Asal İdealleri Radikal Olarak Mükemmel Olan Değişmeli Halkalar

Abstract

Bir idealin yüksekliği ve üreteç sayısı arasındaki ilişki ilk defa 19. yüzyılda Kronecker tarafından ele alınmıştır. O günden bu yana, bu konuda birçok araştırma yapılmış olup, bu alanda halen çözülememiş olan sorulardan birisi de, K cismi üzerindeki K[X,Y,Z] polinom halkasında yüksekliği iki olan ideallerin kümesel tam arakesit olup olmadığı sorusudur. K cisminin karakteristiğinin pozitif olduğu durumda bu sorunun cevabı olumludur, ancak K’nın karakteristiğinin sıfır olduğu duruma dair henüz çok fazla sonuç elde edilememiştir. Erdoğdu, karakteristiğin sıfır olduğu duruma cevap ararken, Noether halkalara özgü olan kümesel tam arakesit nosyonunu, Noether olmayan halkalara da genişleterek, radikal olarak mükemmellik nosyonunu literatüre kazandırmış ve daha genel olan Karakteristiği sıfır olan bir cisim içeren R tamlık bölgesi üzerinde hangi şartlar altında, R[X] polinom halkasının tüm asal idealleri radikal olarak mükemmeldir? sorusunu sormuştur. R halkasının bir I ideali için, radikali I idealinin radikaline eşit olan tüm idealler arasından minimum üreteç sayısına sahip olanın üreteç sayısı, I’nın yüksekliğine eşit ise, I idealine radikal olarak mükemmel ideal denir. Bu çalışmanın ana amacı, Noether olma zorunluluğu olmayan halkalardaki ideallerin yükseklikleri ile üreteç sayıları arasındaki ilişkiyi ayrıntılı olarak incelemek, ayrıca R halkasının ve R üzerindeki R[X] polinom halkasının tüm asal ideallerinin radikal olarak mükemmel olması için R halkasının sahip olması gereken özellikleri belirlemeye çalışmaktır.

The question of relating the number of generators of an ideal to its height was first considered by Kronecker in late 19 century. Since then an enormous amount of research has evolved around these types of questions. Among them still remains open is whether each height two ideal in K[X,Y,Z] is a set theoretic complete intersection where K is a field. When K is of positive characteristic this question has an affirmative answer, but not much is known when K is of characteristic zero. In search of an answer to the characteristic zero case, Erdoğdu generalized the notion of set theoretic complete intersection of ideals in Noetherian rings to rings that need not be Noetherian and considered the following more general question: Under which circumstances on an integral domain R containing a field of characteristic zero can one conclude that all prime ideals of R[X] are radically perfect? An ideal I of a ring R is called radically perfect if among the ideals of R whose radical is equal to the radical of I, the one with the least number of generators has this number of generators equal to the height of I. The main objective of this study is to relate the height and the number of generators of ideals in rings that are not necessarily Noetherian and determine conditions on a ring R so that the prime ideals of R and also those of the poynomial ring R[X] over R are radically perfect.