Numerical simulation of 2-Dlaminar flow, heat generation and forced convection from rectangular blocks in a narrow channel

Abstract

Bu çalışmada dar bir kanal içine yerleştirilmiş dikdörtgen bloklar üzerinde viskoz, laminer, 2-Boyutlu akış çeşitli Reynolds sayılarında modellenmiştir. Ayrıca bloklar içinde üretilen yapay ısının taşımın yoluyla akışkana ve iletim yolu ile alt takaba geçişi birleşik çözüm yöntemi ile modellenmiştir. Problem blok ve alt tabaka malzemesi olarak değişik iletim ve ısı kaynaklan gerektirmektedir. Ayrıca akışkan ile etkileşim nedeniyle katı ve akışkan bölgelerinin ortak çözümünün yapılması gerekmektedir. Bu nedenle çalışmada bütün bölge bir anda çözüme alınarak ortak çözüm elde edilmiştir. Bu çözüm yöntemi birleşik çözüm olarak bilinmektedir. Aşağıda problem çözümünde kullanılan denklemler özetlendikten sonra çalışmada izlenen yöntem tanıtılmıştır. Akışkanlar mekaniğinin temel denklemleri, korunum yasaları kullanılarak çıkarılmıştır. Kütlenin korunumu kullanılarak süreklilik denklemi, momentum korunumu kullanılarak vektör formundaki momentum denklemi ve enerjinin korunumun- dan ise enerji denklemi elde edilir. Momentum denklemi viskoz akış alam için Navier-Stokes denklemleri ile ifade edilmektedir. En genelde bu denklemler iki boyutlu sıkıştırılamaz viskoz ve daimi olmayan akış alanı için aşağıdaki gibidir. Süreklilik Denklemi V.V=0 (1) Momentum Denklemi DV 1 -s = -Vp + t,V*V + f (2) Dt p Enerji Denklemi DT, (Ö2T d2T\ pC>-Dt=:k[d? + W)+'i* (3) Akış alanının çözümü için bu çalışmada 2-Boyutlu girdaplılık akım fonksiy onu tercih edilmiştir. Çalışmada kullanılan girdaplılık akım fonksiyonları yöntemi önce girdaplılık denkleminin tanımıyla başlatılmıştır. Sonra hız alanının bileşenleri akım fonksiyonu cinsinden ifade edilmiştir. Bu bileşenlerin girdaplılık denklemine taşınmasıyla, kısmı diferensiyel denklem formundaki eliptik Poisson denklemi elde edilmiştir. Aynı şekilde girdaplılık tanımının, momentum denklemine taşınması ve gerekli düzenlemelerin yapılması ile iki boyutlu parabolik girdaplılık taşınım denklemi elde edilmektedir. Bu denklemler sırasıyla, Ikı boyutlu Girdaplılık alanının tanımı; W = ^-% (4) Hız alanmin akım fonksiyonu cinsinden tanimi; Poisson denklemi; VV = -w (6) Girdaplılık taşınım denklemi boyutsuz değerler emsinden; seklinde ifade edilir. Akış alanını denklemlerinden sonra sıcaklık alanına ait enerji denklemi ifade edilmiştir. En genel haldeki enerji denklemi, _ DT, (d2T d2T \ pc»u; = kW + W+)+tl* (8) XI seklinde tanımlanır. Bu denklemde, -(8).(E) *(£.£> )' Bu denklem boyutsuz değişkenler cinsinden çözüme uygun şekilde aşağıda tanımlanmıştır. Akış alanı için enerji denklemi (10) 00 d±90^_d±d9__Ec_^ 1 dt dydx dxdy Re RePr d2e d2e dx2 dy2 Katı cisim için enerji denklemi ise de 1 dt PrRe v2e + q (11) şeklinde ifade edilir. 11 denkleminde q katı cisim içinde birim hacimde üretilen ısı kaynağını göstermektedir. Ayrık ısı kaynağı dikdörtgen bloklar içinde çeşitli konumlarda bulunmaktadır. Kısmi diferensiyel denklemleri çözme yöntemlerinden biri de Sonlu Farklar Yöntemidir (SFY). Sonlu Farklar Yöntemini; süreklilik gösteren ve fiziksel olayı modelleyen denklemleri, süreklilik bölgesi içinde, verilen belirli bir noktadan başlayarak çok küçük artımlarla ayrık noktalarda bu süreklilik bölgesi içinde verilen belirli başlangıç koşullan ve sınır şartları ile çözmek olarak tanımlayabiliriz. Sonlu farklar yöntemi; Taylor serisi yaklaşımı, Polinom yaklaşımı, Integral yöntem yaklaşımı ve Kontrol hacmi yaklaşımından birini ya da aynı anda bir kaçını, aynı problemde, modellenmesini gerekmektedir. Bunlardan integral yöntem ve Taylor serisi yöntemindeki kabul, verilen kısmi diferensiyel denklemin veriliş formunun doğru olduğu ve bu formunda fiziksel olayın gerçeklendiği konservativ form olduğu kabul edilip denklem cebrik denklemler formuna sadece matematiksel teknikler kullanılarak indirgenmektedir. Özellikle sınırlarda, kontrol hacmi yaklaşımı daha hasas çözümler vermektedir, ancak uygulamada sınırlarda alan büyüklüklerinin her biri sınırı geçtiği yerde bu büyüklük cinsinden yazılmış denge denkleminden elde edilmektedir. Eğer Taylor serisi ve Kontrol Hacmi yaklaşımı arasında bir karşılaştırma yapmak istersek; Taylor serisi yaklaşımı kullandığımızda verilen kısmi diferensiyel denklemi tamamen modellemek mümkün olduğu gibi değişik Taylor serisi modellemeleri kullanarak bunların kombinasyonundan yeni nıodellemeler çıkarmak mümkündür. Fakat Kontrol xu Hacmi yaklaşımında konservatif form gerektiğinden bunu sadece alan değişkeninin türevi olması halinde yapmak mümkün olmayabilir. Bundan dolayı, sınırlar boyunca alınmış türevler için gereken sonlu farklar modelinin nasıl olacağına karar vermemiz zorlaşacaktır. Yani kontrol hacmi yaklaşımında kullanacağımız sonlu farklar modelinin konservatif özellik taşıması zorunlu hale gelmiştir. Çok sayıda örnek olmadan hangi sonlu farklar indirgeme metodun ya da yaklaşımın daha uygun sonucu vereceğini söylemek zordur. Fakat birçok basit durumda farklı dört yöntemin aynı sonucu vermesi mümkün olabilir. Geliştirilen sonlu farklar modelinin sayısal olarak kararlı olmaması halinde ise hangi yöntem ya da yaklaşım kullanılmış olursa olsun sonuç anlamsızdır. Bu çalışmada ağırlıklı olarak Taylor serisi yaklaşımı kullanılmıştır. Birinci derece türevler için ileri farklar, geri farklar ve merkezi farklar formülleri de ikinci dereceden türevler için merkezi farklar modelleri problem fiziğine uygun olarak verilmiştir. Şekil 1 bu çalışmada kullanılan geometrinin önemli özelliklerini göstermektedir. Problemin uygulama alanı daha çok elektronik baskılı devre kartlar üzerindeki yongaların soğutulması olarak literatürden gözlenebilir. Ancak bu çalışmada yaklaşım daha genel ve fiziksel parametrelerin araştırılması olarak seçilmiştir. Modelin fiziksel özellikleri gerçekte varolan fiziksel modelinkine yakın alınmıştır. Burada modellenen bilgisayar yongasıdır (chip) ve yongalar dikdörtgen bloklar olarak modellenmişlerdir. Denklemlerin akış alanı ve sıcaklık alanı için yazılmasından ve gerekli sonlu farklar modellerinin geliştirilmesinden sonra yaptığımız sayısal modellemeye uygun bir fiziksel model olarak HaCohen [1] tarafından yapılan deneysel çalışmada kullanılan geometri benzeri geometriler sayısal olarak modellenmiştir. Bu modellemede uzunluklar kanalın yüksekliği ile boyutsuzlaştırılmış olup, anında değiştirilebilir durumda tutulmuştur. Akım modeli olarak, dar bir kanala impulsiv olarak gönderilen akışkanın durumu göz önüne alınmıştır. Sıcaklık alanının modellenmesi ise; akışkan sıfır boyutsuz sıcaklığı ile gönderilirken katı yüzeylerinde katı-sıvı iletişim dengesi yazılmıştır. Bloklar içinde belirli güçte ısı üreten kaynaklar alınmış ve kanalın alt üst duvarları sabit sıcaklıkta tutulmuştur. XI u ait duvar ooQutr > I Us t duvar 1. dikdörtgen blok t0İMn tnliıauîsl ( tabfltrat) ayrık ısı kaynağı 2. dikdörtgen blok Şekil la) Fiziksel modelin geometrisi. * dünııu bölgesi Şekil lb) Fiziksel modelin geometrisi için kullanılan nümerik model Bu durumu modelleyen diferensiyel denklemler olarak süreklilik ve girdaplılık denklemi seçilen paremetrelerle boyutsuz hale getirilip 2 boyutlu hal için uygun şekilde yazılarak akım alanı modellenmiştir. Aynı şekilde enerji denkleminin 2 boyutlu hal için boyutsuz durumu disipasyon terimi ve kaynak teriminin eklenmesiyle verilmiştir. xıv Bilindiği üzere bir fiziksel olayın modellenmesinde kullanılan denklemler önemli olduğu gibi bu denklemlerin çözümünde kullanılan sınır koşullarının da önemi büyüktür. Bunların fiziksel olaya uygun bir şekilde gerçekçi olarak verilmesi gerekir. Göz önüne alınan kanalın içinde dikdörtgen bloklar birbiri arkasına seri halde belirli mesafelerde konumlandırılmıştır. Girişte sadece akıma paralel yön olarak seçilen x ekseninde hız vardır; dik yönde ise hız sıfırdır (U = C/oo,Vr = 0 dır). Yine girişte girdaplılık için alman değer u - 0, fakat akım fonksiyonunu ise hız alanına uygun birinci dereceden bir fonksiyon ile tanımlanmıştır. Akış alanı içinde duvarlarda kaymama koşuluna uygun olarak katı yüzeylerde hız vektörü sıfırdır yani V = U = 0. Akım fonksiyonun değeri sabit olup 0 olarak alımist. Girdaplılık için kullanılan sınır şartlan olarak duvarlarda girdaplılık den kleminin seri açılımından elde edilen değerler kullanılmaktadır girişte ise sabit 0 olarak alınmaktadır. Sıcaklık alanı için kullanılan sınır şartlarında, akışkan 9 = 0 boyutsuz sıcaklığı ile dar bir kanala girmektedir. Akış alanı içinde taşınım denklemi; katı içinde ise iletim denklemi çözülmektedir. Katı ile sıvının birleştiği yerlerde bir or tamdan diğer ortama geçen ısıların eşitliği yazılmaktadır. Fakat seçilen sınır şartına bağlı olarak duvarların izole edilmiş olması söz konusu olabileceği gibi sabit sıcaklıkta tutulması da söz konusu olabilir. Bütün alan büyüklükleri, akış alanının ve sıcaklık alanın, göz önüne alman geometrinin sonunda, akış alanına parelel eksen boyunca değişmiyen türevlere sahip büyüklükler olarak kabul edilmişlerdir. Denklemlerin seçilen fiziksel geometri için uygun durumu verildikten sonra, geometriye uygun sınır koşulları verilmiştir. "Akış alanına paralel eksen boyunca değişmeyen türevlerdir" demekle anlatılmak istenen sudur: W_W_d^_du_tW_ dx dx dx dx dx Şimdi bu denklemlerin ayrıklaştırılması yapılmalıdır. Birinci mertebe türev lerde akıma paralel yönde geri farklar kullanılırken dik yönde merkezi farklar kullanılmış; zamanda ise geri farklar alınmıştır, ikinci mertebe türevler merkezi farklara göre açılmıştır. Ayrıklaştırma denklemlerinin düzenlenmesinden sonra akıma paralel yöndeki alan büyüklükleri merkezi terimi hariç diğer terimler bir zaman adımı geriden alınmıştır ve zaman adımı küçük tutulmuştur. Seçilen zaman adımı CFL şartını sağlamaktadır. Bu değerlerin bir zaman adımı geriden alınmasının faydası xv şu şekilde açıklanabilir. Aynklaştınlmış denklemlerin oluşturduğu cebrik denklemlerin matris formunda yazılması karşımıza 5 bandlı bir matris çıkarmaktadır. Bunun bellek gereksinimi, eğer bu 3 bandh matris olarak saklanırsa daha az olacaktır ve kullanacağı bilgisayar zamanında azalacaktır. Bundan dolayı bir zaman adımı geri den alınan değerler bize bu durumu sağlamaktadır. Böylece daha fazla noktada daha kısa zamanda çözüm yapılabilmektedir. Bunun yanında ödenen diyet ise seçilen çok küçük zaman adımı ile daimi koşula yakımsamadaki iterasyon sayısı çok yüksek sayılara ulaşmaktadır. Bilgisayar programının yapım nedeni ile bu pek sorun yaratmamaktadır. Ana denklemlerin istenilen şekilde ayrıklaştınlmasmdan sonra sınır şartlarının uygun bir durumda aynklaştırılması gerekmektedir. Akış alanına ait büyüklüklerin ayrıklaştırılmasmda uygun görülen yerlerde polinom yaklaşımı kullanılmıştır. Aynı şekilde sıcaklık alanın çözümünde kullanılan sınır şartları detaylı bir şekilde tezde anlatılmıştır. Akış alanı ve sıcaklık alanı içinde yer alan kritik noktalardaki çözümler de özel yaklaşımlar kullanılarak bu noktalardaki büyüklüklerin değerlerinin hassas hesaplanması yapılmıştır. Bu hesapların nasıl yapıldığı şekillerle iyice açıklanmış ve ayrıklaştırma noktalan üzerinde gösterilmiştir. Buraya kadar yapılan açıklamaların ışığı altında yazılan bilgisayar programında yukarıda anlatılan yöntemler ve yaklaşımlar kullanılarak çözümler yapılmıştır. Elde edilen sonuçlar, akım alanı ve sıcaklık alanı için, grafiklerle verilmiş bu grafiklerin yorumları yapılmıştır sıcaklık alanının anlatılmasında, üç farklı geometri için üç farlı kaynak yerleştirme durumunda sıcaklık dağılımları çıkartılmış ve bunların birbirlerine göre karşılaştırılma yorumları yapılmıştır. Bu sonuçlardan hareketle en iyi soğutmanın, benzer geometriler için ve yapılan kabuller dahilinde nasıl olabileceği hakkında yorum getirilmiş ve öneriler yapılmıştır.

In this study, a directional-implicit Computational Fluid Dynamics (CFD) finite difference code is developed so as to simulate the direct and indirect heat removal through conduction and convection processes from the rectangular blocks attached to the lower surface of a narrow channel geometry. Two dimensional, unsteady, incompressible, laminar form of the Navier - Stokes (N-S) equations are considered. Using the stream function- vorticity approach, they are discretized via finite difference technique, under the assumption of the Taylor series expansions. The discretized equations than reduced to a three-banded form of a matrix equality ready to be used conjugate solution formulation. In the same manner, two dimensional unsteady energy equation discretized with the source term included into three-banded matrix form. Two field equations are solved numerically for various channel-rectangular block geometries so as to study the steady-state heat transfer characteristics inside channel with possible heat generation inside the blocks. It is shown that the nu merical model is capable of simulating the main features of the flow field. Detailed benchmarks of the present numerical model is attempted so as to validate the de veloped algorithm. The streamvise extension of the recirculation zone behind the rectangular block which is a function of the Reynolds number is very well simulated. Furthermore, it was shown that the heat transfer characteristics of the zone agrees well with the experimental and theoretical observations in the literature. Prepared algorihm is a highly stable algorithm but showing slow convergence to a steady state value. Conjugate solution property of the present approach enables one to study complex thermal characteristics of fluid-solid and solid-solid interactions. Beside the classical boundary conditions of the thermal field, the problem domain is further complicated by the presence of discrete heat sources in the rect angular blocks in form of the infinite small heat generating sheet. Heat generated at various transfer positions are converted by the fluid downstream. The near wall flow temperature and the Nusselt number distributions over the surface depict the most features of the complex fluid-solid interaction. The steady-state temperature inside the blocks and in the substrate are found to be functions of the flow Reynolds number, Prandtl number, heat source position and substrate bottom surface tem perature. Due to the heat generation the flow is heated well above its inlet value. This causes continous heat flow from fluid to the lower plate in the recirculating regions of the rectangular blocks and in the cavities where there are more than one obstacle. The present model can simulate the chip cooling problems for integrated circuit components, i.e, chips, on a horizontal printed curcuit board which is contain ing heat generating rectangular blocks attached to a single layer substrate. Results consistency with other studies, which are reported in literature, is discussed.