Dynamo generation of neutron star magnetic fields

Abstract

Neutron stars are very dense objects with a radius of 10-12 km, and a mass of a few solar masses. Like most of the celestial bodies, they are magnetized with dipole (poloidal) field strength of $B_{\rm p} \sim 10^{12}$ G, and toroidal field strength of $B_\phi \sim 10^{14}$~G. Magnetars, on the other hand, are known as the most magnetized objects in the Universe with field strengths of $B_{\rm p} \sim 10^{14}$ G and $B_\phi \gtrsim 10^{15}$ G. Thus, the origin of neutron stars' magnetic fields became a discussion with the identification of magnetars. Two ideas are considered as the possible origin of the magnetic fields of neutron stars. One of them is the fossil-field hypothesis, which states that neutron stars inherit their magnetic fields from their progenitors, since the magnetic flux is conserved during the core collapse. In this scenario, there is no new field generation; the seed field grows as the radius shrinks, with $B \propto R^{-2}$. The other idea that is considered as the source of the magnetic fields of neutron stars is a dynamo process, which states that the magnetic fields of neutron stars are generated inside the proto-neutron star by the fluid motions. However, studies show that the number of progenitors with strong magnetic fields is much lower than the number of known magnetars (30). Let us consider a collapsing core with a radius of 3000 km where the magnetic field strength is approximately $5\times10^5$ G in the surrounding medium. After the collapse, only a magnetic field of $3\times 10^9$ G will be inherited by a proto-neutron star with a radius of 40 km, by only the magnetic flux conservation. When this proto-neutron star shrinks to a neutron star with a radius of 12 km, the neutron star will inherit a magnetic field of $\sim10^{10}$~G by flux conservation. This field strength is approximately 2 orders of magnitude smaller than the magnetic fields of standard neutron stars. However, this field strength is of the order of the dipole magnetic fields of central compact objects. Therefore, although the flux conservation is widely accepted as the source of the magnetic fields in some populations, it is not enough to explain the magnetic fields of neutron stars, especially the field strengths at magnetar levels. Thus, it became clear that there must be another mechanism that generates magnetic fields at those levels. A dynamo process operating inside the proto-neutron star is now the most promising scenario for the generation of neutron star magnetic fields. Two main types of dynamo mechanisms are the $\alpha^2$ and $\alpha-\Omega$ dynamos. Just after the core collapse, hydrodynamic instabilities operate inside the star, and these instabilities create convective motions. In an $\alpha^2$ dynamo, toroidal and poloidal fields generate each other by only convective motions, which is called the $\alpha$-effect. On the other hand, different parts inside the star rotate with different angular velocities, which is the well-known differential rotation. This differential rotation plays a key role in generating strong magnetic fields in an $\alpha-\Omega$ dynamo. In this type of dynamo, when convective motions generate poloidal field by lifting and twisting the toroidal field lines (the $\alpha$-effect), differential rotation generates toroidal field shearing the poloidal field lines, which is known as the $\Omega$-effect. Due to the absence of strong effect of the differential rotation, $\alpha^2$ dynamos generate relatively weak fields compared to $\alpha-\Omega$ dynamos. Thus, an $\alpha-\Omega$ dynamo is the most accepted mechanism for the generation of magnetar fields. Studies demonstrate that magnetic field strengths of even $\gtrsim 10^{15}$ G can be achieved by an $\alpha-\Omega$ dynamo. Therefore, in this study, the field generation at neutron star levels is investigated by an $\alpha-\Omega$ dynamo. In this study, a 1-dimensional $\alpha-\Omega$ dynamo model, which is first proposed for white dwarf fields is adopted to proto-neutron stars, adding the shrinkage of the radius, accordingly, loss of mass, and the flux conservation. Moreover, two viscous processes are involved in the model. One of them is the viscosity due to magneto-rotational instability. Magneto-rotational instability is a dynamical instability that arises from the electrically conducting and differentially rotating fluids in the presence of a weak magnetic field. This instability generates turbulence, which creates this type of viscosity. The other viscous process is the convective viscosity, which is created by convective motions. Dynamo processes are studied with several 2 and 3-dimensional models. However, these models can not be studied with realistic parameters. With this 1-dimensional model, a dynamo process is examined with realistic parameters. In the study, the model equations are solved with Runge-Kutta method, and it is seen that the field components grow in time and get saturated at the end of the dynamo process (approximately 50 s), as expected. Both of the saturation values of the fields are at the magnetar levels. Thus, this study demonstrates that the magnetar fields can be generated by an $\alpha-\Omega$ dynamo which operates inside a proto-neutron star. On the other hand, examinations for proto-neutron stars with relatively long rotational periods are conducted, and results demonstrate that magnetic fields at levels of standard pulsars, high-field pulsars and low-field magnetars can be achieved for slow rotations. With this result, it is evident that the fast rotation of the proto-neutron star plays a key role in the generation of magnetic fields of magnetars in dynamo processes. This is consistent with the studies which indicate that relatively slower rotations generate weaker fields. Moreover, results show that as the poloidal fields of central compact objects ($B_{\rm p}\sim 10^{10}$~G) are inherited from the progenitor star by flux conservation, their toroidal fields are amplified by the $\Omega$-effect. This is an interesting result which indicates that central compact objects can experience a dynamo process in which the $\alpha$-effect is ineffective. Additionally, with this 1-dimensional model, the impacts of the parameters on the results are also investigated, which is not possible with 2 or 3-dimensional models.

Nötron yıldızları, yarıçapları 10-12 km arasında değişen, birkaç Güneş kütlesi ağırlıklı, çok yoğun yıldızlardır. Çoğu gökcismi gibi nötron yıldızları da manyetik objelerdir, ve dipol (poloidal) manyetik alanları $B_{\rm p} \sim 10^{12}$ G, toroidal alanları ise $B_\phi \sim 10^{14}$ G civarındadır. Magnetarlar ise standart nötron yıldızı manyetik alanlarından çok daha güçlü manyetik alanlara sahip olmalarıyla, evrende bilinen en manyetik cisimlerdir. Manyetik alanları, normal nötron yıldızı manyetik alanlarından yaklaşık iki mertebe daha büyük olmakla beraber ($B_{\rm p}\sim 10^{14}$ G), iç kısımlarında çok daha güçlü manyetik alanlara sahiptirler ($B_\phi \gtrsim 10^{15}$ G). Nötron yıldızlarının bu güçlü manyetik alanlarının kaynağının ne olduğu ile ilgili tartışmalar ise magnetarların keşfiyle yeniden gün yüzüne çıkmıştır. Nötron yıldızlarının manyetik alanlarının kaynağı olarak iki temel olasılık üzerinde durulmuştur. Bunlardan biri fosil-alan hipotezidir. Fosil-alan hipotezine göre, nötron yıldızlarının manyetik alanları, kendilerine çekirdek çökmesi sırasında manyetik akının korunumu sonucu ata yıldızlarından kalmıştır. Bu senaryoda yeni alan üretimi yoktur, sadece var olan manyetik alanın yarıçap küçülürken $B \propto R^{-2}$ ile sıkışıp büyümesi vardır. Bir diğer olasılık ise dinamo mekanizmasıdır. Dinamo mekanizması, bir gökcisminin içindeki iletken olan ve diferansiyel olarak dönen akışkanın, manyetik alan çizgilerini gerip taşıyarak, sürekli olarak manyetik alanı üretip güçlendirmesidir. Buna göre, nötron yıldızlarının manyetik alanları proto-nötron yıldızının iç katmanlarında meydana gelen bir dinamo süreci sonucunda üretilir. Bu mekanizmada yeni alanlar üretilip çekirdek alanları aktif olarak beslenir. Öte yandan, çalışmalar magnetar alanları için yeteri kadar güçlü manyetik alanlara sahip ata yıldızların sayısının, günümüzde bilinen magnetarların sayısından -yaklaşık 30- çok daha az olduğunu göstermiştir. Çökmesinden hemen önce 3000 km yarıçaplı çekirdeği düşünelim. Çekirdeğe en yakın bölgelerde manyetik alanın yaklaşık $5 \times 10^5$ G kadar olduğunu göz önüne alırsak, 40 km yarıçaplı bir proto-nötron yıldızına, akı korunumundan yalnızca yaklaşık $3\times10^9$ G büyüklüğünde bir manyetik alan kalacaktır. Bu proto-nötron yıldızı yarıçapı 12 km olan bir nötron yıldızına küçüldüğünde ise, yine yalnızca akı korunumuyla manyetik alan beslemesi gerçekleştiğinde, yaklaşık $10^{10}$ G büyüklüğünde bir manyetik alanı olacaktır. Bu büyüklük standart nötron yıldızı manyetik alanlarının tipik büyüklüğünden yaklaşık 2 mertebe daha küçük olmakla beraber, merkezi kompakt nesnelerin dipol manyetik alanlarının büyüklüğü kadardır. Sonuç olarak, bazı nötron yıldızı ailelerinde manyetik alan kaynağı olarak akı korunumu en yaygın kabul olsa da, özellikle magnetar alanları için bu ihtimal ortadan kalkmış olur. Öyleyse bu seviyelerde manyetik alanları üretebilecek bir başka mekanizmanın var olduğu çok açıktır. Böylece nötron yıldızı manyetik alanlarının proto-nötron yıldızının içinde meydana gelen bir dinamo süreci sonucu, akışkan hareketleriyle üretilmesi fikri önem kazanmıştır. Çeşitli dinamo mekanizmaları bulunmakla beraber, bunlar en temelde $\alpha^2$ dinamosu ve $\alpha-\Omega$ dinamosudur. Çekirdek çökmesinden hemen sonra yıldızın içinde hidrodinamik kararsızlıklar meydana gelir ve bu kararsızlıklar sonucu konvektif hareketler oluşur. Manyetik alanın iki bileşeni olan toroidal alan ve poloidal alan, $\alpha^2$ dinamosunda birbirlerini sadece konvektif hareketler aracılığı ile, yani $\alpha$-etkisi ile üretirler. $\alpha-\Omega$ dinamosunda ise enerji kaynağı sadece konvektif hareketlerle sınırlı değildir. Yıldız içinde farklı katmanların farklı açısal hızlarla dönmesi, yani diferansiyel olarak dönmesi, $\alpha-\Omega$ dinamosunda çok güçlü bir manyetik alan üretim mekanizması olarak rol oynar. Bu tür dinamolarda poloidal alan konvektif hareketlerin toroidal alan çizgilerini kaldırıp bükmesi ile ($\alpha$-etkisi) toroidal alandan üretilirken, toroidal alan ise diferansiyel dönmenin poloidal alan çizgilerini kesmesiyle, yani $\Omega$-etkisi ile, poloidal alandan üretilir. $\alpha^2$ dinamosu diferansiyel dönmenin besleyici gücünden yoksun olduğu için $\alpha-\Omega$ dinamosuna kıyasla daha zayıf manyetik alan satürasyon değerleri verirken, $\alpha-\Omega$ dinamosu bu anlamda magnetar seviyelerinde manyetik alanlar verebilecek kadar etkindir, ve üretici mekanizmasının gücü itibarıyla magnetar alanlarının üretimi için günümüzde en çok kabul gören senaryodur. Çalışmalar, $\alpha-\Omega$ dinamosunun $\gtrsim 10^{15}$ G seviyelerinde manyetik alanlar üretebildiğini göstermiştir. Bu sebeple, bu çalışmada, $\alpha-\Omega$ dinamosu ile nötron yıldızı manyetik alanları seviyesinde güçlü alanların üretimi incelenmiştir. Çalışmada, ilk olarak beyaz cücelerin manyetik alanları için önerilen 1-boyutlu bir $\alpha-\Omega$ dinamo modeli, fiziksel olarak gerekli eklemeler yapılarak proto-nötron yıldızlarına uyarlanmıştır. Orjinal modelde yıldız yarıçapı evrim boyunca sabit kabul edilirken, güncel modele proto-nötron yıldızının yarıçap küçülmesi, dolayısıyla kütle kaybı da dahil edilmiştir. Yıldızın yarıçapı küçüldüğü için akı korunumu da göz önüne alınmış ve bunun sonucunda yıldızın dipol alanına $\alpha$-etkisi yanısıra bir kaynak mekanizması daha eklenmiştir. Modele, orjinal modelde olmayan iki tür viskoz süreç dahil edilmiştir. Bunlardan biri manyetik dönme kararsızlığının doğurduğu viskozitedir. Manyetik dönme kararsızlığı, zayıf manyetik alanın varlığında, diferansiyel olarak dönen ve elektriksel olarak iletken olan akışkanlarda meydana gelen dinamik bir kararsızlıktır. Bu kararsızlık türbülans yaratarak viskozite üretir ve açısal momentum taşınımına katkı sağlar. Bir diğer viskoz süreç ise güçlü konveksiyondan doğan konveksiyonel viskozitedir. Dinamo süreçleri birçok 2-boyutlu ve 3- boyutlu çalışmalar ile incelenmiştir. Ancak bu çalışmalar gerçekçi parametre kullanımını kısıtlarken, bu 1-boyutlu model ile gerçekçi parametre seçimleriyle dinamo süreci incelenebilmiştir. Çalışmada model denklemleri Runge-Kutta metoduyla çözüldüğünde toroidal ve poloidal alanların zaman içinde büyüyerek dinamo süreci sonunda (yaklaşık 50 saniye) beklendiği gibi doygunluğa ulaştığı görülür. Hem toroidal hem poloidal alanların satürasyon değerleri magnetar seviyesindedir. Böylece bu çalışma, magnetar seviyesindeki manyetik alanların proto-nötron yıldızı içinde meydana gelen bir $\alpha-\Omega$ dinamosu sonucu üretilebileceğini göstermiş bulunmaktardır. Öte yandan, daha yavaş dönen proto-nötron yıldızları için incelemeler yapıldığında ancak standart pulsarlar, yüksek-alanlı pulsarlar ve düşük-alanlı magnetarlar seviyelerinde doygun manyetik alan değerleri elde edildiği görülmüştür. Bu bağlamda, magnetar alanlarının üretilebilmesi için proto-nötron yıldızının dinamo süreci başlarken hızlı dönüyor olması kilit rol oynamaktadır. Bu sonuç, dinamo mekanizmasının görece daha yavaş dönen proto-nötron yıldızları için daha zayıf doygun alanlar oluşturduğunu gösteren çalışmanın sonucuyla tutarlıdır. Bu çalışmada ayrıca, merkezi kompakt nesnelerin poloidal alanlarının ($B_{\rm p}\sim 10^{10}$ G) akı korunumuyla ata yıldızdan kendilerine kaldığı gözlemlenirken, toroidal alanlarının $\Omega$-etkisiyle beslenip büyüdüğü görülmüştür. Yani, merkezi kompakt nesnelerin de aslında bir dinamo sürecinden geçtiği, fakat bu dinamoda $\alpha$-etkisinin rol oynamadığı sonucuna ulaşılmıştır. Ek olarak, 2-boyutlu ve 3-boyutlu simülasyonlar parametrelerin etkinliğini inceleyemezken, bu 1-boyutlu modelde parametrelerin sonuca etkisi fiziksel olarak tutarlı aralıklar için incelenebilmiştir.