Poisson Denklemi İçin Ters Kaynak Probleminin Çözümüne Yapay Sinir Ağları İle Yaklaşım

Abstract

Birçok fiziksel sistemin davranışı Hadamard'ın tanımladığı şekilde 'iyi ifade edilmiş' problem olarak modellenebilir. Bu önermenin temelini kararlı fiziksel sistemlerin uzaysal- zamansal frekansların düşük bölgesine duyarlı olmaları oluşturur. Bu durumda ilgili ters problemler de yüksek frekanslara çok duyarlı olmak zorundadırlar. Dolayısıyla ölçüm verilerindeki gürültü gereksiz bir şekilde yükseltilir. Giriş verilerindeki gürültü ters problemin çözümünde kararsızlıklara neden olur. İkinci problem de ters çözümün tek olmaması durumudur. Ters problemlerde kullanılan regülarizasyön yöntemi, doğruluktan bir miktar vazgeçerek, kararlı ve düzgün görünümlü çözümler üretmeyi amaçlar. Bu nedenle çözüme aday olabilen birçok sonuçların düzgün olanı seçilmeye çalışılır. Bir başka yaklaşım olarak giriş verilerindeki gürültü filtrelenir. Bu çalışmada basit bir model olarak kare şeklindeki bir bölge içinde koordinatları bilinmeyen nokta-birim kaynak göz önüne alınmıştır. Sınır verisi toplamak üzere karenin kenarlarının orta noktalarındaki sıcaklık ölçümleri analitik olarak simüle edilmektedir. Amaç, en az veri ile kaynağın koordinatlarının kestirilmesidir. Sıcaklık probunun yerinin seçimi için duyarlılık alam incelenmiştir. Önce problemin kötü ifade edilmiş problemler sınıfına neden ait olduğu incelenmiştir. Çözüm için klasik yöntemler dışında, kendinden organize olan haritalama yöntemi ve yapay sinir ağları denenmiştir. En iyi sonuçlar geriye yayma yöntemiyle eğitilen ve dört adet sıcaklık veri seti girdilenen yapay sinir ağlan ile alınmıştır. Bunun nedeni yapay sinir ağlarının sahip olduğu universal regülarizasyön ve interpolasyon özelikleridir. Ölçüm verilerine eklenen artan miktarlardaki gürültü katkısının sonuçlar üzerindeki orantılı etkisi gözlenmiştir.

The behaviour of most physical systems can be mathematically modelled as well-posed problems in the sense of Hadamard. This is true just because such physical systems have certain common characteristics; spatio-temporal low-pass filtering properties being the top item of that list. From this observation it immediately follows that the associated inverse problems are necessarily based on high-pass models, which in principle tend to amplify the high frequency noise components of the measured input data, and this is obviously contrary to what we get used to. In other words, the difficulty is that the inverse problem is extremely sensitive to measurement errors which results in the instability of the solution. Another flaw of the inverse problem stems from the fact that the solution of the forward problem may correspond to a situation in which several distinct points of the input space are mapped onto the same point of the output space, which violates the uniqueness requirement of the well- posedness, at least locally. Regularization method sacrifies accuracy in favor of stability and smoothness of the inverse solution. For instance noise in the measured data can be filtered or among the all possible candidate solutions, the one that agrees most with the smoothness criteria is chosen. In this work a basic inverse heat conduction problem of a simple 2-D model with steady state point heat source is taken into view. The physical problem is for a square region with uniform thermophysical properties and a point heat source of unit magnitude. To obtain boundary data, temperature probes are placed at the midpoints of the sides of the boundary of the square domain. The objective of the inverse problem is to estimate the coordinates of the point source with the least amount of data. Sensitivity fields of the probes have been studied. Initially, the inverse problem is analyzed to determine the main causes that render the problem ill-posed. For the solutions of the problem, besides the classical methods, self organizing maps and artificial neural network have been tried, the best results were obtained from a backpropagating ANN with four-probe measurement data. When white gaussian noise is added to the measurements by the increasing amounts, no catastrophic failure has been observed. Artificial neural network approach proved to be superior because of its inherent regularization and interpolation capabilities and universal properties.