FBE- Fizik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Doktora

Bu koleksiyon için kalıcı URI

http://hdl.handle.net/11527/38

Gözat

Konu "alan teorik renormalizasyon" ile FBE- Fizik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Doktora'a göz atma
  • Öge
    Spektral Renormalizasyon Grubu İle Ölçek Envaryant Çizgeler Üzerinde Kritik Üstellerin Hesaplanması
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2016-06-20) Özdemir, Aslı Tuncer ; Erzan, Prof Ayşe ; 10104145 ; Fizik Mühendisliği ; Physics Engineering
    Wilson-Kogut alan teorik renormalizasyon grubu, keyfi çizgelere uygulanabilir biçimde genelleştirilmeye çalışılmıştır. Wilson tipi renormalizasyon yönteminde, düzen parametresi yoğunluğunun kısa erimli dalgalanmalara karşı gelen, göreceli olarak küçük dalgaboyuna sahip alan bileşenleri elimine edilir. Bunun için bir $b$ ölçeklenme parametresi ile bölüşüm fonksiyonu, $0\le k\le \Lambda/b$ aralığında kısa ve $\Lambda/b \le k\le \Lambda$ uzun dalgaboylu bileşenlerine ayrılarak yeniden yazılır ve ilk olarak uzun erimli dalgalanmalar üzerinden entegral alınarak bu dalgalanmalar elimine edilir. Daha sonra ölçeklenme faktörleri ile beraber orjinal formuna getirilen hamiltonyende, $k^2$ teriminin katsayısı sabit tutularak ölçeklenme faktörleri elde edilir. Wilson tipi renormalizasyon grubu ile Gaussiyen model için kesin çözüm yapılabilmektedir. Ancak Etkileşim terimlerinin dahil edildiği durumda pertürbatif yaklaşım kullanılmaktadır.  Metrik bir uzaya gömülü olmayan çizgelerde, komşu düğümler arasındaki kenarlar bir "uzaklık" bilgisinden yoksundur. Çizgenin düğüm noktaları arasındaki mesafe, uzunluk ile değil, bir düğüm noktasından diğerine giderken arada kaç kenar olduğu ile ilişkilidir. Bizim çalıştığımız, uzaysal olmayan ve öteleme simetrisi bulunmayan çizgeler için, Wilson'ın periyodik örgülerde yaptığından farklı olarak, çizge momentum vektörü, {\bf k}, gibi bir kavram tanımlayamıyoruz. Renormalizasyon grubunun sıcaklık uzamındaki özdeğerini, uzunluk ölçeklenmesi altında korelasyon uzunluğu kritik üstelinin tersi cinsinden ifade etmek de mümkün olmayacağından, bir uzunluk kavramı içermeyen RG geliştirmeye çalışılmıştır.  Çizge üzerinde yaşayan bir istatistiksel alanın, çizge Laplasyeninin özvektörleri cinsinden açılımını, genelleştirilmiş bir Fourier dönüşümü yaparak elde ediyoruz. Çizge Laplasyeninin özdeğerlerini büyükten küçüğe doğru elimine ederek, yeniden ölçeklenmiş etkin Hamiltonyenden kritik üstelleri hesaplamak için kullanacağımız ölçeklenme faktörlerini elde ediyoruz. Öteleme simetrisi olmayan iki farklı çizge kullanarak (elmas örgü ve Cayley ağacı), Gaussiyen model ve ötesinde (etkileşim terimlerini, ikinci mertebeye kadar pertürbasyon açılımı yaparak elde ettiğimiz etkileşim terimlerini dahil ederek) kritik davranışı elde ettik. Öteleme simetrisi olmayan elmas örgü ve Cayley ağacı yanında, $d=2$ ve $d=3$ boyuta sahip periyodik örgüler için de Gaussiyen model sonuçlarını bulduk. Spektral renormalizasyon grubu ile elde ettiğimiz Gaussiyen model sonuçlarını sonlu boyut ölçeklenmesi (finite size scaling) yöntemi ile karşılaştırıp kontrol ettik. Sistemin yeterince büyük olmaması durumunda, kritik bölgenin dışına düşerek, yanlış ölçeklenme davranışını gözlemleme ihtimaline karşı sonlu boyut ölçeklenmesi kullanılmaktadır. Serbest enerjinin sıcaklığa göre ikinci türevini alarak elde ettiğimiz özgül ısının baskın terimi üzerinden alınan tam toplam ile sonlu boyut ölçeklenmesini, sistemin boyutu yerine çizgedeki toplam düğüm noktası sayısını kullanarak, keyfi çizgelere uyarladık ve nümerik hesaplarımızda erişebildiğimiz düğüm sayıları için doğru ölçeklenme davranışını elde edebildiğimizi gösterdik.  Bir sistemin hangi evrensellik sınıfına dahil olduğunun belirlenmesinde rol oynayan iki önemli parametre, spin boyutu ve sistemdeki etkileşimlerin (en yakın komşu etkileşmesi vs.) tanımıdır. Bir çizgenin içine gömülü bulunduğu uzayın boyutu (öklidyen boyut), çizgenin fraktal veya spektral boyutu tanımlanabilmektedir. Periyodik örgülerde bu boyutlar birbirine eşittir. Ancak, keyfi çizgelerde bunlar her zaman eşit olmadığı için, çizgenin üzerindeki istatistiksel modelin kritik davranışını belirleyen boyutun hangisi olduğu ve evrensellik sınıfını belirlemek için hangi boyutun alınacağına açıklık getirmeye çalıştık. Kritik bölgede büyük dalgaboylu dalgalanmalar belirleyici olmaktadır. Gaussiyen model için de kritik üstellerin, çizge Laplasyeninin küçük özdeğer bölgesindeki ölçeklenme davranışına bakarak hesapladığımız, ve $\tilde d$ ile göstereceğimiz, spektral boyuta bağlı olduğunu bulduk. Ancak etkileşimlerin dahil edildiği teoride, etkileşim terimleri Laplasyen özvektörleri üzerinden hesaplandığı ve özvektörler de çizgenin simetri özelliklerini barındırdığı için, kritik üsteller çizgenin simetri özelliklerine sıkı biçimde bağlı olmaktadır.  Çiftlenim sabitlerinde (coupling constants) ikinci mertebeye kadar pertürbasyon açılımı ile, etkileşen teorinin renormalizasyon davranışını araştırdık. Gaussiyen model hamiltonyenine dördüncü mertebeden etkileşim terimlerini ekleyerek, Gaussiyen teoriden, Ising evrensellik sınıfına geçtik. Ising simetrisine sahip modeller için alt kritik boyut $\tilde d=2$ olduğundan, Cayley ağacı ve elmas örgüde ikinci mertebeden pertürbasyon teorisi, $\tilde d=2$ için Gaussiyen sabit noktasının haricinde bir sabit nokta vermemektedir.  Ising evrensellik sınıfı sonuçlarına ulaşamadığımız için, spektral boyutu farklı hiyerarşik örgüler elde etme yoluna gittik. Elmas örgünün genelleştirilmesi ile spektral boyutu $2