Transonic wing flows using nonequilibrium algebraic turbulence model

Abstract

Bu çalışmada, tek taraflı sonlu farklar (upwind difference) ve merkezi sonlu farklar nümerik metotlarının birlikte kullanımı ile ince-tabaka (thin-layer) Navier- Stokes denklemlerinin temel cebrik türbülans modelleri ve dengede olmayan cebrik türbülans modeli ile transonik akış karakterine sahip akışta, bir kanat üzerinde çözümü yapılmıştır. Özellikle CFD (Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği) uygulamalarında geliştirilen bilgisayar kodunun doğrulanması için kullanılan ONERA M6 kanadı, çeşitli hücum açılarında literatürde verilmiş olan deneysel ve hesaplamalı uygulamalarla karşılaştırılarak sonuçlar alınmıştır. Alınan sonuçlardan, kullanılan Johnson-King (JK) türbülans modelinin, tek taraflı sonlu farklar nümerik metoduyla ayrımlı transonik kanat akışları halinde merkezi farklar metodu ve diğer türbülans modellerinden daha iyi sonuç verdiği görülmüştür. Transonik kanat dizaynı özellikle askeri ve sivil havacılıkta kullanılan uçakların hemen hemen çoğunun uçuş hızları transonik olduğu için önemli bir konudur. Transonik uçuşta optimize uçuş hızlarının dizaynı için kullanılan kodlar düşük mertebeden viskoz olmayan, potansiyel veya Euler metotlarına dayanmaktadır. Bilgisayar hesaplama zamanları gibi kısıtlamalar, Reynolds ortalamalı ince tabaka (Reynolds-Averaged * Thin-Layer) Navier-Stokes çözücülerinin daha çok tasarım iyileştirme safhasında ele alınmalarına yol açmaktadır. Transonik kanat akışları konusunda son zamanlarda oldukça fazla çalışma yapılmıştır. Çalışmaların çoğu düşük açıklık oranlı WING C [6], ONERA M6 [7], ve diğerleri üzerinde yoğunlaşmıştır. Bu tip kanatlardaki ilk çalışmalar Kaynak [9], Vatsa [10] ve Abid [11] gibi araştırmacılar tarafından gerçekleştirilmiştir. Son zamanlardaki çalışmaların bazıları eddy viskozite modellerini de içeren detaylı çalışmalardır ( Marx [12], Rumsey ve Vatsa [13], Menter [14], vb.). YÖNETİCİ DENKLEMLER Çözümü yapılacak denklemler tam Navier-Stokes denklemleri olup ince tabaka formunda genelleştirilmiş koordinatlarda aşağıdaki gibi verilmektedir: xıı d,Q + d£E + dnF + dcG = Re-xdcS (1) Burada Ç, r\ ve Ç, sırasıyla akım boyunca, kanat açıklığı boyunca ve kanat yüzeyine dik olan genelleştirilmiş koordinatları belirtmektedir. Q korunulan değerler vektörü, J*. A /V A E,F,G viskoz olmayan akım vektörlerini ve S viskoz akım vektörünü ifade etmektedir. İnce tabaka yaklaşımında yüksek Reynolds sayılarında viskoz etkiler, rijit sınırlar ve iz bölgesinde etkilidir. İnce tabaka yaklaşımında ele alman bazı kabuller şöyle ifade edilebilir:. Bütün cisim yüzeyleri koordinat yüzeylerine dönüştürülür.. Belirli bir Reynolds sayısındaki hassasiyeti yakalamak için grid aralığı cisim yüzeyine doğru sıklaştırılır.. £, yönündeki viskoz türev terimleri ihmal edilir, buna karşılık r| yönündeki terimler korunur. Kullanılan bilgisayar kodu, kapalı yaklaşık çarpanlara ayırma (implicit approximate factorization) algoritmasına dayanmaktadır. Kapalı (implicit) nümerik metotlar, uygulanacak zaman adımı olarak şartsız kararlıdırlar. Uygulanan kapalı yaklaşık çarpanlara ayırma metodu ile / + /*^>][/ + M,7İr|/ + Mt-C" -hRe-iScJ,M"j\AQ" = -h(öçE" +SnF" +S-Ğ" -ReH SCS") denklemi elde edilir. Burada kullanılan yöntem Obayashi ve Fujü [16] tarafından önerilen LU-ADI metodudur. Bu yaklaşık çarpanlarına ayrılmış denklem iki ayrı nümerik metot ile çözülmüştür. Bu metotlardan ilki yapay disipasyon terimleri eklenmiş merkezi farklar metodudur ve F(Qj, ö;+,, SJ+U2 ) = I {F(Qj, &j ) + F(Qj+l,Si+l )} ^(2)(Öy+,-e,)-*(4)(^öy+,-^fiy)} ^. - <3> W A/+1/2 şeklinde verilmektedir. Tek taraflı (upwind) farklar metodu, toplam kütle akısı, basınç ve kontravaryant hızların bileşiminden oluşan bir yöntemdir. Viskoz olmayan akıların hücre arayüzündeki ifadesi aşağıdaki gibi verilebilir: lv?7İf ı r, ı J 12 (4) J Bu nümerik metotların çözümünde kullanılan yöntem LU-ADI faktörizasyon metodudur. Her bir ADI operatörü LU faktörizasyon ile alt ve üst bidiagonal matrislerine ayrılmış bileşenlerin çarpımı olarak ifade edilir. xıu Nümerik denklemlerin çözülmesi yanında türbülans modelleri de önemli bir yer tutar. Nihai amaç temel alınan türbülans modellerinin daha iyileştirilerek tasarım aşamasında dizayn çevrimine katılmasıdır. Bu çalışmada kullanılan türbülans modelleri Baldwin-Lomax [4], Cebeci-Smith [5] ve Johnson-King [20] türbülans modelleridir.Bu çalışmada, tek taraflı sonlu farklar (upwind difference) ve merkezi sonlu farklar nümerik metotlarının birlikte kullanımı ile ince-tabaka (thin-layer) Navier- Stokes denklemlerinin temel cebrik türbülans modelleri ve dengede olmayan cebrik türbülans modeli ile transonik akış karakterine sahip akışta, bir kanat üzerinde çözümü yapılmıştır. Özellikle CFD (Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği) uygulamalarında geliştirilen bilgisayar kodunun doğrulanması için kullanılan ONERA M6 kanadı, çeşitli hücum açılarında literatürde verilmiş olan deneysel ve hesaplamalı uygulamalarla karşılaştırılarak sonuçlar alınmıştır. Alınan sonuçlardan, kullanılan Johnson-King (JK) türbülans modelinin, tek taraflı sonlu farklar nümerik metoduyla ayrımlı transonik kanat akışları halinde merkezi farklar metodu ve diğer türbülans modellerinden daha iyi sonuç verdiği görülmüştür. Transonik kanat dizaynı özellikle askeri ve sivil havacılıkta kullanılan uçakların hemen hemen çoğunun uçuş hızları transonik olduğu için önemli bir konudur. Transonik uçuşta optimize uçuş hızlarının dizaynı için kullanılan kodlar düşük mertebeden viskoz olmayan, potansiyel veya Euler metotlarına dayanmaktadır. Bilgisayar hesaplama zamanları gibi kısıtlamalar, Reynolds ortalamalı ince tabaka (Reynolds-Averaged * Thin-Layer) Navier-Stokes çözücülerinin daha çok tasarım iyileştirme safhasında ele alınmalarına yol açmaktadır. Transonik kanat akışları konusunda son zamanlarda oldukça fazla çalışma yapılmıştır. Çalışmaların çoğu düşük açıklık oranlı WING C [6], ONERA M6 [7], ve diğerleri üzerinde yoğunlaşmıştır. Bu tip kanatlardaki ilk çalışmalar Kaynak [9], Vatsa [10] ve Abid [11] gibi araştırmacılar tarafından gerçekleştirilmiştir. Son zamanlardaki çalışmaların bazıları eddy viskozite modellerini de içeren detaylı çalışmalardır ( Marx [12], Rumsey ve Vatsa [13], Menter [14], vb.). YÖNETİCİ DENKLEMLER Çözümü yapılacak denklemler tam Navier-Stokes denklemleri olup ince tabaka formunda genelleştirilmiş koordinatlarda aşağıdaki gibi verilmektedir: xıı d,Q + d£E + dnF + dcG = Re-xdcS (1) Burada Ç, r\ ve Ç, sırasıyla akım boyunca, kanat açıklığı boyunca ve kanat yüzeyine dik olan genelleştirilmiş koordinatları belirtmektedir. Q korunulan değerler vektörü, J*. A /V A E,F,G viskoz olmayan akım vektörlerini ve S viskoz akım vektörünü ifade etmektedir. İnce tabaka yaklaşımında yüksek Reynolds sayılarında viskoz etkiler, rijit sınırlar ve iz bölgesinde etkilidir. İnce tabaka yaklaşımında ele alman bazı kabuller şöyle ifade edilebilir:. Bütün cisim yüzeyleri koordinat yüzeylerine dönüştürülür.. Belirli bir Reynolds sayısındaki hassasiyeti yakalamak için grid aralığı cisim yüzeyine doğru sıklaştırılır.. £, yönündeki viskoz türev terimleri ihmal edilir, buna karşılık r| yönündeki terimler korunur. Kullanılan bilgisayar kodu, kapalı yaklaşık çarpanlara ayırma (implicit approximate factorization) algoritmasına dayanmaktadır. Kapalı (implicit) nümerik metotlar, uygulanacak zaman adımı olarak şartsız kararlıdırlar. Uygulanan kapalı yaklaşık çarpanlara ayırma metodu ile / + /*^>][/ + M,7İr|/ + Mt-C" -hRe-iScJ,M"j\AQ" = -h(öçE" +SnF" +S-Ğ" -ReH SCS") denklemi elde edilir. Burada kullanılan yöntem Obayashi ve Fujü [16] tarafından önerilen LU-ADI metodudur. Bu yaklaşık çarpanlarına ayrılmış denklem iki ayrı nümerik metot ile çözülmüştür. Bu metotlardan ilki yapay disipasyon terimleri eklenmiş merkezi farklar metodudur ve F(Qj, ö;+,, SJ+U2 ) = I {F(Qj, &j ) + F(Qj+l,Si+l )} ^(2)(Öy+,-e,)-*(4)(^öy+,-^fiy)} ^. - <3> W A/+1/2 şeklinde verilmektedir. Tek taraflı (upwind) farklar metodu, toplam kütle akısı, basınç ve kontravaryant hızların bileşiminden oluşan bir yöntemdir. Viskoz olmayan akıların hücre arayüzündeki ifadesi aşağıdaki gibi verilebilir: lv?7İf ı r, ı J 12 (4) J Bu nümerik metotların çözümünde kullanılan yöntem LU-ADI faktörizasyon metodudur. Her bir ADI operatörü LU faktörizasyon ile alt ve üst bidiagonal matrislerine ayrılmış bileşenlerin çarpımı olarak ifade edilir. xıu Nümerik denklemlerin çözülmesi yanında türbülans modelleri de önemli bir yer tutar. Nihai amaç temel alınan türbülans modellerinin daha iyileştirilerek tasarım aşamasında dizayn çevrimine katılmasıdır. Bu çalışmada kullanılan türbülans modelleri Baldwin-Lomax [4], Cebeci-Smith [5] ve Johnson-King [20] türbülans modelleridir.