LEE- Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği-Doktora
Bu koleksiyon için kalıcı URI
Gözat
Son Başvurular
1 - 5 / 16
-
ÖgeEnergy management of P2 hybrid electric vehicle based on event triggered nonlinear model predictive control and deep Q network(Graduate School, 2024-01-22)The energy management problem of a P2 hybrid electric vehicle (HEV) involves determining how to allocate the available energy between the internal combustion engine and the electric motor, as well as how to use the energy stored in the battery. The goal of the energy management system is to minimize the fuel consumption of the vehicle while maintaining its performance and drivability. The energy management problem of a P2 HEV is challenging because it involves multiple objectives and constraints, as well as uncertain and varying driving conditions. The system must balance the power demand of the vehicle with the available power from the engine and battery, while also considering factors such as the state of charge of the battery, the efficiency of the components, and the driving cycle of the vehicle. In this study, the P2 Hybrid Electric Vehicle (HEV) model in Simscape includes components such as the internal combustion engine, electric motor, battery, transmission, and vehicle dynamics. The Kia Niro 2018 vehicle specification provides information about the characteristics of these components, such as their power ratings, efficiencies, and physical dimensions. By combining this information with the Simscape model, the behavior of the P2 HEV is simulated under different driving conditions. The Simscape model is based on physical equations and principles, which means that it provides accurate and reliable predictions of the behavior of the P2 HEV. The model is used to analyze the performance of the vehicle under different scenarios, such as different driving cycles or changes in environmental conditions. By using the Kia Niro 2018 vehicle specification as a reference, the P2 HEV model is validated and adjusted to improve its accuracy. After that, to track the desired velocity profile for a P2 hybrid electric vehicle (HEV) based on the World Harmonized Light Vehicle Test Procedure (WLTP), first model predictive controller (MPC) is implemented. The MPC uses a mathematical model of the vehicle dynamics and powertrain components to predict future behavior over a certain time horizon, taking into account acceleration limits according to ISO 2631-5. The reference signal is determined based on the WLTP standard velocity profile, and an objective function is defined to minimize deviation from the reference signal. In addition to tracking the desired velocity profile, the torque distribution between the engine and motor in a P2 HEV is controlled using a second MPC. The MPC uses a mathematical model of the vehicle's powertrain components to predict future behavior over a certain time horizon, taking into account physical limits of the battery, engine, and motor. The objective of this MPC is to distribute the torque between the engine and motor in an optimal way to achieve the desired performance metrics, such as minimizing power losses. Constraints are established on the system, such as maximum and minimum torque of the engine and electric motor, state of charge of the battery, and current limits of the battery and total torque equality. To decrease the computational cost, an event-triggered mechanism is constructed in a P2 HEV energy management system using a Deep Q Network (DQN) algorithm. This mechanism triggers the model predictive controllers only when needed, reducing the computational burden and improving the energy efficiency of the system. The DQN algorithm is used to learn a policy that determines when to trigger the torque distribution MPC based on the current state of the system. The algorithm uses a neural network to estimate the value function and select actions that minimize the expected long-term cost. The event-triggered mechanism provides a flexible and adaptive approach to energy management in the P2 HEV, allowing for real-time adjustments based on changing driving conditions. The use of DQN allows for efficient and effective decision-making, improving the overall performance and efficiency of the P2 HEV. As a last, in a P2 hybrid electric vehicle (HEV) energy management system with two model predictive controllers (MPCs), the weights of the second MPC's cost function are trained using a deep Q-network (DQN) algorithm. This approach allows for the optimal distribution of torque between the engine and motor, taking into account physical limits of the battery, engine, and motor, as well as other desired performance metrics. By adjusting the weight of the cost function based on the current state of the system, the P2 HEV achieves optimal energy management and improved performance and efficiency. The use of DQN allows for efficient and effective decision-making, reducing the computational burden and improving the overall performance of the system.
-
ÖgeIntelligent control system design and deployment for fuel cell air supply systems(Graduate School, 2024-06-10)The mobility industry invests in intensive research and development programs to find a sustainable energy source without polluting the environment. A fuel cell system is an electrochemical device that generates electricity and is one of the promising energy sources. However, the commercialization of fuel cell systems is limited due to their lifespan. In this thesis, an intelligent control system has been designed and deployed for fuel cell air supply systems to enhance the net output power and mitigate the degradation due to oxygen starvation, resulting in a longer cell lifespan. To minimize the risk of starvation, more air than needed for chemical reactions is supplied to the fuel cell system. Here, the ratio between supplied and consumed oxygen amounts is defined as the excess ratio. The net output power of fuel cell systems deteriorates when the oxygen excess ratio is high, yet starvation occurs if the oxygen excess ratio is low. Therefore, an accurate control of oxygen excess ratio is crucial to not only maximize the net output power but also reduce the risk of starvation to mitigate cell degradation. To address this challenge, a 2DOF control structure fused with artificial intelligence is proposed in this thesis. The proposed control system involves a data-driven reference generator, a feedforward controller, and a feedback controller. The data-driven reference generator calculates the setpoint value of the oxygen excess ratio. On the other hand, the data-driven feedforward controller calculates the open-loop control signal to anticipate known system dynamics for improving control performance and reducing the control effort by the feedback controller. A PI controller is used as the feedback controller to track the desired setpoint value and calculate the closed-loop control signal. Then, the sum of open-loop and closed-loop control signals is applied to the compressor motor as a voltage input. A fuel cell system was simulated for various current loads and oxygen excess ratio values at the optimal stack temperature to understand the characteristics of fuel cell systems. The results showed that each stack current maximizes the net output power for a specific oxygen excess ratio. The relationship between the stack current and oxygen excess ratio that produces maximum net output power is highly nonlinear, which is challenging to model via traditional lookup-based solutions. Similarly, the compressor voltage needed to reach the optimal oxygen excess ratio, maximizing the net output power and stack current, also has a complex relationship. Therefore, data-driven reference generators and feedforward controllers are considered for learning the complex characteristics of fuel cell systems. The data to learn the data-driven models is acquired through steady-state analysis. Firstly, the data for single input models where the stack current is the only input of data-driven models is acquired by alternating the current and oxygen excess ratio at optimal stack temperature. Moreover, the stack temperature is changed by considering possible temperature fluctuations around the optimal stack temperature, and its effect on net power output is investigated. The results show that the net output power significantly changes with stack temperature. Therefore, it needs to be considered in the design of data-driven models. In this manner, the double-input models are designed with stack current and temperature inputs. The data-driven reference generator and feedforward controller for single and double-input models are learned via fuzzy models and neural networks. Various internal configurations of fuzzy models and neural networks have been studied to investigate their effects on modeling accuracy. The fuzzy models were constructed with various membership functions and learned through various techniques. On the other hand, different activation functions were utilized to build the neural network models. Moreover, the learning data was pre-processed through standardization and normalization to examine their effect on learning performance. Besides, polynomial regression-based reference generators and feedforward controllers were learned for performance comparison. Even though the learning performances of data-driven reference generators and feedforward controllers are pretty satisfactory compared to polynomial regression-based models, their contribution to net output power and degradation must be shown. In this manner, the proposed artificial intelligence fused 2DOF control system was simulated with various fuzzy models and neural networks as the reference generator and feedforward controller. A PI controller was utilized as the closed-loop controller. The PI controller coefficients were tuned through an iterative trial-and-error method in a defined operating point. The same PI controller was employed during the simulations of each design variant to have a fair comparison. In addition, a 1DOF control system was designed to expose the contribution of the 2DOF control structure. To assess the test results, evaluation criteria for the net output power and oxygen excess ratio were defined. In the evaluations, the tracking error and settling time of both targets were considered. In addition, a degradation model that depends on oxygen starvation was created to assess the contribution of data-driven models on cell life. A set of operation points depending on stack current was developed to test the proposed control system. Moreover, stack temperature changes were considered to assess the performance of the proposed control system under disturbances. The results showed that the proposed intelligent control system with fuzzy models and neural networks could efficiently track the desired oxygen excess ratio. Thanks to the data-driven models, the high-performing oxygen excess ratio control structure increases the net output power of fuel cell systems and reduces cell degradation due to oxygen starvation. In brief, the intelligent control system proposed in this thesis is a promising development in fuel cell systems to enable their widespread usage as a clean and sustainable energy source.
-
ÖgeDüzensiz örneklemeli sistemlerin kontrolü(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2024-04-26)Günümüzde farklı fiziksel konumlarda bulunup sınırlı bant genişliği üzerinden birbirlerine veri aktaran sistemler hızla yaygınlaşmaktadır. Bu sistemler sağladığı avantajların yanı sıra birçok kontrol problemini de beraberinde getirmektedir. Bu sistemlerin mimarisinin doğası gereği geri besleme sinyalinin ölçüm zamanı ya da bilginin iletilme zamanı düzensiz ve beklenmedik bir şekilde gerçekleşmektedir. Son yıllarda bu konuda yapılan yayın sayısının ciddi biçimde artması, konunun öneminin giderek arttığını göstermektedir. Zamanla değişmeyen sürekli bir sistemin düzensiz örnekleme altında ayrıklaştırılmış modeli, zamanla değişen ayrık bir sistem ile ifade edilebilmektedir. Bu da klasik bilgisayarlı kontrol teorisindeki sonuçların geçerliliğini yitirmesine neden olmaktadır. Örneğin, ayrık bir sistemin kararlılığını göstermekte kullanılan sistem matris özdeğerlerinin birim çember içinde olması koşulu, düzensiz örneklemeli bir sistemin kararlılığını garantilememektedir. Düzensiz örneklemeli sistemleri kararlı kılan kontrolörlerin bulunması bu tezin ana problemini oluşturmaktadır. Ayrıca, bulunan kontrolörün zaman gecikmesine sahip sistemlerin kararlı kılınması ve çok etmenli sistemlerin uzlaşımı problemlerine uygulanabilirliği araştırılmıştır. Düzensiz örneklemeli sistemler için ele alınan problemlerin çözümünde zamanla değişen ve parametre ile değişen sistemlere ek olarak, benzer matematiksel problemleri çözmeyi hedefleyen karma sistemler, olay tetiklemeli sistemler ve anahtarlamalı sistemlerin literatüründen de faydalanılmaktadır. Bu sistemlerin kararlı kılınması ve kontrolü için literatürde onlarca yöntem bulunsa da en sık başvurulan yöntemlerden birisi ortak karesel Lyapunov fonksiyonu bulma yöntemidir. Bu yöntemde, zamanla değişen sistem matrislerinin tamamı için ortak olan karesel bir Lyapunov fonksiyonu bulunması ile kararlı kılan kontrolör sentezi yapılabilmektedir. Bu tez kapsamında, ortak karesel Lyapunov fonksiyonu bulma yöntemi farklı bir bakış açısıyla ele alınarak bu yönteme eşdeğer başka bir yöntem geliştirilmiştir. Geliştirilen bu yöntemde, zamanla değişen sistem matrislerinin tamamını daralma haline getiren, yani sistem matrislerinin en büyük tekil değerlerini 1'den küçük yapan, ortak bir benzerlik dönüşümü bulunmasıyla kararlılık sağlanmaktadır. Literatürde küçük örnekleme aralığı yaklaşıklığı kullanan bir teorem genişletilerek bu yöntem ile kararlı kılan bir kontrolün her zaman var olduğu kanıtlanmıştır. Ayrıca, kararlılığı gösteren ortak benzerlik dönüşüm matrisinin bulunması ile ilgili üç farklı yöntem geliştirilmiştir. Bahsedilen varlık koşulu kullanılarak farklı tekniklerle kararlı kılan kontrolörler sentezlenmiştir. Kararlı kılan kontrolör sentezi için kullanılan ilk yöntem literatürde iyi bilinen dijital yeniden tasarım yöntemidir. Bu yöntemde düzensiz örneklemeli sistemin durum yanıtı, sürekli sistemin kapalı çevrim durum yanıtına eşitlenmeye çalışılmaktadır. Literatürde var olan bir dijital yeniden tasarım yöntemi düzensiz örneklemeli sistemler için genişletilerek kararlı kılan kontrolör sentezinde kullanılmıştır. Ayrıca, kararlılığın sağlandığı en büyük örnekleme aralığı için bir üst sınır verilmiştir. Kararlı kılan kontrolör sentezi için bir başka yöntem yine literatürde iyi bilinen özdeğer atama yöntemidir. Bu yöntem ile kapalı çevrim sistem matrisinin özdeğerleri istenen sistem davranışını sağlayacak biçimde yerleştirilmektedir. Düzensiz örneklemeli sistemler için zamanla değişen sistem matrislerinin özdeğer yerleri kararlılık analizi için yeterli olmasa da bu tezde tek bir girişe sahip sistemler için özdeğer atayan kontrolörün kararlılığı garantilediği maksimum örnekleme aralığının var olduğu kanıtlanmıştır. Literatürde başka bir örneğine rastlanmayan tekil değer atama ile kararlı kılma yöntemi bu tez kapsamında geliştirilmiştir. Bu yöntemde kararlılığın garantilenmesi için zamanla değişen kapalı çevrim sistem matrislerinin tekil değerleri ortak bir benzerlik dönüşümü altında 1'den küçük olacak biçimde atanmaktadır. Ayrıca, kararlılığın sağlandığı en büyük örnekleme aralığı için bir üst sınır verilmektedir. Geliştirilen bu sentez yöntemlerinin ortak rasyonel böleni olmayan çoklu zaman gecikmeli sistemlere uygulanabilmesi için düzensiz bir örnekleme dizisi seçim yöntemi önerilmiştir. Önerilen bu yöntem ile düzensiz örneklemeli sistemler için geliştirilmiş bir kontrolörün bu türden gecikmeli sistemlerin kararlı kılınması için kullanılabileceği gösterilmiştir. Bu tez kapsamında geliştirilmiş olan kararlılık koşulu kullanılarak çift integratör dinamiğe sahip çok etmenli sistemlerin düzensiz örnekleme ve değişen topoloji altında uzlaşım probleminin çözümü için yeni bir yöntem geliştirilmiştir. Geliştirilen bu yöntem ile literatürdeki diğer güncel yöntemlerin aksine değişen ağ topoloji çizgelerinin bilinmesi zorunluluğu ortadan kalkmaktadır. Tasarımcının keyfi seçeceği ağ çizgesinin Laplasyen matris özdeğer aralığı ve en büyük örnekleme aralığı parametreleri ile uzlaşımı sağlayan yerel kontrolör, basit bazı eşitsizlikler kullanılarak hesaplanabilmektedir. Ayrıca, ağ çizgeleri bağlı ve yönsüz olduğu sürece bu kontrolörün her zaman var olduğu kanıtlanmıştır. Çok etmenli sistemlerin uzlaşımı için kullanılan yerel kontrolörün ufak değişikliklerle bir ağdaki cihazların saat senkronizasyonu problemine de uygulanabileceği kanıtlanmış ve örneklerle desteklenmiştir.
-
ÖgeKontrollü lagrange yöntemleri ve uygulamaları(Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2024-10-18)Bu tez çalışmasında eksik sürülmüş sistemlerin enerji tabanlı kontrol yöntemleri olan Kontrollü Lagrange ve IDA-PBC (Interconnection and Damping Assignment Passivity-Based Control) yöntemleri ele alınmıştır. Eksik sürülmüş sistemler, sistemin eyleyici sayısının, serbestlik derecesinden az olduğu, dolayısıyla tüm hareketlerinin doğrudan kontrol edilemediği sistemlerdir Bu tür sistemler, mühendislikte özellikle robotik, havacılık, denizcilik ve otomotiv gibi alanlarda sıkça karşılaşılır. Karmaşık dinamik yapıları nedeniyle, bu sistemler kontrolü zor olan sistemler arasında yer alır. Tez çalışmasında, öncelikle klasik mekaniğin tarihsel gelişimi ve varyasyonel hesaplama yaklaşımı ele alınarak, bu yaklaşımların Euler-Lagrange ve Hamiltonian sistemlere uygulanışı incelenmiştir. Bu bağlamda, varyasyonel hesaplamanın temel ilkeleri, Euler-Lagrange denklemlerinin türetilmesi ve bu denklemlerin mekanik sistemlerin modellemesinde nasıl kullanıldığı açıklanmıştır. Aynı zamanda, Hamiltonian sistemlerin temel prensipleri ve bu sistemlerin kontrolü için kullanılan enerji tabanlı yöntemler de ele alınmıştır. Kontrollü Lagrange yöntemi, EL sistemlerin kontrolü için kullanılan bir yöntem olup, sistemin enerji fonksiyonunu şekillendirerek kapalı çevrim sistemin istenen denge noktasındaki kararlılığı sağlamayı hedefler. IDA-PBC yöntemi ise, Hamiltonian sistemlerin kontrolünde kullanılan bir yöntem olup, aynı şekilde sistemin enerji fonksiyonunu şekillendirerek ve sönüm ekleyerek kapalı çevrim sistemin pasifliğini ve dolayısıyla kararlılığını sağlamayı amaçlar. Her iki yöntemde de, kapalı çevrim sistemin kararlılığı sağlanırken, EL ve Hamiltonian sistem olma özelliği korunur. IDA-PBC ve Kontrollü Lagrangian yöntemleri, eksik sürülmüş lineer olmayan sistemlerin kontrolü için güçlü birer araç olsalar da, kontrol kuralının varlığı ancak eşleşme koşulu adı verilen bir dizi lineer olmayan ve homojen olmayan PDE'lerin çözülmesiyle mümkündür. Bu PDE'lerin her durumda çözümü bulunmamaktadır, bu da bahsedilen yöntemlerin en zorlayıcı noktasıdır. Bu tez çalışmasında ayrılabilir (seperable) Hamiltonian sistemlerde eşleşme koşullarının göreceli olarak daha kolay çözülmesi fikrinden yola çıkarak geliştirilen Gören-Sümer ve Şengör (2015)'de önerilen yöntem geliştirilerek Euler Lagrange sistemlere genişletilmiştir. Bu tez çalışmasında önerilen yöntem, eşleşme koşullarının yaklaşık çözümleri, kapalı çevrimli sistemin genelleştirilmiş atalet matrisinin bir dizi sabit atalet matrisinin radyal baz fonksiyonları kullanılarak doğrusal olmayan bir kombinasyonu ile yaklaşık olarak ifade edilmesine dayanmaktadır Eşleşeme koşullarının yaklaşık çözümü ile elde edilen kontrol kuralı kullanıldığında dahi, kapalı çevrim sistemin kararlılığının sağlanabildiği gösterilmiştir. Bu çalışmanın son aşamasında, tezde önerilen yöntemlerin çeşitli mekanik sistemler üzerindeki uygulamaları incelenmiştir. Vinç sistemi, TORA, top ve çubuk, top ve tabla sistemi gibi örnekler kullanılarak, önerilen yöntemin, literatürde bulunan örnekler üzerinde uygulamasına yer verilmiştir. Bu uygulamalar, önerilen yöntemin yaygın olarak kullanılabilirliğini ortaya koymuştur. Sonuç olarak, bu doktora tez çalışması, eksik sürülmüş sistemlerin kontrolünde kullanılan enerji tabanlı yöntemler olan IDA-PBC ve Kontrollü Lagrange yöntemlerinin temel zorluğu olan eşleşme koşullarının çözülmesi konusuna bir katkı sunmaktadır. Elde edilen sonuçlar, eşleşme koşullarının çözümlerinin yaklaşık olarak bulunduğu durumda dahi, enerji tabanlı kontrol yöntemlerinin, eksik sürülmüş sistemlerin kararlılığını sağlamada etkili araçlar olduğunu göstermektedir. Bu çalışma, ilgili alanda çalışacak araştırmacılara bu yöntemlerin daha karmaşık sistemler için nasıl geliştirilebileceği ve uygulanabileceği konusunda yol gösterici olacaktır.
-
ÖgeImproving performance of low order robust controllers for parametric uncertain systems(Graduate School, 2024-07-03)The classical control problem deals with the design of closed-loop systems that are stable with fixed controller structure, the P, PI and PID type controllers. In addition to stability, reference tracking, noise attenuation and disturbance rejection can be addressed during the controller design. One of the popular design methods for reference tracking is the dominant pole placement method. The time domain specifications are adjusted based on a second-order polynomial and additional poles out of the dominant region, the region of the poles of the second-order polynomial, are added to the polynomial. The polynomial is then equated to the characteristic polynomial of the closed-loop transfer function. In the end, it is desired to end up in a dominant pole pair to dominate the behavior of the closed-loop system. For the dominant pole placement method, a certain settling time and overshoot value are chosen according to the application and based on these a complex pole pair or in other words the second-order polynomial is defined. For closed-loop systems with zero overshoot, the formulae used during the dominant pole placement method lose their validity, since the damping ratio is greater than or equal to one. The damping ratio for zero overshoot is an inequality that implies that there are multiple solutions. The damping ratio inequality defines the family of critically and over-damped all-pole systems. The settling time of such systems is investigated in the literature, however, most are only for analysis purposes. To be able to synthesize controllers, it is necessary to be able to choose a settling time value and convert this information into some pole locations on the s-domain. Since most of the work uses iterative models, a new method for this "inverse" relation between settling time and poles is proposed. The model proposed is developed for over-damped systems up to order three, but it has been mentioned that for higher-order systems the precision of the model loses significance. Several examples of controller synthesis are provided. A different approach is the characteristic ratio assignment method, which uses the coefficients of the polynomial to calculate the ratios instead of using the poles directly. The characteristic ratios are chosen based on filters with known characteristics so that the designed closed-loop system has the same properties. A common choice is the Butterworth filter for low overshoot characteristics. Hence, the problem encountered during the dominant pole placement is solved, but at the cost of losing the ability to fix the structure of the controller. Since, the CRA method designs controllers equal to the order of the plant, resulting in a closed-loop system twice the order of the plant. This is not desirable considering the practical world. Another loss is the lack of the integrator in the controller in the feedforward path, where because of it the reference tracking is less robust. The CRA method is based on the maximally-flatness property of a system, which uses the frequency domain Bode gain to come up with low overshoot step responses. This work combines the aforementioned design methods, by choosing classical controllers and the maximally-flatness property of the CRA method. The closed-loop transfer function is calculated with the chosen classical controller and the gain of the closed-loop transfer function is computed in the frequency domain. The magnitude square, also called the power gain, of the closed-loop system is obtained and a direct low-pass inequality is stated, which results in inequalities that for low-degree systems resemble the characteristic ratios. These inequalities then are used to ensure low or even zero overshoot. Due to the difficulty of assessing the overshoot of high-order systems, the resulting overshoot is called low or zero. From numerical studies, it is observed that most of the designs prohibit zero overshoot. It has been shown that using the inequalities obtained by setting the power gain of a transfer function less than or equal to one and setting the infinity norm of a transfer function equal to one are strongly connected. Thanks to this connection, the term "low or zero overshoot" for first and second-order transfer functions is calculated. It has been proposed that inequalities arising by setting the power gain to less than or equal to one or setting the infinity norm equal to one can be used to enforce low or zero overshoot. Based on this a design approach is given where the controller is a PI or PI-PD controller, the plant is a FOPDT or SOPDT plant and based on the closed-loop the inequalities are added to design such a controller. Since the FOPDT and SOPDT plants include delay in their models, the Pad\'e approximation method is used during the design steps. The Pad\'e approximation method substitutes the nonlinear delay term with a set of zeros in the right-half-plane and poles in the left-half-plane. The design conditions are obtained as inequalities and introducing interval-type uncertain parameters with lower and upper bounds results in a robust design problem that can be simplified by checking specific corner points instead of the whole uncertain family. A theorem is stated for this reduction, which simplifies the robust design problem, significantly. The optimization problems for robust PI controller design for FOPDT and robust PI-PD controller design for SOPDT systems are stated. Some numerical case studies are given to back up the optimization problems. The unique aspect of this work is summed up as follows; \begin{itemize} \item inequalities from polynomial coefficients are produced based on maximally-flatness properties, which is more powerful than CRA since it takes zeros into account \item a general formula is worked out for the inequalities \item nominal low-order controllers are designed with characteristic-ratio-like inequalities \item the structure of the proposed inequalities is exploited and a reduction theorem is proposed for plants with uncertainty \item based on the proposed theorem robust controller design problem is stated \item a settling time model for critically and over-damped systems is proposed \item it has been shown that the proposed settling time model can be used to determine the locations of the poles with prefixed settling time \end{itemize} During this work a settling time model for over-damped systems is proposed which can be used to determine the settling time by plugging in the poles and to determine the locations of the poles by choosing a prefixed settling time. It has been shown that it is possible to design controllers with the proposed settling time. It has been observed that using the maximally-flatness approach in order to get low or zero overshoot design or setting the H infinity norm of the closed-loop equal to one produce the same conditions. Using these conditions it is possible to get low or zero overshoot. Due to the structural advantage of the proposed inequalities a theorem that reduces the complexity of evaluating and ensuring that the inequalities hold for every point in the uncertainty space is proposed. Both nominal and robust PI and PI-PD controller design for FOPDT and SOPDT systems is stated.