Nanoteknolojide eğri eksenli çubukların düzlem içi davranışları için bir sonlu eleman formülasyonu

Abstract

Nanoteknoloji, özellikle son yıllarda hayatımızın her alanında kendine yer bulmaktadır. Bu araştırma alanının gelişmesi sayesinde, geleneksel malzemelere kıyasla fiziksel, kimyasal ve elektriksel yönlerden daha üstün davranış gösteren malzemeler geliştirilmiştir. En iyi bilinen örnekleri karbon nanotüp ve grafen levha olan bu üstün nitelikli malzemelerin mekanik özelliklerinin tespitine ve bu malzemelerden yapılan mühendislik yapılarının tasarımına günümüzde sıklıkla ihtiyaç duyulmaktadır. Bu sebeple, malzemelerin ve yapıların nano ölçekte davranışlarını inceleyen nanomekanik adı verilen bir çalışma alanı ortaya çıkmıştır. Mühendislik yapılarının tasarımında ve modellenmesinde sıklıkla kullanılan yapısal elemanlardan olan çubuklar, nano ölçekteki yapılarda da kullanılmaktadır ve nanomekaniğin ana inceleme konularından birini oluşturmaktadırlar. Ana olarak makina mühendisliğinin uygulama sahasına giren bu yapıların mühendisler tarafından statik ve dinamik analizinin yapılması önem arz etmektedir. Genellikle klasik (yerel) elastisite teorisinin kullanıldığı çalışmalarda, atomlar arasındaki boşlukların etkilerinin ihmal edilebilecek kadar az olduğu kabul edilmektedir. Ancak, çalışma ölçeğinin nanometre mertebelerine inmesiyle, bu boşlukların etkisi artık göz ardı edilemeyecek seviyelere çıkmaktadır. Böyle durumlarda, boşlukların etkisini ihmal eden klasik (yerel) elastisite teorisinin yerine yerel olmayan elastisite teorisinin kullanılması daha doğru sonuçlar vermektedir. Bu çalışmada, eksenel uzama, kayma deformasyonu ve dönme eylemsizliği etkilerini dikkate alan eğri eksenli Timoshenko nanoçubuklarının, düzlem içi statik ve dinamik davranışlarının analizi için yerel olmayan elastisite teorisi kullanılarak elde edilmiş kesin analitik çözümlere dayalı bir sonlu eleman formülasyonu geliştirilmiştir. Yukarıda değinilen kapsamıyla bir ilk olma özelliği taşıyan bu formülasyonda, yerel olmayan elastisite teorisi ile elde edilmiş kesin analitik çözümlerinden hareketle katılık (rijitlik) ve kütle matrisleri elde edilmiştir. Geliştirilen sonlu eleman formülasyonundan elde edilen sonuçlar, literatürdeki çalışmalarla karşılaştırılmıştır. Bu bağlamda, birinci bölüm, nanoçubukların günümüz mühendislik bilimi içerisindeki yerine ve uygulama alanlarına dair bilgileri, gerçekleştirilen tezin amacını ve kapsamını içermektedir. İkinci bölümde, nispeten yakın bir geçmişe sahip olan nanoçubuklar hakkında bir literatür araştırması sunmaktadır. Literatür araştırması, nanoçubukların statik ve dinamik davranışlarını yerel olmayan elastisite teorisi ile inceleyen çalışmalar kapsamıyla sınırlı tutulmuştur. Gerçekteştirilen literatür araştırması, analitik ve sonlu eleman yaklaşımları olmak üzere iki alt grup olarak sunulmuştur. Üçüncü bölümde, bu çalışmaya temel teşkil eden, nanoçubukları yerel olmayan elastisite teorisi perspektifiyle inceleyen analitik yaklaşıma yer verilmiştir. Bu bölümde, yerel ve yerel olmayan elastisite teorileri arasındaki ilişkilere, varsayımlara ve kesin analitik çözümü elde etmek için başlangıç değerleri yönteminin kullanımına değinilmiştir. Bu bölümde açık ifadeleri verilen yer değiştirme alanları, bir sonraki bölümde şekil fonksiyonları olarak kullanılmıştır. Dördüncü bölüm, şekil fonksiyonu olarak kesin analitik çözümleri kullanan bir sonlu eleman formülasyonu sunmaktadır. Bu bölümde, rijitlik matrisi, ilk olarak literatürde "direkt metot (direct method)" olarak geçen yöntemle formüle edilmiştir. Ardından, kütle matrisi, dönme eylemsizliğinin göz önünde bulundurulduğu durum için formüle edilmiştir. Son olarak, elde edilmiş rijitlik ve kütle matrislerinin, Hamilton Prensibi olarak adlandırılan varyasyonel yaklaşımla da elde edilebileceği gösterilmiştir. Beşinci bölümde, geliştirilen sonlu eleman formülasyonu, sayısal örneklerle doğrulanmıştır. Literatürdeki statik ve dinamik örnekleri içeren bu bölümde, sonlu eleman yaklaşımıyla elde edilen sonuçlar, analitik ve sayısal çalışmalarla karşılaştırılmıştır. Altıncı bölümde genel bir değerlendirme yapılmış ve gelecek çalışmalar için çeşitli önerilerde bulunulmuştur. Yapılan bu çalışmanın, eğri eksenli nanoçubuklar ile ilgili yapılacak çalışmaların gelişmesine katkı sağlayacağına ve önerdiği formülasyon sayesinde bu çubukların statik ve dinamik davranışının incelenmesini içeren tasarım süresinin kısaltılmasına önemli ölçüde yardımcı olacağı düşünülmektedir.