Bilgisayarlı Hesaplama Yöntemleri İle Beş Boyutlu Uzayzamanlarda Dalga Denklemlerinin İncelenmesi

Abstract

Genel görelilikte kullanılan instantonlar, Yang-Mills denklemlerinin sonlu eylem çözümleri olan Yang-Mills instantonlarına karşılık gelen çözümlerdir. Weierstarss’ın genel yerel en-küçük yüzeyler çözümü, genel bir instanton metriği verir. Nutku helikoit metriği de bu genel metriğin helikoit en-küçük yüzeyine karşılık gelen özel bir durumudur. Dirac ve Laplace denklemleri dört boyutlu durumda Mathieu fonksiyonları cinsinden çözülebilir. Bir zaman koordinatı metriğe doğrudan eklenirse çözümler, literatürde yüksek boyutlu çözümlerde karşılaşılan çift konfluent Heun fonksiyonları olurlar. Bir dönüşüm yardımıyla Mathieu denkleminin tekillik yapısı elde edilir. Beş boyutlu durum, bu dönüşüm sayesinde Mathieu fonksiyonları cinsinden ifade edilebilir. Zaman koordinatından gelen ek terimle birlikte, radyal ve açısal kısımlar değişik sabitler içerdiğinden, dört boyutlu durumdaki gibi bir ilerletici yazmak için bu fonksiyonların toplanması oldukça zorlaşır. Metriğin orijinde bir eğrilik tekilliğine sahip olması, bu bölgenin dışarılanmasını gerektirir. Bu da uygun sınır koşullarının kullanımını önemli kılar. Tek sayılı boyutlarda, Atiyah, Patodi ve Singer tarafından tanımlanmış olan yerel olmayan spektral sınır koşulları, topolojik engeller sebebiyle zorunludur. Çift sayılı boyutlarda yerel sınır koşulları kullanılabilse de, Dirac operatörünün gama-5 ve yük eşleniği simetrilerinin korunması isteniyorsa yerel olmayan spektral sınır koşulları kullanılmalıdır. Bu problemde sınır koşulları uygulanırken Atiyah-Patodi-Singer formalizmi kullanılmıştır. Manifoldun sınırında yazılan denklemler, sınır tanımlanmadan yazılan denklemlerden daha tekildir ve bu da çözümü zorlaştırır. Bilgisayar, denklemlerin çıkarılması ve analizlerinde yoğun olarak kullanılmıştır. Newman-Penrose formalizmini kullanan bir Maple paketi, çalışmadaki analitik hesapları yapmak için geliştirilmiştir. Paket ayrıca instanton metrikleri için tam bir Newman-Penrose hesaplayıcısı olarak kullanılabilir.

Instanton solutions of general relativity are the counterparts of Yang-Mills instantons which are finite-action solutions of the Yang-Mills equations. Nutku s helicoid metric is a special case which corresponds to the helicoid minimal surface of Weierstrass general local solution of minimal surfaces. Dirac and Laplace equations can be solved in terms of Mathieu functions in the four dimensional case. If a time coordinate is added to the metric, the solutions become double confluent Heun functions which are known to arise in higher dimensional solutions. Mathieu equation is obtained by a transformation. The main difference between the two cases is that, the constants of the radial and angular parts are different, modified by the presence of the new term coming from the time-dependence, which makes the summation of these functions to form the propagator quite difficult. The metric has a curvature singularity at the origin. Therefore, the usage of the appropriate boundary conditions is important. We excise the singular point. In odd dimensions, using the non-local spectral boundary conditions which are described by Atiyah, Patodi and Singer is obligatory because of topological obstructions. These boundary conditions are also the only ones which conserve gamma-5 and charge conjugation symmetries of the Dirac operator in even dimensions. The Atiyah-Patodi-Singer formalism is used to impose boundary conditions in this problem. The equations written on the boundary of the manifold are more singular than the ones in the bulk and this makes the solution more difficult. A Maple package using the Newman-Penrose formalism is developed for computations.