A study on static and dynamic buckling analysis of thin walled composite cylindrical shells

Abstract

Thin-walled structures have many useage in many industries. Examples of these fields include: aircraft, spacecraft and rockets can be given. The reason for the use of thin-walled structures is that they have a high strength weight ratio. In order to define a cylinder as thin-walled, the ratio of radius to thickness must be more than 20, and one of the problems encountered in the use of such structures is the problem of buckling. It is possible to define the buckling as a state of instability in the structure under compressive loads. This state of instability can be seen in the load displacement graph as the curve follows two different paths. The possible behaviors; snap through or bifurcation behavior. Compressive loading that cause buckling; there may be an axial load, torsional load, bending load, external pressure. In addition to these loads, buckling may occur due to temperature change. Within the scope of this thesis, the buckling behavior of thin-walled cylinders under axial compression was examined. The cylinder under the axial load indicates some displacement. When the amount of load applied reaches critical level, the structure moves from one state of equilibrium to another. After some point, the structure shows high displacement behavior and loses stiffness. The amount of load that the structure will carry decreases considerably, but the structure continues to carry loads. The behavior of the structure after this point is called post-buckling behavior. The critical load level for the structure can be determined by using finite elements method. Linear eigenvalue analysis can be performed to determine the static buckling load. However, it should be noted here that eigenvalue-eigenvector analysis can only be used to make an approximate estimate of the buckling load and input the resulting buckling shape into nonlinear analyses as a form of imperfection. In addition, it can be preferred to change parameters and compare them, since they are cheaper than other types of analysis. Since the buckling load is highly affected by the imperfection, nonlinear methods with geometric imperfection should be used to estimate a more precise buckling load. It is not possible to identify geometric imperfection in linear eigenvalue analysis. Therefore, a different type of analysis should be selected in order to add imperfection. For example, an analysis model which includes imperfection can be established with the Riks method as a nonlinear static analysis type. Unlike the Newton-Rapson method, the Riks method is capable of backtracking in curves. Thus, it is suitable for use in buckling analysis. In Riks analysis, it is recommended to add imperfection in contrast to linear eigenvalue analysis. Because if the imperfection is added, the problem will be bifurcation problem instead of limit load problem and sharp turns in the graph can cause divergence in analysis. Another nonlinear method of static phenomena is called quasi-static analysis which is used dynamic solver. The important thing to note here is that the inertial effects should be too small to be neglected in the analysis. For this purpose, kinetic energy and internal energy should be compared at the end of the analysis and kinetic energy should be ensured to be negligible levels besides internal energy. Also, if the event is solved in the actual time length, this analysis will be quite expensive. Therefore, the time must be scaled. In order to scale the time correctly, frequency analysis can be performed first and the analysis time can be determined longer than the period corresponding to the first natural frequency. For three analysis methods mentioned within this study, validation studies were carried out with the examples in the literature. As a result of each type of analysis giving consistent results, the effect of parameters on static buckling load was examined, while linear eigenvalue analysis method was used because it was also sufficient for cheaper analysis method and comparison studies. While displacement-controlled analyses were carried out in the static buckling analyses mentioned, load-controlled analyses were performed in the analyses for the determination of dynamic buckling force. As a result of these analyses, they were evaluated according to different dynamic buckling criteria. There are some of the dynamic buckling criteria; Volmir criterion, Budiansky-Roth criterion, Hoff-Bruce criterion, etc. When Budiansky-Roth criterion is used, the first estimated buckling load is applied to the structure and displacement - time graph is drawn. If a major change in displacement is observed, it can be assumed that the structure is dynamically buckled. For Hoff-Bruce criterion, the speed - displacement graph should be drawn. If this graph is not focused in a single area and is drawn in a scattered way, it is considered that the structure has moved to the unstable area. As in static buckling analyses, dynamic buckling analyses were primarily validated with a sample study in the literature. After the analysis methods, the numerical studies were carried out on the effect of some parameters on the buckling load. First, the effect of the stacking sequence of composite layers on the buckling load was examined. In this context, a comprehensive study was carried out, both from which layer has the greatest effect of changing the angle and which angle has the highest buckling load. In addition, the some angle combinations are obtained in accordance with the angle stacking rules found in the literature. For those stacking sequences, buckling forces are calculated with both finite element analyses and analytically. In addition, comparisons were made with different materials. Here, the buckling load is calculated both for cylinders with different masses of the same thickness and for cylinders with different thicknesses with the same mass. Here, the highest force value for cylinders with the same mass is obtained for a uniform composite. In addition, although the highest buckling force was obtained for steel material in the analysis of cylinders of the same thickness, when we look at the ratio of buckling load to mass, the highest value was obtained for composite material. In addition, the ratio of length to diameter and the effect of thickness were also examined. Here, as the length to diameter ratio increases, the buckling load decreases. As the thickness increases, the buckling load increases with the square of the thickness. In addition to the effect of the length to diameter ratio and the effect of thickness, the loading time and the shape of the loading profile are also known in dynamic buckling analysis. In addition, the critical buckling force is affected by imperfections in the structure, which usually occur during the production of the structure. How sensitive the structures are to the imperfection may vary depending on the different parameters. The imperfection can be divided into three different groups as geometric, material and loading. Cylinders under axial load are particularly affected by geometric imperfection. The geometric imperfection can be defined as how far the structure is from a perfect cylindrical structure. It is possible to determine the specified amount of deviation by different measurement methods. Although it is not possible to measure the amount of imperfection for all structures, an idea can be gained about how much imperfection is expected from the studies found in the literature. Both the change in the buckling load on the measured cylinders and the imperfection effect of the buckling load can be measured by adding the measured amount of imperfection to the buckling load calculations. In cases where the amount of imperfection cannot be measured, the finite element can be included in the analysis model as an eigenvector imperfection obtained from linear buckling analysis and the critical buckling load can be calculated for the imperfect structure using nonlinear analysis methods. In this study, studies were carried out on how imperfection sensitivity changes under both static and dynamic loading with different parameters. These parameters are the the length-to-diameter ratio, the effect of the stacking sequence of the composite layers and the added imperfection shape. The most important result obtained in the study on imperfection sensitivity is that the effect of the imperfection on the buckling load is quite high. Even geometric imperfection equal to thickness can cause the buckling load to drop by up to half.

İnce cidarlı yapılar, endüstride birçok kullanım alanına sahiptir. Bu alanlara örnek olarak; uçaklar, uzay araçları ve roketler verilebilir. İnce cidarlı yapıların kullanılma nedeni yüksek mukavemet ağırlık oranına sahip olmasıdır. Bir silindiri ince cidarlı olarak tanımlayabilmemiz için yarı çapının kalınlığına oranının 20'den fazla olması gerekir ve bu tip yapıların kullanımında karşılaşılan sorunlardan bir tanesi burkulma problemidir. Burkulmayı baskı yükleri altındaki yapıda gerçekleşen kararsızlık hali olarak tanımlamamız mümkündür. Bu kararsızlık hali yük deplasman grafiğinde eğrinin iki farklı yol izlemesi şekilde görülebilir. Bahsi geçen davranışlar; doğrudan geçme (ing. snap through) ya da çatallaşma (ing. bifurcation) davranışıdır. Burkulmaya neden olan baskı yükleri; eksensel basma yükü, burulma yükü, bükülme yükü, dış veya hidrostatik basınç olabilir. Bu yüklere ek olarak sıcaklık değişiminden kaynaklı olarak da burkulma gerçekleşebilmektedir. Bu tez kapsamında, eksensel basma altındaki ince cidarlı silindirlerin burkulma davranışı incelenmiştir. Eksenel yük altındaki silindir, bir miktar yer değiştirme gösterir. Uygulanan yük miktarı kritik seviyeye geldiğinde yapı bir denge durumundan başka bir denge durumuna geçer. Bu esnada, yapı yüksek yer değiştirme davranışı gösterir ve katılık kaybına uğrar. Bu noktadan sonra yapının taşıyacağı yük miktarı oldukça düşse de yapı yük taşımaya devam eder. Yapının bu noktadan sonraki davranışı burkulma sonrası davranış olarak isimlendirilir. Burkulma yükünün tespiti için sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak yapı için kritik yük seviyesi belirlenebilir. Statik burkulma yükünün belirlenmesi için doğrusal özdeğer analizi yapılabilir. Fakat, burada dikkat edilmesi gereken husus, özdeğer-özvektör analizi yalnızca burkulma yükü hakkında yaklaşık bir tahmin yapabilmek ve elde edilen burkulma şeklinin doğrusal olmayan analizlere kusur şekli olarak girdi olması amacıyla kullanılabilir. Ek olarak, diğer analiz türlerine göre daha ucuz olması bakımından parametre değiştirip karşılaştırma yapmak için de tercih edilebilir. Burkulma yükü kusurdan oldukça etkilendiği için, daha hassas bir burkulma yükünün tahmini için geometrik kusur eklenmiş doğrusal olmayan yöntemler kullanılmalıdır. Doğrusal özdeğer analizlerinde geometrik kusur tanımlamak mümkün değildir. Bu sebeple kusur ekleyebilmek için farklı bir analiz türü seçilmelidir. Örneğin, doğrusal olmayan statik analiz türü olarak Riks yöntemi ile kusur içen analiz modeli kurulabilir. Riks yöntemi Newton-Rapson yönteminden farklı olarak eğrilerdeki geri dönmeleri takip etme yeteneğine sahiptir. Böylece burkulma analizlerinde kullanılmaya uygundur. Riks analizlerinde doğrusal özdeğer analizlerinin tersine kusur eklenmesi tavsiye edilir. Çünkü kusur eklenmediği taktirde problem limit yük problemi yerine çatallaşma problemi olacaktır ve grafikteki keskin dönüşler analizde ıraksamaya neden olabilmektedir. Bir başka doğrusal olmayan statik analiz yöntemi de sanki statik analiz olarak adlandırılan ve dinamik analiz çözücüsü kullanarak statik olgunun analiz edilmesidir. Burada dikkat edilmesi gereken durum ataletsel etkilerin analizde ihmal edilebilecek kadar küçük olmasıdır. Bu amaçla analiz sonunda kinetik enerji ve iç enerji karşılaştırılmalı ve kinetik enerjinin iç enerji yanında ihmal edilebilir seviyelerde olduğundan emin olunmalıdır. Ayrıca, eğer olayı gerçek süresi uzunluğunda çözdürülürse, bu analiz oldukça pahalı olacaktır. Bu sebeple, süre ölçeklendirilmelidir. Süreyi doğru bir şekilde ölçeklendirmek için ilk olarak frekans analizi yapılıp, ilk doğal frekansa karşılık gelen periyottan uzun olacak şekilde analiz süresi belirlenebilir. Bu çalışma kapsamında bahsedilen üç analiz yöntemi için literatürde bulunan örneklerle doğrulama çalışması yapılmıştır. Her bir analiz türünün tutarlı sonuçlar vermesi sonucunda parametrelerin statik burkulma yükü üzerindeki etkisi incelenirken, daha ucuz bir analiz yöntemi ve karşılaştırma çalışmaları için de yeterli olması sebebiyle, doğrusal özdeğer analiz yöntemi kullanılmıştır. Bahsedilen sanki statik analizlerde yer değiştirme kontrollü analizler yapılırken, dinamik burkulma kuvvetinin tespiti için yapılan analizlerde yük kontrollü analizler yapılmıştır. Bu analizler sonucunda farklı dinamik burkulma kriterlerine göre değerlendirilmiştir. Dinamik burkulma kriterlerinden bazıları; Volmir kriteri, Budiansky-Hutchinson kriteri, Hoff-Bruce kriteri vb. Bu kriterler değerlendirirken ilk tahmini burkulma yükü yapıya uygulanır ve yer değiştirme - zaman grafiği çizdirilir. Eğer yer değiştirmede büyük bir değişim görülürse, yapı dinamik olarak burkulmaya uğradığı farz edilebilir. Bir diğer kritere göre ise hız - yer değiştirme grafiği çizdirilir. Eğer bu grafik tek bir alanda toplanmayıp dağınık bir şekilde çizdiriliyorsa yapının kararsız bölgeye geçtiği kabul edilir. Statik burkulma analizlerinde olduğu gibi dinamik burkulma analizlerinde de öncelikle literatürde örnek bir çalışma ile doğrulama çalışması yapılmıştır. Analiz metotlarının ardından bazı parametrelerin burkulma yüküne etkisi hakkından nümerik çalışmalar yapılmıştır. İlk olarak kompozit katmanların serim açılarının burkulma yüküne etkisi incelenmiştir. Bu kapsamda, gerek hangi katmanın açısını değiştirmenin etkisinin en fazla olduğundan gerekse hangi açının daha yüksek burkulma yüküne sahip olduğuna kadar kapsamlı bir çalışma yapılmıştır. Bunlara ek olarak, literatürde bulunan açı serim kurallarına uygun olacak şekilde elde edilen serim açı kombinasyonları hem sonlu eleman analizleri ile hem de analitik olarak hesaplanan burkulma kuvvetleri yardımıyla hesaplanmıştır. Ayrıca, farklı malzemeler ile karşılaştırma yapılmıştır. Burada burkulma yükü hem aynı kalınlık farklı kütlelere sahip silindirler için hem de aynı kütleli farklı kalınlığa sahip silindirler için yapılmıştır. Burada aynı kütleli olan silindirler için en yüksek kuvvet değeri tekyönlü kompozit için elde edilmiştir. Ayrıca, aynı kalınlığa sahip silindirler için yapılan analizlerde en yüksek burkulma kuvveti çelik malzeme için elde edilmesine rağmen burkulma yükünün kütleye oranına baktığımızda yine en yüksek değer tekyönlü kompozit malzeme için elde edilmiştir. Ayrıca, boy - çap oranı ve kalınlığın etkisi de incelenmiştir. Burada boy-çap oranı arttıkça burkulma yükü azalmıştır. Kalınlık arttıkça ise kalınlığın karesi ile burkulma yükü artmaktadır. Dinamik burkulma analizlerinde ise boy-çap oranının etkisi ve kalınlığın etkisine ek olarak, yükleme süresi ve yükleme profilinin şekli de incelenmiştir. Ek olarak, kritik burkulma kuvveti yapıda bulunan ve genellikle yapının üretimi sırasında ortaya çıkan kusurlardan etkilenmektedir. Yapıların kusura ne kadar hassas olacağı farklı parametrelere bağlı olarak değişiklik gösterebilmektedir. Kusur; geometrik, malzeme ve yükleme olmak üzere üç farklı grupta ele alınabilir. Eksenel yük altındaki silindirler özellikle geometrik kusurdan oldukça etkilenmektedir. Geometrik kusur yapının kusursuz bir silindirik şekilden ne kadar uzaklaştığı olarak tanımlanabilir. Belirtilen sapma miktarını farklı ölçüm yöntemleri ile saptamak mümkümdür. Her ne kadar tüm yapılar için bu kusur miktarını ölçmek mümkün olmasa da litaratürde bulunan çalışmalardan ne kadar bir kusur beklendiği hakkında fikir sahibi olunabilir. Gerek kusur miktarı ölçülmüş silindirlerdeki burkulma yükündeki değişim gerekse ölçülmüş kusur miktarını burkulma yükü hesaplarına katarak burkulma yükündeki kusur etkisi ölçülebilir. Kusur miktarının ölçülemediği durumlarda ise doğrusal burkulma analizlerinden elde edilen öz vektör kusur olarak sonlu eleman analiz modeline dahil edilebilir ve bu model ile doğrusal olmayan analiz yöntemleri kullanılarak kritik burkulma yükü kusur içeren yapı için hesaplanabilir. Bu çalışmada, kusur hassasiyetinin farklı parametrelerle hem statik hem de dinamik yükleme altında nasıl değiştiği hakkında çalışma yapılmıştır. Bu parametreler; boy-çap oranı, kompozit katmanların serim açıları ve eklenen kusur şeklinin etkisidir. Kusur hassasiyeti hakkında yapılan çalışmada elde edilen en önemli sonuç kusurun burkulma yüküne etkisinin oldukça fazla olmasıdır. Kalınlık ile eşit miktardaki geometrik kusur bile burkulma yükünün yarısına kadar düşmesine sebep olabilir.