Ricci-rank 1 Lorentz Manifoldlarında Tam Ve Yaklaşık Çözümler

Abstract

Tez kapsamında yapılan yeni çalışmalar üç ana bölümde sunulmaktadır. İlk olarak, kotanjant demetin {l,n,m,bar{m}} ışıksal yerel tabanına göre Ricci tensörünün matrisi, Newman-Penrose formalizmi kullanılarak ifade edilmiştir.Phi_00 farklı 0 durumu için rankının 1 olma koşulu bulunmuştur. Genel bir warped çarpım metrik için Newman-Penrose sistemi verilerek, bu sistemde manifoldun ikinci bileşeninin sabit eğriliğe sahip, R^3’e gömülmüş, kompakt, bağlantılı ve regüler bir manifold olması durumunda uzay-zamanın küresel simetrik, Ricci tensörü matrisinin rankının 1 ve Enerji-momentum tensörü matrisinin tekil olmaması durumunda, fiziksel kaynağın kütlesiz bir skaler alan olması gerektiği ispatlanmıştır. Küresel simetrik metrik için alan denklemleri, rank 1 koşulu kullanılarak elde edilmiştir. İkinci olarak, (3+1) boyutta Einstein alan denklemleri küresel simetrik bir metriğe kütlesiz bir skaler alanın kuple edilmesiyle çalışılmıştır. Başlangıçta ``over determined olan orijinal sistem, efektif olarak zamana göre ikinci dereceden normal bir sisteme indirgenmiştir. ``Pozitif ve ``negatif dal tanımları yapılmıştır. Zamandan bağımsız (statik) durum skaler alanın phi_t=0 veya phi_s=0 olması ile karakterize edilmiştir. Statik halde, pozitif dal için hem tam çözüm bulunmuş hem de faz düzlemi analizi ile orijinin bir genel çekim noktası olduğu kanıtlanmıştır. Negatif dal, dinamik bir sistem olarak incelenmiş ve boşluk olmayan (1/4,0) noktasının bir genel çekim noktası olduğu kanıtlanmıştır. Son olarak, (3+1)ve (2+1) boyutta kütlesiz skaler alan kuplajı ile birlikte kozmolojik sabit içeren Einstein alan denklemleri elde edilmiştir. Statik durum yine phi_t=0 veya phi_s=0 olması ile karekterize edilmiştir. phi_t=0 statik hali için, (2+1) boyutta, kozmolojik sabitin -1 olduğu durumda çeşitli koordinat dönüşümleri yapılarak tam çözüm bulunmuştur.

The new studies done in this thesis can be presented in three main chapters. Initially, Ricci tensor matrix is expressed with respect to {l,n,m,bar{m}}local base by using the Newman-Penrose formalism. When the case Phi_00 different then 0, the rank 1 condition of the Ricci tensor matrix is found. For the general type B warped product metric, when the second component of the manifold has the space of constant curvature and is embeded in R^3, compact, connected and regular, it is shown that space-time must be spherically symmetric. When the Ricci tensor has rank 1 and the Energy-momentum tensor is non-singuler, it is shown that physical source must be a massless scalar field. For the spherically symmetric metric, field equations are obtained by using the Ricci tensor rank 1 condition. Secondly, Einstein s field equations are studied for the spherically symmetric metric coupled to a massless scalar field in (3+1)-dimensions. An ``over-determined original system is reduced to a second order normal system effectively in time. The definitions of the ``positive and ``negative branches are given. The time independent case is characterized for the scalar field may either phi_t=0 or phi_s=0 . For the static case, which is called positive branch, both exact solution is obtained and by using the phase plane analysis, it is proved that the origin a global attractor. The negative branch is examined as a dynamical system and the non-vacuum point (1/4,0) is proved as a global attractor. Lastly, Einstein s field equations which contain both coupled massless scalar field and cosmological constant are obtained in (3+1) and (2+1) dimensions. Again static case is characterized by the scalar field may either phi_t=0 or phi=s=0. For static case, exact solution is found in (2+1) dimensions by using the various coordinate transformations in the case that cosmological constant is -1.