Düzensiz örneklemeli sistemlerin kontrolü

Abstract

Günümüzde farklı fiziksel konumlarda bulunup sınırlı bant genişliği üzerinden birbirlerine veri aktaran sistemler hızla yaygınlaşmaktadır. Bu sistemler sağladığı avantajların yanı sıra birçok kontrol problemini de beraberinde getirmektedir. Bu sistemlerin mimarisinin doğası gereği geri besleme sinyalinin ölçüm zamanı ya da bilginin iletilme zamanı düzensiz ve beklenmedik bir şekilde gerçekleşmektedir. Son yıllarda bu konuda yapılan yayın sayısının ciddi biçimde artması, konunun öneminin giderek arttığını göstermektedir. Zamanla değişmeyen sürekli bir sistemin düzensiz örnekleme altında ayrıklaştırılmış modeli, zamanla değişen ayrık bir sistem ile ifade edilebilmektedir. Bu da klasik bilgisayarlı kontrol teorisindeki sonuçların geçerliliğini yitirmesine neden olmaktadır. Örneğin, ayrık bir sistemin kararlılığını göstermekte kullanılan sistem matris özdeğerlerinin birim çember içinde olması koşulu, düzensiz örneklemeli bir sistemin kararlılığını garantilememektedir. Düzensiz örneklemeli sistemleri kararlı kılan kontrolörlerin bulunması bu tezin ana problemini oluşturmaktadır. Ayrıca, bulunan kontrolörün zaman gecikmesine sahip sistemlerin kararlı kılınması ve çok etmenli sistemlerin uzlaşımı problemlerine uygulanabilirliği araştırılmıştır. Düzensiz örneklemeli sistemler için ele alınan problemlerin çözümünde zamanla değişen ve parametre ile değişen sistemlere ek olarak, benzer matematiksel problemleri çözmeyi hedefleyen karma sistemler, olay tetiklemeli sistemler ve anahtarlamalı sistemlerin literatüründen de faydalanılmaktadır. Bu sistemlerin kararlı kılınması ve kontrolü için literatürde onlarca yöntem bulunsa da en sık başvurulan yöntemlerden birisi ortak karesel Lyapunov fonksiyonu bulma yöntemidir. Bu yöntemde, zamanla değişen sistem matrislerinin tamamı için ortak olan karesel bir Lyapunov fonksiyonu bulunması ile kararlı kılan kontrolör sentezi yapılabilmektedir. Bu tez kapsamında, ortak karesel Lyapunov fonksiyonu bulma yöntemi farklı bir bakış açısıyla ele alınarak bu yönteme eşdeğer başka bir yöntem geliştirilmiştir. Geliştirilen bu yöntemde, zamanla değişen sistem matrislerinin tamamını daralma haline getiren, yani sistem matrislerinin en büyük tekil değerlerini 1'den küçük yapan, ortak bir benzerlik dönüşümü bulunmasıyla kararlılık sağlanmaktadır. Literatürde küçük örnekleme aralığı yaklaşıklığı kullanan bir teorem genişletilerek bu yöntem ile kararlı kılan bir kontrolün her zaman var olduğu kanıtlanmıştır. Ayrıca, kararlılığı gösteren ortak benzerlik dönüşüm matrisinin bulunması ile ilgili üç farklı yöntem geliştirilmiştir. Bahsedilen varlık koşulu kullanılarak farklı tekniklerle kararlı kılan kontrolörler sentezlenmiştir. Kararlı kılan kontrolör sentezi için kullanılan ilk yöntem literatürde iyi bilinen dijital yeniden tasarım yöntemidir. Bu yöntemde düzensiz örneklemeli sistemin durum yanıtı, sürekli sistemin kapalı çevrim durum yanıtına eşitlenmeye çalışılmaktadır. Literatürde var olan bir dijital yeniden tasarım yöntemi düzensiz örneklemeli sistemler için genişletilerek kararlı kılan kontrolör sentezinde kullanılmıştır. Ayrıca, kararlılığın sağlandığı en büyük örnekleme aralığı için bir üst sınır verilmiştir. Kararlı kılan kontrolör sentezi için bir başka yöntem yine literatürde iyi bilinen özdeğer atama yöntemidir. Bu yöntem ile kapalı çevrim sistem matrisinin özdeğerleri istenen sistem davranışını sağlayacak biçimde yerleştirilmektedir. Düzensiz örneklemeli sistemler için zamanla değişen sistem matrislerinin özdeğer yerleri kararlılık analizi için yeterli olmasa da bu tezde tek bir girişe sahip sistemler için özdeğer atayan kontrolörün kararlılığı garantilediği maksimum örnekleme aralığının var olduğu kanıtlanmıştır. Literatürde başka bir örneğine rastlanmayan tekil değer atama ile kararlı kılma yöntemi bu tez kapsamında geliştirilmiştir. Bu yöntemde kararlılığın garantilenmesi için zamanla değişen kapalı çevrim sistem matrislerinin tekil değerleri ortak bir benzerlik dönüşümü altında 1'den küçük olacak biçimde atanmaktadır. Ayrıca, kararlılığın sağlandığı en büyük örnekleme aralığı için bir üst sınır verilmektedir. Geliştirilen bu sentez yöntemlerinin ortak rasyonel böleni olmayan çoklu zaman gecikmeli sistemlere uygulanabilmesi için düzensiz bir örnekleme dizisi seçim yöntemi önerilmiştir. Önerilen bu yöntem ile düzensiz örneklemeli sistemler için geliştirilmiş bir kontrolörün bu türden gecikmeli sistemlerin kararlı kılınması için kullanılabileceği gösterilmiştir. Bu tez kapsamında geliştirilmiş olan kararlılık koşulu kullanılarak çift integratör dinamiğe sahip çok etmenli sistemlerin düzensiz örnekleme ve değişen topoloji altında uzlaşım probleminin çözümü için yeni bir yöntem geliştirilmiştir. Geliştirilen bu yöntem ile literatürdeki diğer güncel yöntemlerin aksine değişen ağ topoloji çizgelerinin bilinmesi zorunluluğu ortadan kalkmaktadır. Tasarımcının keyfi seçeceği ağ çizgesinin Laplasyen matris özdeğer aralığı ve en büyük örnekleme aralığı parametreleri ile uzlaşımı sağlayan yerel kontrolör, basit bazı eşitsizlikler kullanılarak hesaplanabilmektedir. Ayrıca, ağ çizgeleri bağlı ve yönsüz olduğu sürece bu kontrolörün her zaman var olduğu kanıtlanmıştır. Çok etmenli sistemlerin uzlaşımı için kullanılan yerel kontrolörün ufak değişikliklerle bir ağdaki cihazların saat senkronizasyonu problemine de uygulanabileceği kanıtlanmış ve örneklerle desteklenmiştir.