FBE- Fizik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Yüksek Lisans
Bu koleksiyon için kalıcı URI
Gözat
Konu "Abelian Olmayan Berry Ayar Alanları" ile FBE- Fizik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Yüksek Lisans'a göz atma
Sayfa başına sonuç
Sıralama Seçenekleri
-
ÖgeDirac Parçacıklarının Yarı Klasik Kinetik Kuramı(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2015-06-25) Kılınçarslan, Eda ; Dayı, Ömer Faruk ; 10077774 ; Fizik Mühendisliği ; Physics EngineeringKütleli spin-1/2 parçacıkların hareketini ifade etmek için Dirac denklemi kullanılır. İkisi pozitif enerji, ikisi de negatif enerji çözümlerine ait olmak üzere Dirac denkleminin dört tane çözümü vardır. Kuantum mekaniksel olarak parçacıkların hareketi dalga paketi kurularak ifade edilmektedir. Fakat negatif enerji çözümlerinin de olması parçacık yorumunu zorlaştırır. Bu nedenle relativistik olmayan yarı klasik dinamiği, Dirac denkleminin pozitif enerji çözümlerini içeren dalga paketi oluşturarak elde edeceğim. Yarı klasik limit bazı kuantum mekaniksel etkileri daha iyi anlamak için yararlı olabilecek bir yöntemdir. Dirac denkleminde kütlesiz limite gidildiğinde kiral ya da Weyl parçacığı adı verilen parçacıkların hareketini ifade eden denklem elde edilmiş olur. Son zamanlardaki çalışmalarda, 3 + 1 boyutta, dış elektromanyetik alan nedeniyle oluşan anomali terimlerinin kiral parçacıklarının yarı klasik kinetik kuramında nasıl yerleştirilebileceği gösterilmiştir. Yüksek boyutta genelleştirilmiş hareket denklemlerinin, faz uzayı değişkenlerine bağlı çözümlerini de tam olarak veren yöntem matris değerlidir. Bu yöntemde diğerlerinden farklı olarak faz uzayı değişkenleri konum ve momentumdur, spine karşı gelen klasik bir nicelik yoktur. Klasik faz uzayı değişkenleri matris olmadıkları halde hareket denklemleri ile bulunan hız değişkenleri matris değerlidir. Matrislerin "spin indisleri" farklı pozitif çözümlere karşılık gelir. Kiral kinetik kuramının yarı klasik formalizminin en önemli bileşenlerinden biri kuantum mekaniksel bir faz faktörü olan Berry fazını veren Berry ayar alanlarıdır. Kuantum mekaniksel bir sistemde, Hamilton yoğunluğunun bağlı olduğu dış parametreler, bunlar elektrik ve manyetik alan olarak düşünülebilir, çok yavaş değiştirildiğinde adiyabatik kurama göre, sistemin kuantum durumu değişmez. Burada bahsedilen yavaş değişim, parametrelerin çevrimsel bir eğri üzerinde hareket etmesi olarak ifade edilebilir. Bu kapalı eğri tamamlandığında sistemdeki durum vektörü bir faz kazanır. Bu faz dinamik ve geometrik iki kısımdan oluşmaktadır. Adiyabatik değişim altındayken, durum vektörünün kazandığı geometrik faz çarpanına Berry fazı denir. Berry ayar alanlarının eğriliği kuantum mekaniksel bir faz çarpanı olan Berry fazını verir. Bu yöntemle birinci derece Lagrange yoğunluğu ile yarıklasik Hamilton dinamiğini elde etmek için ilk olarak yarı klasik blok köşegen Hamilton yoğunluğu verilmelidir. Yarı klasik Hamilton yoğunluğunu köşegenleştirecek uniter matris dönüşümünün Planck sabiti bölü 2pi, h-bar, ye göre birinci mertebe tüm terimleri verecek şekilde yazılması gerekir. Dalga paketi ve diferansiyel formlar kullanılarak Dirac parçacıklarının yarı klasik kinetik kuramı elde edilebilir. Bu yöntemin bazı avantajları bulunmaktadır. Öncelikle, formalizmde spin özgürlük derecesine karşılık gelen klasik bir nicelik bulunmadığı için hareket denklemlerinin faz uzayı hızlarının faz değişkenleri cinsinden veren çözümleri açıkça bulunabilir. Böylece parçacık akısı rahatlıkla yazılabilir. Tez kapsamında, öncelikle elektromanyetik alan içindeki kütleli spin-1/2 parçacıklar için Dirac Hamilton yoğunluğunu blok köşegen hale getireceğim. Dalga paketi ve diferansiyel form yöntemiyle hareket denklemlerini ve çözümlerini bulacağım. Burada faz uzayı değişkenlerinin hız denklemi çözümleriyle hesaplanan, hız denklemlerinin faz uzayı değişkenlerine bağlı çözümleridir. Bu denklemlerin elde edilişi sırasında denklemlerimizin içine Berry ayar alanlarının girdiğini göreceğiz. Daha sonra yarı klasik Dirac parçacıkları için dağılım fonksiyonunu uygun bazda yazıp süreklilik denklemini bulacağım. Kütleli fermiyonlar için elde ettiğim hareket denklemlerinin çözümlerinde kütlesiz limite giderek ve baz değiştirerek elektromanyetik alandaki Weyl parçacıklarının hareket denklemlerinin çözümlerine ulaşacağım. Thomas presesyonun ne olduğunu anlatıp incelediğim yarı klasik formalizmde Thomas presesyonunun elde ettiğim hız denklemlerine nasıl bir katkı yapacağını inceleyeceğim. Son olarak ise elektromanyetik alan altındaki yarı klasik Dirac parçacığının spinin zaman içindeki değişimini veren denklemi bulacağım. İlk kısımda, Gosselin-Berard-Mohrbach yöntemini kullanarak elektromanyetik alanda hareket eden kütleli parçacıklar için yarı klasik blok köşegen Hamilton yoğunluğunu hesaplayacağım. Bu yöntem birkaç adımdan oluşmaktadır. Hesaplanacak olan Hamilton yoğunluğunun h-bar ye göre birinci dereceden olan tüm terimleri içermesini istiyorum. Elektromanyetik alan altındaki Hamilton yoğunluğunun bağlı olduğu değişkenleri, x ve p yi, birbirleriyle komute edecek şekilde aldığınızda Hamilton yoğunluğu klasik bir büyüklüktür olur. Klasik Hamiltonyeni köşegenleştirmek için uniter Foldy-Wouthuysen dönüşümleri, UFW, kullanılır. Yarı klasik blok köşegen Hamilton yoğunluğunu hesaplamak için, Hamilton yoğunluğunun klasik faz uzayı değişkenleri x ve p yerine birbirleriyle komute etmeyen kuantum mekaniksel faz uzayı operatörleri olan (P; R) ye bağlı olduğunu düşünelim. Bu durumda Foldy-Wouthuysen dönüşümleri uniter olmaktan çıkarlar ve uniterliği sağlamak için birinci mertebe h-bar içeren bir terim eklemek gerekir. Bu durumu şöyle ifade edebiliriz: UFW --> UFW +X UFW: Buradaki X Berry ayar alanlarına bağlıdır. Sonraki aşamada ise yeni dönüşüm kullanılarak birinci derece h-bar mertebesinde olan tüm terimleri içeren yarı klasik blok köşegen Hamilton yoğunluğu tam olarak hesaplanmış olur. Fakat blok köşengenleştirme işlemi sırasında Hamilton yoğunluğunun bağlı olduğu faz uzayı değişkenlerinin cebri non-komutatif olur. Hesaplanmış olan Hamilton yoğunluğu tezimin bir sonraki kısımlarındaki hareket denklemlerinin çözümünde ve spinin zaman içindeki değişiminin hesabında kullanılacaktır. Tezin ikinci kısmında, yarıklasik yöntemde tek parçacık durumunu ifade edebilmek için Dirac denkleminin pozitif enerji çözümlerinden oluşan bir dalga paketi kuracağım. Kurulan dalga paketi ile yarıklasik birinci derece Lagrange yoğunluğuna karşılık gelen h bir-form elde edilir. Sonraki bölümde ise bir-form h aracılıg˘ıyla simplektik iki-form w˜ olus¸turulur. Bu spin indisleri ile yazılan bir matristir. Berry ayar alanı içeren w˜ Hamilton formalizmini elde etmek için kulanılır. Simplektik iki-form üzerinde diferansiyel yöntem olan matris değerli vektör alanının iç çarpım işlemi yapılarak hareket denklemleri elde edilmiş olur. Dirac parçacıklarının hızları için hareket denklemi çözümlerine ise yine bir diferansiyel form yöntemi olan Lie türevi işlemiyle ulaşılır. Bu bölümde, hareket denklemi çözümlerini iki ayrı işlemin sonuçlarını karşılaştırarak hesapladım. Bunların ilki, 3+1 uzayzaman boyutu için tanımlanan hacim formun Pfaffian matrise bağlı olarak yazılmasıdır. Pfaffian matris bir kare matris için determinantının karekökü olarak tanımlanır. Diğer yol xviii ise, yine 3+1 uzayzaman boyutu için, hacim formu simpletik iki-forma bağlı olarak tanımlamaktır. Hareket denklemi çözümlerine, iki farklı terimle belirlenmiş hacim formun Lie türevlerinin hesaplanması ve elde edilen denklemlerin karşılaştırılmasıyla ulaşılır. Kütleli, spin-1/2 parçacıklar ile çalışmama rağmen kullandığım yarıklasik yöntemde spine karşılık gelen klasik serbestlik derecesi yoktur. Sistemdeki hız ifadeleri matris değerli olduklarından bulduğum parçacık akım yoğunluğu da matris değerlidir. Buradaki önemli nokta, serbest Dirac parçacığı için spin korunumlu bir büyüklük olmamasına rağmen helisite operatörü korunumlu bir büyüklüktür. Bu nedenle helisite operatörünü kullanarak bir spin akısı türetilebilir. Dağılım fonksiyonu ve süreklilik denklemi başlığındaki kısımda, parçacıkları sağ elli ve sol elli olmak üzere iki kısma ayırarak dağılım fonksiyonunu elde etmek istiyorum. Bu nedenle dağılım fonksiyonunu köşegen olarak yazmak için sistemimdeki bazı değiştirerek helisite bazına geçeceğim. Daha sonra ise helisitenin köşegen olduğu bazda kurduğum dağılım fonksiyonunu ters dönüşüm ile ilk bazda ifade edeceğim. Kütleli fermiyonlar için sağ elli ve sol elli parçacıklar dengede olduğundan dağılım fonksiyonunun ilk bazda da köşegen olarak ifade edilebileceğini göstereceğim. Bu bölümde son olarak ise süreklilik denklemini türeterek kütleli fermiyonların süreklilik denklemini sağladığını göstereceğim. Önceki bölümlerde Dirac parçacıklarının hızları için hareket denklemlerinin çözümlerini, kütleli fermiyonların dağılım fonksiyonunu ve süreklilik denklemini elde ettim. Bu işlemlerin ardından ise Dirac parçacıklarının hızları için bulunan hareket denklemlerindeki tüm ifadeleri helisite bazında yazarak kütlesiz limitini hesaplayacağım. Böylece kütlesiz fermiyonlar için hareket denklemlerinin çözümünü elde edeceğim. Ayrıca, kütlesiz fermiyonların parçacık akısını ve süreklilik denklemlerini bulacağım. Dirac parçacıklarının aksine, süreklilik denklemini sağlamadıklarını ve anomaliye sahip olduklarını göstereceğim. Dalga paketi yöntemiyle Dirac parçacıkları için elde edilen hareket denklemi çözümlerindeki hız ifadeleri Berry eğriliği terimlerini içeren "anormal hız" terimlerine sahiptir. Oysa, Dirac parçacıklarının kovaryant formalizmi ile elde edilen hareket denklemlerinde Thomas presesyonu nedeniyle anormal hız terimleri yoktur. Thomas presesyonu spin matrisinin relativistik olmayan hareket denklemlerinde bir kinematik düzeltme terimi olarak bulunmuştur. Bununla birlikte Thomas presesyonu faz uzayı değişkenlerinin hareket denklemlerine katkı sağlamalıdır. Diferansiyel form ve dalga paketi formalizmi ile kurduğum relativistik olmayan sistemin, Thomas dönmesi katkısını içermemesi beklenen bir durumdur. Bu durumu düzeltmek için yarıklasik formalizmine Thomas dönmesi yerleştirilmelidir. Thomas presesyonu bir Lorentz ötelemesinin ard arda uygulanan iki Lorentz ötelemesi ve dönme ifadesi cinsinden yazılmasından kaynaklanır. Buradaki dönme ifadesine aynı zamanda Thomas dönmesi de denilmektedir. Bu sayede Dirac denklemini kullanmadan elektronun spinin zamana göre değişiminin ifadesi doğru bir şekilde hesaplanabilmektedir. Kullandığım yarı klasik yöntemin Thomas presesyonun katkısını hesaplamak için çok uygun olduğunu göreceğim. Thomas dönmesini ve sistemime nasıl bir katkı verdiğini bularak, momentumun yüksek mertebe katkısını ihmal ettiğimde anormal hız terimlerinin kaybolduğunu göstereceğim. Bu sonuç ilk defa bu tezde bulunmuştur. Thomas presesyonu katkısının incelenmesinin ardından spin matrislerinin zaman içindeki değişimi hesaplanacaktır. Kullandığım yöntemde spin matrisleri Pauli spin matrisleri ile ifade edilmektedirler ve faz uzayı yöntemi spinin hareketlerini belirlemez. Bu nedenle spin hareket denklemleri başka yöntemlerle bulunmalıdır. Bunun için blok köşegen Hamilton yoğunluğunu bulmakta kullandığım Gosselin-Berard-Mohrbach yöntemini kullanacağım. O formalizmde uniter dönüşüm sonrası faz uzayı işlemcileri non-komütatif olurlar. Dolayısıyla Pauli matrisleri ile de komüte etmezler. Bu katkılar göz önüne alındığında Gosselin-Berard-Mohrbach yöntemiyle elde ettiğim sonucun, elektromanyetik alanda hareket eden elektronun spininin zaman içindeki değişimini veren Bargmann-Michel-Teledgi denklemiyle aynı sonucu verdiğini göstereceğim. Tezin son bölümünde ise elde ettiğim sonuçlar ve bazı uygulamaları tartışılmıştır.