A N lie cebirleri için dördüncü ve beşinci mertebe casimir invaryantlarının kuruluşu

Abstract

Bu çalışmada, An lie cebirleri için dördüncü ve beşinci mertebe Ca- simir invaryantlarınm kuruluşu incelenmiştir. Birinci bölümde temel kavramlar hakkında ön bilgi verildi. Baz seçi minden ve bu çalışma için uygun olan Chevalley bazından bahsedildi. Bu bazda cebirin doğuraylarının nasıl kurulacağı, komutasyon bağıntıların dan gelecek olan yapı sabitlerinin niteliği ve bu yapı sabitlerini hesaplama yöntemine değinilmiştir. İkinci bölümde en genel p. mertebe Casimir operatörünün kuruluşu ve Casimir operatörünün, cebirin doğuraylanyla olan komütatörlerinin, doğal bir sonucu olarak elde edilen denklemin p=4 ve p=5 Casimir merte belerine uyarlanması anlatılmıştır. Casimir invaryantı katsayı tiplerinin dördüncüve beşinci mertebe Casimir operatörleri için belirlenmesi,bu katsayıların nasıl seçildiği problemi ele alınmıştır. Bu bölümde dördüncü ve beşinci mertebe Casimir invaryantlarınm, An lie cebirleri için en genel çözümleri verilmiştir. Üçüncü bölümde genel çözümlerin incelenmesiyle birlikte Casimir in varyantı katsayıları arasında aynı değere sahip olanların, eşdeğerlik sı nıfları oluşturdukları gözlenmiştir. Buna göre aynı eşdeğerlik sınıfında olan katsayıları birbirinden ayırtetmek için, gerekli olan göstergeleri tanımlamak ve bu göstergeleri dördüncü ve beşinci mertebedeki tüm kat sayı tiplerini ayırtedecek şekilde belirlemek problemimiz için bir yöntem olmuştur. Son bölümde ise en genel çözdüğümüz Casimir invaryantı katsayılarını An He cebirleri için rank-N 'e genellemek suretiyle elde ettik.

Casimir (1931) constructed an operator 1(2) which commutes with all the generators of a compact semi-simple Lie-Group. This operator is of second order in the generators. Using the structure constants of the corresponding Lie Algebra.Racan (1951) constructed invariant operators I(p) of arbitrary order p in the generators. Namely Racah proved the following theorem: For any semisimple Lie group of rank-N there exists a set of N Casimir operators. In this work we have been developed a method of computing of fourth and fifth orders Casimir invariants with N-dependent coefficients for An Lie algebras. Let T a, A = 1, 2,... Ar(.V + l)/2 be the generators of An Lie algebra of dimension N defined bv rr t ] = f c t where the F c,s are structure constants. These are completely anti symmetric F c = -F c AB BA in the last two indices. For such an algebra there exist a symmetric covariant tensor 9ab = FAC FBD which is built from structure constants. Here that for p=2, the inverse metric tensor gAB = (g 1)ab gives the second order invariant of Casimir. We choise a convenient basis for this work.lt is called Chevalley basis. A Chevalley basis defined by % ? T< f =T "i = Fa,, '/a,. J = -*i+,V(.V + l) ea( = e(,,.- + l) /«i = e(, + l") hi = eU,i) ~ e(.+i,.+i) {ea,/Q., h.} for An Lie algebras where q^'s are simple roots. Casimir operators are the largest set of independent operators which commute with all generators of a Lie algebra. [/(p),TJ = 0, A = l,..-,iV(2\T + 2) A p. order Casimir invariant I(p) can be defined by I{p)=gA^"A'TATAt-TAp where gM**-Ap show completely symmetric coefficients of Casimir in variants. The coefficients gAiA2-Ap here are solved as in following: *1b gc*~c>-l}B = 0. Our aim was to solve N-dependent gAiA*-Ap coefficients for An Lie algebras in the equation. In the solution of p. order Casimir invariants for An Lie algebras,all partition numbers formed by p's positive integer expect 1, will give us the number of linearly independent elements. The solution of the equation is to be stay bounded to two free parameters. At fourth and fifth Casimir orders for any rank N after solving the equation at Chapter 2,our observation became the existence of equiva lence classes. Some gAiA2-Av coefficients which have the same values vi included in the same equivalence classes. It will be seen that this reduces to great extent the number of coefficients gAiA*-Ap. This means that we can determine indicators for equivalence classes of fourth and fifth order Casimir invariants. We defined a convenient criteria for the coefficient which have some values for equivalence classes at Chapter 3. For this, we have seen that it is necessary to define two indicators İNDİ, IND2 which act on coef ficients. We identified two tvpes of product functionals «i and k2 which act on the generators TA. First one is, K\[eaA,eaB] = {aA,as) and its always possible to generalize for all non zero roots as *i[hi,eQA] = (Ai,aA) where Aj's are "fundamental dominant weights. The indicator which is about K\ scalar product function as in below, INDl[g^A2...AqAg+1...Ap] ^ T[Kl[eA^eMl «i[eA!,e^J, Ki[eA2,eAs], KiIex.-neA,]] The second product is defined as in below K2[hi,fik -iu] = -l, i < k «2[^i, /^fc - A*/] = 2, k - 1 < i, i