FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Yüksek Lisans
Bu koleksiyon için kalıcı URI
Gözat
Yazar "Aydınlık, Soner" ile FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Yüksek Lisans'a göz atma
Sayfa başına sonuç
Sıralama Seçenekleri
-
ÖgeChebyshev Sonlu Farklar Yöntemi İle Adi Türevli Yüksek Mertebe Başlangıç Ve Sınır Değer Problemlerinin Çözümü(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2016-01-22) Aydınlık, Soner ; Kırış, Ahmet ; 10099604 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematical EngineeringBu çalışmada adi türevli yüksek mertebeden başlangıç ve sınır değer problemlerinin çözülmesi amaçlanmaktadır. Yüksek mertebeden sınır değer problemleri uygulamalı mekaniğin birçok mühendislik probleminde ortaya çıkmaktadır. Adi türevli yüksek mertebe diferansiyel denklemlerin çözümü için global faz-integrasyon, Adomian-ayrıştırma, ”The new-iterative”, diferansiyel dönüşüm, diferansiyel kuadratik kuralı, homotopi analiz, homotopi pertürbasyon, Spline ve Laplace ayrıştırma gibi çeşitli yöntemler kullanılmaktadır. Bu yöntemlerden Adomian yöntemi karmaşık Adomian polinomlarının hesabını, homotopi yöntemleri sağlanması gereken birçok koşulu ve uygun parametrelerin bulunmasını gerektirmekte ve hemen hepsi Chebyshev polinomlarına göre daha fazla CPU zamanına ihtiyaç duymaktadır. Chebyshev polinomları sürekli fonksiyonlar uzayı üzerinde tam ortogonal bir küme oluşturmakta verekürsif ilişkileri kolayca elde edilebilmesi nedeniyle özellikle türev ve integralleri istenilen mertebeden rekürsif olarak hesaplanabilmektedir. Chebyshev polinomları aynı dereceden diğer polinomlara göre verilen aralıkta maksimum hatası minimum olan en uygun yaklaşım polinomlarıdır. Chebyshev sonlu farklar yöntemi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünde sıklıkla kullanılan fonksiyonlardan biridir. Bu yöntemde diferansiyel denklem hangi mertebeden olursa olsun yaklaşım polinomunun denklemde görünen mertebeden türevleri hesaplanmakta ve bu türevler diferansiyel denklemde kullanılarak, denklem, lineerse lineer denklem sistemine, nonlineer ise nonlineer denklem sistemine indirgenmekte, dolayısıyla buradaki tek problem nonlineer denklem sisteminin çözümü olmaktadır. Ayrıca bu yöntem ile birçok sayısal yöntemde olduğu gibi çözüm aralığının sadece belirli noktalarında değil, tüm aralık boyunca geçerli bir yaklaşım polinomu olarak elde edilir. Chebyshev sonlu farklar yöntemi ile birinci ve ikinci mertebe başlangıç veya sınır değer problemlerinin çözümü literatürde sıklıkla görülmektedir. Nadiren birkaç problemde ise ortaya çıkan üçüncü mertebeden diferansiyel denklemler Chebyshev yaklaşım polinomunun 3. mertebeden türevi için ardışık toplam sembolleri kullanılarak çözülmüştür. Bu mantık . mertebeden türev için ardışık tane toplam sembolü kullanılmasını gerektirmekte ve her toplamda içerideki ifade de değişeceğinden, programlamada güçlüklere neden olmaktadır.Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler, rekürsif bir ilişkinin var olmasına rağmen bu rekürsif ilişkinin giderek karmaşıklaşması nedeniyle Chebyshev sonlu farklar yöntemi kullanılarak çözülememektedir. Bu tez çalışmasında Chebyshev polinomlarının her mertebeden türevleri için var olan rekürsif ilişki yerine genel bir formül üretilmiştir. Üretilen bu genel formül ile Chebyshev sonlu farklar yöntemi her mertebeden adi türevli başlangıç veya sınır değer problemine uygulanabilir hale getirilmiş ve bu yöntem uygulanarak problemler lineer veya nonlineer denklem sistemlerine indirgenmiş, bunların çözümünden de diferansiyel denklemin çözümü olarak yaklaşım polinomları elde edilmiştir. Çalışma kapsamında, bu genel türev formülü yardımıyla genelleştirilen Chebyshev sonlu farklar yöntemi farklı yüksek mertebelerden aditürevli lineer sistemlere, başlangıç ve sınır değer, Robin sınır değer, karışık sınır değer problemleri ile nonlineer sistemlere uygulanmıştır. Elde edilen sayısal çözümler ile, analitik çözümler karşılaştırılmış ve yaklaşım polinomunun terim sayısındaki artışla birlikte sayısal çözümlerin hızla analitik çözümlere yakınsadığı grafiklerle gösterilmiştir.