Aeroelastic optimization with genetic algorithm

Abstract

Aeroelasticity is the field studying the simultaneous and coupled interaction of aerodynamic, elastic, and inertial forces. It has proven to be a critical consideration in aircraft design, as evidenced by numerous early aviation failures that resulted from neglecting these complex interactions. This discipline encompasses both dynamic and static analyses of wing-like structures, addressing phenomena such as flutter, divergence, buffeting, and aileron reversal that emerge from the intricate interplay of these three fundamental force systems. The challenge lies in the highly relationship between design variables and aeroelastic behavior: small parameter changes can dramatically shift the equilibrium between aerodynamic, elastic, and inertial forces, producing disproportionate effects on structural response. Given this complexity, predicting aeroelastic behavior through isolated examination of design variables is impractical, making sophisticated optimization methods indispensable for navigating this coupled multiphysics design space. Optimization, fundamentally, is the process of enhancing an objective function through algorithmic approaches. While various classification schemes exist, the distinction between gradient-based and gradient-free methods is particularly relevant for aeroelastic problems. Gradient-based methods utilize partial derivatives of the objective function to navigate the design space, but their applicability is limited by requirements for differentiability and continuity constraints that can be problematic in complex aeroelastic systems with discontinuous behavior. In contrast, gradient-free methods employ stochastic search strategies, with genetic algorithms being particularly notable for their biological inspiration. These algorithms mirror evolutionary principles, where superior solutions propagate to subsequent generations while inferior ones are eliminated, even incorporating concepts like genetic mutation to explore the solution space. The effectiveness of such optimization frameworks in aeroelastic applications has been validated using standard benchmark functions, including the Ackley and Eggholder functions, demonstrating their capability to handle the complex, multi-modal design spaces characteristic of aeroelastic optimization problems. The practical application of these optimization principles is demonstrated in this study through the aeroelastic optimization of an unswept, zero taper ratio wing using genetic algorithms. The optimization framework considers a comprehensive set of design variables including chord length, wing length, elastic axis location, static unbalance parameter, bending and torsional stiffness, mass distribution properties, and natural frequency characteristics. These variables are strategically categorized as either independent parameters that directly controlled by the algorithm within specified bounds or dependent variables that emerge from the independent choices. While wing length and chord length remain constant, other independent variables such as elastic axis location, static unbalance, and stiffness properties are optimized within prescribed limits. The optimization targets two critical aeroelastic phenomena: flutter and divergence speeds, both representing catastrophic failure modes for wing structures. Flutter analysis employs Galerkin discretization coupled with Theodorsen aerodynamics, identifying the critical speed as the lowest airspeed where structural damping vanishes. Divergence speed is determined through a differential equation governing the torsional degree of freedom. The genetic algorithm optimization framework, validated using benchmark functions such as Ackley and Eggholder functions, selects the lower of these two speeds as the critical constraint. This approach not only determines optimal design configurations but also provides insights into the parametric sensitivity of aeroelastic behavior, revealing how each design variable influences the critical speeds and overall structural performance. The optimization architecture was implemented using the Python programming language. The open-source nature and data structure capabilities make Python suitable for genetic algorithm optimization. The genetic algorithm components were custom-coded rather than relying on built-in or community-provided modules, to maintain full control over the parameters. Flutter speed and divergence speed calculations were implemented as functions to allow repeated use within the algorithm. These functions serve as the objective functions in the genetic algorithm optimization. Parallel processing was utilized for faster generation loops. Although the critical speed calculations within a generation can be distributed across multiple processors, the algorithm waits for all calculations to complete due to the dependency between generations. The impact of genetic algorithm parameters on the optimization process was analyzed. The final optimization was run with tuned parameters. The population size decreased linearly, while the crossover and mutation rates decreased exponentially across generations to improve optimization efficiency. A large population and high mutation and crossover rates enabled the algorithm to explore the broader design variable space and make aggressive changes to search for optimal solutions in the early generations, whereas the reduced population size in later generations shortened runtime, and the lower mutation and crossover rates allowed the algorithm to stabilize without forcing aggressive changes on design variables. The optimization results, stored systematically and visualized through graphs and spreadsheets, demonstrate the genetic algorithm's effectiveness in determining optimal design variables for maximizing aeroelastic stability limits. The framework successfully identifies design configurations that maximize critical speeds while respecting all imposed constraints. This study provides a valuable tool for the preliminary design phase of subsonic aircraft, enabling engineers to optimize wing structures for aeroelastic performance before committing to detailed design work. The methodology presented here can be readily adapted to other wing configurations and extended to incorporate additional design constraints and objectives, making it a versatile framework for aeroelastic optimization in aerospace applications.

Aeroelastisite, aerodinamik, elastisite ve dinamik bilim dallarının kesişiminde yer alan disiplinlerarası bir mühendislik alanıdır. Bu bilim dalı, özellikle uçak kanatları ve benzeri yapılar gibi hava araçlarının yapısal elemanlarının, üzerinde etki eden hava akışıyla olan etkileşimini inceler. Kanat ve benzeri yapıların statik ve dinamik davranışları, aerodinamik kuvvetler ile yapısal tepkiler arasındaki karmaşık karşılıklı etkileşimler kapsamında ele alınır. Aeroelastisitenin temel problem alanlarından bazıları, çırpınma (flutter), diverjans ve kontrol yüzeyi tersliğidir. Bu fenomenler, kanat yapısının hem uçuş güvenliği hem de performans açısından kritik parametreleri arasında yer alır. Tarihsel süreçte, uçuşun ilk dönemlerinde aeroelastisite göz ardı edilmiş ve bu nedenle birçok kazalar yaşanmıştır. Özellikle uçakların yapısal dayanımı ile aerodinamik kuvvetlerin uygun dengelenememesi, çeşitli felaketlere yol açmıştır. I. ve II. Dünya Savaşları sırasında, uçakların hafifliği, yüksek hızlarda kararlılığı ve güvenliği gibi gereksinimler, aeroelastisite alanına olan ilgiyi artırmıştır. Bu dönem, aeroelastik etkileşimlerin anlaşılması ve uçak tasarımlarına entegre edilmesi yönünde önemli araştırmaların yapılmasına sahne olmuştur. Çırpınma (flutter), aeroelastisitenin dinamik bir kararsızlık türüdür. Kanadın eğilme ve burulma hareketleri arasında oluşan etkileşim, belirli hızlarda kararsız ve artan salınımlar yaratır. Bu salınımlar zamanla büyüyerek yapının yapısal sınırlarını aşabilir ve kritik seviyede deformasyona ya da yapısal hasara neden olabilir. Çırpınmanın karakteristiği, bu salınımların giderek büyüyen ve sönümsüz hale gelen osilasyonlar olmasıdır. Diverjans ise yapısal ve aerodinamik etkiler arasındaki statik bir kararsızlık durumudur. Diverjans, kanadın aerodinamik momenti ile hücum açısı arasındaki pozitif geri beslemenin sürekli artması sonucunda ortaya çıkar ve bu da kanadın ani yapısal başarısızlığına yol açar. Çırpınmadan farklı olarak, diverjans süreci tek yönlü, sönümsüz olmayan ve artan deformasyon karakterine sahiptir. Uçak kanatlarının tasarımında aeroelastik gerekliliklerin karşılanması, çok boyutlu ve karmaşık bir tasarım problemidir. Kanat ve benzeri yapılar üzerinde etkili olan çok sayıda tasarım değişkeni, aeroelastik performans üzerinde doğrudan etkiye sahiptir. Bu değişkenler arasındaki kombinasyonlar ve bunların etkileşimleri, tasarım uzayının çok boyutlu ve karmaşık olmasına neden olur. Bu nedenle, tasarım değişkenlerinin deneme-yanılma yöntemiyle optimum kombinasyonunun bulunması oldukça zordur. İşte bu noktada, optimizasyon teknikleri devreye girer. Optimizasyon, sistem performansını artırmak için değişkenlerin en uygun kombinasyonunu belirleme sürecidir. Matematiksel açıdan optimizasyon yöntemleri, genel olarak iki ana kategoriye ayrılır: türevsel optimizasyon yöntemleri ve türevsel olmayan optimizasyon yöntemleri. Türevsel optimizasyon yöntemleri, hedef fonksiyonun türevlerini kullanarak optimum noktaya ulaşmaya çalışır. Bu yüzden, fonksiyonun türevlenebilir ve süreklilik şartlarını sağlaması gerekir. Bu yöntemler matematiksel olarak iyi tanımlanmış ve düzgün fonksiyonlarda oldukça etkilidir. Ancak aeroelastisite problemleri gibi karmaşık ve nonlineer sistemlerde fonksiyonlar bazen karmaşık, düzensiz ya da türevlenemez olabilir. Bu durumda, türevsel olmayan optimizasyon yöntemleri tercih edilir. Bu yöntemler, fonksiyonun türevine ihtiyaç duymaz ve kara kutu fonksiyonlar (black-box) üzerinde bile çalışabilir. Stokastik yapıya sahip olmaları sebebiyle, global optimuma ulaşma olasılıkları daha yüksektir. Bu kategoride yer alan yöntemler arasında, genetik algoritmalar (GA), parçacık sürü optimizasyonu (PSO), simulated annealing gibi evrimsel ve nüfus tabanlı algoritmalar yer alır. Bu çalışmada, aeroelastik optimizasyon için genetik algoritma (GA) yöntemi kullanılmıştır. Genetik algoritmanın doğruluğu ve etkinliği, literatürde standart kabul edilen zorlu test fonksiyonları olan Ackley ve Eggholder fonksiyonları üzerinde sınanmıştır. Ackley fonksiyonu, çok sayıda lokal minimuma sahip çok değişkenli bir fonksiyondur ve optimizasyon algoritmalarının global minimumu bulma yeteneğini test etmek için yaygın kullanılır. Eggholder fonksiyonu ise keskin topografyası ve lokal minimumlarının global minimuma yakınlığı sebebiyle optimizasyon için zorluk oluşturur. Modelin test edilmesi sonucunda, Ackley fonksiyonunda düşük genetik değişim oranı ile yetmiş üçüncü jenerasyonda global minimum noktasına yüksek doğrulukla ulaşılmıştır. Bu performans, aynı fonksiyon üzerinde PSO yöntemi kullanan çalışmalara kıyasla daha üstün bulunmuştur. Eggholder fonksiyonunda ise, yüksek genetik değişim oranı ile global minimuma düşük hata payıyla ulaşılmış, ancak bu süreç daha fazla jenerasyon gerektirmiştir. Eggholder fonksiyonunun karmaşık topografyası ve local minimumlarının global minimuma yakın olması, genetik algoritma parametrelerinin farklı ayarlanmasını gerektirmiştir. Genetik algoritmanın aeroelastik kanat optimizasyonu için kullanımı kapsamında, kanat yapısına ait tasarım değişkenleri dikkatlice seçilmiştir. Bu değişkenler şunlardır: veter uzunluğu, kanat uzunluğu, eğilme rijitliği, burulma rijitliği, elastik eksenin konumu, ağırlık merkezinin elastik eksene göre konumu (statik dengesizlik parametresi), birim kesit boyunca ağırlık, birim kesit boyunca kütle atalet momenti, ağırlık oranı, ağırlık atalet yarıçapı, eğilme doğal frekansı, burulma doğal frekansı ve doğal frekanslar oranı. Bu parametreler arasında veter uzunluğu, kanat uzunluğu, elastik eksen konumu, statik dengesizlik parametresi ve rijitlikler bağımsız değişkenler olarak belirlenmiş ve bu değişkenlerin alabileceği değer sınırları tanımlanmıştır. Diğer parametreler ise bu bağımsız değişkenlere bağlı olarak hesaplanan bağımlı değişkenlerdir. Genetik algoritma, bağımsız değişkenlerin çeşitli kombinasyonlarını jenerasyonlar boyunca deneyerek kanadın aeroelastik davranışını optimize etmeye çalışır. Kanadın kritik hızı, çırpınma ve diverjans hızlarından küçük olanı olarak tanımlanır. Çırpınma hızını hesaplamak için yapısal modelde Galerkin ayrıklaştırma yöntemi, aerodinamik modelde ise Theodorsen aerodinamiği kullanılmıştır. Sistem hareket denklemleri Lagrange denklemi yardımıyla kurulmuş, kanadın kinetik ve potansiyel enerjileri kesit boyunca integrallenmiştir. Aerodinamik kuvvetler ve momentler, Theodorsen teorisinin düz plaka modelinden elde edilerek yatay ve eksenel bileşenler halinde değerlendirilmiştir. Eğilme ve burulma hareketlerinin mod şekilleri, enerji hesapları ve kuvvet tanımlamalarında temel alınmıştır. Parametrik analizler sonucunda, tasarım değişkenlerinin çırpınma ve diverjans hızlarına farklı etkiler gösterdiği tespit edilmiştir. Eğilme ve burulma doğal frekanslarının oranı bire eşit olduğunda flutter hızında azalma gözlemlenmiştir; bu durum eğilme ve burulma hareketlerinin artan etkileşimini gösterir. Kanat kesitindeki ağırlık merkezinin konumu, çırpınma hızını önemli ölçüde etkiler. Bazı konumlarda çırpınma hızı düşmekte, bu düşük hız bölgesi elastik eksenin firar kenarına doğru kaymaktadır. Statik dengesizlik parametresinin diverjans hızına etkisi, çırpınma hızına göre daha azdır; dolayısıyla düşük statik dengesizliklerde diverjans hızı çırpınma hızının altına düşebilir. Kütle oranı ve kütle atalet yarıçapı da aeroelastik kritik hızların belirlenmesinde önemli rol oynar. Optimizasyon modeli, açık kaynak yapısı ve esnekliği nedeniyle Python dili kullanılarak geliştirilmiştir. Genetik algoritmanın ana bileşenleri ve aeroelastik hesaplamalar fonksiyonel biçimde modüler şekilde kodlanmıştır. Bu yapı, tasarım değişkenlerinin tekrarlanan hesaplamalarını kolaylaştırırken, kodun bakımını ve geliştirilmesini de destekler. Aeroelastik fonksiyonlar, aynı zamanda optimizasyonun amaç fonksiyonu olarak görev yapar. Optimizasyon sürecinin hızlandırılması amacıyla paralel işlem teknikleri uygulanmıştır. Ancak jenerasyonlar arası bağımlılıklar nedeniyle, paralel hesaplama yalnızca aynı jenerasyondaki bireylerin değerlendirilmesinde kullanılabilmiştir. Parametrik çalışmalarda, genetik algoritmanın performansını etkileyen ayarlar detaylı şekilde incelenmiştir. Başlangıçta nüfus büyüklüğü ve genetik değişim olasılığı yüksek tutulmuş, zamanla nüfus lineer olarak, genetik değişim olasılığı ise üstel biçimde azaltılmıştır. Bu sayede, optimizasyonun ilk jenerasyonlarında geniş tasarım alanı etkili biçimde taranırken, ilerleyen jenerasyonlarda algoritmanın stabilitesi ve yerel yakınsaması sağlanmıştır. Her jenerasyon sonunda en iyi çözümler kaydedilmiş ve bu sonuçlar grafiklerle görselleştirilmiştir. Optimizasyon prosedürü on kez tekrarlanmış ve en iyi sonuç veren senaryo detaylı olarak analiz edilmiştir. Sonuçlar, genetik algoritmanın aeroelastik kararlılık sınırları içinde optimum tasarım değişkenlerini başarılı şekilde belirleyebildiğini ortaya koymuştur. İlk otuz jenerasyonda kritik hızlarda belirgin artışlar ve parametrelerde agresif değişimler gözlenmiştir. Daha sonraki jenerasyonlarda ise algoritma sonuçları tek bir çözüm etrafında toplanarak kararlılık kazanmıştır. Ortalama kritik hız değerinde ise sürekli artış kaydedilmiştir. Bu çalışma, ses altı hızlarda uçan, daralma açısı ve ok açısı olmayan sabit kesitli kanatların aeroelastik açıdan ilk tasarım aşamasında optimum tasarım değişkenlerinin belirlenmesinde etkin ve güvenilir bir yöntem sunmaktadır. Gelecekte, farklı geometriler ve uçuş koşulları için modelin geliştirilmesi, gerçek uçuş verileri ile doğrulanması ve çok disiplinli optimizasyon yaklaşımlarının entegrasyonu, aeroelastik tasarım süreçlerinin daha da iyileştirilmesini sağlayacaktır.