Kalın Sayılabilecek Plaklar İçin Bir Sonlu Eleman Formülasyonu

Abstract

Plaklar üzerinde, yapı sistemlerinin vazgeçilmez elemanları olmaları sebebi ile yıllarca geniş çalışmalar yapılmıştır. Birçok mühendislik yapısında karşılaşılan, eğilme etkilerinin önemli olduğu kalın sayılabilecek plakların çözümünde, ince plaklar için geliştirilen teorilerin yerine gerçeğe daha yakın sonuçlar veren plak teorileri geliştirme zorunluluğu doğmuştur. Kalınlık doğrultusundaki kayma şekil değiştirmelerinden doğan etkileri hesaba katan Mindlin Plak Teorisi bunlardan biridir. Bu teoriyi diğer teorilerden farklı kılan en önemli iki özellik; Bernoulli-Navier hipotezinin artık geçerli olmayışı ve plağın ince olma zorunluluğunun ortadan kalkışıdır. Bu çalışmada, kalın sayılabilecek plaklar için kalınlık doğrultusundaki kayma şekil değiştirmelerinin de hesaba katıldığı bir şekil değiştirme enerjisi ifadesi elde edilmiştir. Elde edilen bu ifade yardımı ile yer değiştirmelerin bilinmeyen olarak tanımlandığı sekiz noktalı eğrisel, izoparametrik bir dörtgen eleman geliştirilmiştir. Elemanın her noktasında serbestlik derecesi için bir yer değiştirme ve iki dönme tanımlanmıştır. Eleman rijitlik matrisini elde etmek için bu elemanın biçim fonksiyonları ve türevleri kullanılmıştır. Yer değiştirmelerden şekil değiştirmelere, şekil değiştirmelerden gerilmelere geçilerek sonuca ulaşılmıştır. Sonraki aşamada ise mühendislik çalışmaları üzerinde yaygın bir yere sahip olan Fortran bilgisayar programlama dili kullanılarak bir program geliştirilmiştir. Program probleme ilişkin boyutlar, yükleme, sınır şartları gibi data dosyalarının yüklenmesi ile çalışmaya başlayıp plaktaki yer değiştirmeleri ve iç kuvvetleri verebilme özelliğine sahiptir. Geliştirilen sonlu elemanın yaklaşıklık derecesi değişik yükleme ve sınır koşulları altında belirlenmeye çalışılmış ve sonuçlar yeterli düzeyde bulunmuştur.

There have been many researches on plates because of their importance in engineering structures. In many structures, thick plates are under bending, for this reason it is necessary to improve a new thick plate theory instead of using the theories drived originally for thin plates. Mindlin Plate Theory is one of these theories which consider shear deformations along the thickness. . The two differences between Mindlin Plate Theory and the other theories are that Bernoulli- Navier hypothesis does not exist anymore and the thickness of the plate, whether thin or thick, is not important. In this study, an expression for the strain energy for moderately thick plates is obtained including shear effects. By the help of this formulation, a trapezoidal, curved and isoparametric finite element is presented, in which the displacements are unknown. The element has eight nodes and at each node one displacement and two rotations are defined. To obtain element stiffness matrices, shape functions and derivatives of the these functions of the element are used. The solution is obtained with calculating strains from displacements, stresses from strains and internal forces from stresses. It is shown that the results reached by the element converged to the exact solutions very rapidly. Furthermore, a program was developed by using Fortran, which is a very common programming language in engineering. The program uses the input data such as dimensions, external forces and boundary conditions, and gives internal forces and the displacements in the plate as output. The accuracy of proposed the finite element is determined under different loading conditions and boundary conditions. The comparison between the results of the proposed finite element and the examples given in the literature has shown in good agreement.