On the point vortex dynamics

Abstract

Point vortex motion is introduced and application areas are discussed. Formulation for bounded and unbounded point vortices are given via Lagrangean representation. Also, the equations for advected particle in a system of point vortices are given. Point vortex problem has integrable and nonintegrable solutions. In order to investigate nonintegrable solutions, an introduction to dynamical system analysis is given. Some tools to characterize the solution of dynamical system are explained. As an example Poincare" sections of Henon-Heiles system are drawn. Nonintegrable dynamical systems are mainly investigated using computers. A new approach, object oriented programming, introduced and its application to this problem is explained. Lyapunov exponents program are discussed in more detail. Numerical experiments are made for the unbounded, circular, and semi-circular domains. Configurations from literature reviewed and repeated. Also, new configurations are investigated. It is found that in the unbounded domain four, in a circular domain three, and in a semi-circular domain two vortices are enough to observe chaotic behavior. For all configurations, trajectories and power spectra, and for chaotic motions Poincare- sections are displayed. Onsager's negative temperature paradox is discussed and recently suggested remedy to this paradox is given. Ergodicity of the point vortex systems are discussed. In the unbounded domain, four point vortex systems is made and it is found to be ergodic. For the bounded case billiard type chaos is ergodic since it resembles elastic collision of hard spheres.

Doğanın düzen içinde bir karmaşa içerdiği çevremizdeki olaylardan görülmektedir. Bu karmaşa birçok olayın gelecekteki davranımı hakkında tahmin yapmayı güçleştirmektedir. Örneğin günümüzde halen bir hafta sonraki hava durumunu doğru olarak tahmin etmek mümkün olmamaktadır. İnsan bu problemi çözebilmek için doğal olayların modellerini yapmak ve bu basitleştirilmiş modeller yardımıyla doğayı anlama yoluna gitmiştir. Genellikle bu modellerde, modeli zorlaştıracak seçkisiz terimler ihmal edilmektedir çünkü bu tip terimler doğadaki karmaşayı modele de taşıyıp onu anlamamızı zorlaştırabilmektedirler. Fakat tamamen deterministik şartlarla oluşturulan modellerde de karmaşık davranımlar olabileceği matematikçiler tarafından ortaya atılmıştı. Bu durum diğer bilim dallarında 1960'lı yıllara kadar unutulmuştu ve deterministik modellerin karmaşık davranım gösterebilecekleri düşünülmüyordu (Gleick, 1990). Lorenz (1963) bu yıllarda yayınlanan bir makalesinde oldukça basitleştirdiği bir atmosferik olayın modelinin kaotik davrandığını gösterdiğinde unutulmuş olan bu özellik tekrar hatırlanmaya başlandı. Lorenz'in yaptığı üç serbestlik dereceli adi diferansiyel denklem takımı konveksiyon yoluyla hareketi modellemekteydi ve kendini tekrar etmeyen bir yapıya sahipti. Bu sistemin önemli özelliklerinden biri de başlangıç şartlarına hassas olmasıydı. Başlangıç şartlarındaki ufak bir değişim daha sonraki hareketin tamamen farklı olmasına neden olmaktaydı. Tekrar gündeme gelen deterministik sistemlerde kaotik davranım bilgisayarın kullanılmasıyla incelenebilir hale gelmişti. Lorenz'in makalesinden sonra bir çok bilim dalında benzer makaleler birbirini izledi, bu davranımı incelemek için yeni matematiksel yöntemler ortaya atılmaya başlandı. Akışkanlar mekaniğinde karmaşık bir yapıya sahip olan türbülanslı akım doğadaki kaotik yapılara bir örnek olarak gösterilebilir. Basit deterministik sistemlerinde kaotik davranım göstermesi türbülanslı akımın anlaşılmasında yararlı olabilecektir (Ruelle, 1989). Bu çalışmada kaotik davranım gösterebilen noktasal girdap sistemi, dinamik sistem analizi yöntemleriyle incelenmiş ve istatiksel mekaniğin burada kullanılıp kullanılamacağı, ergodiklik testi ile incelenmiştir. Noktasal girdap, düzlemdeki girdap hareketinin çapının sıfıra indirilirken şiddetinin aynı kalması ile elde edilir. Bu hareket parçacıkların etkileşimi hareketi olduğundan atomik düzeyden kozmik düzeye kadar pek çok olaya benzeşim göstermektedir. Akışkanlar mekaniğinde önemli bir yeri olan girdaplar, akışkan içinde hareket eden cisimlerin arkalarındaki izde de görüldüğünden gemi inşaat mühendisliğinde de uygulama alanına sahiptir. Dinamik sistemlerde kaosun incelenmesinde bilgisayarın önemi çok büyüktür. İncelemeler genellikle sayısal analiz yöntemleriyle yapılmaktadır. Zaman serileri incelemede ilk sırayı alırlar. Kaotik sistemlerde zaman serileri düzensiz bir görünüm sergilemektedirler. Zaman serilerinin Fourier serileri yardımıyla frekans tabanında incelenmesi sistemin penodlan hakkında bilgi vermektedir. Spektrumda sürekli ve düzensiz bir grafik kaotik hareketin göstergelerindendir. Bir diğer kıstas ise PoincarĞ kesitleridir. Poincare' kesitleri incelenen sistemin boyutunu indirerek incelemede kolaylık sağlarlar. Faz uzayında tanımlanan bir hiperdüzlemle kesişen yörüngelerin oluşturduğu noktalar Poincare' kesitlerini verirler. Bu yöntemle sistemin boyutlaını ikiye kadar indirmek mümkün olmaktadır. Bu kesitlerde dağılmış görünümlü noktaların varlığı kaosu haber veren bir başka bir belirtidir. Kaosun en önemli kanıtlarından biri Lyapunov üstleridir. Lyapunov üstlerinin fiziksel anlamı sonsuz küçüklükteki bir kürenin yörünge boyunca geçirdiği deformasyonun ölçütü olarak açıklanabilir. Eğer sistemin en az bir tane pozitif Lyapunov üstü varsa bu sistem kaotiktir denilebilir. Pozitif Lyapunov üstleri sistemin saçıldığını, negatif Lyapunov üstleriyse sıkıştığını gösterirler. Sistemin saçılımı başlangıç şartlarının bir süre sonra unuttuğu anlamına gelmektedir ki, bu da kaos'un en önemli özelliklerinden biridir. Yukarıda bahsedilen programlar yapılırken yeni bir programlama tekniği olan nesne tabanlı programlama kullanılmıştır. Nesne tabanlı programlama mevcut programlama dillerinden bazılarında da kullanılabilen fakat nesne tabanlı dillerle daha etkili olan bir tekniktir. Bugüne kadar kullanılmakta olan işlem tabanlı programlama tekniğinde yapılan işlemler daha önemli bir yer tutmaktaydı. Oysa nesne tabanlı programlamada nesneler daha önemli yer tutmaktadır. Bu teknikte her nesneye -ix- kendinden yapılması istenen metodlar öncelikle programlanır ve gerektiğinde sadece nesneden bu yöntemi yapması komutu verilir. Böylece programda her seferinde yapılacak şeylerin yinelenmesi önlenmiş olmakta ve programın dizaynı ve anlaşılması daha kolay olmaktadır. Nesne tabanlı programlamanın bir diğer önemli yaran ise yaratılan nesnelerin her yeni yazılan programa kolaylıkla uygulanabilmesidir. Bu özellik sayesinde program yazma zamanı kısalabilmektedir. Bu çalışmada bir nesne tabanlı dil olan C++ dili kullanılmıştır. C++ dili çok yaygın olarak kullanılan C diline nesne tabanlı programlamayı kolaylaştıracak bazı ekler yapılmasıyla oluşmuştur ve C dili ile tamamen uyumludur. Çalışmada yararlanılan programlarda kullanılmak üzere bir takım nesneler yaratılmıştır. Yaratılan küme nesnesi kendini oluşturan sayılan ve boyutunu bilen bir nesnedir. Bu nesne bilgisayann hafıza kontrolü gibi bazı temel işlemleri ve iki küme değişkenin birbiri ile karşılaştırma işlemlerini içeren metodlan bilmektedir. Nesne tabanlı dillerin bir özelliği olan kalıtım kullanılarak küme nesnesinden vektör, matris, hiperdüzlem nesneleri türetilmiştir. Bu nesneler de kendilerine özgü metodlarla donatılmışlardır. Bu nesneler yanında adi diferansiyel denklemleri içeren bir nesne de yaratılmıştır. Bu nesneler kullanılarak Runge-Kutta ve Bulirsch-Stoer sayısal integrasyon yöntemleri C++ diline uyarlanmıştır. Bu yöntemler sayesinde yörüngeler, spectrumlar ve Poıncare" kesitleri çizilmiştir. Lyapunov üstleri programlan en çok kullanılan basit bir yöntem kullanılarak yapılmış fakat bu yöntemle üstlerin bulunmasının çok uzun zaman alacağı anlaşılmıştır. Daha kısa zaman alan yöntemler üzerindeki çalışmalar sürmektedir. Noktasal girdaplarla ilgili incelemeler, sınırlandırılmamış ve sınırlandmlmış ortamlar için yapılmıştır. Her iki halde de sabit noktaların varlığı araştırılmıştır. Sınırlandırılmamış halde tek girdap, hareket denklemlerinin sağ tarafının sıfırlanması nedeniyle her başlangıç şartı için sabit nokta vermektedir. İki girdabın sabit nokta oluşturabileceği tek durum çözüm kümesinde bulunmayan iki girdabın üst üste gelme durumudur. Bu yüzden iki girdaplı sistemde sabit nokta bulunmamaktadır. Girdap sayısının ikiden büyük olduğu her durumda sabit noktalar bulunmaktadır. Bu sabit noktalardan bazılarının karakterleri incelenmiştir. Üç noktasal girdapın oluşturduğu sabit noktalann stabil olmadığı görülmüştür. Dört noktasal girdabın oluşturduğu sabit noktaların ise stabil olduğu, sabit nokta veren başlangıç şartlarından büyük sapmalarda yörüngelerin sabit noktalar etrafında kalmadığı gözlenmiştir. Sabit noktaları incelenen son hal ise beş noktasal girdaptır. Bu halde sabit nokta veren konfigürasyondan yapılan çok küçük sapmaların dahi yörüngelerin bu noktalardan uzaklaştırdığını göstermiş ve beş noktasal girdabın sabit noktasının stabil olmadığı bulunmuştur. Sınırlandırılmamış ortamda kaotik hareket elde etmek için en az sayı olan dört girdap kullanılmıştır. Dört girdap simetrik başlangıç şartlan verildiğinde en kötü halde kuasi-periyodik hareket etmektedir. Sınırlandırılmamış ortamda bir diktörtgenin köşelerine yerleştirilen noktasal girdapların hareketi bir tor oluşturmaktadırlar. Bu başlangıç şartından yapılan küçük sapmalar sonucunda KAM teoremi uyarınca yörüngeler yine bu torun üzerinde kalmaya devam etmektedir. Daha büyük sapmaların kaotik davranım gösterdiği görülmüştür. Bir eşkenar üçgenin köşelerine ve açıortayların kesişim noktasına dört noktasal girdapla oluşturulan simetri halinde, eğer girdapların şiddetleri benzer ise, köşelerdeki noktasal girdapların dairesel bir yörüngeyle döndüğü ve ortadaki noktasal girdabın ise sabit kaldığı görülmüştür. Bu başlangıç şartında yapılacak ufak bir sapma hareketi kaotik yapmaya yetmektedir. Dört noktasal girdapla yapılabilecek bir diğer simetri ise noktasal girdapların bir çizgi üzerinde yerleştirilmesi ile elde edilebilir. Bu durumda ilginç bir olayla karşılaşılmıştır. Çizgi üzerindeki noktasal girdaplardan içteki çiftin birbirine olan uzaklığı dışardakilerle olan uzaklığın yansı alınmış ve şiddetleri +1, +1, -5 ve -5 olan noktasal girdaplar mümkün olan dört şiddet konfigürasyonunda incelenmiştir. Her dört konfigürasyonda da düzgün hareket beklenmesine karşın şiddetleri küçük olan noktasal girdaplar dışarıya konulduğunda sistemin kaotik davrandığı gözlenmiştir. Bu tip bir davramma literatürde rastlanamamış ve mevcut yöntemlerle sebebi henüz açıklanamamıştır. Sınırlandırılmamış ortamda aynı değerde fakat ters şiddetteki noktasal girdaplar birlikte sonsuza doğru hareket etmektedirler. Bu hareket örnek olarak iki pozitif iki negatif noktasal girdabın hareketi verilmiştir. Sınırlandırılmış halde noktasal girdaplar dairesel ve yan dairesel ortamlarda incelenmiş ve bu tip bir ortam için sabit noktalar verilmiştir. Dairesel ortamda kaotik davranım elde etmek için gerekli en az noktasal girdap sayısı üçtür. Üç noktasal girdapla elde edilen kaotik davramma iki örnek gösterilmiştir. Bunun yanında bilardo tipi kaos adı verilen bir davranım dairesel ortamda dört noktasal girdapla gösterilmiştir. -xi- Sınırlandırılmış haldeki diğer incelemeler yan dairesel ortamda yapılmıştır. Yan dairesel ortamda kaos elde etmek için gerekli olan iki noktasal girdaplı konfıgürasyonlar incelenmiştir. Stabil sabit nokta veren bir konfıgürasyona yapılan sapmalar sonucunda oluşan kuasi periyodik ve kaotik davranımlar gösterilmiştir. Ayrıca yan dairesel ortamda da bilardo tipi kaos adı verilen olaya bir örnek verilmiştir. Normalde çok serbestlik dereceli sistemlerde kullanılan istatiksel mekaniğin, düşük serbestlik dereceli kaotik sistemlerde de kullanılabileceği bilinmektedir. İstatiksel mekaniğin kullanılabilmesi için gerekli olan ergodiklik şartı noktasal girdap için araştırılmıştır. Sınırlandınlmamış halde yapılan ergodiklik testi sonucunda kaotik noktasal girdap sisteminin ergodik olduğu görülmüştür. Noktasal girdapların incelenmesi sonucunda Onsager (1949) tarafından ortaya atılan paradox ve bunun yakın zamandaki çözümü de (Berdichevsky, Kunin ve Hussain, 1991) yine son bölümde tanıtılmıştır.