ulaşılır. i) Şı = 0(1) ve a = 1 hali: Bu durumda d3U/dÇ3,nin katsayısı e mertebesinde olacağından bu terim düşer ve evolüsyon denklemi Burgers denklemine indirgenir ÖU TTdU d2U n ¦^-+7^-73^ = 0. (9) Bu denklem ortamdaki nonlineerite ile dissipasyonun dengelenmesi sonucunda ortaya çıkar. ii) /?4 = 0(e) ve a = 1/2 hali: Bu durumda d2U/d£2, nin katsayısı e1/2 mertebesinde olacağından evolüsyon denklemi aşağıdaki Korteweg-de Vries (KdV) denklemine indirgenir dU TTdU d3U n ^-+7:^+72^ = 0. (10) Bu denklem nonlineerite ile dispersiyonun dengelendiği durumlarda geçerlidir. iii) Ş4 = 0(e1/2) ve a = 1/2 hali: Bu durumda evolüsyon denklemi dissipasyonun, dispersiyonun ve nonlineeritenin denge durumunda olduğu Korteweg-de Vries-Burgers (KdVB) denklemine indirgenir dU TTdU d2U d3U n _ + 7lC/__73__ + 72__ = o. (11) Bu denklemler için ilerleyen dalga çözümleri ana metinde verilmiş ve sayısal sonuçlar tartışılmıştır. Zayıf yataklanmış elastik tüpler : Bu durumda viskoelastik etkiler ihmal edilmiş ve zayıf yataklanma koşulu nedeniyle eksenel yöndeki yer değiştirmenin küçük olduğu kabul edilmiştir. Bu özel halde denklemlerin dissipasyon özelliği yoktur. Eğer lineerleştirilmiş denklemlere harmonik tipten dalga çözümü aranacak olursa aşağıdaki dispersiyon bağıntısı elde edilir. (2 + mk2)muj4 - [m((Şt - (30)k2 + ma^k4 + 2Tı(2 + mk2)k2]uj2 + 27ı[(A - /?o)£4 + a0k6} - (ax - /30)2fc4 = 0. (12) Burada k dalga sayısı, u da açısal frekanstır. (3), (4) ve (5) denklemlerinde a = 1/2 için (6) koordinat dönüşümü ve (7) açılımları kullanılacak olursa e'un çeşitli kuvvetlerine göre denklemler elde edilir. Bunların çözülmesi sonucu aşağıdaki Korteweg-de Vries denklemi bulunur dU TTdU d3U n fr+xU-dt+aW = °- (13) Bu denklem katsayıların tanımına göre biri boyuna diğeri de enine olmak üzere iki denklemi karakterize etmektedir. Nonlineer Dalga Modülasyonu Bu kısımda içi akışkan ile dolu nonlineer viskoelastik ve elastik tüplerde zayıf nonlineer dalgaların genlik modülasyonu ayrı ayrı incelenmiştir. Akışkan ile dolu viskoelastik tüplerde nonlineer dalga modülasyonu : Bu problemde indirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılmıştır. Bu amaca yönelik olarak aşağıdaki koordinat dönüşümü tanımlanabilir £ = e{z-\t), t = e2t. (14) Burada A bir sabit olup daha sonra bu sabitin grup hızına eşit olduğu gösterilecektir. Alan değişkenlerinin (z, t) hızlı değişkenleri ile (£,r) yavaş değişkenlerinin fonksiyonu olduğu farzedilmiştir. Yukarıdaki koordinat açılımından faydalanarak türev ifadeleri aşağıdaki gibi verilebilir ~d~z^dz+edz ' dt~* dt~eX~di + e di- (15) Alan değişkenlerinin e cinsinden (7)'deki gibi asimptotik bir seriye açılabileceği varsayılmıştır. Bu çalışmada dissipasyonun zayıf olduğu kabul edilerek viskoelastik katsayılar e cinsinden aşağıdaki gibi alınmıştır Pi = Âe2. (16) (7) açılımları ve (14) dönüşümleri (1) ve (5) denklemlerinde yerine yazılır ve e'un çeşitli kuvvetlerine göre düzenlenirse bir diferansiyel denklemler hiyerarşisi elde edilir. Bu denklemlerin çözülmesiyle aşağıdaki dissipatif nonlineer Schrödinger denklemi elde edilir.dU + »ı^r + V2\U\2U + ipı3U==0. (17) Burada fj,\, \ı% ve /İ3 maddesel sabitlere ve ön şekil değiştirmelere bağlı bir kısım katsayılar olup ifadeleri ana metinde verilmiştir. Bu denklemin belli başlangıç koşulu altındaki sayısal çözümü Split Step Fourier yöntemi ile verilmiştir. içerisinde akışkan bulunan ince elastik tüplerde dalga modülasyonu : Bu kısımda akışkan ile dolu öngerilmeli ince elastik tüplerde zayıf nonlineer, fakat kuvvetli dispersif ortamlarda dalgaların yavaş değişen genliğinin yayılımı türev açılım yöntemi kullanılarak incelenmiştir. Bu amaçla koordinat ve türev açılımları aşağıdaki şekilde tanımlanabilir zn = enz, tn = ent, (n = 0,1,2,...), (18) dz £,' dzn ' dt ^ dtn liyj n=ü n=0 Bu durumda alan değişkenleri, genişletilmiş koordinatların fonksiyonu olarak kabul edilerek e cinsinden aşağıdaki gibi bir asimptotik seriye açılabilecektir = ^2enun(z0,zı,....;t0,t1,....), v = ^ envn(z0,z1,....;t0,....) n=l n=l 00 00 = J^ enwn(z0, zu....;t0,*ı,....), p = ^ enpn(z0,zı,..¦¦;t0,tı,....).(20) (19) ve (20) açılımları (3), (4) ve (5) denklemlerinde yerine yazılır ve e'un çeşitli kuvvetleri cinsinden denklemler sıfıra eşitlenirse, diferansiyel denklemler sistemi elde edilir. Bu denklemlerin çözülmesi ile aşağıdaki nonlineer Schrödinger denklemi bulunur dU d2U,,2 *fr+Vı-Qp+m\U\2U = 0. (21) Bu denklem katsayıların farklı ifadesine göre enine ve boyuna dalgalan karakterize eden iki tane denkleme karşı gelmektedir. Nonlineer Dalgaların Etkileşimi : Bu kısımda içerisinde viskoz olmayan akışkan bulunan öngerilmeli elastik tüplerde farklı dalga boylarında yayılan iki akustik dalganın etkileşimi incelenmiştir. Bunun için türev açılım yöntemi kullanılmıştır. Alan değişkenlerinin (20Vdeki gibi e cinsinden asimptotik bir seriye açılabilecekleri kabul edilip, (18) ve (19) koordinat ve türev açılımları (3), (4) ve (5) denklemlerinde kullanılırsa e'un çeşitli kuvvetleri cinsinden diferansiyel denklemler sistemi elde edilir. Sırasıyla 0(e), 0(e2) ve 0(e3) denklemleri çözülecek olursa aşağıdaki küple nonlineer Schrödinger denklemleri bulunur dU d2U i-^+Vı^ + ^lUfU + ^U'fu^O (22) ar ti a2 tji »' V + ^-^2+ ^u'\2u' + ^\u\2u' = °- (23)